八省八校(T8聯(lián)考)2022屆高三年級上冊第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含詳解

八省八校(T8聯(lián)考)2022屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)OER,則“0〈0〈W”是"0<sin。〈且”的()

32

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2.已知z=37T+2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.設(shè)a］為非零向量，eR,則下列命題為真命題的是()

A.若a.(a-3)=0,貝！=BB.若3=蘇，則⑷+⑻=|a+"

C.若=則4=〃=0D.若貝！J(a+石).(0-旬>0

4.已知函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=2"的圖象關(guān)于直線丁=》對稱，g(無)為奇函數(shù)，

且當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=f(x)-x,則g(-8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

5.如圖，拋物線C:/=4尤的焦點(diǎn)為F，直線/與C相交于4,8兩點(diǎn)，/與y軸相交

于￡點(diǎn).已知M尸|=7,|8尸|=3,記A/EF的面積為1,廠的面積為邑，貝lj()

A.S]=2星B.2511=3S2C.=352D.35[=4S2

6.已知tan20。+2cos70。=3,則2的值為（）

A.V3B.2百C.3A/3D.473

試卷第1頁，共22頁

7.如圖，已知四棱柱N8CD-44GA的底面為平行四邊形，E,F,G分別為棱

/4，cc“G2的中點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是（）

A.直線3G與平面E尸G平行，直線與平面E廠G相交

B.直線8G與平面EBG相交，直線與平面EFG平行

C.直線8G、都與平面E尸G平行

D.直線3G、8。都與平面E尸G相交

8.設(shè)0,6都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若旌用+6<61116,貝I（）

A.ab>eB.b>e<1+1

C.ab<eD.b<ea+1

二、多選題

9.已知函數(shù)/00=不山（5+夕）［/>0,0>0,|夕|<力的部分圖象如圖所示，則（）

A./（x）的最小正周期為1

B./（x+j］為偶函數(shù)

試卷第2頁，共22頁

71

C.f（x）在區(qū)間o,—內(nèi)的最小值為1

_4_

D./（x）的圖象關(guān)于直線》=-等27r對稱

10.某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨(dú)”比賽（獨(dú)唱獨(dú)奏獨(dú)舞），由于疫情防控原因，比賽

現(xiàn)場只有9名教師評委給每位參賽選手評分，全校4000名學(xué)生通過在線直播觀看并網(wǎng)

絡(luò)評分，比賽評分采取10分制.某選手比賽后，現(xiàn)場9名教師原始評分中去掉一個(gè)最

高分和一個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分如下表.對學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分按［7,8）,［8,9）,［9,10］分

A.現(xiàn)場教師評委7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分的中位數(shù)相同

B.估計(jì)全校有1200名學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9）內(nèi)

C.在去掉最高分和最低分之前9名教師評委原始評分的極差一定大于0.7

D.從學(xué)生觀眾中隨機(jī)抽取10人，用頻率估計(jì)概率，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則

￡（X）=5

11.設(shè)雙曲線C：r-2=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片,鳥，點(diǎn)尸在C的右支上，

且不與C的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（）

A.若。=3,6=2,則C的兩條漸近線的方程是〉=±|工

B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,4后），則C的離心率大于3

C.若PFJPB，則△片柱的面積等于/

□

D.若。為等軸雙曲線，且歸用=2戶用，則cos"；/岑=（

12.在矩形48cD中，AB=2,AD=2C，沿對角線NC將矩形折成一個(gè)大小為。的二面

角5-NC-。，若cosO=；,則下列各選項(xiàng)正確的是（）

A.四面體48CD外接球的表面積為16萬

B.點(diǎn)2與點(diǎn)。之間的距離為2G

試卷第3頁，共22頁

C.四面體的體積為這

3

D.異面直線/C與AD所成的角為45°

三、填空題

13.設(shè)函數(shù)〃x)=ei+x3的圖象在點(diǎn)處的切線為/,則直線/在y軸上的截距為

14.已知的展開式中第3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則這個(gè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之

