天線原理與技術(shù) 課件 傅光 第1-4章 天線的理論基礎(chǔ)- 對(duì)稱(chēng)振子陣的阻抗

第1章天線的理論基礎(chǔ)1.1電磁場(chǎng)方程及其解1.2電流元的場(chǎng)及其分析1.3對(duì)稱(chēng)振子的輻射場(chǎng)1.4電磁場(chǎng)的對(duì)偶原理1.5磁流元和小電流環(huán)的場(chǎng)

1.1電磁場(chǎng)方程及其解

電磁場(chǎng)方程是電磁場(chǎng)理論的核心，它描述了空間中場(chǎng)與場(chǎng)之間以及場(chǎng)與源之間相互關(guān)系的普遍規(guī)律。電磁場(chǎng)基本方程包括麥克斯韋方程、邊界條件方程、電流連續(xù)性方程、媒質(zhì)特性方程以及由它們推導(dǎo)出來(lái)的電磁場(chǎng)的矢量波動(dòng)方程。

1.1.1麥克斯韋方程

麥克斯韋方程的數(shù)學(xué)表達(dá)形式包括微分形式和積分形式兩種。

麥克斯韋方程的微分形式如下：

麥克斯韋方程的積分形式如下：

式中，E為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量（單位為V/m），H為磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量（單位為A/m），D為電感應(yīng)強(qiáng)度矢量（單位為C/m2），B為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量（單位為T(mén)），J為體電流密度矢量（單位為A/m3），ρ為體電荷密度（單位為C/m3），Q為電荷量（單位為C）。

電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度是時(shí)間t和空間坐標(biāo)r的函數(shù)，若場(chǎng)源ρ（t）、J（t）隨時(shí)間按正弦以角頻率ω變化，則電場(chǎng)強(qiáng)度E（r，t）和磁場(chǎng)強(qiáng)度H（r，t）也隨時(shí)間按正弦變化，這樣的電磁場(chǎng)稱(chēng)為時(shí)諧場(chǎng)，可表示如下：

式中，矢量E（r）、H（r）僅是空間坐標(biāo)的復(fù)量函數(shù)，稱(chēng)為復(fù)矢量。

麥克斯韋方程中，將對(duì)時(shí)間的微分因子用jω因子代替，并消去兩邊出現(xiàn)的時(shí)間因子（ejωt），各時(shí)變量都由相應(yīng)的復(fù)矢量代替，可得到麥克斯韋方程的時(shí)諧形式：

其中，電流密度J由外加電流（源電流）J0和傳導(dǎo)電流σE組成，即

對(duì)于均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)，復(fù)場(chǎng)量之間有以下本構(gòu)關(guān)系：

將式（1.1.6）和式（1.1.7）代入式（1.1.5）中的第二式，可得

因此，給定媒質(zhì)時(shí)麥克斯韋方程及電流連續(xù)性方程如下：

1.1.2邊界條件方程

媒質(zhì)特性參數(shù)在經(jīng)過(guò)兩種媒質(zhì)（媒質(zhì)1和媒質(zhì)2）的分界面時(shí)會(huì)發(fā)生突變，因此會(huì)引起某些場(chǎng)分量的不連續(xù)，如圖1.1.1（a）所示。媒質(zhì)分界面上的邊界條件可由麥克斯韋方程的積分形式導(dǎo)出，表示如下：

對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，一組充分的邊界條件為

或

式中，下標(biāo)t表示切向分量，Et和Ht分別為電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量。

若媒質(zhì)1為理想導(dǎo)體，如圖1.1.1（b）所示，在理想導(dǎo)體表面，電導(dǎo)率σ=∞，則邊界條件為圖1.1.1邊界條件

1.1.3能量守恒方程——坡印廷定理

設(shè)空間有任一封閉面S，其所包圍的體積為V，從麥克斯韋旋度方程出發(fā)，利用矢量公式

和散度定理

可以導(dǎo)出：

1.1.4波動(dòng)方程

為了求解麥克斯韋方程，對(duì)式（1.1.10）的第一式和第二式取旋度，考慮到該式的第三式和第四式，利用矢量公式?×（?×A）=?（?·A）-?2A和J=J0+σE，可以得到電磁場(chǎng)的矢量波動(dòng)方程：

給定電流密度J0和電荷密度ρ，求解矢量波動(dòng)方程便可得到麥克斯韋方程的解。

1.1.5麥克斯韋方程的解

1.直接法

直接求解矢量波動(dòng)方程可得到電磁場(chǎng)的解，這就是所謂的直接法。但要指出，滿(mǎn)足麥克斯韋方程的場(chǎng)量必然滿(mǎn)足矢量波動(dòng)方程，反之則并不成立。因此，通常是先求解一個(gè)場(chǎng)

量的矢量波動(dòng)方程，再利用麥克斯韋方程求解第二個(gè)場(chǎng)量，這樣得到的結(jié)果既滿(mǎn)足波動(dòng)方程，又滿(mǎn)足麥克斯韋方程。

2.間接法

所謂間接法，就是指不直接求解麥克斯韋方程或場(chǎng)量的矢量波動(dòng)方程，而是通過(guò)求解輔助函數(shù)以得到電磁場(chǎng)的解，因此也稱(chēng)為輔助函數(shù)法。通過(guò)引入磁矢位（矢量磁位）A和電

標(biāo)位（標(biāo)量電位）φ作為輔助函數(shù)，求解麥克斯韋方程的方法稱(chēng)為矢位法，它通過(guò)應(yīng)用矢量恒等式引入輔助函數(shù)，從而簡(jiǎn)化求解。

圖1.1.2場(chǎng)源J分布于有限區(qū)域V內(nèi)

求得磁矢位A后，磁場(chǎng)強(qiáng)度H可由式（1.1.25）求出，電場(chǎng)強(qiáng)度E也可通過(guò)A求出，即

電場(chǎng)強(qiáng)度E也可應(yīng)用麥克斯韋方程?×H=J+jωεE通過(guò)磁場(chǎng)強(qiáng)度H求出。若天線的場(chǎng)點(diǎn)處為自由空間（無(wú)源區(qū)），即J=0，則可更簡(jiǎn)便地求出電場(chǎng)強(qiáng)度E：

1.2電流元的場(chǎng)及其分析

所謂電流元（也稱(chēng)電基本振子或電偶極子），是指一段載有高頻電流的兩端帶有等值異號(hào)電荷的短導(dǎo)線，導(dǎo)線直徑d?l（l為導(dǎo)線長(zhǎng)度），l?λ（λ為電流元工作頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)），線上電流沿軸線流動(dòng)，沿線等幅同相，電荷與電流的關(guān)系滿(mǎn)足連續(xù)性方程。

1.2.1電流元的場(chǎng)

設(shè)電流元位于坐標(biāo)原點(diǎn)，軸線沿z

軸，長(zhǎng)為l，如圖1.2.1所示。作封閉面S包圍電流元，由于S外無(wú)場(chǎng)源，因此亥姆霍茲積分的面積分項(xiàng)等于零。場(chǎng)點(diǎn)P（r，θ，φ）的矢位A（P）由式（1.1.34）計(jì)算。由于電流元為線電流，因此積分中J（r'）dV可用I（z）dz=z^Idz代替。

