人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十七單元課課練課時(shí)作業(yè)+單元測(cè)試卷（含答案解析）

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1課時(shí)勾股定理

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的證明

1?利用圖1或圖2兩個(gè)圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱(chēng)為勾股定

理，該定理結(jié)論的數(shù)學(xué)表達(dá)式是￡±更三巳

2.4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖所示的圖形，利用這

個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說(shuō)明其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?

解：圖形的總面積可以表示為

c2+2x|ab=c2+ab，

也可以表示為a2+b2+2X3ab=a2+b2+ab，

c2+ab=a2+b2+ab.

.*.a2+b2-c2.

知識(shí)點(diǎn)2利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算

3?在4ABC中，NA，NB，NC的對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，c，若NB=90°，則下列等式中成立的是（O

A-a2+b2=c2B.b2+c2=a2

C-a2+c2=b2D.c2—a2=b2

4?已知在7?rAABC中，ZC=90°，AC=2，BC=3，則AB的長(zhǎng)為（。

4-4B.小

C.y[T3D.5

5?已知直角三角形中30°角所對(duì)的直角的邊長(zhǎng)是2小cm，則另一條直角邊的長(zhǎng)是（O

A-4cmB.4小cm

C?6cmD.6\[3cm

6?（2016?阿壩）直角三角形斜邊的長(zhǎng)是5，一直角邊的長(zhǎng)是3，則此直角三角形的面積為0.

7?在4ABC中，ZC=90°，AB=c，BC=a，AC=b.

（l）a=7，b=24,求c；

（2）a=4，c=7>求b.

解：（l）：/C=90°，,AABC是直角三角形.

.*.a2+b2-c2.

A72+242=C2.

Ac2-49+576=625.

.,.c=25.

(2)；NC=90。，.?.△4BC是直角三角形.

.,.42+Z>2=72.

.?方2=72-42=49-16=33.

：.b=yj33.

8?如圖，在4ABC中，AD1BC-垂足為點(diǎn)D，ZB=60°，ZC=45°.

⑴求/BAC的度數(shù)；

(2)若AC=2，求AD的長(zhǎng).

解：(1)NBAC=18O°-60°-45°

=75°.

(2)VAD±BC，

.,.△ADC是直角三角形.

；/C=45°，

.,.ZDAC=45°.

，AD=CD.

根據(jù)勾股定理，得AD=巾.

02中檔題

9?（2016?荊門(mén)）如圖，在4ABC中，AB=AC，AD是ZBAC的平分線(xiàn).已知AB=5，AD=3，則BC的長(zhǎng)為（0

10?如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿(mǎn)足NAEB=90。，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（C）

A-48B.60C.76D.80

11?（2017.陜西）如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的4ABC和△A，B，C拼在一起，其中點(diǎn)"與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C落

在邊AB上，連接BC若/ACB=/AC，B，=90°，AC=BC=3，則BC的長(zhǎng)為（A）

第11題圖第14題圖

12,（2016?東營(yíng)）在4ABC中，AB=10，AC=2^10，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（C）

A-10B.8

C-6或10￡>.8或10

13?若一直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為12和5，則第三邊長(zhǎng)為13或J麗.

14?如圖，在7?zAABC中，ZC=90°，AD平分NCAB，AC=6，BC=8，CD=3.

15?圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.在RtZ\ABC中，若直角

邊AC=6，BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，則

這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)（圖乙中的實(shí)線(xiàn)）是K.

16.如圖，在RtAABC中，N4CB=90。，CDLAB于D，AC=20，BC=15.

(1)求AB的長(zhǎng)；

⑵求CD的長(zhǎng).

解：(1)；在Rt"BC中,ZACB=90°>BC=15，AC=20，

/.AB=^AC2+BC2=^/202+152=25.

(2)VS^ABC=^ACBC=^AB-CD，

:.AC?BC=AB-CD.

.*.20X15=25CD..*.CD=12.

17?（2016?益陽(yáng)）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求Z\ABC的面積.