和為.(用數(shù)字作答)

15.數(shù)列｛4｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，稱為斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequence),

該數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契(Leonard。Fibonacci)以兔子繁

殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.在數(shù)學(xué)上斐波那契數(shù)列可表述為

at=a2=1,an=an_t+an_2｛n>3,?eN*).設(shè)該數(shù)列的前〃項(xiàng)和為，記出()23=機(jī)，則

^2021="(用m表示)

四、雙空題

16.在平面直角坐標(biāo)系中，若正方形的四條邊所在的直線分別經(jīng)過點(diǎn)

/(1,0),8(2,0),。(4,0),。(8,0),則這個(gè)正方形的面積可能為或.(每條橫

線上只填寫一個(gè)可能結(jié)果)

五、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=J^sin|_cos|'-cos21'+g.

(1)設(shè)g(x)=/(-X),求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)設(shè)的內(nèi)角/,B,。所對的邊分別為a,b,c,。為8C邊的中點(diǎn)，若

/(4)=；,.=6,求線段/D的長的取值范圍.

18.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為，，已知%=3,&=5%.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2,、

(2)設(shè)2=1+不，數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為定義田為不超過x的最大整數(shù)，例如

[0.3]=0,[1.5]=1.當(dāng)[見+%]+…+億]=63時(shí)，求〃的值.

試卷第4頁，共22頁

19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，平面尸48，平面ABCD,PB=AB,E為BC

的中點(diǎn).

(1)若/P胡=60。，證明：AE1.PD■,

(2)求直線NE與平面P/O所成角的余弦值的取值范圍.

20.設(shè)橢圓E:^+==l（a>6>0）,圓C:（x-2M2+（y-4加）2=l（加H0）,點(diǎn)耳,匕，

分別為￡的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)C為圓心，。為原點(diǎn)，線段。。的垂直平分線為/.己知￡的

離心率為點(diǎn)號(hào)耳關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)都在圓C上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)直線/與橢圓￡相交于/,8兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)相，使直線ZC與8C的

2

斜率之和為］?若存在，求實(shí)數(shù)〃?的值；若不存在，說明理由.

試卷第5頁，共22頁

21.元旦將至，學(xué)校文學(xué)社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽初賽階段

有個(gè)人晉級賽和團(tuán)體對決賽.個(gè)人晉級賽為“信息連線”題每位參賽者只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)

比賽規(guī)則為：電腦隨機(jī)紿出錯(cuò)亂排列的五句古詩詞和五條相關(guān)的詩詞背景（如詩詞題名、

詩詞作者等），要求參賽者將它們^-一配對，有三對或三對以上配對正確即可晉級.團(tuán)

體對決賽為“詩詞問答”題，為了比賽的廣泛性，要求以班級為單位，各班級團(tuán)隊(duì)的參賽

人數(shù)不少于30人，且參賽人數(shù)為偶數(shù)為了避免答題先后的干擾，當(dāng)一個(gè)班級團(tuán)隊(duì)全體

參賽者都答題完畢后，電腦會(huì)依次顯示各人的答題是否正確并按比賽規(guī)則裁定該班級團(tuán)

隊(duì)是否挑戰(zhàn)成功，參賽方式有如下兩種各班可自主選擇其中之一參賽.

方式一：將班級團(tuán)隊(duì)選派的2〃個(gè)人平均分成〃組，每組2人電腦隨機(jī)分配給同一組兩

個(gè)人一道相同試題，兩人同時(shí)獨(dú)立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組闖

關(guān)成功.若這"個(gè)小組都闖關(guān)成功，則該班級團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功.