圖1.2.1電流元

電流元的復(fù)坡印廷矢量為

可見(jiàn)，電流元所輻射的實(shí)功率只有r方向，虛功率有r方向和θ方向。

1.2.2場(chǎng)的分析

根據(jù)式（1.2.4），電流元所產(chǎn)生的電場(chǎng)與磁場(chǎng)具有以下特性：

（1）電場(chǎng)包括Er和Eθ兩個(gè)分量，磁場(chǎng)僅有Hφ分量，三個(gè)場(chǎng)分量相互垂直。

（2）電力線在含z軸的平面內(nèi)，磁力線在垂直于z軸的平面內(nèi)。

（3）電磁場(chǎng)的各分量均隨r的增大而減小，而且不同的分量隨r的增大而減小的速率不同。

1.近區(qū)

kr?1的空間場(chǎng)區(qū)域稱(chēng)為近區(qū)。在近區(qū)內(nèi)，由于kr-3?kr-2?kr-1，因此可忽略小項(xiàng)。又因?yàn)閗r?1，所以e-jkr≈1。將以上近似應(yīng)用于式（1.2.4），得到近區(qū)場(chǎng)如下：

由式（1.2.8）可知電流元的近區(qū)場(chǎng)有如下特點(diǎn)：

（1）Er和Eθ與靜電場(chǎng)問(wèn)題中電偶極子的電場(chǎng)相似，而Hφ與恒定電流元的磁場(chǎng)相似，近區(qū)場(chǎng)又稱(chēng)為似穩(wěn)場(chǎng)。

（2）電場(chǎng)相位滯后于磁場(chǎng)相位90°，因而坡印廷矢量是純虛數(shù)，表示沒(méi)有能量向外輻射。該區(qū)內(nèi)能量的振蕩占了絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，這種似穩(wěn)場(chǎng)又稱(chēng)感應(yīng)場(chǎng)。

（3）近區(qū)場(chǎng)與r2、r3呈反比，因而隨距離r的增大而迅速減小，在距天線較遠(yuǎn)的地方，近區(qū)場(chǎng)衰減很快。

2.遠(yuǎn)區(qū)

kr?1的空間場(chǎng)區(qū)域稱(chēng)為遠(yuǎn)區(qū)。此區(qū)域內(nèi)，（kr）-3?（kr）-2?（kr）-1，電磁場(chǎng)主要由（kr）-1項(xiàng)決定，（kr）-2和（kr）-3項(xiàng)可忽略。由此可將式（1.2.4）化簡(jiǎn)為

其復(fù)坡印廷矢量為

3.中間區(qū)

在近區(qū)和遠(yuǎn)區(qū)之間的區(qū)域稱(chēng)為中間區(qū)。在該區(qū)內(nèi)感應(yīng)場(chǎng)和輻射場(chǎng)的大小量級(jí)相當(dāng)，都不占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，場(chǎng)的結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜，見(jiàn)式（1.2.4）。

1.3對(duì)稱(chēng)振子的輻射場(chǎng)

對(duì)稱(chēng)振子可以看成是將終端開(kāi)路的平行雙導(dǎo)線（其間距為s）自終端長(zhǎng)度l處彎折90°而成，假設(shè)彎折部分電流分布不變，如圖1.3.1所示，則振子上的電流分布為正弦分布。振子與原傳輸線垂直，對(duì)稱(chēng)振子也稱(chēng)為雙極天線或偶極天線，是經(jīng)常使用的一種線天線類(lèi)型。

圖1.3.1平行雙導(dǎo)線和對(duì)稱(chēng)振子上的電流分布

1.3.1電流分布

假設(shè)對(duì)稱(chēng)振子天線兩臂的電流分布為正弦分布：

其中，Im為振子上波腹點(diǎn)的電流幅度；β為振子上電流的相移常數(shù)，如不計(jì)入衰減，則β≈k=2π/λ。

根據(jù)式（1.3.1），不同臂長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)振子上的電流分布如圖1.3.2所示。

圖1.3.2不同臂長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)振子的電流分布

當(dāng)振子直徑遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度時(shí)，天線上的電流分布可以用正弦曲線良好近似。然而，在全波振子的電流分布中，電流的波節(jié)點(diǎn)在天線的輸入端，天線輸入電流的誤差很大，因而計(jì)算的天線輸入阻抗的誤差很大，必須對(duì)正弦近似做適當(dāng)修正。引起誤差的原因在于：傳輸線是能量的傳輸系統(tǒng)，而天線是輻射系統(tǒng)。圖1.3.3所示為傳輸線和對(duì)稱(chēng)振子的等效電路，在傳輸線上沿線的分布參數(shù)是均勻的，而對(duì)稱(chēng)振子上對(duì)應(yīng)小單元之間的分布參數(shù)是不均勻的。

圖1.3.3傳輸線和對(duì)稱(chēng)振子的等效電路

1.3.2輻射場(chǎng)

如圖1.3.4所示，將臂長(zhǎng)為l的對(duì)稱(chēng)振子沿z軸放置。將整個(gè)對(duì)稱(chēng)振子看成是由無(wú)窮多個(gè)首尾相接的電流元組成的，則空間中任一點(diǎn)的場(chǎng)為這些基本振子輻射場(chǎng)的疊加。通過(guò)對(duì)電基本振子所產(chǎn)生的場(chǎng)在對(duì)稱(chēng)振子長(zhǎng)度上進(jìn)行積分，可得到對(duì)稱(chēng)振子在空間的輻射場(chǎng)。圖1.3.4沿z軸放置的對(duì)稱(chēng)振子

綜上，振子的輻射電場(chǎng)強(qiáng)度為

輻射磁場(chǎng)強(qiáng)度為

對(duì)稱(chēng)振子輻射場(chǎng)的等相位面是以振子中心為球心的球面，即r

=常數(shù)。對(duì)稱(chēng)振子輻射的是球面波，相位中心在坐標(biāo)原點(diǎn)（即對(duì)稱(chēng)振子的幾何中心）。

1.4電磁場(chǎng)的對(duì)偶原理

1.4.1磁流與磁荷如圖1.4.1（a）所示，電基本振子的表面電流密度可以根據(jù)邊界條件求得，設(shè)振子電流為I，振子的截面周長(zhǎng)為L(zhǎng)。

與之對(duì)應(yīng)，我們來(lái)研究載電流螺線管附近的場(chǎng)分布，如圖1.4.1（b）所示。如果螺距充分小，螺線管上每一匝線圈都可用具有同樣強(qiáng)度的電流代替。也就是說(shuō)，螺線管也可以等效為一個(gè)基本表面F，在F上存在著電場(chǎng)的切向分量Et，方向如圖中所示，F(xiàn)上磁場(chǎng)的切向分量為零。

圖1.4.1電基本振子與磁基本振子的對(duì)比

對(duì)比上述兩種情況，載電流細(xì)螺線管的電場(chǎng)對(duì)應(yīng)于電基本振子的磁場(chǎng)，螺線管的磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)于電基本振子的電場(chǎng)，前兩者方向相反，后兩者方向相同。對(duì)于電基本振子來(lái)說(shuō)，內(nèi)部有傳導(dǎo)電流I，兩端有自由電荷+q和-q，電流、電荷交變時(shí)產(chǎn)生交變電磁場(chǎng)，相應(yīng)地產(chǎn)生位移電流，位移電流密度Jem=?D/?t。對(duì)于載交變電流的細(xì)螺線管來(lái)說(shuō)，在其外部產(chǎn)生電磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的交變產(chǎn)生位移磁流，位移磁流密度

Jmem

=?B/?t。

1.4.2對(duì)偶關(guān)系

自然界并不存在任何單獨(dú)的磁流及磁荷，因此麥克斯韋方程在形式上是不對(duì)稱(chēng)的。但人們?cè)谘芯磕承╇姶艌?chǎng)問(wèn)題的過(guò)程中，引入假想的磁流及磁荷作為等效源，得到對(duì)稱(chēng)的麥克斯韋方程組，可使問(wèn)題便于處理。引入假想的磁流Jm和磁荷ρm后所得的對(duì)稱(chēng)形式的麥克斯韋方程如下：

