八年級數(shù)學下冊專題12 一次函數(shù)實際應(yīng)用壓軸（原卷版）

專題12一次函數(shù)實際應(yīng)用壓軸題型1：利用一次函數(shù)解決方案問題題型2：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題題型3：利用一次函數(shù)解決行程問題題型4：利用一次函數(shù)解決運輸問題題型1：利用一次函數(shù)解決方案問題【典例1】我校將舉辦一年一度的秋季運動會，需要采購一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍標價80元，一盒球標價25元．體育商店提供了兩種優(yōu)惠方案，具體如下：方案甲：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原價出售；方案乙：按購買金額打9折付款．學校欲購買這種乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）請直接寫出兩種優(yōu)惠辦法實際付款金額y甲（元），y乙（元）與x（盒）之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果學校需要購買15盒乒乓球，哪種優(yōu)惠方案更省錢？（3）如果學校提供經(jīng)費為1800元，選擇哪個方案能購買更多乒乓球？【變式1-1】已知用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸．某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計劃同時租用A型和B型車輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．共有幾種租車方案，哪種方案租車費用最少？【變式1-2】2022年秋，鄭州新冠疫情牽動全國，社會各界籌集的醫(yī)用，建設(shè)等物資不斷從各地向鄭州匯集．這期間，恰逢春節(jié)承運資源短缺，緊急情況下，多家物流企業(yè)紛紛開通特別通道，馳援鄭州，為生產(chǎn)藥品，口罩，醫(yī)療器械等緊急物資的企業(yè)提供全方位支持．已知用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸，某物流公司計劃租用這兩種車輛運輸物資．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）若A型車每輛需租金90元/次，B型車每輛需租金110元/次．物流公司計劃共租用8輛車，請寫出總租車費用w（元）與租用A型車數(shù)量a（輛）的函數(shù)關(guān)系式．（3）如果汽車租賃公司的A型車只剩了6輛，B型車還有很多．在（2）的條件下，請選出最省錢的租車車方案，并求出最少租車費用．題型2：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題【典例2】2023年第一屆全國學生（青年）運動會在南寧市某中學初中部舉行火炬?zhèn)鬟f儀式，有幸參與該盛事的學校的九年級1000名學生將在火炬?zhèn)鬟f經(jīng)過的校道兩邊為火炬手搖旗吶喊，年級制定的活動經(jīng)費初步方案是采購一些手搖式小國旗，每面小國旗售價為0.8元．經(jīng)過進一步商討之后，年級決定再補購印有運動會吉祥物“壯壯”和“美美”的頭戴式小彩旗若干個．詢問甲、乙兩家吉祥物特許經(jīng)銷商，他們考慮到學校情況給出了不同的銷售方案．甲經(jīng)銷商的銷售方案是每個頭戴式小彩旗賣2.2元．乙經(jīng)銷商的方案是：購買不超過200個頭戴式小彩旗，每個售價2.5元；若超過200個，則超過部分每個售價2元．（1）設(shè)向乙經(jīng)銷商購買x個頭戴式小彩旗，所需費用為y元，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）年級最終決定必須要買1000面小國旗及若干個頭戴式小彩旗，最終總費用不低于1600元，不超過2000元．若向甲、乙兩家經(jīng)銷商中的一家購買頭戴式小彩旗，年級該向哪一家購買頭戴式小彩旗最合算？【變式2-1】“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟更具活力．牡丹花會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款花會紀念鑰匙扣進行銷售，進貨價和銷售價如表：價格/類別A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價（元/件）2025銷售價（元/件）3037（1）網(wǎng)店第一次用1100元購進A、B兩款鑰匙扣共50件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)；（2）第一次購進的花會紀念鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、B兩款鑰匙扣共240件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于5800元．網(wǎng)店這次應(yīng)如何設(shè)計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？【變式2-2】2023年杭州亞運會期間，吉祥物徽章受到了眾多人的喜愛．某網(wǎng)店直接從工廠購進A款禮盒120盒，B款禮盒50盒，兩款禮盒全部售完．兩款禮盒的進貨價和銷售價如下表：類別A款禮盒B款禮盒進貨價（元/盒）3025銷售價（元/盒）4533（1）求該網(wǎng)店銷售這兩款禮盒所獲得的總利潤．（2）網(wǎng)店計劃用第一次所獲的銷售利潤再次去購買A、B兩款禮盒共80盒．