方式二：將班級團(tuán)隊(duì)選派的2〃個(gè)人平均分成2組，每組“人電腦隨機(jī)分配給同一組〃

個(gè)人一道相同試題，各人同時(shí)獨(dú)立答題，若這〃個(gè)人都回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若

這2個(gè)小組至少有一個(gè)小組闖關(guān)成功則該班級團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功.

（1）甲同學(xué)參加個(gè)人晉級賽，他對電腦給出的五組信息有且只有一組能正確配對，其

余四組都只能隨機(jī)配對，求甲同學(xué)能晉級的概率；

（2）在團(tuán)體對決賽中，假設(shè)你班每位參賽同學(xué)對給出的試題回答正確的概率均為常數(shù)

p（0<p<l）,為使本班團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？說明你的

理由.

22.已知函數(shù)/（x）=alnx-sinx+無，其中a為非零常數(shù).

（1）若函數(shù)在（0,+⑹上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（2）設(shè)Oe］萬,1且cose=l+6sine,證明：當(dāng)。?sin。<〃<0時(shí)，函數(shù)在（0,2萬）

上恰有兩個(gè)極值點(diǎn).

試卷第6頁，共22頁

八省八校(T8聯(lián)考)2022屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

參考答案

1.【答案】A

【分析】

由三角函數(shù)的單調(diào)性直接判斷0〈。g是否能推出0<sin8(如，反過來判斷

32

0<sinO<@時(shí)，是否能推出

23

【詳解】

當(dāng)0<0〈￡時(shí)，利用正弦函數(shù)y=sinx的單調(diào)性知o<sinO<"；當(dāng)0<sin0<@時(shí)，

322

2k兀<0<2左〃+?(左GZ)或2左+<0<2kjr+7i(k￡Z).綜上可知“0<0<三”是

“0<sin。<且”的充分不必要條件.

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查判斷充分必要條件，三角函數(shù)的性質(zhì)，意在考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.

2.【答案】B

【分析】

由復(fù)數(shù)的乘除法法則求得Z后可得其對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而得象限.

【詳解】

因?yàn)閦=*72-1+21=iTT+2i=-2+3i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z(-2,3)

(1-0(1+1)

位于第二象限，

故選：B.

3.【答案】D

【分析】

根據(jù)向量垂直的數(shù)量積表示判斷A,由向量共線判斷BC,利用數(shù)量積的運(yùn)算判斷D.

【詳解】

對于A,a-(a-b)=0a±(a-b),結(jié)論不成立，命題為假；

對于B,當(dāng)"與3方向相反時(shí)，結(jié)論不成立，命題為假；

對于C,當(dāng)￡與后共線時(shí)，結(jié)論不成立，命題為假；

對于D,若內(nèi)>向,則曰2>|次,即片〉片,則/一片>0,所以

試卷第7頁，共22頁

(a+b)-(a-b)=a-b^>0>命題為真.

故選：D.

4.【答案】C

【分析】

先求出〃x)=logzx,再求出g(8)=-5即得解.

【詳解】

解：由已知，函數(shù)y=〃x)與函數(shù)>=2,互為反函數(shù)，則〃x)=log2X.

由題設(shè)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=log2x-x,jjl!jg(8)=log28-8=3-8=-5.

因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，所以g(-8)=-g⑻=5.

故選：C.

5.【答案】C

【分析】

分別過點(diǎn)4,2作/軸的垂線，垂足為4，耳，利用三角形相似結(jié)合拋物線的定義求解.

【詳解】

解：拋物線C的準(zhǔn)線方程為X=-1,分別過點(diǎn)45作V軸的垂線，垂足為4,4,

=*丫=回=馬=“一1上

=3,

'邑L\BE\,h\BE\BB\\BF\-\3-1

2

所以岳=3邑.

故選：C.

5f

…g…

6.【答案】D

試卷第8頁，共22頁

【分析】

切化弦后，由二倍角公式，兩角差的正弦公式化簡變形后可得.