根據(jù)線性媒質(zhì)中的電磁場(chǎng)疊加定理，電流、電荷和磁流、磁荷共同產(chǎn)生的場(chǎng)E和H可以分解為當(dāng)電流、電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的場(chǎng)Ee、He和當(dāng)磁流、磁荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的場(chǎng)

Em、Hm之和，即總場(chǎng)為

當(dāng)qm=0，Jm=0且q≠0，J≠0時(shí)，空間場(chǎng)只有電流和電荷產(chǎn)生的場(chǎng)Ee、He，其滿(mǎn)足的麥克斯韋方程式（1.4.1）變?yōu)?/p>

當(dāng)q=0，J=0且qm≠0，Jm≠0時(shí)，空間場(chǎng)只有磁流和磁荷產(chǎn)生的場(chǎng)Em、Hm，其滿(mǎn)足的麥克斯韋方程式（1.4.1）變?yōu)?/p>

比較式（1.4.3）和式（1.4.4）所示的兩組方程組，可以看出，二者在數(shù)學(xué)形式上完全相同，因此它們的解也具有相同的數(shù)學(xué)形式。所以，可由一種場(chǎng)源（電流源）下電磁問(wèn)題的解導(dǎo)出另一種場(chǎng)源（磁流源）下對(duì)應(yīng)電磁問(wèn)題的解，這就是對(duì)偶原理。在對(duì)偶方程中占據(jù)同樣位置的量為對(duì)偶量。表1.4.1列出了電流源和磁流源的一組對(duì)偶量，按對(duì)偶量互換，可將一種場(chǎng)源的方程換為另一種場(chǎng)源的方程。

根據(jù)對(duì)偶原理，由電流、電荷產(chǎn)生的場(chǎng)的邊界條件可得到由磁流、磁荷產(chǎn)生的場(chǎng)的邊界條件。電流、電荷產(chǎn)生的場(chǎng)的邊界條件為

對(duì)偶量進(jìn)行替換后，可得磁流、磁荷產(chǎn)生的場(chǎng)滿(mǎn)足的邊界條件為

若空間總場(chǎng)為電流、電荷和磁流、磁荷共同產(chǎn)生的，則空間的總場(chǎng)為

由式（1.4.5）和式（1.4.6）可得總場(chǎng)滿(mǎn)足的邊界條件為

這些式中，Js為面電流密度，Jms為面磁流密度，ρs為面電荷密度，ρms為面磁荷密度。

當(dāng)電流源和磁流源共存時(shí)，空間總場(chǎng)的計(jì)算公式為

1.5磁流元和小電流環(huán)的場(chǎng)

1.5.1磁流元的場(chǎng)磁流元是一段長(zhǎng)度為l（遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)）、沿線磁流強(qiáng)度為Im的直線磁流，沿z軸放置于坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖1.5.1所示。

圖1.5.1磁流元

根據(jù)對(duì)偶原理，由長(zhǎng)度為l、沿線電流強(qiáng)度為I的直線電流元在空間產(chǎn)生的電磁場(chǎng)（如式（1.2.4）所示），對(duì)偶得到該磁流元的空間電磁場(chǎng)為

該磁流元的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為

此結(jié)果與電流元的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)結(jié)果形成對(duì)偶。

磁流元的復(fù)坡印廷矢量為

可見(jiàn)磁流元有沿r方向輻射的實(shí)功率，以及沿r方向和θ方向的虛功率。在遠(yuǎn)區(qū)，其在r方向的實(shí)功率通量密度為

1.5.2小電流環(huán)的場(chǎng)

小環(huán)天線是環(huán)半徑為a（遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)）且周長(zhǎng)為l的載有高頻電流的小環(huán)，如圖1.5.2所示，圓環(huán)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，環(huán)面位于xOy面上，環(huán)的軸線與z軸重合。由于l?λ，因此可認(rèn)為環(huán)上各點(diǎn)電流I等幅同相。

圖1.5.2小電流環(huán)

在遠(yuǎn)區(qū)，小電流環(huán)的輻射場(chǎng)近似為

電流元和磁流元（小電流環(huán)）的輻射電場(chǎng)與磁場(chǎng)比較圖如圖1.5.3所示，其中電流元包括Eθ和Hφ分量，而磁流元（小電流環(huán)）包括Eφ和Hθ分量。

圖1.5.3電流元與磁流元（小電流環(huán)）的輻射電場(chǎng)與磁場(chǎng)比較第2章天線的電參數(shù)2.1方向圖2.2輻射電阻2.3有效長(zhǎng)度2.4方向系數(shù)2.5效率和增益2.6輸入阻抗2.7天線的極化2.8天線的相位中心2.9接收天線的電參數(shù)2.10功率傳輸方程

2.1方向圖

天線所輻射的電磁波能量在空間各個(gè)方向上的分布是不均勻的，即天線具有方向性。即使是最簡(jiǎn)單的天線，如電或磁基本振子，也都有方向性。為了分析、對(duì)比方便，假設(shè)理想點(diǎn)源是一種無(wú)方向性天線，它所輻射的電磁波能量在空間各個(gè)方向上的分布是均勻的。

2.1.1方向圖的定義和表示方法

1.定義

天線的輻射方向圖，即天線輻射參量的大小隨空間坐標(biāo)變化的圖形表示。

輻射參量包括場(chǎng)強(qiáng)幅度和相位、功率通量密度及極化等，相應(yīng)的方向圖有場(chǎng)強(qiáng)幅度和相位方向圖、功率及極化方向圖等。通常情況下，方向圖在遠(yuǎn)區(qū)測(cè)定，并表示為空間方向坐標(biāo)的函數(shù)，稱(chēng)為方向函數(shù)。相應(yīng)的方向函數(shù)有場(chǎng)強(qiáng)、相位、功率及極化方向函數(shù)等。

取如圖2.1.1所示的球坐標(biāo)系，天線位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，在遠(yuǎn)區(qū)的球面上（r為常數(shù)），天線的功率通量密度或場(chǎng)強(qiáng)幅度大?。妶?chǎng)或磁場(chǎng)）隨空間方向（θ，φ）變化的圖形表示稱(chēng)為功率方向圖或場(chǎng)強(qiáng)方向圖，其數(shù)學(xué)表示式為功率方向函數(shù)或場(chǎng)強(qiáng)方向函數(shù)。在遠(yuǎn)區(qū)觀察點(diǎn)P（r，θ，φ）處，天線電場(chǎng)強(qiáng)度幅度|E（θ，φ）|可表示為

圖2.1.1球坐標(biāo)系

2.表示方法

1）分貝表示

方向函數(shù)的值通常用分貝表示，場(chǎng)強(qiáng)方向圖和功率方向圖用分貝表示后，便成為分貝方向圖。場(chǎng)強(qiáng)方向函數(shù)和功率方向函數(shù)的分貝值相同。用分貝表示的場(chǎng)強(qiáng)方向函數(shù)為

用分貝表示的功率方向函數(shù)為

因而

2）波瓣

在三維坐標(biāo)中，天線向整個(gè)空間輻射，其方向圖是一個(gè)三維（3D）圖形，如圖2.1.2所示。方向圖包含多個(gè)波瓣，分別稱(chēng)為主瓣（MainLobe）、副瓣（SideLobe）和后瓣（BackLobe）。

