湖南2024屆高三年級下冊模擬（二）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

湖南2024屆高三下學(xué)期模擬(二)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.已知集合4={引一1<%<2},3={引—2<%<1},則集合&Z;(48)=()

A.(-l,l)B.(-2,2)C.(-2,-l)i(1,2)D.(-2,-l]|J[l,2)

2.已知z是復(fù)數(shù),z?+2z是實數(shù)，則2的()

A.實部為1B.實部為-1C.虛部為1D.虛部為-1

3.若a/為單位向量,a在尸方向上的投影向量為-gs，則2/?|=()

A.V2B.V3C.V5D.由

4.若5個正數(shù)之和為2,且依次構(gòu)成等差數(shù)列，則其公差d的取值范圍是()

AR{|B-mdD.(O,￡|

5.已知函數(shù)/(x)的部分圖象如圖所示廁函數(shù)/(x)的解析式可能為()

2r22X2

A.f(x)=B./W=—

|x|-l|x|+l

C./(x)=--^-D./(x)=—坐

|x|-l%--1

6.已知實數(shù)a>b>0,則下列選項可作為a-人<1的充分條件的是()

-4b=1B.---=—

ba2

C.T-2*=1D.log2a-log2Z?=l

7.若銳角a,B滿足3cos（a+尸）=cosacos0,則tan（a+4）的最小值為（）

A.272B.2GC.2^/5D.2V6

8.如圖，在△ABC中,NB4C=120。淇內(nèi)切圓與AC邊相切于點。且AD=1.延長區(qū)4至

點E使得連接CE.設(shè)以C,E兩點為焦點且經(jīng)過點A圓的離心率為0,以C,E兩

點為焦點且經(jīng)過點A雙曲線的離心率為02,則e。的取值范圍是（）

A.—,+oo^B.f—,+oo^C.［l,+oo）D.（l,^o）

L2JI2J

二、多項選擇題

9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的

成頻，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析商分學(xué)生的成績分布情況，計

算得到這100名學(xué)生中，成績位于［80,90）內(nèi)的學(xué)生成績方差為12,成績位于［90.100）內(nèi)

的同學(xué)成績方差為10.則（）

參考公式:樣本劃分為2層,各層的容量、平均數(shù)和方差分別為:辦二S；,〃,7,5；平均數(shù)為

。.樣本方差為$2,小

m+nm+n

頻率/組距

la

6〃

3(i----------------

2〃——?——----———■—

_____——

05060708090100成績/分

A.a=0.004

B.估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14

C估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25

10.在菱形ABCD中,A6=2瓜ZABC=60°將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為

6>(0°<6><180°)的二面角3-AC-。，若折成的四面體ABCD內(nèi)接于球。，下列說法正確

的是()

A.四面體ABCD的體積的最大值是373

B.BD的取值范圍是(30,6)

C.四面體ABCD的表面積的最大值是6+66

D.當(dāng)6=60。時，球O體積為生羽兀

11.已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R記g(x)=/'(x).若/(x)滿足

/(2+3幻=/(—3x),g(x—2)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，且8(0)=1,則()

A.g(x)是偶函數(shù)B.g(x)=g(x+4)

2024k

D.，g0

k=l2

三、填空題

12.已知直線/是圓必+V=1的切線，點4(-2,1)和點3(0,3)到/的距離相等,則直線

I的方程可以是.(寫出一個滿足條件的即可)

13.初等數(shù)論中的四平方和定理最早由歐拉提出,后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和

定理的內(nèi)容是:任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)

6=22+F+F+。2.設(shè)25=儲+尸++儲,其中abcd均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)

組(a,6,c⑷的個數(shù)是.(用數(shù)字作答)

14.若一個正三棱臺的各頂點之間的距離構(gòu)成的集合為｛1,8,2｝,且該三棱臺的所有頂

點都在球。的表面上，則球。的表面積為.

四、解答題

15.如圖，直四棱柱ABCD-A4G2的底面是邊長為2的菱形,/ABC=60。，8。平面

AG。.

(I)求四棱柱ABCD-44G2的體積；

(2)設(shè)點2關(guān)于平面的對稱點為E,點E和點Q關(guān)于平面a對稱(E和c未在圖

中標(biāo)出),求平面ACD與平面C所成銳二面角的大小.

16.記S“為數(shù)列｛4｝的前九項和，已知叫+("—1)出++an=2S?-1.

(1)證明:數(shù)列｛Sj是等比數(shù)列;

⑵求最小的正整數(shù)m,使得m>-+—++'對一切“eN*都成立.

ciya?