【詳解】

由已知，^sin200+2sin20°=3,貝1>Asin20°+/Isin20°cos20°=3cos200,

cos20°

從而(sin40°=3cos200-Gsin20°=2Gsin(60°-20°)=2Gsin40°,所以2=46，

故選：D.

7.【答案】A

【分析】

取43的中點(diǎn)H,證明BQ〃HG,BQ〃平面跳'G即得證，再證明直線與平面E尸G

相交即得解.

【詳解】

解：取的中點(diǎn)則從而四邊形BCQa為平行四邊形，

所以5G〃//G.易知EH//GF,EH//GF,則四邊形EGFH為平行四邊形，

從而GHu平面E尸G.又BGZ平面E尸G,所以8G〃平面EBG.

易知BFHED、,BF=EDl,則四邊形跳為平行四邊形，從而3,與跖相交，

所以直線BD、與平面EFG相交.

故選：A.

8.【答案】B

【分析】

試卷第9頁，共22頁

把不等式進(jìn)行變形，引入函數(shù)〃x)=xlnx,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性及不等

關(guān)系得結(jié)論.

【詳解】

由已知，<6(ln6-l)=61n2,則e"Ine"<.

eee

設(shè)〃x)=xlnx,則/(/)</

因?yàn)椤ā?,則e“>l.又6(lnb—l)>0,b〉0,貝！jlnb〉l,即b〉e,從而一>1.

e

當(dāng)％>1時(shí)，/r(x)=lnx+l>0,則/(%)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以e"<2,即6>e"+1

e

故選：B.

9.【答案】AC

【分析】

由圖知，/(X)的最小正周期為7=",結(jié)論A正確；

求出/(x)=2sin(2x+J從而小+看]=2sin,x+^j不是偶函數(shù)，結(jié)論B錯(cuò)誤；

因?yàn)?0)=6，=則“X)在區(qū)間°，?內(nèi)的最小值為1，結(jié)論C正確；

因?yàn)閤=-號(hào)為/(X)的零點(diǎn)，不是最值點(diǎn)，結(jié)論D錯(cuò)誤.

【詳解】

解：由圖知，/(X)的最小正周期為7=4x|^|-|^=",結(jié)論A正確；

因?yàn)?。?2,4=2,則/(x)=2sin(2x+0).因?yàn)閤=g為%)在(0,+s)內(nèi)的最小零

點(diǎn)，則2x(+0=",得夕=.，所以〃x)=2sin(2x+。，從而

/"1)=2sin2,+6+:=2sin12r+畀不是偶函數(shù)，結(jié)論B錯(cuò)誤;

因?yàn)椤?)=2s嗚=6,嗚J=2si嗚+,=2cos,=l,結(jié)合圖像可得小)在區(qū)間

JT

0,丁內(nèi)的最小值為1,結(jié)論c正確；

L4_

因?yàn)閐T]=2sinL+'=2sin(-力=0，則x=—為的零點(diǎn)，不是最值點(diǎn),

結(jié)論D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.【答案】ABD

【分析】

試卷第10頁，共22頁

根據(jù)中位數(shù)概念判斷A,由頻率分布直方圖估計(jì)樣本容量判斷B,由極差概念判斷C,

由二項(xiàng)分布求出期望判斷D.

【詳解】

去掉9個(gè)原始評分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，不會(huì)改變該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，A正確;

因?yàn)閷W(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9)內(nèi)的頻率為0.3,學(xué)生總?cè)藬?shù)為4000,則網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間

［8,9)內(nèi)的學(xué)生估計(jì)有4000x0.3=1200A,B正確;

若去掉的一個(gè)最高分為9.6,去掉的一個(gè)最低分為8.9,則9名教師原始評分的極差等于

0.7,C錯(cuò)誤；

學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［9,10］內(nèi)的頻率為0.5,則萬~5(10,0.5),所以￡(X)=10x0.5=5,

D正確；

故選：ABD.