主瓣是包含最大輻射方向的波瓣，除主瓣外所有其他的波瓣都稱(chēng)為副瓣，主瓣正后方的波瓣稱(chēng)為后瓣。

圖2.1.23D方向圖

3）主平面

立體方向圖可以形象直觀地表示天線在空間的能量分布，但繪制復(fù)雜，且很難精確地從圖中讀出某點(diǎn)的數(shù)值。天線方向圖通常使用兩個(gè)互相垂直的主平面內(nèi)的方向圖表示，稱(chēng)為主平面方向圖。

繪制方向圖可采用極坐標(biāo)系，也可采用直角坐標(biāo)系。極坐標(biāo)方向圖形象直觀，但不容易精確地表示某方向上的值；而在直角坐標(biāo)方向圖中，人們可精確地讀出某方向上函數(shù)的值。方向圖若用分貝表示，則稱(chēng)為分貝方向圖。

圖2.1.3（a）、（b）分別為在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中的場(chǎng)強(qiáng)方向圖，圖中標(biāo)出了它們的半功率波瓣寬度和零功率波瓣寬度。有時(shí)也采用10dB波瓣寬度來(lái)表征方向圖寬度，即主瓣10dB范圍對(duì)應(yīng)的角度范圍。未說(shuō)明時(shí)，波瓣寬度指半功率波瓣寬度，習(xí)慣稱(chēng)為3dB波瓣寬度。以電基本振子為例，其歸一化方向函數(shù)為|sinθ|，故其半功率波瓣寬度為90°，零功

率波瓣寬度為180°。

圖2.1.3天線半功率波瓣寬度和零功率波瓣寬度

5）副瓣電平

副瓣電平（SideLobeLevel，SLL）是天線方向圖的另一個(gè)重要參數(shù)。用副瓣電平可以描述副瓣相對(duì)于主瓣的強(qiáng)弱，其定義為副瓣最大輻射方向上的功率密度與主瓣最大輻射方向上的功率密度之比（或相應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng)平方之比），單位為分貝時(shí)，表示為如下形式：

2.1.2基本振子的方向圖

位于自由空間中的電流元（或磁流元）的歸一化場(chǎng)強(qiáng)方向函數(shù)為

歸一化功率方向函數(shù)為

電流元的3D方向圖和主平面方向圖如圖2.1.4（a）所示，其E面是包含振子軸的平面（即φ為常數(shù)的平面），H面是垂直于振子軸的平面（即θ=90°的平面）。圖2.1.4（b）、（c）給出的是在直角坐標(biāo)下電基本振子的E面和H面方向圖，其E面方向圖呈“∞”字形，H面方向圖呈圓形。在θ等于0°和180°方向（即振子軸線的方向）上輻射為零，而在垂直于振子軸線的平面（即θ=90°的平面）上輻射為最大值。

圖2.1.4電流元的方向圖

磁基本振子即磁流元（或小電流環(huán)）的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)與電流元的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)形成對(duì)偶，其3D方向圖和主平面方向圖如圖2.1.5（a）所示?？梢?jiàn)，磁流元的3D方向圖與電流元的3D方向圖形狀相同，但二者的主平面方向圖不同。如圖2.1.5（b）、（c）所示，垂直于z軸的平面方向圖是磁流元的E面方向圖，通過(guò)z軸的平面方向圖是磁流元的H面方向圖。

圖2.1.5磁流元的方向圖

2.1.3對(duì)稱(chēng)振子的方向圖

臂長(zhǎng)為l的對(duì)稱(chēng)振子的場(chǎng)強(qiáng)方向函數(shù)f（θ）為

歸一化場(chǎng)強(qiáng)方向函數(shù)F（θ）為

式中，fm為f（θ）的最大值。當(dāng)對(duì)稱(chēng)振子的電長(zhǎng)度l/λ<0.7時(shí)，最大值方向?yàn)棣?90°的方向，fm=1-cos（kl）。

歸一化功率方向函數(shù)P（θ）為

通過(guò)分析圖2.1.6可見(jiàn)：無(wú)論l/λ為何值，在θ=0°方向上輻射場(chǎng)總是為零，這是由于組成對(duì)稱(chēng)振子的電流元在軸向輻射為零；當(dāng)l/λ<0.5時(shí)，振子上的電流同相，在θ=90°方向上各基本元到達(dá)觀察點(diǎn)的射線行程相等，總場(chǎng)為各基本元在此方向輻射場(chǎng)的同相疊加，此方向?yàn)樽畲筝椛浞较颍译S著l/λ增大，振子方向圖變窄；當(dāng)l/λ>0.5時(shí)，對(duì)稱(chēng)振子上出現(xiàn)了反向電流，方向圖繼續(xù)變窄，且出現(xiàn)了副瓣；當(dāng)l/λ>0.7時(shí)，最大輻射方向偏離

90°；當(dāng)l/λ=1時(shí)，輻射方向圖具有四個(gè)大小相等的波瓣。

圖2.1.6不同臂長(zhǎng)時(shí)對(duì)稱(chēng)振子的E面方向圖

將2l=λ/2代入式（2.1.12），可得半波對(duì)稱(chēng)振子的歸一化場(chǎng)強(qiáng)方向函數(shù)為

其E面方向圖如圖2.1.6（a）所示，它在θ=90°方向上有最大輻射，在θ=0°方向上輻射為零；半功率波瓣寬度2θ0.5≈78°，比電基本振子的（2θ0.5≈90°）窄一些。

2.2輻射電阻

圖2.2.1用坡印廷矢量法求天線輻射功率

2.輻射電阻

輻射功率與線天線上電流的大小有關(guān)，不便于直接比較天線的性能。由此引入了天線輻射阻抗的概念。假設(shè)天線的全輻射功率被一個(gè)等效阻抗所“吸收”，此等效阻抗稱(chēng)為天線的輻射阻抗。定義為

其中：

由式（2.2.7）可以看出，輻射阻抗與所取的歸算電流（參考電流）有關(guān)。同一輻射功率，歸算電流不同，所定義的輻射阻抗的值也不同。但天線的輻射功率不依賴(lài)于所取的歸算電流，

應(yīng)有

即

輻射阻抗與I無(wú)關(guān)，其大小反映了天線輻射能力的大小。同樣的激勵(lì)電流，天線的輻射電阻越大，輻射功率就越大，表明輻射能力越強(qiáng)。

2.2.2基本振子的輻射電阻

1.電流元的輻射電阻

電流元的輻射電場(chǎng)強(qiáng)度為

由式（2.2.5）得輻射功率為

其輻射電阻為

由式（2.2.11）可見(jiàn)，電流元的輻射電阻與電尺寸（l/λ）有關(guān)，電尺寸越大，輻射電阻越大，輻射能力越強(qiáng)。

2.小電流環(huán)的輻射電阻

小電流環(huán)的輻射電場(chǎng)強(qiáng)度為

輻射功率為

輻射電阻為

式中，Sm為小電流環(huán)的面積。

2.2.3對(duì)稱(chēng)振子的輻射電阻

對(duì)稱(chēng)振子的輻射電場(chǎng)強(qiáng)度為

輻射功率為

仿照電路理論可定義輻射電阻為

式中，Rrm為歸算于波腹電流的輻射電阻，Rri為歸算于輸入電流的輻射電阻。則

式中，C=0.5772為歐拉常數(shù)；Si（x）和Ci（x）分別是x的正弦積分和余弦積分，其表達(dá)式分別為

由式（2.2.16）可得到對(duì)稱(chēng)振子的輻射電阻Rrm隨l/λ的變化曲線，如圖2.2.2所示。

圖2.2.2對(duì)稱(chēng)振子Rrml/λ曲線

嚴(yán)格計(jì)算對(duì)稱(chēng)振子的電流分布通常采用兩種方法。一種是場(chǎng)的方法，即直接求解麥克斯韋方程，代入振子表面的邊界條件，這就是斯特拉頓（Stratton）和朱蘭成的長(zhǎng)橢球理論及謝昆諾夫（Schelkunoff）的雙錐理論。另一種是路的方法，稱(chēng)為廣義電路理論。這種方法是先由場(chǎng)的理論建立起關(guān)于電流密度的積分方程，最常用的積分方程是波克林頓（Pocklington）方程和海侖（Hallen）方程，從求解積分方程過(guò)程中導(dǎo)出廣義電壓、電流和阻抗的概念。求解積分方程也不太容易，目前已廣泛采用數(shù)值計(jì)算方法來(lái)解算積分方程（比如矩量法），它不僅適用于計(jì)算對(duì)稱(chēng)振子的電流分布，也適用于計(jì)算其他天線的電流分布。