該如何設(shè)計進貨方案，使網(wǎng)店獲得最大的銷售利潤？最大銷售利潤是多少？【變式2-3】“書香中國，讀領(lǐng)未來”，4月23日是世界讀書日，我市某書店同時購進A，B兩類圖書，已知購進3本A類圖書和4本B類圖書共需160元；購進6本A類圖書和2本B類圖書共需170元．（1）A，B兩類圖書每本的進價各是多少元？（2）該書店計劃用2000元購進這兩類圖書，設(shè)購進A類x本，B類y本．①求y關(guān)于x的關(guān)系式；②進貨時，A類圖書的購進數(shù)量不少于50本，已知A類圖書每本的售價為28元，B類圖書每本的售價為40元，如何進貨才能使書店所獲利潤最大？最大利潤為多少元？【變式2-4】為迎接新春佳節(jié)的到來，一水果店計劃購進甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共160千克，這兩種水果的進價、售價如表所示：進價（元/千克）售價（元/千克）甲種58乙種913（1）若該水果店預計進貨款為1000元，則這兩種水果各購進多少千克？（2）若該水果店決定乙種水果的進貨量不超過甲種水果的進貨量的3倍，應(yīng)怎樣安排進貨才能使水果店在銷售完這批水果時獲利最多？此時利潤為多少元？【變式2-5】隨著“雙減”政策的逐步落實，其中增加中學生體育鍛煉時間的政策引發(fā)社會的廣泛關(guān)注，體育用品需求增加，某商店決定購進A、B兩種羽毛球拍進行銷售，已知每副A種球拍的進價比每副B種球拍貴20元，用2800元購進A種球拍的數(shù)量與用2000元購進B種球拍的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種羽毛球拍每副的進價；（2）若該商店決定購進這兩種羽毛球拍共100副，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100副羽毛球拍的資金不超過5900元，那么該商店最多可購進A種羽毛球拍多少副？（3）若銷售A種羽毛球拍每副可獲利潤25元，B種羽毛球拍每副可獲利潤20元，在第（2）問條件下，如何進貨獲利最大？最大利潤是多少元？【變式2-6】新春佳節(jié)來臨，某公司組織10輛汽車裝運蘋果、蘆柑、香梨三種水果共60噸去外地銷售，要求10輛汽車全部裝滿，每輛汽車只能裝運同一種水果，且裝運每種水果的車輛都不少于2輛，根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：蘋果蘆柑香梨每輛汽車載貨量（噸）765每噸水果獲利（萬元）0.150.20.1（1）設(shè)裝運蘋果的車輛為x輛，裝運蘆柑的車輛為y輛，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍（2）用w來表示銷售獲得的利潤，那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲利最大？并求出w的最大值．【變式2-7】商店銷售1臺A型和2臺B型電腦的利潤為400元，銷售2臺A型和1臺B型電腦的利潤為350元，該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設(shè)購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤y元．（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？（2）實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)了m（0＜m≤50）元，且限定商店最多的進A型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計出售這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．【變式2-8】某水果種植基地為響應(yīng)政府號召，大力種植優(yōu)質(zhì)水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果的市場價值，決定開始銷售這兩種水果．已知該超市購進甲種水果10千克和乙種水果3千克共需要197元；若購進甲種水果15千克和乙種水果6千克，則共需要324元．（1）求甲、乙兩種水果每千克的進價分別是多少元？（2）該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共100千克進行銷售，甲種水果的售價為20元/千克，乙種水果的售價為24元/千克．其中甲種水果的數(shù)量不少于20千克，但不超過60千克．若超市當天購進的水果當天售完（運輸和銷售過程中水果的損耗忽略不計），寫出每天銷售這兩種水果獲得的利潤w（元）與購進甲種水果的數(shù)量a（千克）之間的關(guān)系式，并求出a為何值時能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？【變式2-9】某商店銷售A型和B型兩種型號的電腦，銷售一臺A型電腦可獲利120元，銷售一臺B型電腦可獲利140元．該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的3倍．設(shè)購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售利潤最大？最大利潤是多少？【變式2-10】在近期“抗疫”期間，某藥店銷售A，B兩種型號的口罩，已知銷售80只A型和45只B型的利潤為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤為18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤；（2）該藥店計劃一次購進兩種型號的口罩共2000只，其中B型口罩的進貨量不少于A型口罩的進貨量且不超過它的3倍，則該藥店購進A型、B型口罩各多少只，才能使銷售總利潤y最大？