某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程.

作AD1BC于點(diǎn)D，

設(shè)BD=x，用含x

的代數(shù)式表示CD.一根據(jù)勾股定理，利用

AD作為“橋梁”，建

利用勾股定理求

立方程模型求出x.一出AD的長(zhǎng)，再計(jì)

算三角形面積.

解：在4ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，

設(shè)BD=x，則CD=14-x.

由勾股定理，得AD2=AB?-BD2=152-X2，AD2=AC2-CD2=132-(14-X)2.

...152-X2=132-(14-X)2.解得x=9.

AAD=12.

.?.SAABC=|BCAD=1X14X12=84.

03綜合題

18?如圖，已知4ABC是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以放4ABC的斜邊AC為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰RfaACD，

再以Rt/\ACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰/?fAADE.........依此類(lèi)推，則第2017個(gè)等腰直角三角形的斜

邊長(zhǎng)是（、歷嚴(yán)叱

□習(xí)題解析

第2課時(shí)勾股定理的應(yīng)用

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理在平面圖形中的應(yīng)用

1?如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5小處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12“處，旗桿折斷之前的高度是

（D）

2?如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹(shù)相距8米.一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，

則小鳥(niǎo)至少飛行坨米.

3?八（2）班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得如圖風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：

①測(cè)得BD的長(zhǎng)度為15米；（注：BD1CE）

②根據(jù)手中剩余線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線(xiàn)BC的長(zhǎng)為25米；

③牽線(xiàn)放風(fēng)箏的小明身高1.6米.

求風(fēng)箏的高度CE.

解：在Rf^CDB中，由勾股定理，得CD=#CB2-BD2=y252—15』20（米）.

，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米）.

答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米.

4?如圖，甲船以16海里/時(shí)的速度離開(kāi)碼頭向東北方向航行，乙船同時(shí)由碼頭向西北方向航行，已知兩船離開(kāi)碼頭

1.5h后相距30海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？

解：設(shè)碼頭所在的位置為C，1.5h后甲船所在位置為A，乙船所在位置為B，則

AC與正北方向的夾角為45。，8c與正北方向的夾角為45。，

ZACB=90°.

3

在Rt/XABC中，：AC=16X]=24（海里），AB=30海里.

由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=3（）2—242=324.解得BC=18.

3

182（海里〃J、時(shí)）.

答：乙船每小時(shí)航行12海里.

知識(shí)點(diǎn)2勾股定理與方程的應(yīng)用

5?印度數(shù)學(xué)家什迦邏(1141?1225年)曾提出過(guò)“荷花問(wèn)題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭

亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀(guān)看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”請(qǐng)用學(xué)過(guò)的數(shù)

學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問(wèn)題.

解：如圖，由題意可知AC=0.5，AB=2，OB=OC.

設(shè)OA=x，則OB=OA+AC=x+0.5.

在RtAOAB中，OA2+AB2=OB2，

+22=(X+0.5)2.

解得x=3.75.

，水深3.75尺.

6?如圖，在一棵樹(shù)(AD)的10m高處(3)有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)走向離樹(shù)20m(C)的池塘，而另一只則爬到樹(shù)

頂(。)后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過(guò)的路程相等，那么這棵樹(shù)有多高？

解：B為猴子的初始位置，則AB=10m，C為池塘，則AC=20m.

設(shè)BO=xm，則樹(shù)高AO=(10+x)m.

由題意知BQ+CC=AB+AC，.?.x+CQ=20+10.

CD=(30—x)m.

在RtAACD中，ZA=90°，

由勾股定理得，

/.202+(10+%)2=(30-X)2./.X=5.

,,.AD=10+5=15(m).

故這棵樹(shù)有15m高.

知識(shí)點(diǎn)3兩次勾股定理的應(yīng)用

7?(2017?紹興)如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端

距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距高地面2米，那么小巷的寬度為(C)

A?0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

第7題圖第8題圖

8?如圖，滑竿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，ZACB為直角，已知滑竿AB長(zhǎng)2.5米，頂點(diǎn)A在A(yíng)C上滑動(dòng)，量得滑竿下端B

距C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí)，滑竿頂端A下滑Q2米.

