天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在正三棱錐中，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)、是圓的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．3．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，若，則的外接圓面積為（）A． B． C． D．4．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行數(shù)里，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”.其意思為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，請(qǐng)問從第幾天開始，走的路程少于30里（）A．3 B．4 C．5 D．65．用分層抽樣的方法從10盆紅花和5盆藍(lán)花中選出3盆，則所選紅花和藍(lán)花的盆數(shù)分別為A．2，1 B．1，2 C．0，3 D．3，06．一個(gè)等腰三角形繞著底邊上的高所在的直線旋轉(zhuǎn)180度所形成的幾何體是（）A．兩個(gè)共底面的圓錐 B．半圓錐 C．圓錐 D．圓柱7．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)m>1，在約束條件y≥xA．1,1+2C．（1，3） D．（3，+∞）9．設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定10．下列結(jié)論正確的是（）A． B．若，則C．當(dāng)且時(shí)， D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________．12．已知向量，，且，則_______．13．中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且，，則的值為__________．14．底面邊長(zhǎng)為，高為的直三棱柱形容器內(nèi)放置一氣球，使氣球充氣且盡可能的膨脹（保持球的形狀），則氣球表面積的最大值為_______．15．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_______.16．5人排成一行合影，甲和乙不相鄰的排法有______種．（用數(shù)字回答）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）求的坐標(biāo)；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，，其中為常數(shù)，，求的值.18．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．已知直線：在軸上的截距為，在軸上的截距為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求點(diǎn)到直線的距離.20．某中學(xué)高二年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班中，需根據(jù)某次數(shù)學(xué)預(yù)賽成績(jī)選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽，已知這次預(yù)賽他們?nèi)〉玫某煽?jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲班5名學(xué)生成績(jī)的平均分是83，乙班5名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是1．（1）求出x，y的值，且分別求甲、乙兩個(gè)班中5名學(xué)生成績(jī)的方差、，并根據(jù)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該選派哪一個(gè)班的學(xué)生參加決賽？（2）從成績(jī)?cè)?5分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名．求至少有1名來自甲班的概率．21．某種汽車的購(gòu)車費(fèi)用是10萬元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為萬元，年維修費(fèi)用第一年是萬元，第二年是萬元，第三年是萬元，…，以后逐年遞增萬元汽車的購(gòu)車費(fèi)用、每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)、維修費(fèi)用的和平均攤到每一年的費(fèi)用叫做年平均費(fèi)用.設(shè)這種汽車使用年的維修費(fèi)用的和為，年平均費(fèi)用為.(1）求出函數(shù)，的解析式；(2）這種汽車使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最??？最小值是多少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用正三棱錐的性質(zhì)，作出側(cè)棱與底面所成角，利用直角三角形進(jìn)行計(jì)算.【詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因?yàn)槭钦忮F，所以面，所以為側(cè)棱與底面所成角，因?yàn)?，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查線面角的計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題.2、D【解析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時(shí)取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出的值.【詳解】如下圖所示，由切線長(zhǎng)定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動(dòng)點(diǎn)的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、D【解析】

先化簡(jiǎn)得，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即得的外接圓面積.【詳解】由題得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圓面積為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解析】

由題意知，本題考查等比數(shù)列問題，此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，由求和公式可得首項(xiàng)，進(jìn)而求得答案．【詳解】設(shè)第一天的步數(shù)為，依題意知此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以，解得，由，，解得,故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力．5、A【解析】

利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解．【詳解】解：用分層抽樣的方法從10盆紅花和5盆藍(lán)花中選出3盆，則所選紅花的盆數(shù)為：，所選藍(lán)花的盆數(shù)為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查所選紅花和藍(lán)花的盆數(shù)的求法，考查分層抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6、C【解析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的知識(shí)，結(jié)合等腰三角形的幾何特征，得出正確的選項(xiàng).【詳解】由于等腰三角形三線合一，故等腰三角形繞著底邊上的高所在的直線旋轉(zhuǎn)180度所形成的幾何體是圓錐.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的知識(shí)，考查等腰三角形的幾何特征，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求得，再結(jié)合長(zhǎng)度比的幾何概型，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則滿足，解得，所以在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】試題分析：∵，故直線與直線交于點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與直線垂直，且在點(diǎn)，取得最大值，其關(guān)系如圖所示：即，解得，又∵，解得，選：A．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們可以判斷直線的傾斜角位于區(qū)間上，由此我們不難判斷出滿足約束條件的平面區(qū)域的形狀，其中根據(jù)平面直線方程判斷出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與直線垂直，且在點(diǎn)取得最大值，并由此構(gòu)造出關(guān)于的不等式組是解答本題的關(guān)鍵．9、B【解析】

