2024屆廣東省深圳市二模數(shù)學(xué)試題試題及答案

2024年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

2024.4

本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.用

2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼

處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知a為正整數(shù)，且">2”,則（）

A.n=lB.n=2C.n=3D.n>4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造數(shù)列探討該數(shù)列單調(diào)性即得.

n219

［詳解】令氏=—〃WN*,顯然=—,%=L。3=—，

2〃28

(〃+1)2/+2rl+1+2〃+1

當(dāng)〃24時(shí)，—=

42n2

因此當(dāng)“24時(shí)，n2<2n,

所以w為正整數(shù)，且1>2",有〃=3.

故選：C

2.已知正方體ABC。-,過(guò)點(diǎn)A且以為法向量的平面為a,則a截該正方體所得截面的形

狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】A

【解析】

【分析】作出輔助線，根據(jù)線面垂直的判定定理得到。巴，平面故平面。即為平面AC。1，得到

截面的形狀.

【詳解】連接AC,AD,,CD},BD,

因?yàn)?5]，平面ABC。，ACu平面ABCD,

所以3耳LAC,

又四邊形ABC。為正方形，所以

又BB[CBD=B,平面，

所以AC，平面8月。，

因?yàn)橛肈u平面3耳。,

所以ACLgD,

同理可證明AD11B〔D,

因?yàn)锳D]AC=A,A￡>i，ACu平面ACD],

故BQ1平面ACDX,

故平面a即為平面AC。1，

則a截該正方體所得截面的形狀為三角形.

3.對(duì)于任意集合M,N,下列關(guān)系正確的是（）

A.M屈NN=MNB.瘩N）=（mNN）

CMNN=M\ND.瘠H加N）=（乂NM\&NN）

【答案】B

【解析】

【分析】利用韋恩圖進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果.

對(duì)于A：如圖所知，gNN為區(qū)域①，所以=故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：&UN（MCN）為區(qū)域①和③；（心口/以）為區(qū)域③，（如口》）為區(qū)域①，貝U

（魏NM）U（MSVN）也為為區(qū)域①和③；兩邊相等,故B正確；

對(duì)于C：（礪出"）為區(qū)域①，A/c與UNN為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域②為McN）,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：與VN（MCN）為區(qū)域①和③；而（即的/）為區(qū)域③，（即3"）為區(qū)域①，所以

（魏N〃）c（WNN）為空集，所以D錯(cuò)誤；

故選：B.

4.已知。>0,且awl,則函數(shù)y=log〃[x+L]的圖象一定經(jīng)過(guò)（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)y=log]x+￡]過(guò)（0,—1）點(diǎn)，分類可解.

【詳解】當(dāng)尤=0時(shí)，v=log-=-l,

fla

則當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)二、三、四象限;

則當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一、三、四象限;

所以函數(shù)y=log/x+:）的圖象一定經(jīng)過(guò)三、四象限.

故選：D

5.已知z=2-,其中i為虛數(shù)單位，則z-（z—l）=（）

1+i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得z=l-i，進(jìn)而三=l+i，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意知，2=2=就%=1,

所以I=l+i，

所以2(Z-l)=(l+i)(l-i-l)=l-i.

故選：B

6.已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這

六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（）

A.72種B.96種C.144種D.288種

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】由題意，丙可能是4,5,6名，有3種情況，

若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是C；A：=72種，

若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是C；A：=72種，

所以所有符合條件的可能是72+72=144種.

故選：C.

22

7.P是橢圓C：=+與=1(a>6>0)上一點(diǎn)，耳、工是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，PFi.PF；=0,點(diǎn)Q在

ab

/耳尸居的平分線上，。為原點(diǎn)，OQ〃P￡,且則C的離心率為()

A|B.2C.逅D.也

2332

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)|W|=m，歸閶=〃，由題意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程組得到含。的齊次方

程求解離心率即可.

【詳解】如圖，設(shè)歸耳|=加，歸閭=〃，延長(zhǎng)交「工于4

由題意知0Q〃P6，。為耳心的中點(diǎn)，故A為「工中點(diǎn)，

--------7T

又尸片.尸月二0,即尸耳J_PB，則NQAP=5，

叫

p

JT

又由NQPA=：,則AA。尸是等腰直角三角形,

m-}-n=2a

m—n=2bm=a+b

故有1療+/=4c2化簡(jiǎn)得即《

m+n~2an-a-b

b7+—1n=1—m

I22

代入機(jī)2+〃2=4,得++（〃_人）2=4,,

即4+/=2。2,由/=6一。2所以2a2=3。2,

所以e2=2,e=圓.