02中檔題

9?如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅

少走了步路(假設(shè)2步為1m)，卻踩傷了花草(D)

第9題圖第10題圖

10■如圖為某樓梯，測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5米，高3米，計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少為(D)

A?4米B.8米C.9米D.7米

U?如圖，長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm到點(diǎn)D，則橡皮筋被

拉長(zhǎng)了Zcm.

ft

第12題圖習(xí)題解析

12.將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm-高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)

度為hcm-則h的取值范圍是7WhW16.

13?如圖是一面長(zhǎng)方形彩旗完全展平時(shí)的尺寸圖(單位：cm).其中長(zhǎng)方形ABC。是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗

褲，陰影部分。CE尸為長(zhǎng)方形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場(chǎng)上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?20cm.

在無(wú)風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂.求彩旗下垂時(shí)最低處離地面的最小高度h.

解：彩旗自然下垂的長(zhǎng)度就是長(zhǎng)方形。CE尸的對(duì)角線(xiàn)。E的長(zhǎng)度，連接力E，

在RtADEF中，根據(jù)勾股定理，得

DE=7DF?+E產(chǎn)=、12()2+9()2=150.

/;=220-150=70(cm).

，彩旗下垂時(shí)的最低處離地面的最小高度h為70cm.

14?超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小朋鳥(niǎo)等三位同學(xué)在濱海大道紅樹(shù)林路段，嘗試用自己所學(xué)的知

識(shí)檢測(cè)車(chē)速，觀(guān)測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路1的距離為100米的P處.這時(shí)，一輛富康轎車(chē)由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車(chē)從A

處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得NAPO=60°，NBPO=45°，試判斷此車(chē)是否超過(guò)了每小時(shí)80千米的

限制速度？

ABO

P

解：在mZXAPO中，ZAPO=60°，則NPAO=30°.

.,.AP=20P=200m，

AORAP?—OP2r20()2-1002=io(h/3(w).

在/?/ABOP中，ZBPO=45°，則BO=OP=100w.

.?.AB=AO-BO=100V3-100^73(/n).

.?.從A至"B小車(chē)行駛的速度為73^3?24.3(/n/.v)=87.48km/h>S0km/h.

.?.此車(chē)超過(guò)每小時(shí)80千米的限制速度.

03綜合題

15?如圖，在RtAABC中，/C=90°，AB=5cmAC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC以1cm/s的速度移

動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

(1)求BC邊的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)4ABP為直角三角形時(shí)，求t的值.

解：(1)在Rt/\ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=52-32-16.

ABC=4cm.

⑵由題意，知BP=tcm>

①當(dāng)/APB為直角時(shí)，如圖1，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=4C/H，

.,.t=4；

圖2

②當(dāng)/BAP為直角時(shí)，如圖2，BP=tc，〃>CP=(t-4)c〃？，AC=3cm，

在7?rAACP中，AP2=AC2+CP2=32+(t-4)2.

在RfZXBAP中，AB2+AP2=BP2>

即52+[32+(t-4)2]=t2.

解得t=y.

.,.當(dāng)4ABP為直角三角形時(shí)，t=4或t=^

第3課時(shí)利用勾股定理作圖

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)

1?在數(shù)軸上作出表示小的點(diǎn)(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法).

解:略.

知識(shí)點(diǎn)2網(wǎng)格中的無(wú)理數(shù)

2?如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B都是格點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為(4)

A.5

B-6

C-7

D-25

知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形中的勾股定理

3?在4ABC中，AB=AC=13cm，8c=10cm，求等腰三角形的邊上的高與面積.

解：過(guò)點(diǎn)A作AOL3C于。，

\9AB=AC=\3cm，

：.BD=CD=^BC=^XIO

=5(cm).

