甘肅省武威市涼州區(qū)六壩鄉(xiāng)中學(xué)高三沖刺模擬新高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

甘肅省武威市涼州區(qū)六壩鄉(xiāng)中學(xué)高三沖刺模擬新高考數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．3．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，若球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．4．若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，且的最小值為，則（）A． B． C． D．5．下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C．上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加6．已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（）cm3A． B． C． D．9．中國(guó)古代用算籌來(lái)進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．10．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．311．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）A．B．C．D．12．已知三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面，，，則有下列四個(gè)結(jié)論：①若為的外心，則；②若為等邊三角形，則；③當(dāng)時(shí)，與平面所成的角的范圍為；④當(dāng)時(shí)，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若OM∥平面，則在內(nèi)軌跡的長(zhǎng)度為1．其中正確的個(gè)數(shù)是（）．A．1 B．1 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，，滿足，，則的面積為_(kāi)_．14．從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為_(kāi)_________.15．已知，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_______．16．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個(gè)面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是6的的概率是___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若不等式對(duì)恒成立，求的最小值；（2）證明：.（3）設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在，，，使得，證明：.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項(xiàng)公式；（3）在第（2）問(wèn)的條件下，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；19．（12分）已知三點(diǎn)在拋物線上.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，若直線過(guò)點(diǎn)，求此時(shí)直線與直線的斜率之積；（Ⅱ）當(dāng)，且時(shí)，求面積的最小值.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.21．（12分）有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無(wú)底薪，單以內(nèi)（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天，求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率；（2）假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說(shuō)明你的理由.22．（10分）誠(chéng)信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進(jìn)誠(chéng)信教育，并用“”表示每周“水站誠(chéng)信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個(gè)周期）的誠(chéng)信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）計(jì)算表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)；（Ⅱ）若定義水站誠(chéng)信度高于的為“高誠(chéng)信度”，以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周進(jìn)行調(diào)研，計(jì)算恰有兩周是“高誠(chéng)信度”的概率；（Ⅲ）已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠(chéng)信為本”的主題教育活動(dòng)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說(shuō)明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)模長(zhǎng)計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長(zhǎng)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.2、B【解析】

設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式，即可得解；【詳解】解：設(shè)∵，∴，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)球0得半徑為R，AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為，，，由，得．如圖：設(shè)三角形的外心為，連接，，，可得，則．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．則三棱錐的體積的最大值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積，基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．4、C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，因?yàn)檎归_(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).5、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

通過(guò)分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義得到，故，再利用和差公式得到答案.【詳解】∵角的終邊過(guò)點(diǎn)，∴，.∴.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、D【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=（6+1.5π）cm1．故答案為6+1.5π．點(diǎn)睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可．9、B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對(duì)應(yīng)的算籌即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個(gè)數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬(wàn)位用縱式表示；十位，千位，十萬(wàn)位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對(duì)應(yīng)算籌表示為中的．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，也就是到焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無(wú)解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準(zhǔn)線的距離，故為到焦點(diǎn)的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點(diǎn)睛：拋物線中與線段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問(wèn)題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動(dòng)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離來(lái)求解.11、D【解析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.12、C【解析】

由線面垂直的性質(zhì),結(jié)合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯(cuò)誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形：若為的外心，則，平面,可得,即，①正確;若為等邊三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②錯(cuò)誤;若，設(shè)與平面所成角為可得，設(shè)到平面的距離為由可得即有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).可得的最大值為，即的范圍為，③正確；取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上，而，可得④正確；所以正確的是：①③④故選：C【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，處理這類問(wèn)題，可以用已知的定理或性質(zhì)來(lái)證明，也可以用反證法來(lái)說(shuō)明命題的不成立.屬于一般性題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合余弦定理可求，代入，計(jì)算可得所求．【詳解】解：把看成關(guān)于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（負(fù)的舍去），．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．14、【解析】

基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率．【詳解】從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，分別為：，，，，，，，，，，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意辨別概率的模型．15、【解析】

根據(jù)題意，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示，易知當(dāng)，時(shí)，的最大值為．故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于中檔題.16、【解析】

先求出基本事件總數(shù)6×6＝36，再由列舉法求出“點(diǎn)數(shù)之和等于6”包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此能求出“點(diǎn)數(shù)之和等于6”的概率．【詳解】基本事件總數(shù)6×6＝36，點(diǎn)數(shù)之和是6包括共5種情況，則所求概率是．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意可得，，令，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案；（3）由題意可得，進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性可得，記，，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，即，即，即可得到結(jié)論.【詳解】（1），即，化簡(jiǎn)可得.令，，因?yàn)?，所以?所以，在上單調(diào)遞減，.所以的最小值為.（2）要證，即.兩邊同除以可得.設(shè)，則.在上，，所以在上單調(diào)遞減.在上，，所以在上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以.所以，即.（3）證明：方程在區(qū)間上的實(shí)根為，即，要證，由可知，即要證.當(dāng)時(shí)，，，因而在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，，因而在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，要證.即要證.記，.因?yàn)椋?，則..設(shè)，，當(dāng)時(shí)，.時(shí)，，故.且，故，因?yàn)椋?因此，即在上單調(diào)遞增.所以，即.故得證.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性，屬于難題.18、（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.（3）【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（3）分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),,所以,②當(dāng)時(shí),,③當(dāng)時(shí),,所以,④……當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)所以以上個(gè)式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.解法二：猜測(cè)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.猜測(cè)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：,命題成立；假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),n為偶數(shù),由得故,時(shí),命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.（3）由（2）可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,只需,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】

（Ⅰ）設(shè)出直線的方程并代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及斜率公式，變形可得；（Ⅱ）利用，，的斜率，求得的坐標(biāo)，，再用基本不等式求得的最小值，從而可得三角形的面積的最小值．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組，得，，故，.所以；（Ⅱ）不妨設(shè)的三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)在軸右側(cè)（包括軸），設(shè)，，，的斜率為，又，則，①因?yàn)?，所以②由①②得，，（且）從而?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)，從而，所以面積的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．20、（1）（2）的遞減區(qū)間為和【解析】

（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，代入，計(jì)算即可；（2）先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合即可求出.【詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數(shù)的所有減區(qū)間為，考慮到，取，可得，，故的遞減區(qū)間為和.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.21、（1）；（2）①分布列見(jiàn)解析，；②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】

（1）記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，可得（A）的值．（2）①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，可得當(dāng)時(shí)，，以此類