兩角和與差的余弦 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊

8.2.1兩角和與差的余弦人教B版2019復(fù)習(xí)引入

回憶求角的三角函數(shù)值的方法有哪些？在直角三角形里求解；利用單位圓和三角函數(shù)的定義;利用向量數(shù)量積：

cos15?=cos(45?-30?)=cos45?-cos30?成立嗎?嘗試與發(fā)現(xiàn)交點（形）坐標(biāo)三角函數(shù)值（數(shù)）xoyQP1-1300150450(cos450,sin450)(cos300,sin300)

合作探究xyOα終邊QPβ終邊α-βαβ(cosa,sina)(cosb,sinb)

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb.

cosacosb+sinasinb,(用模與夾角表示)(用坐標(biāo)表示)

a-b

∈[0,π]時

a-b

∈[-π，0]時

a-b

∈R時，存在k∈Z,使得

合作探究xyOα終邊A(1,0)A1P1Pβ終邊α-βα-β終邊

P1(cosα,sinα)，A1(cosβ,sinβ)，P(cos(α-β),sin(α-β)).AP=A1P1根據(jù)兩點間的距離公式，得化簡得當(dāng)α=2kπ+β,k∈Z時，容易證明上式仍然成立.

當(dāng)α≠2kπ+β,k∈Z.合作探究

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb兩角差的余弦公式,簡記為

Ca-b

兩角和的余弦公式,簡記為

Ca+b

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb(3)公式兩邊符號相反.(1)公式中的α，β是任意角;(2)公式的結(jié)構(gòu)特點:左邊是“兩角的差和余弦值”，右邊是“這兩角余弦積與正弦積的和差”；公式特征“烤烤曬曬符號反”二次一次(4)正用——拆角；逆用——合角a+b呢

?對任意a，b

cos(a-b)=cosa-cosb一定不成立嗎？舉例說明.(5)

和角、差角與單角是相對的：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等公式再認識

公式大闖關(guān)1

3、若x,y∈R,則cosxcosy+sinxsiny的最大值_____

1、cos105o=_______

鈍角三角形4、在三角形ABC中，sinAsinB<cosAcosB,判斷三角形ABC的形狀？已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．應(yīng)用

思路一：

思路二：

即

1=cos2a+sin2a

可求

答案：

分析:

構(gòu)造所求a=

拆角與湊角

已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．合作展示∵β＝α－(α－β)，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)【總結(jié)】給值求值問題主要有兩類：一是直接利用公式展開后求值．二是變角求值．即將問題中的角表示成已知角與特殊角的和或差整體求值．在計算中要注意根據(jù)角的取值范圍確定三角函數(shù)值的符號．給值求角問題要轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值的問題，為防止增解最好選取角所在范圍內(nèi)單調(diào)