福建省三明市2024屆高三年級下冊5月質(zhì)量檢測（三模）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

福建省三明市2024屆高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測（三模）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.直線/:y=x+2與圓/+,2=4相交于兩點，則）

A.&B.2&C.2D.4

2.已知瓦。分別為△ABC三個內(nèi)角A民C的對邊,。=3,沙=^/§7,c=7,則A+C的值

為（）

A.-B.-C.—D.—

6336

3.隨機(jī)變量函數(shù)4x+j沒有零點的概率是:，則〃的值為（）

D.4

A.c>a>>B.b>aC，a>b>cD.b>c>a

5.各種不同的進(jìn)制在生活中隨處可見，計算機(jī)使用的是二進(jìn)制，數(shù)學(xué)運算一般使用的是

十進(jìn)制，任何進(jìn)制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，如八進(jìn)制數(shù)（3750）8轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的算法為

3x8^+7x82+5x81+0x8。=2024?若將八進(jìn)制數(shù)7737轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù),則轉(zhuǎn)換后的數(shù)

6不7

的末位數(shù)字是（）

A.3B.4C.5D.6

6.函數(shù)/（x）=sin（（yx+9）（（y>0,0<兀）的部分圖象如圖所示，其中A,B兩點為圖象與

x軸的交點，。為圖象的最高點，且△ABC是等腰直角三角形，若03=-3。4,則向量AO在

向量AC上的投影向量的坐標(biāo)為（）

7.已知拋物線x2=2py（p〉0）的焦點為E第一象限的兩點A,B在拋物線上,且滿足

\AF\-\BF\^3,\AB\=342.若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,則p的值為（）

A.2B.3C.4D.5

8.已知函數(shù)/（x）=e——eJ+%3-3x2+3x,若實數(shù)滿足/（3%2）+/（2/-4）=2，則

x+y的最大值為（）

A.lB正C.J5D.叵

23

二、多項選擇題

9.i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）

A.12024=_]

B.若°=—工—且i，貝|102=石

22

C.若忖=l,zeC,則|z-2|的最小值為1

D.若-4+3i是關(guān)于x的方程/+px+q=Q（^p,qeR）的根，則q=7

10.假設(shè)甲袋中有3個紅球和2個白球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取

2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.下列選項正確的是（）

A.從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為3

5

B.從甲，乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為上

20

C.從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為衛(wèi)

150

D.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為身

37

11.在棱長為2的正方體ABCD-A4GA中￡凡6分別為AB,BCG。]的中點，則下列

說法正確的是（）

A.若點P在正方體的表面上，且PE.pG=0,則點P的軌跡長度為24兀

B.若三棱錐F-GCE的所有頂點都在球0的表面上，則球O的表面積為14兀

C.過點E,F,D1的平面截正方體ABC。-44G2所得截面多邊形的周長為0+2萬

D.若用一張正方形的紙把此正方體完全包住，不考慮紙的厚度，不將紙撕開，則所需紙的

面積的最小值為32

三、填空題

12.已知從小到大排列的一組數(shù)據(jù):1,5,a,10,11,13,15,21,42,57,若這組數(shù)據(jù)的極差是其第

30百分位數(shù)的7倍，則a的值為.

13.已知關(guān)于X的不等式(1-數(shù))[%2—(左+3卜+9]<0對任意]?0,內(nèi))均成立,則實數(shù)

上的取值范圍為.

14.記N；={1,2,3,，加}(meN*),4表示左個元素的有限集,S(E)表示非空數(shù)集E中所

有元素的和，若集合此^={5(4)14口則監(jiān),3=，若S(%2"817,則機(jī)的最

小值為.

四、解答題

15.如圖，多面體以BCD中,△P5D和△CB￡>均為等邊三角形，平面平面

PBD，BD=2，PC=4i

(1)求證：8￡>_1尸。；

(2)求平面A3。與平面P3C夾角的余弦值.

16.已知函數(shù)/(x)=sins+cos[ox+W(其中0>0)其中圖象的兩條相鄰對稱軸間的

距離為巴

2

(1)若“X)在(0,加)上有最大值無最小值，求實數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移石個單位長度;再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/p>

6

的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到g(x)的圖象，設(shè)/z(x)=且(%)+^],求/?(%)在(-2匹1)的極大值點.