：.AD=ylAB2-BD2=y]\32~52

=12(cm).

.??5A.4BC=|BCAZ)=1X10X12=60(cm2).

02中檔題

4?(2017?南充)如圖，等邊4OAB的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(￡))

71?(1-1-)

B?他，1)

C?（小，小）

D-（1'A/3）

5?（2017?成都）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)是

-2-I01A2!ii

第5題圖第6題圖

6?（2017?樂(lè)山）點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)圖中的位置如圖所示，格點(diǎn)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)C到線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的

距離萍.

7?如圖，4ABC和4DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)B，C，E在同一條直線(xiàn)上，連接BD，求BD的長(zhǎng).

解：???△ABC和4DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

???CB=CD，

ZCDE=ZDCE=60°.

，ZBDC=ZDBC=|zDCE=30°.

，ZBDE=90°.

在RtABDf中，DE=4，BE=8，

—CE2=、82—42=4小.

03綜合題

8?仔細(xì)觀(guān)察圖形，認(rèn)真分析下列各式，然后解答問(wèn)題.

OA3=（VT）2+1=2，S尸坐：

OAg=柩2+1=3，S2=苧；

OAi=（V3）2+l=4，S3=坐；

求：

（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律;

⑵推算出OAio的長(zhǎng)；

（3）求出ST+SJ+SH-----FS%的值.

解：（l）OA￡=Nn—I]+1=n，Sn=羋（n為正整數(shù)）.

（2）OA?o=（港＞+1=10,.,.OAIO=E.

(3)S彳+S3+S3+…+S?o

=$+(%+(坐y+…+(坐產(chǎn)+(厚產(chǎn)

1,23,,9,10

=a+z+w+…+/彳

1+2+3+…+9+10

=4

1+10

X10

2

4

=55

-4-

小專(zhuān)題（二）巧用勾股定理解決折疊與展開(kāi)問(wèn)題

類(lèi)型/利用勾股定理解決平面圖形的折疊問(wèn)題

解決折疊問(wèn)題關(guān)鍵是抓住對(duì)稱(chēng)性.勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)含有平方關(guān)系的等式，求線(xiàn)段的長(zhǎng)時(shí)，可由此列

出方程，運(yùn)用方程思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，以簡(jiǎn)化求解.

【例1】直角三角形紙片的兩直角邊AC=8，BC=6，現(xiàn)將4ABC如圖折疊，折痕為DE，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，

則BE的長(zhǎng)為苧.

1?（2017?黔西南）如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在A(yíng)B邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，

折痕為FH，則線(xiàn)段AF的長(zhǎng)是9孤

第1題圖第2題圖

2?如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，己知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線(xiàn)AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為

AE，且EF=3>則AB=§.

類(lèi)型2利用勾股定理解決立體圖形的展開(kāi)問(wèn)題

立體圖形中求表面距離最短時(shí)，需要將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，然后將條件集中于一個(gè)直角三角形，利用勾股

定理求解.

【例2】（教材P39Tl2變式與應(yīng)用）如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm>底面半徑等于3cm，在圓柱的底面A

點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n取3）

4V------

【思路點(diǎn)撥】要求螞蟻爬行的最短路徑，需將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形（即立體圖形的平面展開(kāi)圖），把圓柱

沿著過(guò)A點(diǎn)的A4'剪開(kāi)，得到如圖所示的平面展開(kāi)圖，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，所以螞蟻應(yīng)沿著平面展開(kāi)圖中

線(xiàn)段AB這條路線(xiàn)走.

【解答】如圖，由題意可得：AA'=12>B=；X2兀X3=9.

在RtaAAB中，根裾勾股定理得：AB2=A'A2+A'B2=122+92=225.

.\AB=15.

.??需要爬行的最短路徑是15cm.