最大值是多少？【變式2-11】第19屆亞運會已于2023年9月23日至10月8日在中國浙江杭州成功舉行．這是黨的二十大勝利召開之后我國舉辦的規(guī)模最大、水平最高的國際綜合性體育賽事，舉國關(guān)注，舉世矚目．杭州亞運會三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”．某專賣店購進A，B兩種杭州亞運會吉祥物禮盒進行銷售．A種禮盒每個進價160元，售價220元；B種禮盒每個進價120元，售價160元．現(xiàn)計劃購進兩種禮盒共100個，其中A種禮盒不少于60個．設(shè)購進A種禮盒x個，兩種禮盒全部售完，該專賣店獲利y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購進100個禮盒的總費用不超過15000元，求最大利潤為多少元？（3）在（2）的條件下，該專賣店對A種禮盒以每個優(yōu)惠m（0＜m＜20）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，B種禮盒每個進價減少n元，售價不變，且m﹣n＝4，若最大利潤為4900元，請直接寫出m的值．題型3：利用一次函數(shù)解決行程問題【典例3】2023年12月18日，甘肅積石山縣發(fā)生6.2級地震，全國各地連夜出發(fā)實施緊急救援．一輛貨車先從甲地出發(fā)運送賑災物資到災區(qū)，稍后一輛轎車從甲地急送醫(yī)療團隊到災區(qū)，已知甲地與災區(qū)的路程是330km，貨車行駛時的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數(shù)表達式；（3）問轎車比貨車早多少時間到達災區(qū)？【變式3-1】我市蓮池區(qū)開展了“陽光體育，強身健體”系列活動，小明積極參與，他每周末和哥哥一起練習賽跑．哥哥先讓小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降為原來的一半，已知他們所跑的路程y（m）與哥哥跑步的時間x（s）之間的函數(shù)圖象如圖．（1）哥哥的速度是m/s，哥哥讓小明先跑了米，小明后來的速度為m/s．（2）哥哥跑幾秒時，哥哥追上小明？（3）求哥哥跑幾秒時，兩人相距10米？【變式3-2】一輛汽車和一輛摩托車分別從A，B兩地去同一城市C，它們離A地的路程隨時間變化的圖象如圖所示，已知汽車的速度為60km/h，摩托車比汽車晚1個小時到達城市C．（1）求摩托車到達城市C所用的時間；（2）求摩托車離A地的路程y（km）關(guān)于時間x（h）的函數(shù)表達式；（3）當x為何值時，摩托車和汽車相距30km．【變式3-3】已知A，B兩港口相距150海里，甲船從A港行駛到B港后，休息一段時間，速度不變，沿原航線返回，同時，乙船從A港出發(fā)駛向B港，甲、乙兩船離A港的距離s（海里）與甲船行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當兩船相遇時，兩船到A港的距離為90海里，乙船在行駛過程中，速度不變．（假設(shè)甲、乙兩船沿同一航線航行）（1）直接寫出M點的坐標；（2）分別求線段DM、EF的表達式；（3）甲船行駛多少小時后兩船在甲船返航過程中相距30海里？【變式3-4】甲、乙兩車早上從A城車站出發(fā)勻速前往B城車站，在整個行程中，兩車離開A城的距離s與時間t的對應(yīng)關(guān)系如圖所示．（1）A，B兩城之間距離是多少？（2）求甲、乙兩車的速度分別是多少？（3）乙車出發(fā)多長時間追上甲車？（4）從乙車出發(fā)后到甲車到達B城車站這一時間段，在何時間點兩車相距40km？【變式3-5】一輛客車從甲地開往乙地，到達乙地即停止．一輛出租車從乙地開往甲地，到達甲地即停止．兩車同時出發(fā)，設(shè)客車離甲地的距離為y1千米，出租車離甲地的距離為y2千米，兩車行駛的時間為x小時，y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示：（1）根據(jù)圖象，直接分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)表達式；（2）若兩車之間的距離為S千米，請寫出S與x之間的函數(shù)表達式；（3）在行駛過程中，經(jīng)過多長時間兩車相距200千米．【變式3-6】甲車從A地出發(fā)勻速向B地行駛，同時乙車從B地出發(fā)勻速向A地行駛，甲車行駛速度比乙車快，甲、乙兩車距A地的路程y（千米）與行駛時間x（小時）之間的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲車速度為km/h，乙車速度為km/h；（2）求乙車行駛過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在行駛過程中，兩車出發(fā)多長時間，兩車相距80千米？題型4：利用一次函數(shù)解決運輸問題【典例4】受氣候的影響，某超市蔬菜供應(yīng)緊張，需每天從外地調(diào)運蔬菜1000斤．超市決定從甲、乙兩大型蔬菜棚調(diào)運蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可調(diào)出800斤，乙蔬菜棚每天最多可調(diào)運600斤，從兩蔬菜棚調(diào)運蔬菜到超市的路程和運費如表：到超市的路程（千米）運費（元/斤?千米）甲蔬菜棚1200.03乙蔬菜棚800.05（1）若某天調(diào)運蔬菜的總運費為3840元，則從甲、乙兩蔬菜棚各調(diào)運了多少斤蔬菜？（2）設(shè)從甲蔬菜棚調(diào)運蔬菜x斤，總運費為W元，試寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式，怎樣安排調(diào)運方案才能使每天的總運費最省？