人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章 直線和圓的方程章末復(fù)習(xí)提升

章末復(fù)習(xí)提升

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建形成體系

廠［相交兩直線垂直的條件

T兩條直線的位置關(guān)系兩直線平行的條件

直I——RM?

線審合

與

方

程

兩條宜線的交點坐標(biāo)

兩點間的距離公式

—交點坐標(biāo)與跑離公式I—

點到直線的咫離公式

兩條平行直線間的距離公式

一

直

線

「T圓的標(biāo)準(zhǔn)方也與

圓

的

位

置

關(guān)

系

圓

的

位

—|圓的一|般方程|置―與圓相交|

關(guān)

系

一T圓與圓相切I

要點聚焦類型突破——?

要點一直線方程的求法及應(yīng)用

求直線方程的一種重要方法就是待定系數(shù)法.運用此方法，要注意各種形式的方程

的適用條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式至關(guān)重要.

K例在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點A(0,1),8(3,2).

(1)若C點坐標(biāo)為(1,0),求A3邊上的高所在的直線方程；

(2)若點M(l,1)為邊AC的中點，求邊所在的直線方程.

解⑴???A(0,1),8(3,2),

2-11

碗=3—03,

由垂直關(guān)系可得AB邊上的高所在的直線的斜率為k=—3,

...AB邊上的高所在直線方程為y—0=—3(x—1),

化為一般式可得3x+y-3=0.

(2)VM(1,1)為AC的中點，A(0,1),

AC(2,1),：.kBc=Y-^=l,

3—2

.?.邊3C所在直線方程為＞一1=》-2,

化為一般式可得x—y—1=0.

K訓(xùn)練已知△ABC的頂點A(6,1),邊上的中線CM所在直線方程2九一

廠5=0,AC邊上的高8”所在直線方程為》一2廠5=0.求：

(1)頂點C的坐標(biāo)；

(2)直線BC的方程.

解(1)由題意知AC邊上的高所在直線斜率為今

故AC邊所在的直線的斜率為一2,

則它的方程為y—1=—2(x—6),即2x+y—13=0.

f9

2x+y—13=0,

由'求得，乙

、2x一廠5=0,

J=4,

故點C的坐標(biāo)為住4).

m+6n~\-1

(2)設(shè)B(〃z,n),則2，-T-

把M的坐標(biāo)代入直線方程2x-y—5=0,

把點B的坐標(biāo)代入直線方程%—2y-5=0,

o-m-+--6--H-+--1一

可得225=0,

m—2n-5=0,

r7

m=-/、

求得彳n故點-￥)?

l"=一Q，

9

_%—2

再用兩點式求得直線BC的方程為汽4一=-T^，

------A————

3432

化簡為46x—41y—43=0.

要點二兩條直線的位置關(guān)系

解決此類問題關(guān)鍵是掌握兩條直線平行與垂直的判定：若兩條不重合的直線人

/2的斜率加左2存在，則/1〃/20k=依，/1_U20Z的=-1.若給出的直線方程中存

在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.對于兩條直線平行的問題，要注意排除兩條

直線重合的可能性.

K例22(1)當(dāng)a=時，直線/i：y=—x+2a與直線小y=(a2—2')x+2

平行；

(2)當(dāng)。=時，直線A：y=(2a—l)x+3與直線加y=4x—3垂直.

K答案』(1)-1(2)|

K解析1(1)直線/|的斜率公=-1,直線/2的斜率22=/—2.

因為/1〃/2,所以/—2=-1且2a#2,解得a=-1.

所以當(dāng)a=—1時，直線八：y=—x+2a與直線〃：y=(〃-2)x+2平行.

(2)直線/1的斜率Ai=2a—1,/2的斜率上=4.

因為所以怎?女2=—1,即4(2。-1)=-1,

解得a=]

3

所以當(dāng)a=g時，直線小y=(2a-l)x+3與直線人：y=4x—3垂直.

