湖北省華中師大附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

湖北省華中師大附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)在上的圖像大致為（）A． B．C． D．2．若函數(shù)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．3．已知，，，，則（）A． B． C．或 D．或4．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|=4，(aA．2B．4C．6D．125．方程的解集為（）A．B．C．D．6．已知奇函數(shù)滿足，則的取值不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．107．下列函數(shù)中，在上存在最小值的是()A． B． C． D．8．在邊長為1的正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則三角形面積的最小值為（）A．1 B． C． D．9．如圖是一名籃球運(yùn)動(dòng)員在最近6場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則下列關(guān)于該運(yùn)動(dòng)員所得分?jǐn)?shù)的說法錯(cuò)誤的是（）A．中位數(shù)為14 B．眾數(shù)為13 C．平均數(shù)為15 D．方差為1910．已知向量，，若與的夾角為，則（）A．2 B． C． D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.12．?dāng)?shù)列中，已知，50為第________項(xiàng).13．已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的圖象與圖象關(guān)于軸對稱；④設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論為__________．14．如圖，為了測量樹木的高度，在處測得樹頂?shù)难鼋菫?，在處測得樹頂?shù)难鼋菫椋裘?，則樹高為______米.15．若，方程的解為______.16．給出以下四個(gè)結(jié)論：①過點(diǎn)，在兩軸上的截距相等的直線方程是；②若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則；③在中，若，則是等腰三角形；④已知，，且，則的最大值是2.其中正確的結(jié)論是________（寫出所有正確結(jié)論的番號）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．某百貨公司1～6月份的銷售量與利潤的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：月份123456銷售量x（萬件）1011131286利潤y（萬元）222529261612附：（1）根據(jù)2～5月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過萬元，則認(rèn)為得到的回歸直線方程是理想的，試問所得回歸直線方程是否理想？（參考公式：，）20．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)N為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊AB上.（1）當(dāng)點(diǎn)M為AB中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面.21．如圖，三棱錐中，，、、、分別是、、、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：四邊形是菱形

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)，對選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除C選項(xiàng).由于，所以排除D選項(xiàng).由于，所以排除B選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】因?yàn)閷不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象，即可排除；對B滿足函數(shù)定義，故符合；對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象，故可否定．故選B．3、B【解析】

先根據(jù)角的范圍及平方關(guān)系求出和，然后可算出，進(jìn)而可求出【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，所以，所以因?yàn)椋怨蔬x：B【點(diǎn)睛】在由三角函數(shù)的值求角時(shí)，應(yīng)根據(jù)角的范圍選擇合適的三角函數(shù)，以免產(chǎn)生多的解.4、C【解析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴5、C【解析】

利用反三角函數(shù)的定義以及正切函數(shù)的周期為，即可得到原方程的解.【詳解】由，根據(jù)正切函數(shù)圖像以及周期可知：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了反三角函數(shù)的定義以及正切函數(shù)的性質(zhì)，需熟記正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由三角函數(shù)的奇偶性和對稱性可求得參數(shù)的值.【詳解】由是奇函數(shù)得又因?yàn)榈藐P(guān)于對稱，所以，解得所以當(dāng)時(shí)，得A答案；當(dāng)時(shí)，得C答案；當(dāng)時(shí)，得D答案；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的奇偶性和對稱性，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，滿足題意；函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間無最小值，所以B不正確；函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間無最小值，所以C不正確；函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間無最小值，所以D不正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的最值問題，其中解答中熟記基本初等函數(shù)的單調(diào)性，合理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)直線與平面沒有公共點(diǎn)可知平面.將截面補(bǔ)全后,可確定點(diǎn)的位置,進(jìn)而求得三角形面積的最小值.【詳解】由題意,,分別是棱,,的中點(diǎn),補(bǔ)全截面為,如下圖所示:因?yàn)橹本€與平面沒有公共點(diǎn)所以平面,即平面,平面平面此時(shí)位于底面對角線上,且當(dāng)與底面中心重合時(shí),取得最小值此時(shí)三角形的面積最小故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)與應(yīng)用,過定點(diǎn)截面的作法,屬于難題.9、D【解析】從題設(shè)中所提供的莖葉圖可知六個(gè)數(shù)分別是，所以其中位數(shù)是，眾數(shù)是，平均數(shù)，方差是，應(yīng)選答案D．10、B【解析】