17.某校開設(shè)勞動教育課程，為了有效推動課程實施,學(xué)校開展勞動課程知識問答競賽，

現(xiàn)有家政，園藝，民族工藝三類問題海量題庫,其中家政類占L園藝類占L民族工藝類占

44

L根據(jù)以往答題經(jīng)驗，選手甲答對家政類，園藝類,民族工藝類題目的概率分別為2,工」,

2555

選手乙答對這三類題目的概率均為上

2

（1）求隨機(jī)任選1題，甲答對的概率；

（2）現(xiàn)進(jìn)行甲,乙雙人對抗賽，規(guī)則如下:兩位選手進(jìn)行三輪答題比賽，每輪只出1道題目,

比賽時兩位選手同時回答這道題，若一人答對且另一人答錯，則答對者得1分，答錯者得

—1分，若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分,累計得分為正者將獲得獎品，且兩位選手

答對與否互不影響,每次答題的結(jié)果也互不影響，求甲獲得獎品的概率.

18.已知數(shù)列｛叫滿足的.—.%=（小廣，“GN*.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為臬,若不等式14WS：對任意的〃eN*恒成立，求

實數(shù)/的取值范圍；

（3）記求證:窄+^^++^±L<V2（neN*）.

10g2d瓜瓶蘇'，

19.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，有真命題:函數(shù)y=M+'（w20,〃>0）的圖象是雙曲線,

X

其漸近線分別為直線>=儂和y軸.例如雙曲線y=&的漸近線分別為x軸和y軸，可將

X

其圖象繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)N得到雙曲線d—y2=8的圖象.

4-

（1）求雙曲線丁=工的離心率；

X

（2）已知曲線E：x2—y2=2,過E上一點P作切線分別交兩條漸近線于A乃兩點，試探

究△496面積是否為定值，若是，則求出該定值;若不是，則說明理由；

（3）已知函數(shù)丫=3％+走的圖象為「，直線/：%+6丫_3=0，過/（1,我的直線與「

-32x

在第一象限交于兩點，過M,N作I的垂線，垂足分別為C,。,直線MD,NC交于點H,

求面積的最小值.

參考答案

1.答案：B

解析：由已知圓d+丁=4,圓心為（0,0）泮徑r=2

2

所以圓心到直線/:y=x+2距離”=

"+(T)2

所以|=2，以—儲=2夜

故選:B

2.答案：C

解析：在△一（7中,由余弦定理得COSB=-+C2-'='+72-（歷）j=j_

lac2x3x72

而O<5<兀，則B=2■，所以A+C=2^-

33

故選:C

3.答案：D

解析：由函數(shù)/（x）=x2-4x+J沒有零點，得A=16-44<0,;4〉4,

函數(shù)/（x）=x2-4尤+彳沒有零點的概率是:，即P（J>4）=；,

結(jié)合《~N（N，/），可知〃=4,

故選:D

4.答案：A

2

解析：由題意得a/二丫

I3J

由于y=，在?+8）上單調(diào)遞增，故1=一

12

lo

而y=§2X在(0,+OO)上單調(diào)遞減，故c=log2->log2-=l,

33333

故c>a>5,

故選:A

5.答案：A

解析:777=7x85+7x8'+7x83+7x8?+7x81+7x8°

<6個7人

=7X(85+84+83+82+81+8°)

=7X^—^-=86-1=(10-2)6-1

1-8''

=C°-106+C^-105-(-2)1++-IO1-(-2)5+C?-10°-(-2)6-1

=10x[C°-105+C；-104?(—2)i++C|-10°-(-2)5]+C?-10°-(-2)6-1

因為lOx[C/l()5+C.ioy_2)i++c>10。.(-2)5]是10的倍數(shù)，

所以換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為C/10°?(-2)6—1的末位數(shù)字，

由C/1。°?(-2)6-1=64-1=63，末位數(shù)字為3,

故選:A.

6.答案：B

解析：為」義@=工，則卜則=工,過點C作8,至于點。，

22CDCD11(7?

因為△ABC是等腰直角三角形，所^X\AD\=\BD\=\CD\,ZCAD=(,

因為y(x)最大值為I,所以2L=1,解得&=2，

2a)2

所以A=,則AO=,AC=(1,1),

則AO在AC上的投影向量的坐標(biāo)為：|A0|cosNC4D

故選:B.