2.3有效長(zhǎng)度

線天線上各點(diǎn)電流的振幅分布不均勻，它的輻射場(chǎng)可以看成是組成天線的所有電流元所輻射的場(chǎng)的疊加。為了衡量線天線的輻射能力，人們常采用有效長(zhǎng)度（或稱(chēng)等效長(zhǎng)度）來(lái)表征，對(duì)于地面上的直立天線，也稱(chēng)有效高度。

實(shí)際線天線在某方向會(huì)產(chǎn)生一定的遠(yuǎn)區(qū)輻射電場(chǎng)。設(shè)想有一線天線處于實(shí)際天線的位置，即垂直于該輻射方向，并平行于電場(chǎng)極化方向，其上電流等于實(shí)際天線上某參考點(diǎn)電流，但沿線均勻分布。如果兩天線在同方向、等距離處產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)相等，那么，該假想的電流均勻分布的線天線的長(zhǎng)度稱(chēng)為實(shí)際天線在該方向歸算于參考電流的有效長(zhǎng)度。據(jù)此，天線在（θ，φ）方向的有效長(zhǎng)度le（θ，φ）可以按如下方式計(jì)算。

圖2.3.1對(duì)稱(chēng)振子的有效長(zhǎng)度

l?λ的短對(duì)稱(chēng)振子的有效長(zhǎng)度為

即，短對(duì)稱(chēng)振子歸算于輸入電流的有效長(zhǎng)度等于對(duì)稱(chēng)振子的一臂長(zhǎng)（對(duì)稱(chēng)振子總長(zhǎng)度的一半）。

最后需要指出的是，當(dāng)2l接近于λ時(shí)，對(duì)稱(chēng)振子輸入電流的實(shí)際值與按正弦分布的計(jì)算值相差很大，因此，全波振子的有效長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)用波腹電流歸算。

2.4方向系數(shù)

天線的方向系數(shù)是用數(shù)字來(lái)定量地表示天線方向性的一個(gè)參數(shù)，它描述了天線對(duì)輻射電磁能量的集束程度，又稱(chēng)為方向性系數(shù)或方向性增益。2.4.1輻射強(qiáng)度天線在某方向的輻射強(qiáng)度定義為

即，天線在某方向輻射強(qiáng)度的大小等于該方向單位立體角里的輻射功率，式中dΩ為立體角元。立體角的單位是球面度（sr）。1sr的立體角，其頂點(diǎn)位于球心，而它在球面上所截取的面積等于以球半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積（如圖2.2.1中所示）。因?yàn)榍虻谋砻娣e是4πr2，所以封閉球面所對(duì)應(yīng)的立體角是4π（sr）。球面的面積元為dS=r2sinθdθdφ，對(duì)應(yīng)的立體角元為

天線的總輻射功率為

2.4.2方向系數(shù)的定義

天線在某一方向的方向系數(shù)D（θ，φ）定義為該方向輻射強(qiáng)度U（θ，φ）與平均輻射強(qiáng)度Uav之比，而平均輻射強(qiáng)度為Pr/（4π），則

將式（2.4.6）和式（2.4.7）代入式（2.4.8），得

假設(shè)理想點(diǎn)源在各方向均勻輻射，則Sav可看成理想點(diǎn)源所輻射的平均功率通量密度。對(duì)理想點(diǎn)源來(lái)說(shuō)：

當(dāng)輻射功率相同時(shí)，有方向性的實(shí)際天線在最大輻射方向的輻射強(qiáng)度和功率通量密度是理想點(diǎn)源輻射強(qiáng)度和功率通量密度的D倍。D>1說(shuō)明有方向性的實(shí)際天線相對(duì)于理想點(diǎn)源來(lái)說(shuō)對(duì)輻射功率具有集束能力，可用方向系數(shù)來(lái)定量地表示這種對(duì)能量的集束程度。

式（2.4.8）可變換為

式中，等號(hào)左邊給出的是實(shí)際天線以輻射強(qiáng)度U（θ，φ）向所有方向均勻輻射時(shí)的輻射功率。式（2.4.17）表明，要在（θ，φ）方向得到相等的輻射強(qiáng)度，可采用無(wú)方向性天線，其輻射功率是實(shí)際有方向性天線輻射功率Pr的D（θ，φ）倍，或者說(shuō)，實(shí)際有方向性天線的輻射功率僅為無(wú)方向性天線的1/D（θ，φ）

2.4.3方向系數(shù)的計(jì)算

方向系數(shù)一般可以按式（2.4.9）或式（2.4.10）進(jìn)行計(jì)算。許多實(shí)際天線的空間方向圖具有某種對(duì)稱(chēng)性，例如沿z軸放置的對(duì)稱(chēng)振子的方向函數(shù)F（θ，φ）與φ無(wú)關(guān)，僅是θ的函數(shù)。這時(shí)，式（2.4.10）可以簡(jiǎn)化為

如能將天線的全部輻射功率Pr集束在立體角ΩA內(nèi)，而且在ΩA內(nèi)輻射強(qiáng)度以最大值Um均勻分布，如圖2.4.1所示，則有

比較式（2.4.7）和式（2.4.23），得

圖2.4.1波束立體角

當(dāng)主波束很窄、副瓣很低時(shí)，它們可以近似地用下式計(jì)算：

將式（2.4.30）代入式（2.4.28），得

對(duì)稱(chēng)振子的方向函數(shù)、輻射電阻和有效長(zhǎng)度均已求出后，它的方向系數(shù)可以利用式（2.4.10）、式（2.4.20）、式（2.4.22）來(lái)計(jì)算。當(dāng)l/λ<0.7時(shí)，最大輻射方向在θ=90°的方向，方向函數(shù)的最大值fm=1-cos（kl），由式（2.4.20）可得

式中，Rrm為歸算于波腹電流的輻射電阻，其計(jì)算式為

由圖2.4.2可以看出，方向系數(shù)的最大值出現(xiàn)在l/λ=0.635處，此時(shí)，D≈3.28。雖然l/λ=0.635時(shí)方向圖出現(xiàn)了副瓣，但主瓣窄，副瓣和主瓣折中的結(jié)果使方向系數(shù)達(dá)到最大。l/λ<0.635時(shí)主瓣寬，l/λ>0.635時(shí)副瓣高，都使方向系數(shù)下降。圖2.4.2對(duì)稱(chēng)振子的方向系數(shù)隨電長(zhǎng)度的變化曲線