22

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓斗+斗=l(a〉6〉0)的右頂點為(2,0),離心率

ab

為半，尸是直線x=4上任一點，過點M(l,0)且與垂直的直線交橢圓于A,5兩點.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線PA,PM,PB的斜率分別為匕/2,%,問:是否存在常數(shù)2,使得尢+&=a2?若存

在，求出2的值;若不存在，說明理由.

18.某大學(xué)有甲、乙兩個運(yùn)動場.假設(shè)同學(xué)們可以任意選擇其中一個運(yùn)動場鍛煉，也可選

擇不鍛煉，一天最多鍛煉一次，一次只能選擇一個運(yùn)動場.若同學(xué)們每次鍛煉選擇去甲或

乙運(yùn)動場的概率均為;，每次選擇相互獨(dú)立.設(shè)王同學(xué)在某個假期的三天內(nèi)去運(yùn)動場鍛煉

的次數(shù)為X,已知X的分布列如下:(其中。>0,0<0<1)

X0123

a

Pa?(1-p)

P

⑴記事件4表示王同學(xué)假期三天內(nèi)去運(yùn)動場鍛煉，?次0=0,1,2,3),事件3表示王同學(xué)在

這三天內(nèi)去甲運(yùn)動場鍛煉的次數(shù)大于去乙運(yùn)動場鍛煉的次數(shù).當(dāng)p時,試根據(jù)全概率

公式求P(3)的值；

⑵是否存在實數(shù)P，使得E(X)=g?若存在，求p的值:若不存在,請說明理由；

⑶記M表示事件“甲運(yùn)動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動”，N表示事件“王同學(xué)去甲運(yùn)動

場鍛煉"，0<P(M)<l.已知王同學(xué)在甲運(yùn)動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動的情況下去甲

運(yùn)動場鍛煉的概率，比不舉辦抽獎活動的情況下去甲運(yùn)動場鍛煉的概率大，證

明:P(MN)>P(M\N).

19.已知函數(shù)/(x)=si*+頒…,0<…，滿足八0)=佃f圖，且小)在

區(qū)間［仁］上無極值點.

⑴求的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)當(dāng),々€：QeR)時，設(shè)|/(石)-/(%)|的最大值為尸⑺，求歹⑺的值域；

(3)把曲線y=/(x)向左平移辦個單位，再把曲線上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱

8

坐標(biāo)不變.得到曲線y=g(x).設(shè)函數(shù)cp(x)=(x-A)g(x)(左eR)，將0(x)在區(qū)間1-3,+8］

上的極值點按從小到大的順序排列成數(shù)列｛七｝.若姒石)+05)=0,求實數(shù)上的直

參考答案

1.答案：D

解析：由題意,A3=(—1,1),5=(-2,2),所以亳-(A3)=(-2,-1][1,2)D.

2.答案：B

解析：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bcR,匕,0),則

z?+2z=(a+bi)2+2(。+bi)=a--b~+2a+2b(a+l)i,而z?+2z是實數(shù)，故2b(a+1)=0,得

到a=-l.選B.

3.答案：D

解析：a在夕方向上的投影向量為—工廠，得區(qū)?=—L由于a,夕為單位向

2|川2

量,因止匕a?尸二—1■，于是口_26|=Ja2_4s/+4尸=，_4x1_g)+4xl2=不選口.

4.答案：A

解析：設(shè)這五個正數(shù)依次為a.,a2,a3,%，則由他們成等差數(shù)列可知

勾+%+。3+。4+。5=5。3=2,故/=1.為使五個數(shù)均為正數(shù)，只需％=《-2d和

711

〃4+2d均大于零即可解得—士<d<L選A.

555

5.答案：A

解析：由圖可知，函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C,

由圖可知，函數(shù)的定義城不是實數(shù)集.故排除B;

6.答案：C

解析：取。=4力=1,排除A:取。=2力=1,排除B;取。=4,6=2,排除口；

由2“一2〃=1,可推出2"=26+1<21,即a<〃+l.選C.

7.答案：D

解析：

2

3cos(tz+/?)=cosacos(3=^>3cosacos/?-3sincrsin/3=cos?cos/3=^>tan?tan/?=—.

11

于是tan(a+，)=⑦"+tan'=2^tana+tan，)>6Jtanatan(3=2^6.選D.

1-tanatan夕

8.答案：D

解析：如圖,設(shè)內(nèi)切圓與邊3C,BE分別相切于點EG.

