新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3冪函數(shù)學(xué)案新人教A版必修第一冊

幕函數(shù)

新課程標準解讀核心素養(yǎng)

通過具體實例，結(jié)合尸x,y=py=x,y=y［x,y=

￡的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解募函數(shù)，會求幕數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算

函數(shù)的解析式

…忽震感曾知識梳理

4情境導(dǎo)入

我們以前學(xué)過函數(shù)y=x,y=/,y=：

［問題］(1)這三個函數(shù)的解析式有什么共同的特點嗎？

(2)你能根據(jù)初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)塞的運算，把這三個函數(shù)的解析式改寫成統(tǒng)一的形式

嗎？

格新知初探

知識點一事函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)尸X"叫做幕函數(shù),其中竭自變量，且是常數(shù).

點F點。

對嘉函數(shù)的再理解

⑴一的系數(shù)為1;

(2)/的底數(shù)是自變量x,指數(shù)。為常數(shù)；

(3)項數(shù)只有一項.

e做一做

1.在函數(shù)y=：,y=3x,y=x+2,x,了=1中，幕函數(shù)的個數(shù)為

解析：函數(shù)_7=二=/"為幕函數(shù)；

X

函數(shù)尸3/中V的系數(shù)不是1,所以它不是累函數(shù);

函數(shù)y=/+2x不是y=Z(a是常數(shù))的形式，所以它不是募函數(shù);

函數(shù)7=1與尸f=1(#0)不相等，所以y=l不是累函數(shù).

答案：1

2.已知f(x)=(勿+1)『?是幕函數(shù)，則加=

解析：???函數(shù)/5)=(必+1)-2是幕函數(shù)，

.,.O+1=1,即m=0.

答案：0

知識點二五個常見募函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.五個常見幕函數(shù)的圖象

2_—1

募函數(shù)尸X尸X

y=xy—&尸X

(—8,0)U

定義域RRR[0,+8)

(0,+°0)

“GR

值域R[0,+8)R[0,+°°)

且產(chǎn)助

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

X?(0,+8)

(0,+8)減；

單調(diào)性增增；xe(—8,增增

(—8,0)減

0)減

公共點都經(jīng)過點(1,1)

。做一做

1.如果幕函數(shù)/1(x)=/的圖象經(jīng)過點。，則。=()

A.12B.2

11

--一

C.2D.2

答案：A

2.當(dāng)xe（O,1）時，/『（填“〉”"=”或“<”）

答案：》

■忽說酸管典囪精析

^91累函數(shù)的概念

［例1］⑴在函數(shù)了=『，y=2x,y=（jr+1）2,y=3x中，幕函數(shù)的個數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

⑵若f（x）=（ffl—4/27—4）X是基函數(shù)，則01=.

［解析］（1）根據(jù)幕函數(shù)定義可知，只有尸二2是幕函數(shù)，所以選B.

（2）因為/1（X）是累函數(shù)，所以蘇一4〃-4=1,即勿2—40-5=0,解得勿=5或勿=—1.

［答案］（DB（2）5或一1

判斷一個函數(shù)是否為幕函數(shù)的方法

判斷一個函數(shù)是否為累函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=x"（a為常數(shù)）的形式，即函數(shù)的

解析式為一個幕的形式，且需滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1.

［跟蹤訓(xùn)練］

L（多選）下列函數(shù)中是幕函數(shù)的是（）

12

A.y=~B.y=4Y

C.y=2x+lD.y=x~^

解析：選AD基函數(shù)是形如y=x"（。為常數(shù)）的函數(shù)，A是。=-1的情形，口是。=

一步勺情形，所以A和D都是幕函數(shù)；B中/的系數(shù)是4,不是幕函數(shù)；易知C不是幕函數(shù).

1

2.已知函數(shù)廣（x）=（3—a—1）3二i為募函數(shù)，則實數(shù)a的值為（）

A.l1或2B.—2或1

C.-1D.1

］

解析：選C因為/'（x）=（才一■〃-1）XH—2為幕函數(shù)，所以才一a—1=1,即33—2W0,

所以a=—l.