針對(duì)訓(xùn)練

3?如圖是一個(gè)高為10cm，底面圓的半徑為4cm的圓柱體.在A(yíng)Ai上有一個(gè)蜘蛛。，Q4=3cm；在上有一只

蒼蠅P，PBi=2cm，蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是416兀2+25cm.（結(jié)果用帶兀和根號(hào)的式子表

示）

4?如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為2機(jī)，寬為I根的長(zhǎng)方形草地上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱和草地寬AD平行且棱長(zhǎng)大

于A(yíng)D，木塊從正面看是邊長(zhǎng)為0.2m的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是四Q，”（精確到

0.01機(jī)）.

5?如圖，長(zhǎng)方體的高為5cm，底面長(zhǎng)為4cm5寬為1cm.

（1）點(diǎn)Ai到點(diǎn)C2之間的距離是多少？

（2）若一只螞蟻從點(diǎn)A2爬到C一則爬行的最短路程是多少？

解：（1）..,長(zhǎng)方體的高為5cm?底面長(zhǎng)為4an，寬為Ian，

/.A2c2="TP=行（即）.

，Aic2="2+（?n）2=痘（。?）.

（2）如圖1所示，A2cI=4可予=5啦（ent）.

如圖2所示，A2C1—y/92+l2—y/82(cm).

如圖3所示，A2cl="6?+42=2回（cm）.

■：5y[2<2\fl3<y/82，

，一只螞蟻從點(diǎn)A2爬到Ci，爬行的最短路程是5陋cm.

17.2勾股定理的逆定理

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1互逆命題

1?下列各命題的逆命題不成立的是(。

A.兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)

B-若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)也相等

C?對(duì)頂角相等

D?如果a2=b2>那么a=b

2?寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題.

(1)如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等；

(2)等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

解：(1)如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等.是假命題.

(2)有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形.是真命題.

知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的逆定理

3?下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是(B)

A.小,也‘小B.1’啦’小

C-6>7>8D.2,3,4

4?下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(A)

A?3，4，5B.1.5>2>2.5

C?32,42，52D.|>|1

5?在4ABC中，AB=8，AC=15，BC=17>則該三角形為(B)

A?銳角三角形B.直角三角形

C?鈍角三角形D.等腰直角三角形

6?三角形的邊長(zhǎng)之比為：①1.5：2:2.5；②4：7.5:8.5；③1：小：2；@3.5:4.5:5.5.其中可以構(gòu)成直角三角形

的有(0

A?1個(gè)8.2個(gè)

C?3個(gè)力.4個(gè)

7?如圖，分別以三角形三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，如果較小的兩個(gè)半圓面積之和等于較大的半圓面積，那么這

個(gè)三角形為(B)

A?銳角三角形

B?直角三角形

C?鈍角三角形

D?銳角三角形或鈍角三角形

8?已知：在4ABC中，/A，NB，NC的對(duì)邊分別是a，b，c，三邊分別為下列長(zhǎng)度，判斷該三角形是不是直角

三角形，并指出哪一個(gè)角是直角.

⑴，b=2y[2，c=y[5；

(2)a=5，b=7，c=9；

(3)a=2，b=y[3，c=巾；

(4)a=5，b=2#?c=l.

解：(1)是，NB是直角.

⑵不是.

⑶是，NC是直角.

⑷是,/A是直角.

9?如圖，在4ABC中，AD1BC，AD=12，BD=16，CD=5.

(l)^AABC的周長(zhǎng)；

(2)判斷AABC是不是直角三角形？為什么？

解：(1)在/?zAABD和RtAACD中，

根據(jù)勾股定理，得AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，

又：AD=12，BD=16，CD=5>

AAB=20-AC=13.

.?.△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54.

(2)aABC不是直角三角形.理由：

VAB=20，AC=13，BC=21，

AB2+AC2^BC2，

...△ABC不是直角三角形.