由切線長定理和ABCE的對稱性，可設(shè)CF=CD=EG=x.

由AD=1,可得AC=x+l,AE=EG—AG=x—1.

在AACE中,由余弦定理,CE?=(x+1)2+(x—I)2-2(x+l)(x-1)cos60°=x2+3.

于是根據(jù)根圓和雙曲線的定

CECECE-

義,ee=接下來確定x的取值范圍.

x2AC+AEAC-AEAC2-AE2

設(shè)3尸=3G=y,在ZVIBC中,AC—x—1,48=丁+1,3。=工+了,于是由余弦定

22

理,(x+,)2=(%+1)+(y+1)-2(x+l)(y+1)cosl20。,整理得孫_3(x+y)—3=0,于是

丁=3(x+D>o.故.>3，從而ete2=—|x+—|e(1,+co).選D.

x—341%J

9.答案：BCD

解析：對于A選項,在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1.

則(2a+3a+7a+6a+2a)x10=200a=1，解得a=0.005,A錯；

對于B選項，前兩個矩形的面積之和為(2a+3a)x10=50a=0.25<0.5.

前三個矩形的面積之和為(2a+3a+7a)x10=120a=0.6>0.5.

設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為辦則me(70,80),

根據(jù)中位效的定義可得0.25+(m-70)x0.035=0.5,解得7”77.14,

所以,估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14,B對；

對于C選項，估計成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為

6ax85+2ax95=87.5分,C對；

6〃+2a6a+2a

對于D選項，估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為

|[12+(87.5-85尸]+：[10+(87.5-95)2]=3025,D對.故選:BCD.

10.答案：AD

解析：對于A選項,」AB=26ZABC=60。,則AABC為等邊三角

形,AC=AB=2A/3,

取AC的中點瓦則5石，AC,同理可知,AACD為等邊三角形，所以,DE1AC,

且金田2國—吟3?

所以,二面角6-AC-O的平面角為。=NBED.

設(shè)點。到平而ABC的距離為d,則d=DEsin。=3sin8,

VDABC=-S.ABCM='x3后義3sin，=3百sin，V36，當(dāng)且僅當(dāng)。=90。時，等號成立，

LJ-ZxDt_-\I\￡J

即四面體ABCD的體積的最大值是3A/3,A選項正確；

對于B選項，由余弦定理可得出J?=BE?+。爐一2BE.DEcos。=18-18cos。e(0,36)，所

以,5。e(0,6),B選項錯誤；

對于C選項，S4MS=SA“CC=3G，

AB=AD=BC=CD,BD=BD,：.Z\ABD^Z\CBD,

所以班O=6sinN癡

因止匕，四面體ABCD的表面積的最大值是2x373+2x6=12+673,C選項錯誤；

對于D選項，設(shè)M.N分別為△?(?,AACD的外心，則EN=EM=-BE=l,

3

在平面BDE內(nèi)過點般作BE的事線與過點N作DE的重線交于點O,

BELAC,DELAC,BE「DE=E,：.AC±平面BDE,

OMu平面BDF,:.OM±AC,

OM±BE,BEAC=E,:.OM，平面ABC,同理可得ONL平面ACD,

則。為四面體ABCD的外接球球心，

連抗OE,「EM=EN,OE=OE,NOME=ZONE=90°,:.Z\OME^Z\ONE,

所以,NOEAf=g=30o,；.OM,

23

RtzXBVO中,。M=是,MB=2,:.OB=^OM-+MB=叵，即球0的半徑為R=叵,

333

因此，球0的體積為丫=3兀&=今詈兀,口選項正確.

故選:AD.

11.答案：ABD

解析：對于A選項，因為函數(shù)g(x-2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

貝l]g(2-x-2)=g(2,x-2),

即g(-x)=g(x),所以，函數(shù)g(x)為偶函數(shù).故A正確；

對于B選項，因為/(2+3x)=f(-3x)，令f=3尤，可得f(t+2)=/(-/),即/(x+2)=f(-x),

對等式/(x+2)=/(-x)兩邊求導(dǎo)得f'(x+2)=-f'(-x),ipg(x-2)+g(-x)=0,

故g(x+2)+g(x)=0,所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),故B正確；

對于C選項，因為g(x)=7'(x)，則/(-%)=/'(x),

令h(x)=/(x)+/(-x)，則h\x)=f\x)-/'(-X)=0,所以,h(x)為常值函數(shù)，

設(shè)〃(x)=/(%)+/(-%)=C淇中C為常數(shù)，

當(dāng)Cw0時,/(—x)=C—/(%)*-f(x)，故C錯誤；

對于D選項，因為g(x+2)+g(—x)=g(x+2)+g(x)=0,所以,g⑴=0,g[a+S(J=0.