7.答案：B

解析：設(shè)4(%,%),鳳孫％)，由|附-網(wǎng)=3得卜+￡]-卜2+￡)=3,

即得x-%=3；

又|陰=l+/x|%-%|=3日,解得心=1,

Y《AB

由于A,B在第一象限內(nèi)，故的B=1，

X；%；

貝"左X_2p2?！?+」「］,

x2-xrx2-x12p

而線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,則石+々=6,

故=1=3,

2P

故選:B

8.答案：C

解析：/(x+l)=ev-e^+(x+l)3-3(x+l)2+3(x+l)=ex-e^+x3+b

/(-x+1)=e'-e'+(-x+l)3-3(-x+l)'+3(-x+l)=e-*-e*-%3+1.

則/(X+1)+/(T+1)=2,

又因為/(3/)+/(2/—4)=2,

所以3/+2/—4=2,即3/+2>2=6,

設(shè)x+y=/,

則直線x+y=/與橢圓3/+2/=6有交點，

聯(lián)立<二2"2一得5%2一4比+2/一6=0，

3廠+2y=6

則八二⑹?—20(2/—6”0,解得_君與〈君，

所以x+y的最大值為右.

故選:c.

9.答案：BC

解析：對于A,i2。24=02)皿2=(—4。12=],故A錯誤；

對于B,若&=」_走3

22

則"—=—jk+2/Ei=0,故B正確；

I22J22

對于C,設(shè)z=x+_yi(x,yeR),

由忖=1,得yjx2+y2=1,即V=l-x?20,所以—1<x<1,

則匕-2|=J(x_21+/=yjx2-4x+4+l-x2=J-4x+5e[1,3卜

所以|z-2|最小值為1,故C正確；

對于D,若-4+3i是關(guān)于x的方程/+px+q=U(p,qGR)的根，

則-4-3i也是關(guān)于%的方程/+px+q=0(p,qeR)的根，

所以(-4+3i)(-4-3i)=q=25,故D錯誤.

故選:BC.

10.答案：ACD

解析：從甲袋中取出2個球有i個紅球的事件為A，i=o,1,2,從乙袋中取出2個球紅球

的事件為B,

C21cIC13C23

「(4)=十一，尸(4)=_^=_，尸(4)7=一，

“c；ioc|5c；10

C21C21C29

尸⑻4)=音=用，尸⑻A)=芭=/(例4)=百?下

對于A,從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為P(A)=|,A正確；

對于B,從甲,乙兩袋中取出2個球均為紅球的概率為P(4)P(3|4)=[X|W，B錯

誤；

對于C,從乙袋中取出的2個球是紅球的概率

2113139^7

P(B)=yP(A)P(B|A)=—X—+-X-+—x-=—,Cj￡^;

金101555105150

對于D,從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率

32

。(外為P(H4)P(4)10、5>18口正確

P(4|B)=

P(B)-P(B)一衛(wèi)―37’

150

故選:ACD

11.答案：BCD

解析：A選項，因為p￡\pG=0,所以P在以EG為直徑的球面上,又因為E,G分別是AB

和GA的中點，結(jié)合棱切球與各個面的交點為各條棱的中點，得到該球是正方體的棱切球,

又由P在正方體的表面上，所以P的軌跡為6個半徑為1的圓，所以P的軌跡長度為

6x2兀=12兀，故A錯誤；

B選項，即求三棱錐F-QCE即C-CEF的外接球，

在ACEF中,由余弦定理得cosZCEF=EC?EF—可=5+2-1=W10,

2ECEF2-V5-V210

CF_1_

所以sinNCEE=@^■，由正弦定理得碇壽=前="，其中『是△0￡■戶外接

10次

圓半徑，所以廠=巫，

2

因為側(cè)棱C￡1面CEE所以外接球半徑R2=/+=g+i=g所以球。的表面積

7

為4萬玄=21義—=14乃，故B正確;

2

C選項，如圖

延長FE交DA的延長線于點P,可得到EEB=EPA，所以AP=BF=1，

AnApi

連接交AA］于點。，由△PAQ△AAQ得若?=方7=7,所以。是AA|上靠近A的

三等分點，

連接DXQ，作FR//D.Q交Cq于點尺則R是靠近C的三等分點，連接D.R，則五邊形

EFRD.Q即為所求截面，

所以周長為尸￡+￡0+0。］+。m+7?/=挺+半+^1+^1+半=行+2而，故?