K訓(xùn)練2》(1)已知直線小ax-3y+\=0,Z2：2x+(a+l)y+1=0.若/i_U2,則

實數(shù)。的值等于；

(2)已知直角三角形ABC的直角頂點C(l,1),點4—2,3),B(0,y),則y=.

K答案』(1)-3(2)—3

K解析H⑴?.?直線/i：ax-3y+1=0,

h：2x+(a+l)y+1=0,且

???2a—3(。+1)=0,

3—12,y—1

(2)AAC=_2_]=_§，ABC=0_[=l_y.

VZC=90°,AAC1BC,

?2八、?.1

?--3(i-y)--h-y=~2-

要點三距離問題

解決K解析1幾何中的距離問題時，往往是代數(shù)運算與幾何圖形直觀分析相結(jié)合.

三種距離是高考考查的熱點，公式如下表：

類型已知條件公式

兩點間的

A(xi,yi),8(x2,y2)\AB\=y](X2-xi)2+(”-yi)2

距離

點到直線P(xo,yo)\Axo~\-Byo+C\0

"馬(壽9+日①

的距離/：Ar+Sy+C=0(A2+S2^0)

l\：Ax~\~By+Ci—0

兩平行直.IC2-C1I

Z2：Ax+By+C2—0(A2+B2T^0,d~^+^

線的距離

C1WC2)

K例3』直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且P(4,3)到直線/的距離為36,

求直線/的方程.

I4-31r-

解當(dāng)直線過原點時，設(shè)所求直線方程為日一y=0,則VT+P-3^-

鏟洱7—yu.f,3Vi4》

解付k=±%-6,?-y=\±2-6k-

當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)所求直線方程為x+y=a,則

|4+3—a\I-為

=3yj2,解傳。=13或。=1,

.\x~\~y—13=0或x~\~y—1=0.

綜上，所求直線方程為y=(±，^亙-6,或x+y—13=0或x+y—1=0.

K訓(xùn)練31已知直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，且點A(3,1)到它的距

離為啦，求直線/的方程.

解當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線的方程為丁=依，即日一y=0.

由題意知^^=隹解得仁1或2，

所以所求直線的方程為x—y=O或x+7y=0.

當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，

設(shè)所求直線的方程為5+上=1,即》一〉一。=0.

由題意知心重回=也，解得。=4或。=0(舍去).

所以所求直線的方程為x—y—4=0.

綜上可知，所求直線的方程為x-y=0或x+7y=0或x-y-4=0.

要點四對稱問題

1.關(guān)于點的對稱問題

⑴點關(guān)于點的對稱問題：若兩點A(xi,yi),8(x2,>2)關(guān)于點P(xo,yo)對稱，則P

'X\+*2

xo=29

是線段A3的中點，并且〈,

y\~ry2

卜0=2.

⑵直線關(guān)于點的對稱問題：若兩條直線人/2關(guān)于點P對稱，則：

①人上任意一點關(guān)于點尸的對稱點必在/2上，反過來，/2上任意一點關(guān)于點尸的

對稱點必在/|±；

②若h〃b,則點P到直線/I,/2的距離相等；

③過點P作一直線與人，〃分別交于A,8兩點，則點尸是線段AB的中點.

2.關(guān)于直線的對稱問題

(1)點關(guān)于直線的對稱問題：若A,8兩點關(guān)于直線/對稱，則/是線段A3的垂直

平分線.

①直線AB與直線/垂直；

②線段AB的中點在直線I上；

③直線/上任意一點到A,B兩點的距離相等.

(2)直線關(guān)于直線的對稱問題：若兩條直線八，/2關(guān)于直線/對稱，則

①人上任意一點關(guān)于直線/的對稱點必在/2上，反過來，，2上任意一點關(guān)于直線I

的對稱點必在/1上；

②過直線/上的一點尸且垂直于直線/作一直線與/1,/2分別交于A,8兩點，則

點P是線段45的中點.