利用正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，，所以，所以是直角三角?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.10、D【解析】

利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析，對(duì)錯(cuò)誤的命題可以舉反例說明．【詳解】當(dāng)時(shí)，A不正確；，則，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；由不等式的性質(zhì)正確．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)是解題關(guān)鍵．可通過反例說明命題錯(cuò)誤．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、18【解析】

利用，化簡(jiǎn)得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用,即可求解.【詳解】,即所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.12、-2或3【解析】

用坐標(biāo)表示向量，然后根據(jù)垂直關(guān)系得到坐標(biāo)運(yùn)算關(guān)系，求出結(jié)果.【詳解】由題意得：或本題正確結(jié)果：或【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.13、4【解析】

利用余弦定理變形可得，從而求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用的變形，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】由題意，氣球充氣且盡可能地膨脹時(shí)，氣球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑

∵底面三角形的邊長(zhǎng)分別為，∴底面三角形的邊長(zhǎng)為直角三角形,利用等面積可求得∴氣球表面積為4π.15、1【解析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.16、72【解析】

先對(duì)其中3個(gè)人進(jìn)行全排列有種，再對(duì)甲和乙進(jìn)行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為.【詳解】先對(duì)其中3個(gè)人進(jìn)行全排列有種，再對(duì)甲和乙進(jìn)行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為種，故答案為72【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查基本運(yùn)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.【解析】

（1）利用題中定義結(jié)合平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可得出結(jié)果；（2）利用等差數(shù)列的求和公式和平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）先計(jì)算出的表達(dá)式，然后分、、三種情況計(jì)算出的值.【詳解】（1）由題意得；（2）；（3）.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，同時(shí)也考查等差數(shù)列求和以及數(shù)列極限的運(yùn)算，計(jì)算時(shí)要充分利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，屬于中等題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）解方程組即得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（Ⅰ）由題意：,化簡(jiǎn)得，因?yàn)閿?shù)列的公差不為零，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故數(shù)列的前項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1),.(2).【解析】分析：（1）在直線方程中，令可得在軸上的截距，令可得軸上的截距．（2）由（1）可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)果．詳解：（1）在方程中，令，得，所以；令，得，所以．（2）由（1）得點(diǎn)即為，所以點(diǎn)到直線的距離為.點(diǎn)睛：直線在坐標(biāo)軸上的“截距”不是“距離”，截距是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，故截距可為負(fù)值、零或?yàn)檎担笾本€在軸（軸）上的截距時(shí)，只需令直線方程中的或等于零即可．20、（3）甲班參加；（4）．【解析】

試題分析：（3）由題意知求出x=5，y=4．從而求出乙班學(xué)生的平均數(shù)為83，分別求出S34和S44，根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)相等，甲班的方差小，得到應(yīng)該選派甲班的學(xué)生參加決賽．（4）成績(jī)?cè)?5分及以上的學(xué)生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出隨機(jī)抽取4名，至少有3名來自甲班的概率．試題解析：（3）甲班的平均分為，易知．；又乙班的平均分為，∴；∵，，說明甲班同學(xué)成績(jī)更加穩(wěn)定，故應(yīng)選甲班參加．（4）分及以上甲班有人，設(shè)為；乙班有人，設(shè)為，從這人中抽取人的選法有：，共種，其中甲班至少有名學(xué)生的選法有種，則甲班至少有名學(xué)生被抽到的概率為．考點(diǎn)：3．古典概型及其概率計(jì)算公式；4．莖葉圖．21、（1），；（2）時(shí)，年平均費(fèi)用最小，最小值為3萬元．【解析】試題分析：根據(jù)題意可知，汽車使用年的維修費(fèi)用的和為，而第一年的維修費(fèi)用是萬元，以后逐年遞增萬元，每一年的維修費(fèi)用形成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和即可求出的解析式；將購(gòu)車費(fèi)