2.5效率和增益

天線的效率，用來(lái)衡量天線對(duì)能量的轉(zhuǎn)換能力，即將高頻電流、導(dǎo)波能量轉(zhuǎn)換為無(wú)線電波能量或?qū)o(wú)線電波能量轉(zhuǎn)換為高頻電流、導(dǎo)波能量的有效程度。上節(jié)講到，方向系數(shù)是用來(lái)表征天線對(duì)電磁能量的集束程度，將方向系數(shù)和輻射效率這二者結(jié)合起來(lái)，用一個(gè)參數(shù)來(lái)表征天線對(duì)能量集束和能量轉(zhuǎn)換的總效益，即稱(chēng)為天線增益。

2.5.1天線效率

顯然，要提高天線效率，應(yīng)盡可能提高輻射電阻，同時(shí)降低損耗電阻。天線的損耗包括天線的熱損耗、介質(zhì)損耗和感應(yīng)損耗。其中，感應(yīng)損耗是指在懸掛天線的裝置中以及在大地中，因感應(yīng)電流而引起的損耗。對(duì)于超短波天線，其輻射電阻大，損耗小，輻射效率接近100%。對(duì)于長(zhǎng)波、中波天線，由于波長(zhǎng)長(zhǎng)，l/λ小，故其輻射電阻小，效率會(huì)很低。短波天線的輻射效率可以做到比長(zhǎng)波、中波天線高。長(zhǎng)波、中波天線或其他電小天線（電尺寸l/λ<0.1的天線）應(yīng)采取措施提高輻射電阻，降低損耗，以提高天線的輻射效率。在天線上加頂（如圖2.5.1所示），使天線輻射部分的電流分布均勻些，可提高輻射電阻；在天線底部地面上加金屬網(wǎng)，可以降低地面感應(yīng)損耗。

圖2.5.1T形天線

一般而言，天線作為饋線的終端負(fù)載，阻抗是不匹配的。天線從饋線得到的凈功率（即凈輸入功率）等于饋線的輸入功率與反射功率之差。天線和饋線設(shè)備統(tǒng)稱(chēng)為天饋系統(tǒng)。天饋系統(tǒng)的效率（η）可定義為天線輻射功率（Pr）與饋線輸入功率（Pφ）之比，即

也可表示為

2.5.2增益

2.5.3等效全向輻射功率（EIRP）

由天線方向系數(shù)的定義以及輻射強(qiáng)度、功率通量密度、輻射場(chǎng)強(qiáng)之間的關(guān)系可得天線在某方向的輻射電場(chǎng)強(qiáng)度為

電場(chǎng)強(qiáng)度亦可表示為

式中，PrD（或PinG）稱(chēng)為等效全向輻射功率（EquivalentIsotropicRadiatedPower，EIRP）。

由式（2.4.8）可得

式（2.5.12）說(shuō)明，若天線以Um為輻射強(qiáng)度向空間均勻輻射，則其輻射功率為PrD。換句話(huà)說(shuō)，輻射功率為Pr、方向系數(shù)為D的天線，其最大輻射方向的EIRP=PrD，若理想點(diǎn)源要得到同樣的EIRP值，其輻射功率就必須增大D倍。要想達(dá)到同樣的輻射強(qiáng)度Um，全向天線的輻射功率必須達(dá)到PrD。故EIRP稱(chēng)為等效全向輻射功率。

2.6輸入阻抗2.6.1輸入阻抗的概念天線的輸入阻抗定義為天線在其輸入端所呈現(xiàn)的阻抗，可以看成是天線的輸入功率被輸入阻抗所吸收。仿照電路理論，天線的輸入阻抗可定義為天線的輸入端電壓Uin與輸入端電流Iin之比，如圖2.6.1所示。輸入阻抗也可用輸入功率Pin與輸入電流Iin來(lái)計(jì)算，輸入電阻Rin和輸入電抗Xin分別對(duì)應(yīng)于輸入功率的實(shí)部和虛部，即

圖2.6.1天線的輸入阻抗

天線的輸入阻抗是其饋線的負(fù)載阻抗，它決定了饋線的駐波狀態(tài)。設(shè)天線輸入端（即饋線終端）的電壓反射系數(shù)為Γ，它是該處饋線上反射波電壓Uro與輸入波電壓Uio之比，由傳輸線理論可得天線輸入阻抗為

式中，Z0=Uio/Iio是饋線特性阻抗，Iio是入射波電流。

電壓駐波比（VoltageStandingWaveRatio，VSWR）是傳輸線上相鄰的波腹電壓振幅與波節(jié)電壓振幅之比，可用來(lái)表示饋電的匹配狀態(tài)，即

反射損耗（ReturnLoss）Lrl反映了天線輸入阻抗與饋線不匹配引起的功率損失，通常以分貝表示為

2.6.2對(duì)稱(chēng)振子的輻射阻抗

將積分的封閉面縮小到與天線的表面重合，則通過(guò)此封閉面的總功率為

設(shè)對(duì)稱(chēng)振子的電流I（z'）集中于振子的軸線上，如圖2.6.2所示。

圖2.6.2輻射阻抗的計(jì)算圖

I（z'）在振子導(dǎo)體表面產(chǎn)生的切向電場(chǎng)為Ez，為了滿(mǎn)足導(dǎo)體表面切向電場(chǎng)為零的邊界條件，對(duì)稱(chēng)振子表面感應(yīng)電流在振子表面產(chǎn)生的切向電場(chǎng)為Ez'，有Ez'=-Ez，此Ez'在線元dz'上感應(yīng)的電

動(dòng)勢(shì)為Ez'dz'=-Ezdz'，為維持此電動(dòng)勢(shì)，電流I（z'）所消耗的功率為

設(shè)振子電流為正弦分布，則歸算于波腹電流的輻射阻抗為

輻射電阻和輻射電抗的積分結(jié)果如下：

由此計(jì)算出的輻射阻抗隨l/λ的變化曲線示于圖2.6.3中，由圖可知：輻射電阻Rrm與振子半徑a無(wú)關(guān)；隨著振子半徑a的增大，輻射電抗Xrm減小，且隨l/λ變化較平緩，因此可通過(guò)增加振子半徑的方法來(lái)提高天線的阻抗帶寬；當(dāng)l/λ很小且接近于0.1時(shí)，振子可近似為短偶極子天線，也稱(chēng)為電小天線，其輻射電阻Rrm較小，輻射電抗Xrm較高，天線的Q值較高，輻射能力較低，此時(shí)，天線輻射能量較少，而在天線周?chē)袷幍哪芰枯^大；當(dāng)l/λ=0.25時(shí)，振子為半波振子天線，其輻射阻抗為Rrm。

圖2.6.3對(duì)稱(chēng)振子的輻射阻抗

2.7天線的極化

2.7天線的極化

比較式（2.7.2）和式（2.7.3），可得

式中，Exm和Eym分別為電場(chǎng)的x分量和y分量的復(fù)振幅，φx和φy分別為其初始相位。根據(jù)互相垂直的兩場(chǎng)分量的振幅和相位間的關(guān)系，極化可以分為三類(lèi)，即線極化、圓極化和橢圓極化，如圖2.7.1所示。