33

故選：C.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=x+e*,g(x)=x+lnx,若存在X1,巧，使得/(%)=8(%2)，則%-9|的最小值為

()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得/(%)=/(ln%)，即可得到構(gòu)造函數(shù)/z(x)=lnx—x,求導(dǎo)

得其最值，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得/(%)=g(%2)，即％+e』=々+ln%，

所以％+e*1=e瓜也+In,

又r(x)=l+e”>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

即/(%)=/(ln%2)，所以占=111工2，

-V|

且阮-x2|=|lnx2-eI=|lnx2-x2|,

令/z(x)=lnx-x,xe(0,+co),

11-y

則〃(x)=——1=-其中x>0,

XX

令"(x)=0,貝!|%=1,

當(dāng)xe(0,1)時(shí),//(x)>0,則/z(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，〃(x)<0,則/z(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=l時(shí)，人⑺有極大值，即最大值，

所以⑴=一1,,(刈21,

所g-刃皿=帆々-%2L=H=L

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)同構(gòu)問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題，結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)求

導(dǎo)即可得到結(jié)果.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知機(jī)，〃是異面直線，mua,nu/3,那么()

A.當(dāng)或“時(shí)，aL/3

B.當(dāng)根//分，且〃//a時(shí)，alI/3

C.當(dāng)。時(shí)，m±j3,或〃J_a

D.當(dāng)a,萬(wàn)不平行時(shí)，加與萬(wàn)不平行，且〃與a不平行

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.

【詳解】A：當(dāng)加_L力，mua時(shí)，a工B；

當(dāng)〃_1_0，時(shí)，aL/3,故A正確；

B：當(dāng)機(jī)//，，〃//a時(shí)，又以”為異面直線，所以。//〃，故B正確；

C：當(dāng)。時(shí)，由mUtz,得加//，或機(jī)與￡相交；

當(dāng)。，小時(shí)，由〃u，，得〃//a或九與a相交，故c錯(cuò)誤；

D：當(dāng)名萬(wàn)不平行時(shí)，可能“2//分或機(jī)與尸，〃//a或“與a相交，故D錯(cuò)誤.

故選：AB

10.已知函數(shù)/(x)=sintyx+acosaw(xwR,6y>0)的最大值為2,其部分圖象如圖所示，則()

A.a=^/3

B.函數(shù)/［彳一：

為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實(shí)數(shù)。，存在且唯一

D./(可是周期函數(shù)，且最小正周期為兀

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的最大值及/(。)>0求出由/1求出。的

取值，再根據(jù)周期確定。的值，即可得到函數(shù)解析式，即可判斷.

、,a1

【詳解】因?yàn)?(x)=sinox+acoscox=Ja?+1sin(。龍+0)(其中sin。=/,、cos<p=-i==),

平)Va2+1Va2+1

2

又f(x)max=y/a+1=2'解得a—±^3，

又y(0)=a>0,所以a=6,故A正確;

71

則/(%)=sins+石cos=2sincox+—\,

3

716971Tt①71

又/2sin——+—1,即sin——+—

4343

冗〃)JT571.

結(jié)合圖象可知絲+'=H+2E/￡Z,所以G=2+8左水￡Z,

436

2兀兀

又工〉工,—〉一

所以co2,解得0<@<4,所以G=2,故C正確;

24

口〉0

所以/(x)=2sin|2x+|J,則小2sin2^兀

+—=2sin2x為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤;

/(%)是周期函數(shù)，且最小正周期7=m=兀，故D正確.

故選：ACD

11.設(shè)函數(shù)/(%)=［%］的函數(shù)值表示不超過(guò)尤的最大整數(shù)，則在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/(x)的圖

象與圓(尤—t)2+(y+/)2=2/(r>0)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，易知該圓過(guò)原點(diǎn)，作出函數(shù)/⑴在xe[-3,3)的圖象，結(jié)合圖形分析,

即可求解.