先計(jì)算與的模，再根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)即可計(jì)算求值.【詳解】因?yàn)?，，所以?又，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積，向量的模的計(jì)算，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

令，解得的范圍即為所求的單調(diào)區(qū)間.【詳解】令，，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，關(guān)鍵是能夠采用整體對應(yīng)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來進(jìn)行求解.12、4【解析】

方程變?yōu)椋O(shè)，解關(guān)于的二次方程可求得?！驹斀狻?，則，即設(shè)，則，有或取得，，所以是第4項(xiàng)?！军c(diǎn)睛】發(fā)現(xiàn)，原方程可通過換元，變?yōu)殛P(guān)于的一個(gè)二次方程。對于指數(shù)結(jié)構(gòu)，，等，都可以通過換元變?yōu)槎涡问窖芯俊?3、②③④【解析】

首先化簡函數(shù)解析式，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的周期為，，或，所以①不正確；②時(shí)，，所以是增函數(shù)，②正確；③函數(shù)還可以化簡為，所以與關(guān)于軸對稱，正確；④，當(dāng)時(shí)，，，④正確故選②③④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題型.14、【解析】

先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】在處測得樹頂?shù)难鼋菫?，在處測得樹頂?shù)难鼋菫閯t在中，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，也可以用正余弦定理解答.15、【解析】

運(yùn)用指數(shù)方程的解法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可得所求解．【詳解】由，即，因，解得，即.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)方程的解法，以及指數(shù)函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、②④【解析】

①中滿足題意的直線還有，②中根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，得到，③中根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡計(jì)算，從而進(jìn)行判斷，④中根據(jù)基本不等式進(jìn)行判斷.【詳解】①中過點(diǎn)，在兩軸上的截距相等的直線還可以過原點(diǎn)，即兩軸上的截距都為，即直線，所以錯(cuò)誤；②中是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，，是一個(gè)不含常數(shù)項(xiàng)的二次式，從而得到，即，所以正確；③中在中，若，則可得，所以可得或，所以可得或，從而得到為直角三角形或等腰三角形，所以錯(cuò)誤；④中因?yàn)椋?，且，由基本不等式，得到，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以，即的最大值是，所以正確.故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題考查截距相等的直線的特點(diǎn)，等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，判斷三角形形狀，基本不等式求積的最大值，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）解方程組即得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（Ⅰ）由題意：,化簡得，因?yàn)閿?shù)列的公差不為零，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故數(shù)列的前項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)(2)【解析】

(1)先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式求結(jié)果，(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，,相減得，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列為首項(xiàng)為，2為公比的等比數(shù)列，(2),所以，則2，兩式相減得.【點(diǎn)睛】本題考查錯(cuò)位相減法求和以及由和項(xiàng)求通項(xiàng)，考查基本求解能力，屬中檔題.19、(1)；（2）見解析.【解析】

（1）求出，由公式，得的值，從而求出的值，從而得到關(guān)于的線性回歸方程；（2）將月份和月份的銷售量值代入回歸直線方程，求出預(yù)測值，并計(jì)算預(yù)測值與實(shí)際值之間的誤差，結(jié)合題意來判斷（1）中所得回歸直線方程是否理想?！驹斀狻浚?）計(jì)算得，，，則，；故關(guān)于的回歸直線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．故所得的回歸直線方程是理想的．【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是弄清楚最小二乘法公式，并準(zhǔn)確代入數(shù)據(jù)計(jì)算，著重考察計(jì)算能力，屬于中等題。20、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）推導(dǎo)出，由此能證明平面．（2）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，推導(dǎo)出，，從而平面，進(jìn)而，推導(dǎo)出△，從而，由此能證明平面．【詳解】（1）在直三棱柱中，點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（2）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，使得平面．證明如下：在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，平面，平面，，，，，△，，，，，平面．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21、(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】

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