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文檔簡介
專題06函數(shù)及其表示
一、【知識梳理】
【考綱要求】
1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求簡單函數(shù)的定義域和值域.
2.在實際情景中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用.
【考點預(yù)測】
1.函數(shù)的概念
一般地,設(shè)46是非空的實數(shù)集,如果對于集合4中的任意一個數(shù)x,
概念按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合6中都有唯二確定的數(shù)y和它對
應(yīng),那么就稱人/一8為從集合/到集合8的一個函數(shù)
三對應(yīng)關(guān)系y=f{x),A
要定義域工的取值范圍
素值域與x對應(yīng)的p的值的集合"(x)|x£2}
2.同一個函數(shù)
(1)前提條件:①定義域相同;②對應(yīng)關(guān)系相同.
(2)結(jié)論:這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).
3.函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
4.分段函數(shù)
(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這
種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,其值域等于各段函數(shù)的值域的丑集.
【常用結(jié)論】
1.直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有1個交點.
2.注意以下幾個特殊函數(shù)的定義域:
(1)分式型函數(shù),分母不為零的實數(shù)集合.
(2)偶次方根型函數(shù),被開方式非負的實數(shù)集合.
(3)f(x)為對數(shù)式時,函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.
(4)若f(x)=f,則定義域為{x|xW0}.
(5)正切函數(shù)了=土211x的定義域為+萬,Aez].
【方法技巧】
1.函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對
應(yīng),即可以“多對一”,不能“一對多”,而6中有可能存在與/中元素不對應(yīng)的元素.
2.構(gòu)成函數(shù)的三要素中,定義域和對應(yīng)關(guān)系相同,則值域一定相同
3.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法
求給定解析式的函數(shù)的定義域,其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準則,
列出不等式或不等式組求解;對于實際問題,定義域應(yīng)使實際問題有意義.
4.求抽象函數(shù)定義域的方法
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a"],則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式aWg(x)W6
求出.
⑵若已知函數(shù)的定義域為[a,b\,則/■⑸的定義域為式x)在xd[a,6]上的值域.
5.函數(shù)解析式的求法
(1)配湊法:由已知條件f(g(x))=6(x),可將尸(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式,然后以x替
代g(x),便得f(x)的表達式.
(2)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.
(3)換元法:已知復(fù)合函數(shù)/<g(x))的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想:已知關(guān)于f(x)與/丹或f(—x)等的表達式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外
一個等式組成方程組,通過解方程組求出/1(x).
6.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值,首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間,其次選定相應(yīng)的解析
式代入求解.
7.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時,應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,
但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.
二、【題型歸類】
【題型一】判斷兩個函數(shù)是否相等
【典例1】已知函數(shù)/'(x)=|x—1],則下列函數(shù)中與f(x)相等的函數(shù)是()
A.g(x)一下可
111
B.g(x)=<入力
2,x=-1
[x—1,x>0,
C.g{x)=\
[1-x,xWO
D.g(x)=x—1
【典例2】下列各組函數(shù)中,是同一函數(shù)的是()
A.廣(x)=yp,g(x)=yp
I119x20,
B?Ax)=丁,
C.F(x)=2,+32〃+1,g(x)=(2'S)2〃-i,刀RM
D.D(x)=y[x?yjx+1,g{x)=?x(、+l)
【典例3】(多選)下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是()
A.f{x)=x—2x—l,g(s)=s?—2s—1
/-I
B.F(x)=x-1,g(x)=1
x+1
C[x,x20,
C.f{x)=y[x,g(x)=j
[-xfx<0
D.F(x)=yj~x,g(x)=x\[^x
【題型二】求具體函數(shù)定義域
【典例1】函數(shù)F(x)=川LII+,4—f的定義域為()
A.[~2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]
C.[-2,2]D.(-1,2]
【典例2】函數(shù)y=lg(x2—4)+dx?+6x的定義域是()
A.(—8,—2)U[0,+°°)
B.(—8,—6]U(2,+°°)
C.(—8,-2]U[0,+8)
D.(一8,—6)U[2,+°0)
1
【典例3]函數(shù)f(x)卜ln(3x—1)的定義域為()
4、
1111-
-4----
C.夕D.22
_
【題型三】求抽象函數(shù)定義域
【典例1]若函數(shù)f(x)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(x—1)的定義域為.
