江蘇省南京市秦淮區(qū)2025屆數(shù)學高一下期末教學質量檢測試題含解析

江蘇省南京市秦淮區(qū)2025屆數(shù)學高一下期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，，，，，則（）A．或 B． C． D．2．某個命題與自然數(shù)有關，且已證得“假設時該命題成立，則時該命題也成立”．現(xiàn)已知當時，該命題不成立，那么（）A．當時，該命題不成立 B．當時，該命題成立C．當時，該命題不成立 D．當時，該命題成立3．在中，角的對邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．34．某校高二理（1）班學習興趣小組為了調查學生喜歡數(shù)學課的人數(shù)比例，設計了如下調查方法：（1）在本校中隨機抽取100名學生，并編號1，2，3，…，100；（2）在箱內放置了兩個黃球和三個紅球，讓抽取到的100名學生分別從箱中隨機摸出一球，記住其顏色并放回；（3）請下列兩類學生站出來，一是摸到黃球且編號數(shù)為奇數(shù)的學生，二是摸到紅球且不喜歡數(shù)學課的學生。若共有32名學生站出來，那么請用統(tǒng)計的知識估計該校學生中喜歡數(shù)學課的人數(shù)比例大約是（）A．80% B．85% C．90% D．92%5．同時具有性質：①圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離是；②在上是增函數(shù)的一個函數(shù)為（）A． B． C． D．6．2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，其政策的主要內容包括：（1）個稅起征點為5000元；（2）每月應納稅所得額（含稅）=收入-個稅起征點-專項附加扣除：（3）專項附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費用②子女教育費用③繼續(xù)教育費用④大病醫(yī)療費用…等，其中前兩項的扣除標準為：①贍養(yǎng)老人費用：每月扣除2000元②子女教育費用：每個子女每月扣除1000元.新的個稅政策的稅率表部分內容如下：級數(shù)一級二級三級…每月應納稅所得額元（含稅）…稅率（%）31020…現(xiàn)有李某月收入為19000元，膝下有一名子女，需贍養(yǎng)老人（除此之外無其它專項附加扣除），則他該月應交納的個稅金額為()A．570 B．890 C．1100 D．19007．若復數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．直線2x+y+4=0與圓x+22+y+32=5A．255 B．4559．下圖為某市國慶節(jié)7天假期的樓房認購量與成交量的折線圖，小明同學根據(jù)折線圖對這7天的認購量（單位：套）與成交量（單位：套）作出如下判斷：①日成交量的中位數(shù)是26；②日成交量超過日平均成交量的有2天；③認購量與日期正相關；④10月2日到10月6日認購量的分散程度比成交量的分散程度更大.則上述判斷錯誤的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．110．已知，兩條不同直線與的交點在直線上，則的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點D，且，則的最小值為________．12．如圖，在四面體A－BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為________.13．已知點和點，點在軸上，若的值最小，則點的坐標為______.14．若，且，則是第_______象限角.15．設公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若，則__________．16．已知函數(shù)fx=cosx+2cosx，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項和為(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設,求數(shù)列的前2020項和.18．化簡.19．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的前n項和.20．某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：組號分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．21．已知的三個頂點，，，其外接圓為圓．（1）求圓的方程；（2）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（3）對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，，使得點是線段的中點，求圓的半徑的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由三角形面積公式可得，進而可得解.【詳解】在中，，，,，可得，所以，所以【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式，屬于基礎題.2、C【解析】

寫出命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設當時該命題不成立，則當時該命題也不成立”，由于當時，該命題不成立，則當時，該命題也不成立，故選：C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結合逆否命題的等價性進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.3、D【解析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．4、A【解析】

先分別計算號數(shù)為奇數(shù)的概率、摸到黃球的概率、摸到紅球的概率，從而可得摸到黃球且號數(shù)為奇數(shù)的學生，進而可得摸到紅球且不喜歡數(shù)學課的學生人數(shù)，由此可得估計該校學生中喜歡數(shù)學課的人數(shù)比例．【詳解】解：由題意，號數(shù)為奇數(shù)的概率為0.5，摸到黃球的概率為，摸到紅球的概率為那么按概率計算摸到黃球且號數(shù)為奇數(shù)的學生有個共有32名學生站出來，則有12個摸到紅球且不喜歡數(shù)學課的學生，不喜歡數(shù)學課的學生有：，喜歡數(shù)學課的有80個，估計該校學生中喜歡數(shù)學課的人數(shù)比例大約是：．故選：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、C【解析】由①得函數(shù)的最小正周期是，排除．對于B:，當時，，此時B選項對應函數(shù)是減函數(shù)，C選項對應函數(shù)是增函數(shù)，滿足②，故選C．6、B【解析】

根據(jù)題意，分段計算李某的個人所得稅額，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，李某月應納稅所得額（含稅）為元，不超過3000的部分的稅額為元，超過3000元至12000元的部分稅額為元，所以李某月應繳納的個稅金額為元.故選：B.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的實際應用與函數(shù)值的計算問題，其中解答中認真審題，合理利用分段函數(shù)進行求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.7、C【解析】，且是純虛數(shù)，，故選C.8、C【解析】