【變式4-1】2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生6.2級地震，造成嚴重的人員傷亡和財產(chǎn)損失．為支援災區(qū)的災后重建，甲、乙兩縣分別籌集了水泥200噸和300噸支援災區(qū)，現(xiàn)需要調(diào)往災區(qū)A鎮(zhèn)100噸，調(diào)往災區(qū)B鎮(zhèn)400噸．已知從甲縣調(diào)運一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運費分別為40元和80元；從乙縣調(diào)運一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運費分別為30元和50元．（1）設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，求總運費y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？【變式4-2】為了救援地震災區(qū)，某市A、B兩廠共同承接了生產(chǎn)500噸救災物資任務(wù)，A廠生產(chǎn)量是B廠生產(chǎn)量的2倍少100噸，這批救災物資將運往甲、乙兩地，其中甲地需要物資240噸，乙地需要物資260噸，運費如表：（單位：元/噸）目的地生產(chǎn)廠家甲乙A2025B1524（1）A廠生產(chǎn)了噸救災物資、B廠生產(chǎn)了噸救災物資；（2）設(shè)這批物資從B廠運往甲地x噸，全部運往甲、乙兩地的總運費為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計使總運費最少的調(diào)運方案；（3）當每噸運費降低a元，（0＜a≤15，且a為整數(shù)），若按照（2）中設(shè)計的調(diào)運方案運輸，且總運費不超過5400元，求a的最小值．【變式4-3】A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運往C、D兩鄉(xiāng)，從A城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為20元/噸和25元/噸；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為15元/噸和24元/噸．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，設(shè)A城運往C鄉(xiāng)的肥料為x噸，運往C鄉(xiāng)肥料的總運費為y1，運往D鄉(xiāng)肥料的總運費為y2．（1）寫出y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）怎樣調(diào)度總運費最少？求出最少的運輸費用．【變式4-4】列二元一次方程組解應(yīng)用題．2023年12月18日甘肅發(fā)生6.2級地震，遼寧省應(yīng)急、交通等部門給予大力幫助．針對災區(qū)房屋安全、電力供應(yīng)、物資保障等方面進行全方位排查，現(xiàn)安排甲、乙兩種貨車從某醫(yī)藥公司倉庫運輸物資到地震災區(qū)，兩種貨車的情況如表：甲種貨車/輛乙種貨車/輛總量/噸第一次3427第二次4535（1）甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？（2）據(jù)了解，這次運輸中，每輛車都裝滿，甲種貨車拉每噸貨物耗費100元，乙種貨車拉每噸貨物耗費150元，有5輛車參與運貨，其中甲種貨車a輛．求貨車所需總費用w與a之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，要使所需總費用最低，該如何安排拉貨？最低總費用是多少？【變式4-5】某公園將舉辦免費冰燈游園會，目的是為公眾提供一個廣泛參與、歡樂共享的冰雪季活動場所．該公園計劃分兩批運進冰塊用于制作冰燈，第一批運進1800立方米冰塊，比第二批運進冰塊少25%．（1）第二批運進多少立方米冰塊？（2）該公園運進每批冰塊時，都只能從甲、乙兩家運輸公司中選擇其中一家運輸公司運進．甲、乙兩家運輸公司的相關(guān)信息如下表：項目公司運載量（立方米/車）運費（元/車）優(yōu)惠條件甲家運輸公司60600運費不超過5000元時，無優(yōu)惠；運費超過5000元時，超過5000元的部分打七五折乙家運輸公司45420運費每滿2000元減300元，少于2000元的部分不享受優(yōu)惠①選擇哪家運輸公司運進第一批冰塊的運費最低，最低運費是多少元？②選擇哪家運輸公司運進第二批冰塊的運費最低，最低運費是多少元？【變式4-6】2022年春，新冠肺炎疫情再次爆發(fā)后，全國人民眾志成城抗擊疫情．某省A，B兩市成為疫情重災區(qū)，抗疫物資一度嚴重緊缺，對口支援的C，D市獲知A，B兩市分別急需抗疫物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運物資支援災區(qū)．已知C市有救災物資240噸，D市有救災物資260噸，現(xiàn)將這些抗疫物資全部調(diào)往A，B兩市．已知從C市運往A，B兩市的費用分別為每噸20元和25元，從D市運往往A，B兩市的費用別為每噸15元和30元，設(shè)從D市運往B市的救災物資為x噸，并繪制出表：A（噸）B（噸）合計（噸）C（噸）ab240D（噸）cx260總計（噸）200300500（1）a＝，b＝，c＝（用含x的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)C，D兩市的總運費為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）由于途經(jīng)地區(qū)的全力支持，D市到B市的運輸路線