11.【答案】BC

【分析】

本題根據(jù)雙曲線的離心率和漸近線、三角形面積求法及余弦定理進(jìn)行逐項(xiàng)分析即可求

解.

【詳解】

解：由題意得：

A選項(xiàng)：當(dāng)。=3,6=2時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率左=±々=±2,A錯(cuò)誤；

a3

B選項(xiàng):因?yàn)辄c(diǎn)P(2,4揚(yáng)在C上,則且=得與上+8>8,所以e=Jl+?>3,

故B正確；

C選項(xiàng)：陷日*=2a,若尸耳，巡,則忸用尸用2=國且「=公2,即

(|尸周一|尸用了+2陽|小工卜念？，即44+2|尸團(tuán)尸閶=而，得

222

\PFt\-\PF2\=2(c-a)=2b,所以山戶2=J列訃「閶=〃，c正確；

D選項(xiàng)：若C為等軸雙曲線，貝i|a=6,從而陽月|=2c=2缶.若歸用=2|時(shí)則

|尸閭=2a,忸聞=4a.在△取風(fēng)中，由余弦定理，得

ci%忸用2+颶°E可-16—+4/-8立3

12“D錯(cuò)誤

2\PF^PF2\2X4QX2〃

故選：BC

12.【答案】ACD

試卷第11頁，共22頁

【分析】

求出2R=/C=4,即可判定A正確；分別作垂足為E,F,利用

向量法求出|訪卜2也，即可判定B錯(cuò)誤；證明CD,平面/皿，求出”=乎，故C

正確；利用向量法求出（/，詬）=45。，所以異面直線/C與此所成的角為45。，故D

正確，

【詳解】

解：如圖，因?yàn)锳/BC和A/OC都是以/C為斜邊的直角三角形，則/C為四面體48CD

外接球的直徑.

因?yàn)锳B=2,BC=2。則2R=/C=4,

所以四面體48co外接球的表面積為5=4萬斤=16萬，故A正確；

分別作尸，NC,垂足為￡,F,則。=（d,品）.

由已知可得，EB=FD=A/3,AE=CF=1,EF=2.因?yàn)閼?yīng)）=BE+EF+FD'貝U

-.2t->-2—2.2――

\BD\2=BD=（BE+EF+FD）2=BE+EF+FD+1BEFD

=3+4+3+26?6cos（萬一6）=8,所以|而|=2血，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)??！?+8〃2=]2=3。2,

則CDJ_8D.同理又CD,ADD8。=u平面,

則CD_L平面/8Q,所以『=1s4mxC￡>=LxLx2x2也x2=t2,故C正確；

3323

由已知可得，ZCAD=30°,ZCAB=60°,

則AC-BD=AC\AD-AB）=AC-AD-ic-AB=4x2>/3cos300-4x2cos60°=8-貝汁

COSIAC,BD\=^'BD=—^=^,得（北,礪）=45。,

\/\AC\\BD\4x2血2\/

所以異面直線/C與8。所成的角為45。，故D正確，

故選：ACD.

試卷第12頁，共22頁

13.【答案】-2

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)得切線斜率，寫出切線方程后可得縱截距.

【詳解】

因?yàn)?'(x)=e，T+3/,則為⑴=4.又/⑴=2,則切線方程為y-2=4(x-l),即

y=4x-2,所以該切線在＞軸上的截距為-2.

故答案為：一2.

14.【答案】729

【分析】

根據(jù)第三項(xiàng)為常數(shù)可知該項(xiàng)X得指數(shù)為0,解得〃，(4-；：的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕

對值之和與14+的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和相等故可得答案.

【詳解】

解：由題意得：

i=o,〃=6

2

又；(4-；：的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和與(五+：；的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之

和相等

，當(dāng)取x=1,得(6+的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36=729.

故答案為：729

15.【答案】m-1

【分析】

由斐波那契的定義有?！?%+2-%+-$2021中每一項(xiàng)都表示為兩項(xiàng)的差，然后正負(fù)抵消后

可得結(jié)論.