g(2)+g(0)=g(2)+1=。.可得g(2)=-1,

g[￡|+g|l)=gl{|+gD=g[l)+g|l)=Og(3)=g(3-4)=g(-l),

由g(x+2)+g(—x)=g(x+2)+g(x)=0,今x=1,可得g(3)+g(l)=。，則

g(3)=0,g(4)=g(0)=l,

所以

+g⑴+g1|[+g(2)+g圖+g(3)+gg+g(4)=g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0—l+0+l=0

g

203

因為2024=8x253,貝2530,D對.故選:ABD.

k=\S4I>

12.答案：x-y-y[2=0/x-y+y[2=0/3%+4y-5=0/x=-l

解析：若1//AB，此時l的斜率為1.設(shè)/的方程為y…d則點。到I的距離*1,得

6=±0,因此/的方程為》7-0=0或》7+血=0.即/經(jīng)過43的中點,當(dāng)/的斜率

不存在時，/的方程為x=-l；當(dāng)/的斜率存在時，設(shè)其方程為y=-x+1）+2,則點。到/的

距離耳或1=1,得左=—3,此時/的方程為3%+4y-5=0.故答案

+14

為:％-^-0=0,%-了+魚=0,3%+4丁-5=0,X=-1（寫出一個滿足條件的即可）.

13.答案：28

解析：顯然a,5,c,d均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論：

最大數(shù)為5的情況：

@25=52+02+02+02，此時共有A；=4種情況.最大數(shù)為4的情況：

②25=4?+3?+。2+0z,此時共有A；=12種情況.

③25=4?+2?+2?+V,此時共有Af=12種情況.

當(dāng)最大數(shù)為3Ht,32+32+22+22>25>32+32+22+12，沒有滿足題意的情況.由分類加法

計數(shù)原理,滿足條件的有序數(shù)組（。,仇。⑷的個數(shù)是4+12+12=28.

14.答案：—7C

2

解析：設(shè)正三核臺ABC-A4G.如圖，先考察正三校臺的一個取面ABBlAl.^AB<AlBl.

在中，由于NA4B是鈍角，故△外6中最大的邊是4".若=2，則AB和441的

長只能取1或逝.此時若兩邊長均為1和1,則不滿足兩邊之和大于第三邊;若一

邊長1,一邊長6,則△A416變?yōu)橹苯侨切?若兩邊長均為6,則A片的長只能為1,與

4片矛盾.

因而只能是45=6,45=441=1,Aq=2.

設(shè)三校臺的上底面中心為。，下底面中心為R.如圖，在直角梯形ADR4中求球。的半徑?

容易求得AD=^，A2-半,=乎.

+

設(shè)球0的半徑為R,OA=x，則我2=f+［半；=［彳一［［Y］，解得》=一普，

2

R=-，故球0的表面積為4冰2=-71.

82

旦

15.答案：(1)6五

4

解析：(1)設(shè)直四棱柱的高為。設(shè)落形AqGR的兩條對角線相交于點。，則0G1OR,

以。為坐標(biāo)原點,0G的方向為x軌正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題設(shè)知，點C］(1,0,0),Di(0,百,0),3(0,―"a),D(0,百,a).

因為8〃J.平面AG。,所以5。］1CD.

2

貝IBDl-ClD=6-a=0Ma=y/6.

故四棱柱的體積V=—x22xa=672.

2

(2)因為6。1平面AG。.所從點E在線段8功上，且GE==2.

2222

設(shè)BE=ABDX(0<2<1)，則E(0,73(22-1),76(1-2)),QE=1+3(22-I)+6(1-2)=4,

解得人1(含去)或人;,故d。,-日'半〔

由于點E和點q關(guān)于平面a對稱，所以GE=，L-g，半］是平面?的一個法向量.

又6A=(0,26,-6)是平面AG。的一個法向量,

一,義2百一后,手_0

則cos（即,C?=叱

''\BD.\-\QE\3后x2—2

即平面和平面’所成倪二面角的大小為三

16.答案：(1)證明見解析

⑵7

解析：(1)由題設(shè)知〃。1+(〃-1)。2++an=2Sn-l.

用〃+1替換上式的〃，得("+l)q+叩2++4+1=2S〃+]—1.