【典例2】已知函數(shù)『5)的定義域為[—2,2],則函數(shù)g(x)=『(2x)+MT=亍的定義域為
【典例3】已知函數(shù)/<2x—1)的定義域為[1,4],求函數(shù)f⑵)的定義域為
【題型四】求函數(shù)的解析式
【典例1】若《?=士,則當xWO,且xWl時,f(x)等于()
1111
A.—B.-------C---------D-.一一1
xx-1-----*l-xx
【典例2】已知F(x)是二次函數(shù)且F(0)=2,f(^x+1)—=x—l,則F(x)
【典例3]定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)—f(—x)=lg(x+l),則Ax)=
【題型五】求常見函數(shù)的值域
【典例1】函數(shù)/=出Y—的3值域為
X.IL
【典例2】函數(shù)7=矛+升入-1的值域為
【典例3】求下列函數(shù)的值域:
1_X
(1)y=T+7;
⑵尸2x+\l—x;
⑶y=2x+yjl—x;
/、x~2x+5
⑷尸--------;
x~\
(5)若x,p滿足3丁+2/=6筋求函數(shù)z=V+y2的值域;
(6)f(x)=|2x+l|一|l|.
【題型六】求分段函數(shù)的函數(shù)值
log3%x>0,
【典例1】已知/■(*)=且/1(0)=2,人-1)=3,則f(f(一3))等于()
a~\~b,xWO,
A.—2B.2C.3D.-3
’("3
“幻
【典例2】已知函數(shù)f(X)+1,X<3,則/'(2+log32)的值為
?cosnx,xW1
fM=m(4、
【典例3】已知(/(x-1)^1,x>1,則『l-l+r(—的值為()
11
A."B.——C.—1D.1
【題型七】分段函數(shù)與方程、不等式問題
口*,后0,1
【典例1】設(shè)函數(shù)/(x)=r1則使/(X)=5的X的集合為__________.
ulogzxl,x>0,乙
log;x,x>0,
【典例2】已知函數(shù)f(x)=|3若/"(a)>,,則實數(shù)a的取值范圍是—
21尤W0,
[2x-\~a,x<.l,
【典例3]已知實數(shù)aWO,函數(shù)/U)=°若f(l—a)=f(l+a),則a的
[一x-2a,
值為.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】(多選)若函數(shù)f(x)滿足:對定義域內(nèi)任意的荀,X2(Xl=X2),有/'(荀)+
f(xA2f[工產(chǎn)),則稱函數(shù)F(x)具有〃性質(zhì).則下列函數(shù)中具有〃性質(zhì)的是()
A.f(x)=。
B.f{x}=lnx
C.f{x)=x(^r^O)
D.f{x)=tan
l\2x~\~a,—K^r<0,
【訓(xùn)練二】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且/U+2)=:f(x),f(x)=,“/
[be,0W1,
其中a,6為正實數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù),若f[|)=f則]的取值范圍為
【訓(xùn)練三】已知函數(shù)f(x)滿足對任意的xWR都有f(l+x)+f(l-x)=4成立,則4-1+
flog2(l—x),xWO,
【訓(xùn)練四】定義在R上的函數(shù)/<x)=則/(2015)的值為
[fz(^-1)~f(x-2),x>0,
【訓(xùn)練五】已知函數(shù)f(x)=log2X,g(x)=2x+a,若存在Xx,xfp2,使得f(xj=虱苞),
則a的取值范圍是.