02中檔題

10?如圖，AD為4ABC的中線(xiàn)，且AB=13，BC=10，AD=12>則AC等于(Q)

A-10

B-11

C-12

D-13

H?已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿(mǎn)足但-6)2+赤行+1—10|=0，那么下列說(shuō)法中不正確的是(。

A-這個(gè)三角形是直角三角形

B?這個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)是10

C?這個(gè)三角形的面積是48

D?這個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊上的高是4.8

12?下列定理中，沒(méi)有逆定理的是(B)

A?等腰三角形的兩個(gè)底角相等

B?對(duì)頂角相等

C-三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

D?直角三角形兩個(gè)銳角的和等于90。

13?一艘輪船和一艘漁船同時(shí)沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向行60海

里到達(dá)點(diǎn)M處，同一時(shí)刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點(diǎn)N處，若M，N兩點(diǎn)相距100海里，則NNOF

的度數(shù)為(。

N

A-50°

B-60°

C-70°

D-80°

14?把一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，則

這個(gè)三角形是直魚(yú)三角形.

15?如圖是一個(gè)零件的示意圖，測(cè)量AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm>AD=13cm>ZABC=90°，根據(jù)這些

條件，你能求出NACD的度數(shù)嗎？試說(shuō)明理由.

解：在A(yíng)ABC中，：AB=4，BC=3，ZABC=90°，

根據(jù)勾股定理，得AC2=AB2+BC2=42+32=52.

??AC=5cm.

AC2+CD2=52+122=25+144=169，

AD2=132=169，

即AC2+CD2=AD2.

.-.△ACD是直角三角形，且AD為斜邊，

即NACD=90°.

16?如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=1，CD=<§，DA=1，且NB=90°.求:

(l)NBAD的度數(shù)；

(2)四邊形ABCD的面積(結(jié)果保留根號(hào)).

解：⑴連接AC.

VAB=BC=1>ZB=90°，

；./BAC=/ACB=45°>AC=-\/AB2+BC2=V2.

又：CD=V§，DA=1，

.?.AC2+DA2=CD2.

.,.△ADC為直角三角形＞ZDAC=90°.

.?.ZBAD=ZBAC+ZDAC=135°.

(2)VSAABC=|AB-BC'

SAAEXZ=]AD.AC—^2

._,1+啦

?*S四邊形ABCD=S^ABC+SAADC=2?

03綜合題

17?在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，老師設(shè)計(jì)了如下數(shù)表:

n2345???

a22-l32-l42-l52—1???

b46810???

c22+l32+l42+l52+l???

⑴請(qǐng)你分別觀(guān)察a，b，c與n之間的關(guān)系?用含自然數(shù)n(n>l)的代數(shù)式表示a，b，c，則a=n2—1，b=2n，

=n2+l；

⑵猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形？證明你的結(jié)論.

解：以a，b，c為邊的三角形是直角三角形.

證明：Va2+b2=(n2—l)2+(2n)2=n4—2n2+1+4n2=(n2+l)2=c2?

，以a，b，c為邊的三角形是直角三角形.

章末復(fù)習(xí)（二）勾股定理

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理

1?如圖，在4ABC中，NC=90。，NA=30。>AB=12，則4c=(C)

A.6B.6A/2

C?6巾D.12

第1題圖第2題圖

2?如圖，陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為為.

3.如圖，在Rt/\ABC中，ZACB=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，

則BD=2.

4?如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°，CDLAD，AU+COMZAB?.求證：AB=BC.

證明：連接AC

在A(yíng)ABC中，NB=90。，

:.AB2+BC2=AC2.

VCDLAD，

?.NAQC=90。.

:.AD2+CD2^AC2.

"：AD2+CD2=2AB2，

：.AB2+BC2=2AB2.

:.BC2=AB2.

'：AB>0，BOO，

：.AB=BC.

知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用

5?如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8相處，發(fā)

現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）（0

A?\2tnB.13m

C?16777D.17m

第5題圖第6題圖

6?已知A，B，C三地位置如圖所示，/C=90°，A，C兩地的距離是4如？，B，C兩地的距離是3km-則A，B

兩地的距離是“如若A地在C地的正東方向，則B地在C地的正北方向.

