2022年海南省五指山中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.402.阿波羅尼斯(約公元前262~190年)證明過(guò)這樣的命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,當(dāng),,不共線(xiàn)時(shí),的面積的最大值是()A. B. C. D.3.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.4.如圖,在矩形中的曲線(xiàn)分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定5.已知,且,則的值為()A. B. C. D.6.已知集合,定義集合,則等于()A. B.C. D.7.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.8.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、,拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),且,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或9.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),線(xiàn)段與交于點(diǎn).若,則的方程為()A. B. C. D.10.點(diǎn)在曲線(xiàn)上,過(guò)作軸垂線(xiàn),設(shè)與曲線(xiàn)交于點(diǎn),,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0,則稱(chēng)點(diǎn)為曲線(xiàn)上的“水平黃金點(diǎn)”,則曲線(xiàn)上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.311.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.12.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱(chēng)軸是③的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是④存在兩條互相垂直的切線(xiàn)其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則______.14.過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為,,則的最小值是______.15.已知三棱錐中,,,則該三棱錐的外接球的表面積是________.16.已知平面向量,,滿(mǎn)足||=1,||=2,,的夾角等于,且()?()=0,則||的取值范圍是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某職稱(chēng)晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專(zhuān)業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失敗.晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男16女50合計(jì)(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02418.(12分)如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知非零實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.(1)求證:;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由20.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.21.(12分)已知關(guān)于的不等式有解.(1)求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,,均為正實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足.證明:.22.(10分)已知()過(guò)點(diǎn),且當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值1.(1)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù),求函數(shù)的表達(dá)式;(2)在(1)的條件下,函數(shù),求在上的值域.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,求出通項(xiàng)公式,從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于容易題.2、A【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示:設(shè),,,則,化簡(jiǎn)得,當(dāng)點(diǎn)到(軸)距離最大時(shí),的面積最大,∴面積的最大值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.3、D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.5、A【解析】

由及得到、,進(jìn)一步得到,再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕?,所以,,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)定義,求出,即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榧希?,則,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的新定義運(yùn)算,理解新定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

設(shè),,根據(jù)和拋物線(xiàn)性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線(xiàn)性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系,從而可得出離心率.【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn),垂足分別為、,不妨設(shè),,則,為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn),則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)離心率的求解,涉及雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.9、D【解析】

由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.10、C【解析】

設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個(gè)不同的解,所以曲線(xiàn)上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問(wèn)題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.11、A【解析】

由,可得以及,而,代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d,則解得,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,是一道基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線(xiàn)互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù),進(jìn)一步求出的值.【詳解】解:若,則,即,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):定積分的應(yīng)用,被積函數(shù)的原函數(shù)的求法,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由切線(xiàn)的性質(zhì),可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設(shè),進(jìn)而表示,由圖像觀(guān)察可知進(jìn)而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知,,設(shè),由切線(xiàn)的性質(zhì)可知,則顯然,則或(舍去)因?yàn)榱睿瑒t,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在以直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問(wèn)題,應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子,進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值,屬于較難題.15、【解析】

將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,求得的值,然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,則,由勾股定理可得,上述三個(gè)等式全部相加得,,因此,三棱錐的外接球面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算,根據(jù)三棱錐對(duì)棱長(zhǎng)相等將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解答的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.16、【解析】

計(jì)算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.【詳解】由()?()=0可得()?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1,α為與的夾角.再由2?1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的范圍,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有超過(guò)的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);(3)分布列見(jiàn)解析,=3【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級(jí)成功的頻率,計(jì)算晉級(jí)成功的人數(shù),填寫(xiě)列聯(lián)表,計(jì)算觀(guān)測(cè)值,對(duì)照臨界值得出結(jié)論;(3)由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率,將頻率視為概率,知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值,寫(xiě)出分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1,可知,解得;(2)由頻率分布直方圖知,晉級(jí)成功的頻率為,所以晉級(jí)成功的人數(shù)為(人),填表如下:晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男163450女94150合計(jì)2575100假設(shè)“晉級(jí)成功”與性別無(wú)關(guān),根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得,所以有超過(guò)的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);(3)由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率為,將頻率視為概率,則從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談,這人晉級(jí)失敗的概率為0.75,所以可視為服從二項(xiàng)分布,即,,故,,,,.所以的分布列為:01234數(shù)學(xué)期望為.或().【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題,屬于中檔題.若離散型隨機(jī)變量,則.18、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)連結(jié)BM,推導(dǎo)出BC⊥BB1,AA1⊥BC,從而AA1⊥MC,進(jìn)而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形,從而MN∥AP,由此能證明MN∥平面ABC.(2)推導(dǎo)出△ABA1是等腰直角三角形,設(shè)AB,則AA1=2a,BM=AM=a,推導(dǎo)出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),MA1,MB,MC為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.【詳解】(1)如圖1,在三棱柱中,連結(jié),因?yàn)槭蔷匦?,所以,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,,所以平面,所以,又因?yàn)?,所以是中點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié),,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),則且,所以且,所以四邊形是平行四邊形,所以,又因?yàn)槠矫?,平面,所以平?(圖1)(圖2)(2)因?yàn)?,所以是等腰直角三角形,設(shè),則,.在中,,所以.在中,,所以,由(1)知,則,,如圖2,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,.所以,則,,設(shè)平面的法向量為,則即取得.故平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為,則.因?yàn)槎娼菫殁g角,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的證明,考查了利用空間向量法求解二面角的方法,考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.19、(1)見(jiàn)解析(2)存在,【解析】

(1)利用作差法即可證出.(2)將不等式通分化簡(jiǎn)可得,討論或,分離參數(shù),利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當(dāng)時(shí),即恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故②當(dāng)時(shí)恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故綜上,【點(diǎn)睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類(lèi)討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.20、,;,證明見(jiàn)解析【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)

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