圖2.7.1極化平面內(nèi)電場(chǎng)矢量隨時(shí)間的變化

應(yīng)用三角函數(shù)公式，由式（2.7.4）可推導(dǎo)出：

其中，Δφ=φy-φx。

1.線極化

當(dāng)Δφ=φy-φx=nπ（n=0，1，2，…）時(shí)，橢圓方程變?yōu)橹本€方程，此時(shí)有

合成場(chǎng)的振幅為

合成場(chǎng)矢量的方向與x軸的夾角α是一個(gè)常數(shù)，即

電場(chǎng)矢量端點(diǎn)的軌跡是一條直線，該直線與x軸的夾角α不隨時(shí)間變化，這種極化波為線極化波。

圖2.7.2電場(chǎng)矢量的極化橢圓

橢圓特性通常用軸比AR（橢圓長(zhǎng)軸與短軸之比）和傾角τ來(lái)表示。軸比AR為

式中：

傾角τ（長(zhǎng)軸與x軸的夾角）為

線極化和圓極化是橢圓極化的特例。橢圓極化波旋向與圓極化波旋向的規(guī)定相同。

不難證明，線極化的電場(chǎng)可以分解為兩個(gè)振幅相等、旋向相反的圓極化電場(chǎng)的疊加；一個(gè)圓極化（左旋或右旋）電場(chǎng)可以分解為兩個(gè)振幅相等、相位相差π/2的線極化電

場(chǎng)的疊加。

輻射線極化波的天線為線極化天線，電基本振子、對(duì)稱(chēng)振子等直線天線都是線極化天線。根據(jù)線極化電場(chǎng)與反射面（或地面）的關(guān)系或者線極化電場(chǎng)與入射面（入射線與反射面

法線構(gòu)成的平面）的關(guān)系，線極化波又可分為水平極化波（電場(chǎng)矢量平行于地面）和垂直極化波（電場(chǎng)矢量垂直于地面）。輻射圓極化波的天線為圓極化天線，輻射橢圓極化波的天線為橢圓極化天線。

天線可能輻射非預(yù)定極化的電磁波，預(yù)定極化稱(chēng)為主極化，非預(yù)定極化稱(chēng)為交叉極化或寄生極化。交叉線極化的方向與主線極化的方向垂直，交叉圓極化的旋向與主圓極化的

旋向相反。由于交叉極化波要攜帶一部分能量，對(duì)主極化波而言是一種損失，因此通常要設(shè)法加以消除。但另一方面，例如收發(fā)共用天線或雙頻共用天線則可以利用主極化和交叉極化的不同特性，達(dá)到收發(fā)隔離或雙頻隔離的目的。

2.8天線的相位中心

2.8.1相位中心與視在相心理論上，如果天線輻射的電磁波為球面波，那么球面的球心被稱(chēng)為相位中心（PhaseCenter，PC）。從數(shù)學(xué)上定義相位中心，其可被描述為：天線遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)的等相位面的曲率中心，如果是理想球面的球心，則存在唯一的曲率中心（球心）；反之，不同區(qū)域的等相位面對(duì)應(yīng)不同的曲率中心。

2.8.2相位中心的確定方法

1.移動(dòng)參考點(diǎn)法

移動(dòng)參考點(diǎn)法是一種通過(guò)實(shí)驗(yàn)尋找相位中心的方法。實(shí)驗(yàn)中，調(diào)整參考點(diǎn)的位置，觀察主瓣內(nèi)相位的變化，使相位變化小于某個(gè)限值時(shí)的角度范圍最大，或者在指定范圍內(nèi)相位變化最小。圖2.8.1是移動(dòng)參考點(diǎn)法的示意圖。

移動(dòng)參考點(diǎn)法要通過(guò)反復(fù)測(cè)量才能得到最佳值。該法的好處是幾乎適用于所有天線，但相位中心要在天線中軸上。實(shí)際上相位中心偏離中軸時(shí)，也可以通過(guò)移動(dòng)參考點(diǎn)法找到

相位中心，只是移動(dòng)參考點(diǎn)要加入橫向分量。

圖2.8.1移動(dòng)參考點(diǎn)法示意圖

2.三點(diǎn)計(jì)算法

一個(gè)理想的球面波源，其遠(yuǎn)場(chǎng)相位方向函數(shù)可以寫(xiě)成：

該方程有四個(gè)未知數(shù)Δx、Δy、Δz和C，根據(jù)四個(gè)方向的相位值就可求解，其中Δx、Δy、Δz是相位中心距參考點(diǎn)的坐標(biāo)，C是相位常數(shù)。

在此，假定相位方向圖的測(cè)量是在φ=0°和φ=90°兩個(gè)主平面內(nèi)進(jìn)行的，此時(shí)，式（2.8.1）可簡(jiǎn)化為

其中，φ=0°或φ=90°時(shí)，Δt相應(yīng)地取Δy或Δx。此時(shí)方程只有三個(gè)未知數(shù)，知道任意三個(gè)角度上對(duì)應(yīng)的相位就可解出未知數(shù)。一般三個(gè)位置會(huì)取最大波束指向，以及關(guān)注角域的上下限。

3.擬合法

在關(guān)心的角度范圍，我們希望在整個(gè)區(qū)域內(nèi)相位起伏都不大，而不僅僅是幾個(gè)特定點(diǎn)，這可以采用曲線擬合的方法。我們可以求出使角域內(nèi)相位起伏距一個(gè)等相位面（常數(shù)）平均最小的相位中心。最常用的擬合方法是最小二乘法，可以擬合近似為線性的曲線。

如果一組離散點(diǎn)可以用下式近似：

對(duì)于給出的表達(dá)式（2.8.3），定義

求出使式（2.8.4）中δ最小的p1和p2，即得到用最小二乘法擬合的近似為線性的曲線。根據(jù)這一方法，我們可以建立起包含相位中心參量的相位方向函數(shù)表達(dá)式，并求解最小二乘法意義下的相位中心。

2.9接收天線的電參數(shù)

2.9.1互易定理及應(yīng)用首先推導(dǎo)洛倫茲互易定理，如圖2.9.1所示，假設(shè)在線性且各向同性媒質(zhì)中有兩組電磁流源，J1、M1和J2、M2，它們產(chǎn)生的場(chǎng)分別為E1、H1和E2、H2。

圖2.9.1用于洛倫茲互易定理的形式

兩組源和場(chǎng)分別滿(mǎn)足麥克斯韋方程

和

將式（2.9.6）代入式（2.9.5）的左邊，可得

式（2.9.5）變成

參考圖2.9.2（a），若天線1作發(fā)射，天線2作接收，彼此處于遠(yuǎn)區(qū)，天線2圍繞天線1在距離等于常數(shù)的球面上移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，天線2相對(duì)于天線1的取向和極化均保持不變，則由天線2的輸出端電壓隨方向角（θ，φ）的變化即得天線1的發(fā)射方向圖。由于I1是常數(shù)，由式（2.9.15）可知，作為角函數(shù)的Z21實(shí)際上就是天線1的發(fā)射方向圖函數(shù)。

圖2.9.2天線方向圖的互易性

參考圖2.9.2（b），若天線2作發(fā)射，天線1作接收，天線2再次圍繞天線1移動(dòng)，則天線1的輸出端電壓即是天線1的接收方向圖，因此作為角函數(shù)的Z12是天線1的接收方向圖函數(shù)。由式（2.9.17）知互阻抗相等，因此可斷定同一副天線用作發(fā)射或接收時(shí)方向圖相同，這是互易定理的一個(gè)重要推論。

如上所述，同一副天線用作發(fā)射或接收時(shí)方向圖和阻抗相同。顯然，同一副天線用作發(fā)射或接收時(shí)其他參數(shù)也相同。

2.9.2接收功率

接收天線的等效電路如圖2.9.3所示，將接收天線等效成理想電壓源（電壓為eA），天線的輸入阻抗Zin為電壓源的內(nèi)阻（Zin=Rin+jXin），Z1是接收負(fù)載（通常是接收機(jī)或饋線的輸入阻抗）。當(dāng)源與負(fù)載阻抗共軛匹配（Z1=Zin*）時(shí)，天線輸出功率為最大，此時(shí)有