【詳解】

由得?！?2=?！?1+%，即％所以

試卷第13頁，共22頁

$2021=%+。2+/+…+&021=（°3一.2）+（°4一％）+（%一%）+…+（°2023一。2022）=°2023一°2=機(jī)一1

故答案為：m—l.

36

16.【答案】—

T

【分析】

設(shè)直線4的傾斜角為。,正方形的邊長為以按4〃幻/"4/〃"分類討論,

用。表示。，從而求得。正方形面積.

【詳解】

不妨設(shè)正方形的四條邊所在的直線分別為小小屋4,它們分別經(jīng)過點(diǎn)/、B、C、D,

直線4的傾斜角為夕o<e<￡j,正方形的邊長為a.

TT

①若則4〃。，且從而。的傾斜角為。+2?

因?yàn)榍?1,則4與4之間的距離為sine,所以a=sin6.

因?yàn)閨8|=4,則人與。之間的距離為4sin+=4cos6,

所以。=4cos。.

令sin9=4cos。，則sir?6=16cos?。=160—sir?。)，得sin2e=j1,則正方形面

S=sin20=—.

17

JT

②若h〃％，則4〃乙，且從而4的傾斜角為。+萬.

因?yàn)閨佝=3,貝也與4之間的距離為3sin。，所以a=3sin6.

因?yàn)閨8。|=6.則4與。之間的距高為6sin萬-[e+'J]=6cos。，

所以Q=6cos。.令3sin。=6cos。，貝！]sin29=4cos20=4(1-sin2,得sin?。=g，

試卷第14頁，共22頁

則正方形面積S=9sin2=彳

TF

③若4〃4,則，2〃/3,且從而的傾斜角為。+2.

因?yàn)閨/。=7,則4與。之間的距離為7sin6,所以a=7sin6.

因?yàn)閨8C|=2,則4與4之間的距離為2sin+=2cos。，

所以Q=2COS。.

令7sin6=2cose,貝I]49sin/4cos?6=4（1-sin?6）,得5畝2。=2，則正方形面積

196

S=49sin26=——.

53

故答案為：—;—（在石、—>V中任選其中兩個(gè)填寫）.

17.【答案】

24.71.

（1）-------F2ATT,—F2k兀，左EZ

33

⑵蘆3-

【分析】

（1）由二倍角公式，兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后求

試卷第15頁，共22頁

出g(x),再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與正弦函數(shù)的單調(diào)性得出減區(qū)間；

TT

(2)由(1)求得/=由余弦定理得Ac關(guān)系，結(jié)合基本不等式得兒的范圍，利用

中線向量公式=+平方后結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得中線長的范圍.

(1)

>口.口G2111.1.(研

由已矢口，/(X)=——sinx2cos——1=——sinxeosx=sinx--.

22(2J22I6J

貝Ug(x)=/(_%)=sin1—x—KJ=-sin[^x+—J,

所以當(dāng)g(x)單調(diào)減時(shí)，函數(shù)尸Sin(x+1^單調(diào)遞增.

令F2k兀4xH—,,—H2左7T,左eZ,得----F2k兀4x4—I-2k兀,左eZ.

26233

27rn

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是-？-+2力r,§+2左/，左eZ.

(2)

因?yàn)?(/)=sin(/-看卜"八(0"),則/=。.

又a=V^，由余弦定理,得3=I)?+c?-be,即)2+/=/?c+3?

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，則4D=-(AB+AC)2=-b2+c2+be)=~(2bc+3).

44、74

S^Jb2+c2>2bc,則6c+322bc,BP0<6c<3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l等號(hào)成立，所以

3——?、9_3

4<|AD[<^-,即叱<|/o區(qū)上.