K例4》已知直線/：y=3x+3,求：

(1)點P(4,5)關(guān)于I的對稱點坐標(biāo)；

(2)直線y=x-2關(guān)于I的對稱直線的方程；

(3)直線I關(guān)于點A(3,2)的對稱直線的方程.

解(1)設(shè)點P關(guān)于直線I的對稱點為P'(x',y'),則線段PP的中點M在直線I上，

且直線PP垂直于直線/,

fy+5x'+4,

=3--y-+3,

x'=-2

即S解得，r

3=7.

點坐標(biāo)為(-2,7).

(x—y—2=0(59、

(2)由、.「八9得交點一5，一5?取直線》一y一2=0上一點3(0,-2),設(shè)

[3x—y+3=O,\

點B關(guān)于直線/：3x-y+3=O的對稱點為夕(xo,川),

無o=-3,

則彳解得

xoyo-2jo=-1.

3-y-—2-+3=0,

故所求直線過點(一|,一當(dāng)與(―3,一1)，

-1+2

斜率上=----7=-7,

—3+]

.,.所求直線方程為瀉=-7G+|),

即7x+y+22=0.

(3)設(shè)直線/關(guān)于點A(3,2)的對稱直線為匕

由于/〃故可設(shè)。為y=3x+b(b#3).

由占到由勢出擊南八十建”3—2+例|3X3—2+3]

由八、、到直線的距離A^^32+(_1>2-^2+(-J)

即由+7|=10,

解得匕=-17,或匕=3(舍去)，

二直線廠的方程為y=3x-17,

即對稱直線的方程為3x—y—17=0.

K訓(xùn)練4U已知直線/：2x-3y+l=0,點4一1,-2).求:

(1)點A關(guān)于直線I的對稱點4的坐標(biāo)；

(2)直線m：3x—2y—6=0關(guān)于直線I的對稱直線加的方程；

(3)直線/關(guān)于點A(—1,一2)對稱的直線/，的方程.

>+22

xo+lX3--1,

解(1)設(shè)A，(xo,yo),則〈

xo~1八yo-2,八

2,23,211—0.

「33

次=一百，

解得J4"I

13,13/

(2)在直線m上取一點如M(2,0),

則M(2,0)關(guān)于直線/的對稱點M必在加上.

設(shè)AT(a,b),

卜空-3.(空)+1=0,

則《

—

口―23-

f6

6_30A

解得0百13/

-2x-3y+l=0,

設(shè)加與/的交點為N,則由Lc，八得M4,3).

、3元一2廠6=0,

又：加經(jīng)過點N(4,3),

...由兩點式得直線方程為9x-46y+102=0,即為所求直線方程.

(3)設(shè)P(x,y)為上任意一點，

則P(x,y)關(guān)于點A(—1,—2)的對稱點為P<—2—x,-4-y).

???P在直線/上，

.?.2(-2-x)-3(-4-y)+l=0,

即2x-3y-9=0,即為所求直線方程.

要點五求圓的方程

求圓的方程是考查圓的方程問題中的一個基本點，一般涉及圓的性質(zhì)、直線與圓

的位置關(guān)系等，主要依據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、直線與圓的幾何性質(zhì)，運用

幾何方法或代數(shù)方法解決問題，多以選擇題、填空題為主，屬于基礎(chǔ)題.

(1)圓的方程中有三個參數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)方程中的a,b,r,或一般式中的。，E,F,

因此需要三個獨立條件建立方程組求解.

(2)求圓的方程時，首選幾何法，即先分析給出的條件的幾何意義，或直接利用待

定系數(shù)法求解.

K例5》一個圓C和已知圓/+產(chǎn)-2x=0相外切，并與直線/：相

切于點M(3,一小)點，求圓C的方程.

解由^+丁一2x=0得(x—l)2+y2=i,故其圓心為(1,0),半徑為1.