【詳解】由。T)2+(y+f)2=2/(/>()),得該圓心為億T),半徑為衣,

易知該圓過(guò)原點(diǎn)，由/(%)=[劃，當(dāng)xe[—3,3)時(shí),

—3,—3Wx<—2

-2,-2<x<-l

—1,—1Vx<0

得/⑴='作出函數(shù)1的圖象,如圖，

1,1<%<2

2,2<x<3

由圖可知，當(dāng)0(/時(shí)，圓與函數(shù)/(丈)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

2

當(dāng)/=工時(shí)，圓與函數(shù)/(X)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，

2

當(dāng);<區(qū)|時(shí)，圓與函數(shù)/(力的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)]時(shí)，圓與函數(shù)/3的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

根據(jù)圓與函數(shù)/(刈的對(duì)稱性，后續(xù)交點(diǎn)情況類比即可.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于理解取整函數(shù)的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析圓與函數(shù)人元)

圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知樣本X],矛2，工3的平均數(shù)為2，方差為1，則X；,X；,片的平均數(shù)為.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義建立方程組，解之即可求解.

【詳解】由題意知，Xi+L+L=2,所以%+%+%=6,

由（為―2）2+（/—2）+（三-2）2=],得x；+X；+*=15,

3

所以冊(cè)+達(dá)+三=5.

3

故答案為：5

13.己知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為行，則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

【答案】8兀

【解析】

【分析】借助過(guò)圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長(zhǎng)，即可求出圓錐表面積.

【詳解】由題過(guò)圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為/7,母線長(zhǎng)為/,

則在三角形中有三+形=/2,即在+2=/2①，

又由SDOSO[B得鳥=吐q,即/=②，

rI

所以由①②得I=3\/2,%=4,

所以圓錐的表面積為S=S底+S=兀/2+兀力=2兀+6兀=8兀.

故答案為：871.

14.已知△ABC中，tanO=3tan￡,雙曲線E以8,C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則E兩條漸近線的夾角為

22

AC

；tan—+tan—的取值范圍為

22

P+1

【答案】①.|②.------,+oo

I3J

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足/的位置，再由tanO=3tan￡得到雙曲線中

22

七仇c的關(guān)系，即可得到漸近線的夾角；根據(jù)tanO=3tan￡對(duì)所求式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)基本不等式求得

22

范圍即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2“，虛軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c.

設(shè)一ABC的內(nèi)心為/,過(guò)點(diǎn)/向三邊作垂線，垂足分別為4,N,P.

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，|AP|=|AN|,15Pl=||,|CM|=|CN|,

又因?yàn)殡p曲線E以8,C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

所以MC—|A邳=2a,即||⑷V|+|QV|一|陰—忸）=m-忸?||=||CM|-|BM||=2a,

因?yàn)閠an0=3tanC,所以所以|AC|>|AB|,

22

所以點(diǎn)A在雙曲線的左支上，所以|CM|—|3|=26

而|CM|+|5M|=2c,

所以|CM\=c+a,|BM|=c-a,

所以M為雙曲線的左頂點(diǎn).

…BMICMlr

所以tan一二---二,tan—二----------

2MBc-a2MCc+a

rrc

所以——=3——,即一二2,

c-ac+aa

所以2=6,漸近線的傾斜角為g,

a3

所以兩條漸近線的夾角為A.

l-tan^tan^l-3tan^

A113C

又因?yàn)閠an—=tan222------77—tan——,

22B+CBC,CC42

tan—tan——btan—4tan一4tan—

22222

AC11C

tan——I-tan——=+—tan——

所以22，C42，

4tan一

2

而tangw0,

11Cy/3

FKi、i------”H—tan—〉—

所以C423-

4tan—

2

故答案為：—

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)和三角形的最值.本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)tanO=3tanC作

22

出三角形的內(nèi)心，從而根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)和雙曲線的定義進(jìn)行求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，三棱柱ABC-4與￡中，側(cè)面底面ABC,且=A^B^A^C.

(1)證明：A4，平面ABC；

⑵若A4,=BC=2,NB4c=90。，求平面ABC與平面ABC1夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【解析】

【分析】(1)取8c的中點(diǎn)連結(jié)MA、加4,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定理得6C1平面

A.MA,進(jìn)而由AAB]B得B]B八BC,再證明用8，平面ABC即可得證.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于43的垂面，從而得出二面角的

平面角再進(jìn)行求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

取8C的中點(diǎn)連結(jié)MA、MAX.

因?yàn)锳B=AC,AXB=\C,所以BCL\M,

由于AM,A"u平面且AMcA"=A/,

因此平面

因?yàn)?Au平面AM4,所以

又因?yàn)锳AB]B,所以48ABC,

因?yàn)槠矫鍮BCC，平面ABC,平面BBCC。平面A5C=5C,且用Bu平面8月CO,所以用8J.平面

ABC,

因?yàn)锳AB]B,所以平面ABC.

