工程力學(xué)：彎曲變形（上）

1 §12-1引言

§12-2撓曲軸近似微分方程

§12-3計(jì)算梁位移的積分法彎曲變形

2目的:

1、解決梁的剛度問題

2、求解靜不定梁3、為研究壓桿穩(wěn)定問題打基礎(chǔ)§12-1引言拉壓桿的變形：伸長(zhǎng)或縮短(Dl)圓軸扭轉(zhuǎn)的變形：相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)(扭轉(zhuǎn)角j)彎曲變形：怎樣描述？回顧：3對(duì)稱彎曲時(shí)，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，剪力對(duì)彎曲變形影響一般可忽略不計(jì)因而可以認(rèn)為橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交撓曲軸

軸線由直線變?yōu)橐粭l連續(xù)、光滑的曲線－撓曲軸彎曲變形的特點(diǎn)4

梁變形的定量描述：F忽略軸向位移和截面翹曲的條件下，描述截面上任一點(diǎn)的位移：AB1、形心軸的線位移

——撓度w2、截面繞形心軸的角位移

——轉(zhuǎn)角qF

撓度隨坐標(biāo)變化的方程——撓曲軸方程w=w(x)F

忽略剪切變形

+

梁的轉(zhuǎn)角一般很小——q=q?

?

tan

?=dw/dx5§12-2撓曲軸近似微分方程Q

中性層曲率表示的彎曲變形公式Q

由高等數(shù)學(xué)知識(shí)

Q

撓曲軸微分方程

——二階非線性常微分方程（純彎、等截面）（推廣到非純彎）方程推導(dǎo)6Q方程簡(jiǎn)化

正負(fù)號(hào)確定:彎矩:

坐標(biāo)系：w

向上為正小變形時(shí)：正彎矩負(fù)彎矩xwoxo曲線下凹曲線上凸撓曲線下凹,彎矩M為正,與w″同號(hào)撓曲線上凸,彎矩M為負(fù),與w″同號(hào)方程取正號(hào)

7??

小變形Q應(yīng)用條件：Q撓曲軸的近似微分方程正彎矩xo

坐標(biāo)軸w

向上，彎矩使梁軸下凹為正

小結(jié)8F

C、D為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。一、梁的撓曲軸方程§12-3計(jì)算梁位移的積分法近似曲率：近似轉(zhuǎn)角：撓度：9位移邊界條件：梁截面的已知位移條件或位移約束條件w=0w=0w=0q=0二、位移邊界條件與連續(xù)條件自由端：無位移邊界條件。位移連續(xù)條件：梁分段處撓曲軸所應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件ACDMFB撓曲軸在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑連續(xù)：wB左=wB右光滑：qB左

=qB右

10自由端：無位移邊界條件固定端：

連續(xù)條件：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件邊界條件：例：中間支撐C：E點(diǎn)：中間鉸B：ABCDFE

11例：已知如圖懸臂梁，彎曲剛度為EI,建立該梁的撓曲軸方程AB解:2、撓曲軸近似微分方程1、彎矩方程:12AB3、積分常數(shù)的確定w(0)=0D=0w'(0)=0C=013例：已知如圖簡(jiǎn)支梁，彎曲剛度為EI

,建立該梁的撓曲軸方程。

AB解:計(jì)算約束反力，建立坐標(biāo)系。AC段BC段x12C14邊界和連續(xù)條件:

四個(gè)方程定4個(gè)常數(shù)，得到撓曲軸方程ABx15ADBC繪制右梁撓曲軸的大致形狀：F

彎矩圖過零點(diǎn)處為撓曲軸拐點(diǎn)

支座性質(zhì)定該處線和或角位移1.繪制彎矩圖。2.繪制撓曲軸的大致形狀