兩式作差,％+%++4+%=S用=2S〃M-2S”即S?+1=2S?.

而由lxq=2E-1,可得S1=lw0.

從而｛Sj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

TT

⑵由⑴得3=2",于是an=Sn-S〃=I；』：-2，

Ln=l.

^Tn=—+—++—,Pl!j7]=1,

當(dāng)〃之2時,7；=1+2x2°++”x22-'故gq=g+2x2-i++”x2「".

兩式作差，得工T=-+(2-l+T2++22T)_“X2「"二」+2(I]“百”.

22v'21-21

整理可得7；=7-(“+2)x22-".

故(<7,又<=竺>6,因此滿足條件的最小正整數(shù)m為7.

8

V2

17.答案：(1)—+9=1

4'

(2)2

22/T

解析：⑴由題意，在橢圓二+2=1(?！?〉0)中,右頂點為(2,0),離心障為先，

ab2

.\a=2,e=—=c=5/3,b2=a2—c2=1,二.橢圓的方積為:土+y2=1.

a24

2

(2)由題意及⑴得在能圓r?+丁=1中，設(shè)存在常數(shù)2，使得%+%=然2.

當(dāng)直線AB斜率不存在時，其方程為:x=1,

代入橢圓方程得A,￡,B卜一￡,此時p(4,0),可得尢+勺=0=為；

當(dāng)直線AB斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=A(x-1),左W0,4(%,%),B(x2,y2),

將直線方程代入根圓方程得:(1+4k②)x2-8k2x+442—4=0,

8k②442—4

P是直線x=4上任一點，過點M(1.0)且與盤直的直線交橢圓于A,3兩點，

直線的方程為：y=-1(x-1),P[4,-力，

33

1%+7%+不

由幾何知識得；42——,k[=-----,k=-----,<匕+a=2左2，

1^'434

將X1+%=8"2442—4

%=k(%2-1)代入方程，并化簡

12

1+4左21+442

得：_2=一4，解得:2=2.綜上，存在常數(shù)2=2，使得勺+&=Ak2.

kk

7

18.答案：(1)尸(B)=M

(2)不存在，理由見解析

(3)證明見解析

解析：(1)當(dāng)p=；時，尸(4)=2,P(A)=2a,P(4)=a.P(A)=￡,則(+2a+a+^|=l,

解得。=已4

由題意，得

p(8A)=c；xg,p(劇4)—eg],P(HA)=c《J+c；g].

由全概率公式，得

P(3)=￡P(guān)(HA,)P(A,)=合+c1￡|a++c(￡|a(l-)

aaa、

=——+—+—(1-p).

2p42

142

又p=5,o=西，所以P(B)=—.

(2)由@+a+〃(1一7)+a(l—pl=1,得，=p1-3/7+—+3.

pap

假設(shè)存在p,使E(X)=-+2a+3a(l-p)=~.

P3

將上述兩式相乘，得4+5-3p=——5/?+2-+5,化簡得:523-622+2=0.

p33p

設(shè)//(〃)=5/—6p2+2,貝!J/t(p)=15p2-12p=3p(5p-4).

由//(〃)<0,得0<2<|>由//(〃)>0,得：<p<l,

則〃(p)在,/上單調(diào)遞減，在修，上單調(diào)遞增，所以〃(p)的最小值為僧=II〉°，

所以不存在p0使得Mz)=0.即不存在p值，使得E(X)=|.

⑶證明:由題知p(M隙,所以曳絲〉型絲P"P(NM),

P(M)P(M)l-P(M)

所以P(NM)>P(N)P(M),

所以P(NM)-P(N)P(NM)>P(N)P(M)-P(N)P(NM),

即P(NM),P(R)>P(N),P(RM),所以〉P黑;，即P(MN)>P(M\N).

19.答案：(1)—+kK,—+hi(keZ)

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(2)目烏亞

⑶Y

解析：(1)由題設(shè)知直線x=1是/(X)的一條對稱軸.點仔,o1是/(x)的一個對稱中心，

所以/(x)的最小正周期T滿足型—四=工,故丁=兀，從而。=&=2.今2XC+"=2+E,

jr

得夕=W+kit(keZ).

結(jié)合O<0<兀知0=；,故/(x)=sin.

今巴+2EV2x+二V建+2E,得/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為t+E,生+也］(左eZ).

⑵注意到R⑺的值域就是/(X)在區(qū)間］1+巴］上最大值與最小值之差的取值范