【小問(wèn)2詳解】

法一：因?yàn)镹B4C=90°,且BC=2,所以AB=AC=J^.

以AB,AC,AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A（0,0,2）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,Ct（0,V2,2）.

所以43=（四,0,—2）,4。=（0,后,—2）,4。；=倒,后,0）.

/、m-AB=0yjlxi-2z1=0

設(shè)平面ABC的法向量為機(jī)=（%,x，zj,貝4可得《

\m-\C-00M-2Z]=0

令4=1,則77l=（C,&,1）,

/、n-AB=0A/2X-2Z=0

設(shè)平面43G法向量為〃=（程%*2），貝叫:可得《22

〃?AG=o^2y2=0

令Z2=1,則”=（夜,0,1）,

\m-n\3J15

設(shè)平面ABC與平面ABC1夾角為氏貝UCOS6=^^=T-尸=?

|m||n|V5xV35

所以平面A.BC與平面\BCX夾角的余弦值為邊5.

5

法二：將直三棱柱A3C-4與。1補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABDC—44AG-

連接G。，過(guò)點(diǎn)C作CP，G。，垂足為P,再過(guò)P作PQ^AB,垂足為0,連接CQ,

因?yàn)?D/平面CD2G，且CPU平面CDRG，

所以BDLCP,

又因?yàn)镃P，G。，由于BD，￡。<=平面A3Z）G，且3Z>C[D=D,

所以CP_L平面ABOG，則..CPQ為直角三角形,

由于45u平面ABDC],所以A3LCP,

因?yàn)镃P,「。匚平面”。，且CPPQ=P,所以45,平面CP。，

因?yàn)镃Qu平面CPQ,所以CQ^AB,

則/CQP為平面ABC與平面的夾角或補(bǔ)角，

在ABC中，由等面積法可得。0=等，

因?yàn)镻Q=AG=0，所以COSNCQP=0^=史，

CQ5

因此平面\BC與平面ABQ夾角的余弦值為巫.

5

16.己知函數(shù)/(x)=(ax+l)e',/'(x)是/(%)的導(dǎo)函數(shù)，l./,(x)-/(x)=2ex.

(1)若曲線y=/(x)在x=0處的切線為丫=履+6,求左，6的值；

(2)在(1)的條件下，證明：f(x)>kx+b.

【答案】(1)k=3,b=l；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得。的值，再由導(dǎo)數(shù)意義可求切線，得到答案；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+l)e*-3x-1,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性從而求出最小值大于o,可得證.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=(av+l)e",所以/'(x)=(av+a+l)e',

因?yàn)镴'(x)—〃x)=2e1所以a=2.

則曲線y=/(x)在點(diǎn)x=0處的切線斜率為/'(0)=3.

又因?yàn)?0)=1,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)％=0處的切線方程為丁=3x+1,

即得左=3,b=l.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+l)e"xeR,

貝i]g，(x)=(2x+3)e'-3,

設(shè)/z(x)=g'(x),貝！]〃(x)=e*(2x+5),

所以，當(dāng)x〉—g時(shí)，〃(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增.

又因?yàn)間'(O)=O，

所以，x>0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

—■|<x<0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減.

又當(dāng)x<—g時(shí)，g'(x)=(2x+3)e、—3<0,

綜上g(力在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+“)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得最小值g(0)=0,

即(2x+l)e，-3x-1N0,

所以，當(dāng)xeR時(shí)，/(x)>3^+l.

17.某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號(hào)的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過(guò)調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)

現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這

兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這3個(gè)零件中來(lái)自甲工廠的個(gè)數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)為了爭(zhēng)取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲工廠提高質(zhì)量指

標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設(shè)事件A="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件5="該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知0<P(8)<l,證明：P(A\B)>P(A\B).

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)設(shè)出甲乙兩廠零件數(shù)，表示事件發(fā)生的概率，由題意知X服從二項(xiàng)分布，寫出分布列和期望

即可.

（2）因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提

高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，即P（3|A）＞P（司Z）,化簡(jiǎn)變形即可證

得.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件，

事件"混合放在一起零件來(lái)自甲工廠"，事件N="混合放在一起零件來(lái)自乙工廠“，事件C="混合放

在一起的某一零件是合格品”，

則尸=P(N)=—

m+nm+n

P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)

rnY!

=94%x------+98%x-------=97%,

m+nm+n

計(jì)算得3根二〃.