幕函數(shù)圖象及其應(yīng)用

［例2］(鏈接教科書第91頁練習(xí)1題)點(m，2)與點(一2,一今分別在幕函數(shù)f(x),

g(x)的圖象上，問當(dāng)X為何值時，有：

⑴F(x)>g(x)；(2)F(x)=g(x)；(3)F(x)<g(x).

［解］設(shè)F(x)=x",g(x)=—.

1

-4-2￡

???(m)"=2,(—2)'=2-

f(x)=x,g(x)=x7分別作出它們的圖象，如圖所示.

由圖象知，

(1)當(dāng)xd(—8,0)U(1,+8)時，f(x)〉g(x)；

(2)當(dāng)x=1時，￡(x)=g(x)；

(3)當(dāng)xG(0,1)時，—<g(x).

解決幕函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則

(1)依據(jù)圖象高低判斷幕指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，幕函數(shù)圖象

越靠近X軸(簡記為指大圖低)；在(1,+8)上，指數(shù)越大，幕函數(shù)圖象越遠離X軸(簡記為

指大圖高)；

(2)依據(jù)圖象確定幕指數(shù)。與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)幕函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象

(類似于尸尸或尸巨或尸J來判斷.

［跟蹤訓(xùn)練］

1.若累函數(shù)尸/Xx)的圖象經(jīng)過點(2,也)，則/<3)=()

1

A.3-

C.3D.9

解析：選B設(shè)幕函數(shù)尸f(x)=/,其圖象經(jīng)過點⑵p,則2"=隹，解得ff=1.

1

f^x)=嵬=、&，f(3)=y[3.故選B.

2.下面給出4個募函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致對應(yīng)的是()

1

B.?y=x,?y=x,③尸?y=x~x

1

C.?y=x,@y=x,③尸④尸尸

11

D.①尸x3,②尸A2,③尸④尸/i

解析：選B注意到函數(shù)尸f三0,且該函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于p軸對稱，該函數(shù)

1

圖象應(yīng)與②對應(yīng)；的定義域、值域都是[0,+8),該函數(shù)圖象應(yīng)與③對應(yīng)；y=

x-=±其圖象應(yīng)與④對應(yīng).

X

幕函數(shù)的性質(zhì)

_1

[例3](鏈接教科書第91頁例)探討幕函數(shù)廣(X)=才—5的單調(diào)性.

[解]f(x)=x2的定義域為(0,+°°).YX1,照￡(0,+8),且毛<如貝！JF(X2)一

(、_---1____1_________為一丁_______

為X2X1yfx2y[xi\xiX2yjxiX2?Cy[xi+y[x2)*

因為蒞〉荀>0,所以xi—X2<0,且7X1X2?(y[xi+y[x2)>0,于是人冬)一廣(芯)〈0,即

f(X2)<f(xi),

所以塞函數(shù)f(x)=萬—5是減函數(shù).

[母題探究]

_1_1

(變條件)本例若增加條件“(a+1)一丞(3—2向—尹，求實數(shù)3的取值范圍.

_1_1_1

解：因為f(x)=x―5在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，所以g+1)-2<(3-2a)—5等價

1>0,

于《3—2及0,

、a+1>3-2a,

'23、

所以實數(shù)a的取值范圍是|,3,2/

幕函數(shù)的常用性質(zhì)

⑴幕函數(shù)y=x(a=，，P，<?ez,p>\,。與西質(zhì)，奇偶性的判斷方法：

①若P，g同為奇數(shù)，則y=x"為奇函數(shù)；

②若。為奇數(shù)，g為偶數(shù),則尸x"為偶函數(shù)；

③若P為偶數(shù),則了=/為非奇非偶函數(shù).

(2)幕函數(shù)單調(diào)性的判斷：幕函數(shù)尸/在區(qū)間(0,+8)上，當(dāng)?！?時，尸/是增函

數(shù)；當(dāng)?！?時，y=x°是減函數(shù).