正確；

D選項,

由正方體的側(cè)面展開圖,結(jié)合上圖可以看出五個正方形及上下左右四個三角形組成一個

正方形，

可知要想把正方體完全包住，正方形PSQT即為所求正方形，

對角線長為1+2+2+2+1=8,所以面積為工義8義8=32,故D正確；

2

故選:BCD.

12.答案：6

解析：由題意知這組數(shù)據(jù)的極差是57-1=56,

由于辦3。%=3,故第3。百分位數(shù)為等,

。+10

故56=7義，.二〃=6,

2

故答案為：6

13.答案：1,3

e

解析：當(dāng)X_kex<0對任意尤e（0,長0）均成立時,

則上2三對任意尤e（O,+oo）均成立，

e

令/（x）=[（x>0），則/'（x）=?，

CC

當(dāng)0<x<l時,/'（力>0,當(dāng)x>l時,/'（力<0,

所以函數(shù)“X）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,收）上單調(diào)遞減，

所以/"Lx"⑴一

所以％」，

e

當(dāng)f—仕+3）%+9?0對任意xe（0,+oo）均成立時，

貝I」左+34工±2=》+2對任意%€（0,包）均成立時，

XX

因為X+2N2、15=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=A即％=3時取等號，

X\XX

所以（x+2]=6,

IXjmin

所以左+3W6,所以4W3,

所以，當(dāng)X—芯工W0且12—（上+3）x+9N0對任意xe（O,w）均成立時,

左》—且左<3,即左e—,3；

eL.e_

當(dāng)x-kex20且/一（左+3）x+9W0對任意xe（0,+co）均成立時，

即女且4+32%+2對任意X￡（0,+cO）均成立時，

因為x+2在x￡（0,+co）上無最大值，

X

所以此時沒有上滿足，

綜上,實數(shù)上的取值范圍為3.

e

故答案為:「士3.

e

14.答案：［6,7,8,9）,21

解析：當(dāng)機(jī)=4,k=3時,N；={1,2,3,4},4表示3個元素的有限集，

由A=N：可知&=U，2,3}或4={1,2,4}或4="3,4}或&={2,3,4},

故A/4,3={6,7,8,9};

由題意知2={3,4,5,

故由S（河心）2817可得"T-2a3+2-T）2817,即（2m-3）（m+l）＞817,

解得機(jī)＞1+庭的=21或小1—賓麗（舍去），

44

結(jié)合機(jī)eN*，故機(jī)的最小值為21,

故答案為:{6,7,8,9}；21

15.答案：（1）證明見解析

⑵叵

13

解析：（1）證明:取3。的中點M連接

因為2BD和ACBD均為等邊三角形，故應(yīng)）J_，CM,

而PMCM=M,PM,CMu平面CPM,

故BD_L平面CPM,PCu平面CPM,

故B￡），PC；

（2）以〃為坐標(biāo)原點，以所在直線為x，y軸，過點〃作平面BCD的垂線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

z

A

平面ABD_L平面P3D,平面平面PBD=8D，PA/u平面尸瓦),

J_PM，故PW，平面AB。，

△PBD和△CBD均為等邊三角形,8。=2，PC=6，

.-.PM=MC=PC=g，NPMC=60。，

：.P0,—,C(O,73,O),B(I,O,O),

BP=[-1,—=(-1,^3,Q),MP=[o,—,-

l22J,)I22J

設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,%Z),

_3A_A

m-BP-0X+y+Z

「?<，~^2~，令y="，貝1根=(3,百,1)，

m-BC=0—x+yfiy=0

平面AB。的法向量可取為MP=0，#，|，

設(shè)平面ABD與平面PBC夾角為，，

〃//\MPm?3A/39

二.cos，=cos(MP,m)=-----=\—F=~~T=-------，

'/MP\N^m73-71313

故平面ABD與平面PBC夾角的余弦值為叵.

13

16.答案：(1)f—

U212

(2)—色和生

33

解析：(1)/(%)=gsin(yx+等71

coscox-sina)x+—(0>0)

3

因為圖象相鄰對稱軸間距離為巴,

2

所以周期丁=2義二=兀，即。=a=2,

2T

因止匕f(x)=sinQx+g］，

當(dāng)xw(O,加)時,2x+^￡［三，2加+。)

若/(%)在(0,rri)有最大值無最小值,由正弦函數(shù)圖象得

只需、＜2加+?后,解得凱山哈

即機(jī)的取值范圍為［三,乂

【1212

(2)將/Xx)的圖象向右平移四個單位得y=sin2x--+-=sin2x

6|_v6J3_

再將圖象所有點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍得g(x)=sinx,

所以h(x)=g(x)+微=sin%：

hr(x)=cosx+—(一2?,7T)

2

令〃(x)=0得cos%=-L

2

解得X一%或X=_&或X=&,

333

當(dāng)xe1—2肛—『J時,〃(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe[―事，一g1時,〃(x)<。，mx)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe時，〃(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe1年,兀]時,//(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

所以h'(x)的極大值點為-些和—.