?.?圓。與圓^+/-2%=0相外切，

故兩個圓心之間的距離等于半徑的和，

又?圓C與直線/：x+4§y=0相切于點M(3,一5)，

可得圓心與點M(3,一5)的連線與直線x+小y=0垂直，其斜率為小.

設(shè)圓C的圓心為(a,b),半徑為r,

J/小,

則<N(〃-1)2+匕2=1+r,

|〃+小例

<r=2'

解得。=4,Z?=0,r=2或q=0,/?=-4A/3,r=6,

圓C的方程為(x—4)2+V=4或x2+(y+4*\/3)2=36.

K訓(xùn)練51已知直線/經(jīng)過兩條直線2左一y—3=0和4x—3y—5=0的交點，且

與直線x+y—2=0垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)若圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上，直線/被該圓所截得的弦長為

26，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

\2x-y—3—0,

解⑴由。；uc解得兩直線交點為(2，1),

I4x—3y—5=0

與x+y—2=0垂直，:21.

又???/過點(2,1),

，/的方程y—1=x-2即x~y—1=0.

"(1—a)2=產(chǎn)，

(2)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—4產(chǎn)+產(chǎn)二戶口;)。)，則<(|a-llj+z,

解得a=3,r=2.

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3)2+V=4.

要點六直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

圓具有許多重要的幾何性質(zhì)，如圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；圓心與弦的中

點的連線垂直于弦；切線長定理；直徑所對的圓周角是直角等.充分利用圓的幾何

性質(zhì)可獲得解題途徑，減少運算量.另外，對于未給出圖形的題目，要邊讀題邊畫

圖，這樣能更好地體會圓的幾何形狀，有助于找到解題思路.

K例61有一個圓與直線/：4x—3y+6=0相切于點A(3,6),且經(jīng)過點8(5,

2),求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解設(shè)圓心為C,則CA，/.

又設(shè)直線CA與圓的另一個交點為P.

3

VCA1Z,，直線C4的斜率為一了，

,3

故直線C4的方程為y—6=13),即3x+4y—33=0.

6—2|

又癡=>=-2,從而由平面幾何知識可知.一

則直線P8的方程為x~2y~1=0.

3x+4y—33=0,x=7,

解方程組得

,x~2y—1=0,J=3,

即點P的坐標(biāo)為(7,3).

?.?圓心。為AP的中點，

圓心C的坐標(biāo)為(5,1半徑長|CA|=|,

K訓(xùn)練63已知點P(0,5)及圓C：r+y2+4x—12y+24=0.若直線I過點P,

且被圓。截得的弦的長為4/，求/的方程.

解由x2+y2+4x~12y+24=0得(尤+2)2+0-6)2=42,

...圓C的圓心為C(一2,6),半徑r=4.

如圖所示,|A陰=4小，設(shè)0是線段A3的中點，連接CD,則CO,A3,/

“1=24,\AC\=4.

在Rt^ACO中，可得|CD|=2.…,

設(shè)所求直線I的斜率為k,則直線/的方程為y-5=kx,即kx-y

+5=0.由點C到直線A5的距離|CD|=?―點等51=2,得仁

此時直線/的方程為3x-4y+20=0,

又?；直線/的斜率不存在時，其方程為x=0,易知也滿足題意.

.?.所求直線/的方程為尤=0或3x-4y+20=0.

要點七與圓有關(guān)的最值問題

與圓有關(guān)的最值問題包括：

(1)求圓O上一點到圓外一點尸的最大距離、最小距離：dmm=\OP\+r,dmin=\OP\

(2)求圓上的點到某條直線(相離)的最大、最小距離：設(shè)圓心到直線的距離為m,

則dmax=m~\~r9dmin=YYl-F；

(3)已知點的運動軌跡方程是(X—a)2+U—份2=戶，求①$②￡：；③f+y2等式

子的最值，一般是運用幾何法求解.

K例71已知圓C：(x+2)2+/=l,P(x,>)為圓C上任一點,

(1)求E的最大、最小值;

(2)求x-2y的最