［跟蹤訓(xùn)練］

1.(多選)已知ae{—1,1,2,3},則使函數(shù)尸/的值域為R,且為奇函數(shù)的。的

值為(

解析：選BD當(dāng)a=-1時，為奇函數(shù)，但值域為{引10},不滿足條件;

X

當(dāng)。=1時，尸X為奇函數(shù)，值域為R,滿足條件；

當(dāng)。=2時，尸H為偶函數(shù)，值域為bdyNO},不滿足條件；

當(dāng)a=3時，為奇函數(shù)，值域為R,滿足條件.故選B、D.

2.若幕函數(shù)F(x)過點(2,8),則滿足不等式f(a—3)>/(1—a)的實數(shù)a的取值范圍是

解析：設(shè)基函數(shù)為F(x)=x",因為其圖象過點(2,8),所以2°=8,解得。=3,所以

fix)=x.因為f(x)=￡在R上為增函數(shù)，所以由/'(a—3)>f(l—a),得a—3〉1—a,解得

a>2.

所以滿足不等式f(a—3)>f(l—a)的實數(shù)a的取值范圍是(2,+-).

答案：(2,+8)

比較幕值的大小

［例4］(鏈接教科書第91頁練習(xí)2題)比較下列各組數(shù)的大小:

［解］(IL.?幕函數(shù)y=x在(0,+8)上是單調(diào)遞增的,

(2):?累函數(shù)尸在(一8,0)上是單調(diào)遞減的,

_3

(3)???函數(shù)%=型為(0,+8)上的增函數(shù)，又萬＞1,

點>14=1.

_3

又???函數(shù)￥=嵬在(0,十8)上是增函數(shù)，且7VL

33

41^<12=1,

比較幕值大小的2種方法

冏當(dāng)霖的指數(shù)相同時，可直接利用呆函數(shù)的單

調(diào)性來比較

種

方

當(dāng)嘉的指數(shù)不相同時，可以先轉(zhuǎn)化為相同暴

法,轉(zhuǎn)化法1

指數(shù)，再運用單調(diào)性比較大小

［跟蹤訓(xùn)練］

比較下列各組值的大小:

6611

(1)(—0.3D55222.

666

解:(1)???尸焉為R上的偶函數(shù)，???(一0.31)而.

6

又函數(shù)P=A5在［0,+8)上單調(diào)遞增，，

6666

A55,BP(-0.31)55.

1

(2)二?尸嵬在［0,+8)上是增函數(shù)，且，

11

Z.22.

111

Q2?QQ2

幽?>函感曾思維升羋

函數(shù)尸x+十的圖象與性質(zhì)的探究

學(xué)習(xí)了募函數(shù)的圖象，類比實數(shù)的加、減、乘、除運算，我們對幕函數(shù)也進行了相關(guān)運

算，得到了新的函數(shù)F(x)=x+±利用計算機軟件，我們繪制出它的圖象，如圖.

X

［問題探究］

參考募函數(shù)的性質(zhì)，探究函―七的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì).

提示：(1)定義域：

函數(shù)f(x)=x+：的定義域為｛x|xWO｝；

(2)函數(shù)F(x)=x+，的值域為(一8,—2］U［2,+°°)；

x

(3)奇偶性：*.*/(—^)=一萬一：=—(x+j=—_f(x),

函數(shù)f｛x)=x+，為奇函數(shù)；

X

(4)單調(diào)性：由函數(shù)/U)=x+5的圖象可知,函數(shù)，(x)=x+：在(一8'-I),(1,+

8)上單調(diào)遞增，在(一1,0),(0,1)上單調(diào)遞減.

［遷移應(yīng)用］

參考累函數(shù)的性質(zhì)，探究函數(shù)f(x)=ax+3a〉。，垃。)的圖象與性質(zhì).

解：函數(shù)Hx)=ax+§(a〉0,6〉0)具有如下基本性質(zhì):

(1)Ax)為奇函數(shù)；(2)f(x)在0,+8上單調(diào)遞增,

在(0,+8)上有最小值2，薪;

遞增，在(一8,0)上有最大值一2舊；(3)在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象向上與y軸無限接近、

向右與直線y=ax無限接近；在第三象限內(nèi)，函數(shù)圖象向下與y軸無限接近，向左與直線y

=ax無限接近.該函數(shù)的圖象如圖所示.