4422

以線段4。的長的取值范圍是

18.【答案】

(1)an=2/2+1

(2)10

【分析】

(1)由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求得公差"，可得通項(xiàng)公式；

(2)用裂項(xiàng)相消法求和求得，，根據(jù)新定義求得7,,然后分組，結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)

和公式計(jì)算后解方程可得.

(1)

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為力因?yàn)椋?3,則邑=3%+3"=9+3".

試卷第16頁，共22頁

因?yàn)镾3=5%=15,貝ij9+3d=15,得d=2.

所以數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式是%=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)

因?yàn)镾“=3”+^^x2=/+2"，貝版“=1+]=1+；^=1+;一去

所以備="+11_；］+］；

當(dāng)“V2時(shí)，因?yàn)橐?-----<0,貝!][?；]=〃.

32n+1n+2

當(dāng)〃23時(shí),因?yàn)椤?lt;；-土-擊<；，則［訃"+】?

因?yàn)閇北]+[4]+…+[][=63,則1+2+4+5+…+(”+1)=63,即

(?-2)(4+?+1)

5H------------------------------=63,

2

即/+3〃-130=0,即(〃-10)(”+13)=0.因?yàn)椤癳N*,所以〃=10

19.【答案】

(1)證明見解析；

(2)不.

、5?

【分析】

(1)取NB的中點(diǎn)尸，連接尸尸,。尸.先證明PB_L/E,DFLAE,即證NE_L平面PDF,

原題即得證；

(2)分別取尸4Po的中點(diǎn)G,H,連接4W,證明為直線ZE與平面P4D所成

的角，設(shè)正方形4BC。的邊長為1,P/=x(0<x<2),在必A/HE中,

cosZEAH=—=^^,即得解.

AEV5

(1)

解：取42的中點(diǎn)尸，連接PF,DF.

因?yàn)镻8=48,ZPA4=60。，則為正三角形，所以

因?yàn)槠矫鍼AB1平面ABCD,則尸尸，平面ABCD.

因?yàn)?Eu平面48C。，則尸尸_L/E.①

因?yàn)樗倪呅?8C。為正方形，￡為8c的中點(diǎn)，則

RMDAF公RMABE,所以ZADF=ZBAE,

試卷第17頁，共22頁

從而AADF+NEAD=ZBAE+ZEAD=ABAD=90°,

所以.②

又尸尸口。尸=尸，尸尸，。尸u平面PDF,

結(jié)合①②知，NE_L平面PDF,所以

(2)

解：分別取尸4尸。的中點(diǎn)G,H,則GH///。，GH=-AD.

2

又BE//AD,BE=-AD,則GHUBE,GH=BE,

2

所以四邊形8G/殂為平行四邊形，從而EH〃BG.

因?yàn)镻8=4B,則8G_LP/.

因?yàn)槠矫媸?8_L平面/BCD,AD1AB,則4D_L平面尸48,

從而4D_LBG,因?yàn)镻/C|4D=4尸44Du平面尸40,

所以BG_L平面P/D,從而￡7/_L平面尸4D.

連接/〃，則為直線NE與平面尸/。所成的角.

1X

設(shè)正方形/BCD的邊長為1,PA=x(0<x<2),則8E=G〃=—,NG=—.

22

從而AE=yjAB2+BE1=—,AH=^AG2+GH2="?

22

.AH_Vx2+1

在RtAAHE中，cos/EAH-...-.......1=—.

AEV5

〃x)=在/單調(diào)遞增,

因?yàn)楫?dāng)0cx<2時(shí),貝UcosZEAHG

V5

所以直線ZE與平面尸4。所成角的余弦值的取值范圍是不

試卷第18頁，共22頁

（2）不存在，理由見解析

【分析】

（1）由對稱性求得因區(qū)|，得。，再由離心率得。，然后求得6得橢圓方程;

（2）由垂直得出直線/方程，代入橢圓方程，設(shè)點(diǎn)/（%,弘）,3仁,%）,由韋達(dá)定理得

2

西+%巧當(dāng)，代入左數(shù)+心c=］求解加，若有解則存在，若無解，則說明不存在.