【訓(xùn)練六】高斯是德國著名的數(shù)學家,是近代數(shù)學奠基者之一,享有“數(shù)學王子”的稱號,
用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)xGR,用[切表示不超過x的最大整數(shù),則尸[舊稱為
高斯函數(shù).例如:[—2.1]=-3,[3.1]=3,已知函數(shù)f(x)=W1,求函數(shù)尸"(x)]的值
域.
四、【強化測試】
【單選題】
2.已知函數(shù)f(x)=F,xW°'
則f(F(8))等于(
[1—log2X,£〉0,
A.-1B.--C.1D.2
3-設(shè)函數(shù)『百口=x,則/U)的表達式為()
.1+x1+x
)B.(xW—1)
X-l
1一萬
c.1+^(xW—1)D.中(矛力―1)
4.函數(shù)/(x)=30g,(x—1)+1的定義域為()
A.(-8,3]B.(1,+°°)
C.(1,3]D.[3,+°°)
5.下列函數(shù)中,定義域與值域相同的是()
A.尸1B.y=lnx
1x+1
C./-3-1D.y~x~l
6.函數(shù)y=1+八一\/1—2太的值域為()
(3)(3]
A.—8,B.—oo-
12j【2J
<3+,co\「3,\
C.0JD.[2‘十)
aXb,aX620,
7.定義3十6=<a,設(shè)函數(shù)f{x)=lnx十x,則/(2)+)
aXZKO,
A.41n2B.-41n2
C.2D.0
8.設(shè)Mx),g(x)都是定義在實數(shù)集上的函數(shù),定義函數(shù)(/1?Q(x):Vx£R,(/,g)(x)
x,x>0,e,xWO,
F(g(x)).若f{x}=KO,g3=則()
Inx,x>0,
A.(F?/(x)=F(=B.(/?g)(A)=f(x)
C.(g?力(x)=g(x)D.(g?g)(x)=g(x)
【多選題】
9.下列四組函數(shù)中,Hx)與g(x)是相等函數(shù)的是()
A.f{x}=Ing{x)=21nx
B.f{x)=x,
g(x)=汩
C.f{x)=x,
D.f{x)=x,g(x)=logaa、(a>0且aWl)
V
10.函數(shù)(數(shù)=]+/,x£(—8,0)U(0,+°°),則下列等式成立的是()
B.—f{x}=
x,
C.-77~=/[■■]D.f{-x)=-f{x)
fkx)\xj
[x,xWO,
11.已知函數(shù)Hx)=2、則下列結(jié)論中正確的是()
[-/,£>O,
A./(—2)=4B.若f(而=9,則/=±3
C.F(x)是偶函數(shù)D.Hx)在R上單調(diào)遞減
log2(X—1),x>\,
12.已知f(a=\則下列結(jié)論正確的是()
3,E,
A.f(f(l))=乎B.AA-1))=1
c.r(Ao))=1D.(/尚)=19
【填空題】
13.若函數(shù)/(x)在閉區(qū)間[—1,2]上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的解析式為—
{2\x>0,
14.已知函數(shù)/<x)=,_若f(a)+f(l)=O,則實數(shù)a的值等于.
[x+1,xWO,
15.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為〃若對任意的都存在使得/?(力=-f(x)成立,
則稱函數(shù)/<x)為“美麗函數(shù)”,下列所給出的幾個函數(shù):
①f(x)=/②/U)=占;
③f(x)=ln(2x+3);④f(x)=2sinx~\.
其中是“美麗函數(shù)”的為.(填序號)
16.已知具有性質(zhì):4"=一F(x)的函數(shù),我們稱F(x)為滿足“倒負”變換的函數(shù),下列
函數(shù):
①_f(x)=x-:;②F(x)=x+};
C,、0,x=l,
③廣(x)=《
1
--,£>1.
IX
其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是(填序號)
【解答題】
fl
—1
17.設(shè)函數(shù)r(x)=Tx''求:(l)f(f(2))的值;
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