先求出圓心到直線的距離d，然后根據(jù)圓的弦長公式l=2r【詳解】由題意得，圓x+22+y+32=5圓心-2,-3到直線2x+y+4=0的距離為d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故選C．【點睛】求圓的弦長有兩種方法：一是求出直線和圓的交點坐標，然后利用兩點間的距離公式求解；二是利用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離，在由半徑、弦心距和半弦長構成的直角三角形中運用勾股定理求解，此時不要忘了求出的是半弦長．在具體的求解中一般利用幾何法，以減少運算、增強解題的直觀性．9、B【解析】

將國慶七天認購量和成交量從小到大排列,即可判斷①;計算成交量的平均值,可由成交量數(shù)據(jù)判斷②;由圖可判斷③;計算認購量的平均值與方差,成交量的平均值與方差,對方差比較即可判斷④.【詳解】國慶七天認購量從小到大依次為:91,100,105,107,112,223,276成交量從小到大依次為:8,13,16,26,32,38,166對于①,成交量的中為數(shù)為26,所以①正確;對于②,成交量的平均值為,有1天成交量超過平均值,所以②錯誤;對于③,由圖可知認購量與日期沒有正相關性,所以③錯誤;對于④,10月2日到10月6日認購量的平均值為方差為10月2日到10月6日成交量的平均值為方差為所以由方差性質可知,10月2日到10月6日認購量的分散程度比成交量的分散程度更小,所以④錯誤;綜上可知,錯誤的為②③④故選:B【點睛】本題考查了統(tǒng)計的基本內容,由圖示分析計算各個量,利用方差比較數(shù)據(jù)集中程度,屬于基礎題.10、C【解析】

聯(lián)立方程求交點，根據(jù)交點在在直線上，得到三角關系式，化簡得到答案.【詳解】交點在直線上觀察分母和不是恒相等故故答案選C【點睛】本題考查了直線方程，三角函數(shù)運算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、32【解析】

根據(jù)面積關系建立方程關系，結合基本不等式1的代換進行求解即可．【詳解】如圖所示，則△ABC的面積為，即ac=2a+2c，得，得，當且僅當，即3c=a時取等號；∴的最小值為32.故答案為：32.【點睛】本題考查三角形中的幾何計算，屬于中等題.12、【解析】如圖，取中點，中點，連接，由題可知，邊長均為1，則，中，，則，得，所以二面角的平面角即，在中，，則，所以．點睛：本題采用幾何法去找二面角，再進行求解．利用二面角的定義：公共邊上任取一點，在兩個面內分別作公共邊的垂線，兩垂線的夾角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出對應三角形的三邊，利用余弦定理求解（本題中剛好為直角三角形）．13、【解析】

作出圖形，作點關于軸的對稱點，由對稱性可知，結合圖形可知，當、、三點共線時，取最小值，并求出直線的方程，與軸方程聯(lián)立，即可求出點的坐標.【詳解】如下圖所示，作點關于軸的對稱點，由對稱性可知，則，當且僅當、、三點共線時，的值最小，直線的斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，因此，點的坐標為.故答案為：.【點睛】本題考查利用折線段長的最小值求點的坐標，涉及兩點關于直線對稱性的應用，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.14、三【解析】

利用二倍角公式計算出的值，結合判斷出角所在的象限.【詳解】由二倍角公式得，又，因此，是第三象限角，故答案為三.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)值的符號與角的象限之間的關系，考查了二倍角公式，對于角的象限與三角函數(shù)值符號之間的關系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的規(guī)律來判斷，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.15、【解析】

設出數(shù)列的首項和公差,根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前項和公式,代入條件化簡得和的關系,再代入所求的式子進行化簡求值.【詳解】解：設等差數(shù)列的首項為,公差為,由,得,得,.故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的簡單應用,屬于基礎.16、(0,1)【解析】

畫出函數(shù)f(x)在x∈0,2【詳解】解:畫出函數(shù)y=cosx+2|cosx|=3cos以及直線y=k的圖象,如圖所示;由f(x)的圖象與直線y=k有且僅有四個不同的交點,可得0<k<1.故答案為:(0,1).【點睛】本題主要考查利用分段函數(shù)及三角函數(shù)的性質求參數(shù)，數(shù)形結合是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）3030【解析】

（1）當時，可求出首項，當時，利用即可求出通項公式，進而證明是等差數(shù)列；(2)可將奇數(shù)項和偶數(shù)項合并求和即可得到答案.【詳解】（1）當時，當時，綜上，.因為，所以是等差數(shù)列.（2）法一：，的前2020項和為：法二：，的前2020項和為：.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的證明，分組求和的相關計算，意在考查學生的分析能力和計算能力，難度中等.18、【解析】

利用誘導公式進行化簡，即可得到答案.【詳解】原式.【點睛】本題考查誘導公式的應用，考查運算求解能力，求解時注意奇變偶不變，符號看象限這一口訣的應用.19、（1）（2）【解析】

（1）直接利用等比數(shù)列公式計算得到答案.（2），，利用錯位相減法計算得到答案.【詳解】（1）設等比數(shù)列的首項為，公比為，顯然.，.兩式聯(lián)立得:，，.（2），所以.則，①，②，①-②得：.所以.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式，錯位相減法，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.20、(1)35，0.30;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學生數(shù)，利用列舉法寫出從中任意抽取2人的所有方法種數(shù)，查出2人至少1人來自第四組的事件個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應分別抽取3人、2人、1人設第3組的3位同學為A1、A2、A3，第4組的2位同學為B1、B2，第5組的1位同學為C1，則從6位同學中抽2位同學有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，