7?(2016?煙臺(tái))如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)一3，3，作腰長(zhǎng)為4的等腰AABC，連接OC，以O(shè)為圓

心，CO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為應(yīng).

知識(shí)點(diǎn)3逆命題與逆定理

8?“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是互補(bǔ)的兩個(gè)角是同旁?xún)?nèi)角，它是假命題.

知識(shí)點(diǎn)4勾股定理的逆定理及其應(yīng)用

9?在4ABC中，AB=6，AC=8，BC=10-則該三角形為(B)

A-銳角三角形B.直角三角形

C?鈍角三角形。.等腰直角三角形

02中檔題

10?如圖，在4ABC中，ZC=90°，AC=2，點(diǎn)D在BC上，ZADC=2ZB，AD=4，則BC的長(zhǎng)為（。）

—1B.y[j+1

C.V5-1D.V5+1

11?(2016.漳州)如圖，在4ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B，C).若線(xiàn)段AD

長(zhǎng)為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有(C)

A?5個(gè)B.4個(gè)

C?3個(gè)D.2個(gè)

12?如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則/ABC的度數(shù)為(C)

A?90°B.60°

C-45°D.30°

第12題圖第13題圖

13?如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB，CD，EF，GH四條線(xiàn)段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線(xiàn)

段是(8)

4?CD，EF，GHB.AB>EF>GH

C-AB，CD，EFQ.GH，AB，CD

14?若一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12小cm，一邊長(zhǎng)為3小cm-其他兩邊之差為小cm>則這個(gè)三角形是直角三角形.

15?有一塊空白地，如圖，ZADC=90°>CD=6m，AO=8m>AB=26m，BC=24m.試求這塊空白地的面積.

D

An

解：連接AC.

ZADC=90°，

，△AQC是直角三角形.

.,.AE^+CD^Ad2，即82+62=AC2，

解得AC=10.

又,.?AC2+CB2=K)2+242=262=AB2，

.?.△ACS是直角三角形，ZACB=90°

?'-5ABCD-SRI&ACB-SRXAACD

=1xiOX24-1x6X8

=96(m2).

故這塊空白地的面積為96m2.

16?小明將一副三角板按如圖所示擺放在一起，發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長(zhǎng)就可以求出其他各邊的長(zhǎng)，若已知CD

=2，求AC的長(zhǎng).

解：；BD=CD=2，

/.BC=A/22+22=2V2.

設(shè)AB=x，則AC=2x.

；.X2+(2啦)2=(2X)2.

X2+8=4X2.

.2-8

?,x-3.

???x=￥.

AC=2AB=^\/^.

03綜合題

17?如圖，在4ABC中，ZACB=90°>AC=BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，CD=PC=2>CD±CP，

求NBPC的度數(shù).

D

c.

AB

解：連接BD.

VCD1CP，CP=CD=2，

???△CPD為等腰直角三角形.

/.ZCPD=45°.

VZACP+ZBCP=ZBCP+ZBCD=90°，

，ZACP=ZBCD.

?：CA=CB，

△CA尸絲△CBQ(SAS).

：.DB=PA=3,

在RtACPD中，DP2=CP2+C￡>2=22+22=8.

又〈PB=1，DB2=9，

：.DB2=DP2+PB2=S+\=9.

：.ZDPB=900.

???ZCPB=ZCPD+ZDPB=45°+90°=135°.

第17章勾股定理專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

專(zhuān)訓(xùn)1.巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)

名師點(diǎn)金：

求最短距離的問(wèn)題，第一種是通過(guò)計(jì)算比較解最短問(wèn)題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過(guò)幾何變換（平移

或軸對(duì)稱(chēng)）進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將立體圖形展開(kāi)為平面圖形，在平面圖形中將路

程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程（距離）.

用計(jì)算法求平面中最短問(wèn)題

1.如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B,為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條

“路”，他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為14，卻踩傷了花草.