（1）

c1

由已知，￡=-=-,貝Ua=2c

a2

設(shè)點(diǎn)可，匕關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)分別為M,N,因?yàn)辄c(diǎn)O,C關(guān)于直線/對稱,O為線段月外

的中點(diǎn)，則C為線段跖V的中點(diǎn)，從而線段初V為圓C的一條直徑，所以出閶=1跖V1=2,

艮2。=2,即。=1.

于是。=2,〃=/—02=3,所以橢圓￡的方程是二+廿=1.

43

（2）

因?yàn)樵c(diǎn)。為線段月月的中點(diǎn)，圓心C為線段九W的中點(diǎn)，直線/為線段OC的垂直平

分線,

所以點(diǎn)。與C也關(guān)于直線/對稱,

因?yàn)辄c(diǎn)C（2檢4/），則線段OC的中點(diǎn)為（加,2加），直線0C的斜率為2,又直線/為線段

0c的垂直平分線,

115m

所以直線/的方程為八2"7=-5&-加），gpy=--x+y-.

將"f+T代入；。L得#++>^[2,

即

4x2-10mx+25m2-12=0.

設(shè)點(diǎn)4（%,弘）,以心外）,則再+/=事,2=3產(chǎn)

一t77Pi-4my.-4m1再+3冽+/+3m

^c^BC=—+—=--

再-2mx2-2m

(M+3加)(/—2m)+(x2+3m)—2m)

2(%j-2m)(x2-2m)

2

2再%2+加(％1+、2)-12加

2

2XXX2-Am(%i+x2)+8m

試卷第19頁，共22頁

2

2,2XX9+m（x,+-12m2八，

由己知，…則2；；-」（；+；）+8/+r°,得

2x^2_加（X]+%）―4m2=0.

所以25〃/二￡2_包匚_4加2=0,即〃，=1,即"?=±1.

22

因?yàn)橹本€/與橢圓E相交，則A=10（W-i6（25/-12）＞0,解得蘇＜||,gp|m|＜1.

因?yàn)槎?＜1,所以不存在實(shí)數(shù)機(jī)，使直線NC與2C的斜率之和為2:.

53

21.【答案】

（1）—

24

（2）方式一參賽，理由見解析

【分析】

（1）甲同學(xué)能晉級這個(gè)事件分類兩個(gè)互斥事件的和：甲同學(xué)正確配對3對和甲同學(xué)正

確配對5對，分別計(jì)算出概率相加可得；

（2）設(shè)選擇方式一、二的班級團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率分別為耳A.求出PX,P2后作差々-￡,

得了它們的大小關(guān)系，從而可得結(jié)論.

⑴

設(shè)甲同學(xué)正確配對3對為事件4正確配對5對為事件8,甲同學(xué)能晉級為事件C,

則C=N+8,S.A,B互斥.

因?yàn)榧淄瑢W(xué)只有一組能正確配對，其余四組都隨機(jī)配對，則尸。）=鳥=；,

44

尸⑶

1177

從而P（C）=P（A）+P（B）=-+—=—,所以甲同學(xué)能晉級的概率為.

42424274V

（2）

設(shè)選擇方式一、二的班級團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率分別為斗心.

當(dāng)選擇方式一時(shí)，因?yàn)閮扇硕蓟卮疱e(cuò)誤的概率為（I-。）?，則兩人中至少有一人回答正確

的概率為1-（1-P）2,所以々=口一（1一021=/，（2一°y.

當(dāng)選擇方式二時(shí)，因?yàn)橐粋€(gè)小組闖關(guān)成功的概率為P",則一個(gè)小組闖關(guān)不成功的概率

為"P",

所以鳥=1-（1一0"）2=0"（2-"）