所以P(M)="-=L.

m+n4

X的可能取值為0,1,2,3,

E(xf，

P(X=2)=C(J圖啥p(x=3)=C咱閭

所以，X的分布列為：

X0123

272791

P

64646464

【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在

甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，

所以43同＞網(wǎng)同可.

3厘

P（A）P（I）?

因?yàn)镻（A）＞0,P（A）＞0,

所以P（AB）P（A）＞P（AB）P（A）.

因?yàn)镻（可=1—P（A）,P^ABj=P（B）-P（AB）,

所以P（—P（A））＞（P（5）—P（AB））P（A）.

即得尸（AB）＞尸（A）尸（5）,

所以P（AB）-P（AB）P（B）＞P（A）P（B）-P（AB）P（B）.

即P（AB）（1-P（B））＞P（B）（P（A）-P（AB））.

又因?yàn)?-P（B）=P⑻,P（A）-P（AB）=P（AB）,

所以P（AB）P回＞P（B）P（通）.

因?yàn)?〈尸（5）＜1,O＜P（B）＜1,

所以尸（叫尸（間

所以M麗.

即得證P（A忸）＞P（A同.

18.設(shè)拋物線C：犬=2py（。＞0）,直線/：y=H+2交C于A,8兩點(diǎn).過(guò)原點(diǎn)。作/的垂線，交直

線y=-2于點(diǎn)對(duì)任意ZeR,直線AM,AB,8M的斜率成等差數(shù)列.

（1）求C的方程；

（2）若直線/'/〃，且/'與C相切于點(diǎn)N,證明：的面積不小于2夜.

【答案】（1）%2=4y；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，分左=0與左W0代入計(jì)算，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，再

由等差中項(xiàng)的定義列出方程，即可得到結(jié)果；

（2）方法一：聯(lián)立直線/'與拋物線的方程，表示出A3中點(diǎn)E的坐標(biāo)，再由點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線可得△AMN

面積為△蚪面積吟，結(jié)合三角形的面積公式代入計(jì)算，即可證明；方法二聯(lián)立直線/,與拋物線的方

程，再由A=0,得〃=-左2,點(diǎn)N（2￡F）,即可得到直線MN與無(wú)軸垂直，再由三角形的面積公式代入

計(jì)算，即可證明.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)5（%，%），

由題可知，當(dāng)左=0時(shí)，顯然有心用+左則=0；

當(dāng)左W0時(shí)，直線OM的方程為丁=—Lx,點(diǎn)M（2左2）.

k

聯(lián)立直線A8與C的方程得犬-20fcc-4/?=O,A=4p2左2+16p〉0,

所以為+%=2pk,xtx2=-4p,

因?yàn)橹本€AM,AB,的斜率成等差數(shù)列,

M+2?%+2

所以=2k

石-2kx2-2k

即空|+y=2%，（bq+4）（X2—2左）+（仇+4）（七一2左）

二2左，

玉—2KX2-2k

化簡(jiǎn)得2伍2+2）（%+電—4左）=0.

將％+%=2必代入上式得2（產(chǎn)+2）（2p4-4左）=0,

則P=2,

所以曲線C的方程為d=4y.

【小問(wèn)2詳解】

（法一）設(shè)直線/'：y^kx+n,聯(lián)立C的方程，得丁―4乙_4/=0.

由A=0,得〃=—左2,點(diǎn)N（24#2）,

設(shè)AB的中點(diǎn)為E,

因?yàn)槭?&=2左，&=M%+X2）+4=2）+2,則點(diǎn)42匕2左2+2）.

222v7

中斗242+2—2,

因?yàn)?---------=k2,

2

所以點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)N為ME的中點(diǎn)，

所以面積為面積的工.

4

2k2+4

記△AMN的面積為S,點(diǎn)M（2左2）到直線AB：依―y+2=。的距離d=詬二,

11I------/（2左1+4）/、2,-

v722

所以S=w|A@xd=w，l+左2、J（石+赴）一一4七々x^2=（Z:+2）>2V2,

當(dāng)左=0時(shí)，等號(hào)成立.所以命題得證.

（法二）設(shè)直線/'：y^kx+n,聯(lián)立C的方程，得了2—4依—4"=0.

由A=0,得〃=—左2,點(diǎn)N（24#2）.

所以直線MN與x軸垂直.

記的面積為S,

=（產(chǎn)+2）乏20?

當(dāng)左=0時(shí)，等號(hào)成立.

所以命題得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵采用設(shè)線法，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)相切求出N（24收2）,再得出

E（2k,2k2+2）,最后計(jì)算出