（第1題）

2.小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車(chē)”已經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖，以往從黃石A坐客車(chē)到武昌客運(yùn)站B,現(xiàn)

在可以在黃石A坐“武黃城際列車(chē)”到武漢青山站C,再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車(chē)到武昌客運(yùn)站B.設(shè)AB=80km,

BC=20km,NABC=120。.請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：

（1）求A,C之間的距離.（參考數(shù)據(jù)如七4.6）

（2）若客車(chē)的平均速度是604勿/力，市內(nèi)的公共汽車(chē)的平均速度為40協(xié)力!，“武黃城際列車(chē)”的平均速度為180

km/h,為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車(chē)方案？請(qǐng)說(shuō)明理由.（不計(jì)候車(chē)時(shí)間）

（第2題）

用平移法求平面中最短問(wèn)題

3.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是50cm,30cm,10cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相

對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到

B點(diǎn)，至少需爬（）

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm

（第4題）

4.如圖，己知NB=NC=ND=NE=90°,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,則AF的長(zhǎng)是.

用對(duì)稱(chēng)法求平面中最短問(wèn)題

5.如圖，在正方形ABCD中，AB邊上有一點(diǎn)E,AE=3,EB=1,在A(yíng)C上有一點(diǎn)P,使EP+BP最短，求EP+BP

的最短長(zhǎng)度.

(第5題)

6.高速公路的同一側(cè)有A、B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線(xiàn)MN的距離分別為AA，=2km,BB'=4km,

=8要在高速公路上A，、B，之間建一個(gè)出口P,使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這個(gè)最短距離.

(第6題)

用展開(kāi)法求立體圖形中最短問(wèn)題

類(lèi)型1圓柱中的最短問(wèn)題

(第7題)

2

7.如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為亍高為2,AB,CD分別是兩底面的直徑.若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓

柱側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)度是________(結(jié)果保留根號(hào)).

類(lèi)型2圓錐中的最短問(wèn)題

8.已知：如圖，觀(guān)察圖形回答下面的問(wèn)題：

(1)此圖形的名稱(chēng)為.

(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿AS剪開(kāi)，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè).

(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A(yíng)處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C

處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出蝸牛爬行的最短路線(xiàn)嗎？

(4)SA的長(zhǎng)為10,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90。，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程.

s

（第8題）

類(lèi)型3正方體中的最短問(wèn)題

9.如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒(méi)有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到

柜角a處.

（1）請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑;

（2）當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為4時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng).

（第9題）

類(lèi)型4長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題

10.如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm,8cm,30cm,在A(yíng)B的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從

E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程.

（第10題）

專(zhuān)訓(xùn)2.巧用勾股定理解折疊問(wèn)題

名師點(diǎn)金：

折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線(xiàn)翻折能夠完全重合，解答折疊問(wèn)題就是巧用軸對(duì)稱(chēng)及全等

的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律.利用勾股定理解答折疊問(wèn)題的一般步驟：（1）運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線(xiàn)段或

角；（2）在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線(xiàn)段的長(zhǎng)為x,將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x

的代數(shù)式表示出來(lái)；（3）利用勾股定理列方程求出X；（4）進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題.

巧用全等法求折疊中線(xiàn)段的長(zhǎng)

L（中考?泰安）如圖①是一直角三角形紙片，/A=30°,BC=4cm,將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C，處,

折痕為BD,如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC，的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)A，處，如圖③，則折痕DE的長(zhǎng)為（）

（第1題）

A.,cmB.2#cm

o

C.2.y[2cmD.3cm

巧用對(duì)稱(chēng)法求折疊中圖形的面積

2.如圖所示，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線(xiàn)BD折疊,使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，BL交AD于E,AD=8,AB=4,求4BED

的面積.

（第2題）

巧用方程思想求折疊中線(xiàn)段的長(zhǎng)

3.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將AADE沿AE對(duì)折至AAFE,延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G,

連接AG.

（1）求證：△ABGg^AFG；

⑵求BG的長(zhǎng).

（第3題）

巧用折疊探究線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系

4.如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接CE.

(1)求證：AE=AF=CE=