33

17.答案：(1)-

5

(2)于

1000

解析：(1)記隨機(jī)任選1題為家政，園藝，民族工藝試題分別為事件41=1,2,3),

記隨機(jī)任選1題,甲答對為事件B,

則

1111224

P(A1)=-,P(A2)=-,P(A2)=-，P(A3)=-,P(BIA1)=-,P(BIA2)=-,P(BIA3)=~,

rr乙JJJ

則尸(§)=尸(A)尸(HA)+P(4)尸(為4)+尸(4)尸(514)

(2)設(shè)乙答對記為事件C,則尸(C)=P(/h)p(ciA)+p(4)p(ci4)T

1111111

=—x—+—X—+—X—=—,

4242222

設(shè)每一輪比賽中甲得分為X,

則P(X=l)=P(3e)=P(3)P(e)=|x[l-磊

p(X=0)=P(5ClBC)=P(BC)+P(CB)=2+1汨1.",

P(X=-l)=P(BC)=^l-|^x1=j,

三輪比賽后，設(shè)甲總得分為匕

2

則尸(1)二島$0,尸廠2)Ymxi.2i,

UOj2200

2

P(y=i)=clxAxg+c|x(gx|=279

looo5

所以甲最終獲得獎品的概率為

273+咨*.

p=p(y=3)+p(y=2)+p(y=i)=iooo

20010001000

18.答案：(1)4=2"

-25'

（2）-9,—

_3_

（3）證明見解析

解析：⑴當(dāng)”=1時,q=（行y=2,

當(dāng)心2時,4=49%一1見=心）":=（/產(chǎn)=2",〃=1時成立,

心出，明（忘）（"T+"T

所以%=2".

（2）由4=2"得，S“=2。-5）=2"+1一2,顯然〃eN*時,S”單調(diào)遞增,5〃>H=2,

由（-1/X-14。得

又黑±￥=sn+li>2&Z，當(dāng)且僅當(dāng)s“=U時，即sn=歷時等號成立,

S"S"sn"

=

因為S]=2,邑=6，乂=14，S[<+-9,S2+--=--,S3+=15>§+—,

O]J2D

所以當(dāng)〃=1時,(-l〃1WH+1?4=9,解得9,

當(dāng)7=2時,(-1)2t<S2+—=k,解得/'W—,

S233

所以/J_9,竺.

j____i_

(3)證明:由(i)得2=丁'=1'1

aV2n(n+1)

log2nlog22一

141V2V2

——,---------=-----------------=---------------------------------<,------------------

V2n(n+1)2^/^(〃+1)y[n(ji+1)+y/n(n+1)小/兀斤+^/^(〃+1)

^2^2Qri+1—

冊力+1(〃+J〃+l)A/HA/H+I

LLrt一仇"一仇”一,i

所以號=!+.+”1+1

(2)是定值2

(3)B

12

解析：(1)設(shè)雙曲線丁=工的實軸長為2a>0,虛軸長為2b>0,

因為雙曲線y=工的兩條漸近線為X軸和y軸，

X

所以兩漸近線之間的夾角為巴，所以a=b,

2

所以e=￡=、區(qū)”=萬

a\a

(2)不妨設(shè)P(見孔)是雙曲線E:%2y2=2在第一象限的點，則

2，—X

m>n>y/2，府-n=2,ri=J療-2,丁一77^’

則過點P的切線方程為:y-n=^==(x-m)=-(x-/n),gpy=%》一"

vm2-2〃nn

mm2(mm2

與雙曲線漸近線y=土x聯(lián)立，即\y=~-x-------\-ny=—x-------\-n

nqn"，

y=r

解得X=工或戶工，

m—nm+n

設(shè)/工，。-上,——]

，則

\m-nm—n)\m+nm+n)

>5|=1—Y+f--T=^~

MT+f—T=-

=\\mJ—