當(dāng)天線以最大接收方向?qū)?zhǔn)來(lái)波方向且天線的極化與來(lái)波極化一致時(shí)，eA=Ele，接收天線的最佳接收功率為

2.9.3最大有效口徑

當(dāng)天線的極化與來(lái)波的極化完全匹配，且負(fù)載與天線阻抗共軛匹配時(shí)，天線在（θ，φ）方向上所接收的功率PR（θ，φ）與入射波功率密度S之比稱(chēng)為此天線在（θ，φ）方向上的有效口徑（也稱(chēng)等效口徑），即

天線在最大接收方向上的有效口徑，稱(chēng)為最大有效口徑，用Aem表示。

2.9.4匹配效率

1.極化匹配因子

如圖2.9.4所示，來(lái)波為一線極化波，其電場(chǎng)的取向?yàn)檠靥摼€所示的方向；接收天線為一線天線，其振子的取向?yàn)閳D中的實(shí)線所示，此方向也為線天線的極化方向。由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)法對(duì)天線接收的電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行分析可知，當(dāng)接收天線的極化方向與來(lái)波的極化方向相同時(shí)，接收天線上可感應(yīng)出最大的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因而可從來(lái)波中吸取最大能量，如圖2.9.4（a）所示。當(dāng)接收天線的極化方向與來(lái)波的極化方向正交時(shí)，不能接收到能量，如圖2.9.4（c）所示。

圖2.9.4線極化天線與來(lái)波的極化關(guān)系

如圖2.9.4（b）所示，若來(lái)波極化方向與線天線極化方向的夾角為α，則來(lái)波電場(chǎng)在天線振子軸線方向上的分量為Ep=Ecosα，極化匹配因子等于天線在極化不匹配情況下接收

到的功率與天線極化匹配時(shí)收到的功率的比值，在此情況下ηp=cos2α。

2.阻抗匹配因子

阻抗匹配因子用ez表示，定義為天線輸入（輸出）端阻抗失配時(shí)傳輸?shù)哪芰颗c阻抗匹配時(shí)傳輸?shù)哪芰康谋戎怠？梢?jiàn)，天線的阻抗匹配因子即為其阻抗匹配效率（用于描述天線的阻抗匹配情況），也表示天線的功率傳輸系數(shù)大小。根據(jù)傳輸線理論，阻抗匹配因子ηz的計(jì)算公式為

式中，Γ為電壓反射系數(shù)，Zin為天線的輸入阻抗，Z0為傳輸線的特性阻抗。當(dāng)Zin與Z0完全匹配時(shí)，有ηz=1。

在失配條件下，接收天線的有效口徑為

2.10功率傳輸方程

如圖2.10.1所示，下面來(lái)研究收發(fā)鏈路的功率關(guān)系。圖中發(fā)射天線和接收天線相距為r，發(fā)射天線輸入功率為Pt，輻射功率為Pr，方向系數(shù)為Dr，最大輻射方向指向接收天線；接收天線方向系數(shù)為DR，最大有效口徑為AemR。發(fā)射天線在接收天線處產(chǎn)生的功率密度為

圖2.10.1收發(fā)鏈路

接收天線最大接收功率為

計(jì)入天線損耗，接收功率為

式（2.10.3）稱(chēng)為弗里斯（Friis）傳輸方程。式（2.10.3）成立的條件為：①收、發(fā)天線最大輻射方向?qū)?zhǔn)；②收、發(fā)天線極化匹配；③收、發(fā)天線與傳輸線阻抗匹配。如上述任一條件不滿(mǎn)足，則需要考慮由極化失配、阻抗失配或天線未對(duì)準(zhǔn)引起的損失。

下面分三種情況進(jìn)行討論，如圖2.10.2所示。

圖2.10.2一般的傳輸線路

情況1當(dāng)收、發(fā)天線最大方向沒(méi)有對(duì)準(zhǔn)時(shí)：

若（θr，φr）、（θR，φR）分別為發(fā)射、接收天線的最大接收方向與收、發(fā)天線連線的夾角，則在連線方向，發(fā)射天線和接收天線的增益分別為

則傳輸方程為

情況2當(dāng)極化不匹配時(shí)：

情況3當(dāng)阻抗不匹配時(shí)：

當(dāng)接收天線和饋線的阻抗失配時(shí)，也會(huì)引起功率損失。天線的阻抗匹配因子ηz表示為

其中，電壓反射系數(shù)Γ可由電壓駐波比計(jì)算得出，即

將阻抗匹配因子取分貝，也稱(chēng)反射損耗。再考慮阻抗失配，接收天線的接收功率為第3章天線陣的分析與綜合3.1陣列天線的方向圖3.2均勻直線陣的陣因子和輻射特性3.3典型的均勻直線陣3.4不等幅的等間距邊射直線陣3.5線陣的道爾夫切比雪夫綜合3.6線陣的泰勒綜合3.7平面陣3.8導(dǎo)電地面上的天線3.9圓陣3.10線源

3.1陣列天線的方向圖

3.1.1方向圖乘積定理

圖3.1.1N元天線陣

式中，C為與單元形式有關(guān)的比例系數(shù)，Rn為第n個(gè)單元到場(chǎng)點(diǎn)P(r，θ，φ)的距離，fe(θ，φ)為陣列單元的方向函數(shù)。對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)距離Rn的近似，包括對(duì)分母幅度項(xiàng)和分子相位項(xiàng)的近似，在幅度項(xiàng)中有

在相位項(xiàng)中有

式(3.1.3)中的最后一個(gè)因子表示由于單元的空間位置和觀察點(diǎn)位置而產(chǎn)生的相對(duì)相位。由疊加原理，天線陣在觀察點(diǎn)產(chǎn)生的總場(chǎng)等于各單元在觀察點(diǎn)輻射場(chǎng)的矢量和。若陣

列單元產(chǎn)生的輻射場(chǎng)方向相同，則天線陣總場(chǎng)為

去掉與方向無(wú)關(guān)的常數(shù)，則天線陣的方向函數(shù)為

令

式中，fa(θ，φ)稱(chēng)為陣列天線的陣因子，陣因子取決于陣列排列方式與單元激勵(lì)電流的相對(duì)幅度和相位分布。為了方便書(shū)寫(xiě)，式(3.1.6)等號(hào)右邊略去了絕對(duì)值符號(hào)(下同)，則陣列天線的場(chǎng)強(qiáng)幅度方向函數(shù)f(θ，φ)可寫(xiě)為

陣列天線的方向圖等于單元因子與陣因子的乘積，稱(chēng)為方向圖乘積定理。其中，陣列單元因子fe(θ，φ)僅取決于單元的形式和取向，它等于單元位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的歸一化方向圖。若陣元為理想點(diǎn)源，則

這時(shí)式(3.1.7)變?yōu)?/p>

3.1.2二元陣的方向圖

(1)圖3.1.2(a)所示為理想點(diǎn)源組成的二元陣，間距d=λ/2的等幅同相二元陣沿z軸排列，坐標(biāo)原點(diǎn)在陣列的幾何中心，其方向函數(shù)為

由于d=λ/2，因此歸一化陣因子為

極坐標(biāo)方向圖如圖3.1.2(b)所示，當(dāng)θ=π/2時(shí)，兩點(diǎn)源輻射場(chǎng)無(wú)波程差，電流等幅同相，兩點(diǎn)源輻射場(chǎng)等幅同相疊加(最大)；當(dāng)θ=0時(shí)，波程差為λ/2，波程差造成的場(chǎng)的相位差為180°，兩點(diǎn)源的輻射場(chǎng)等幅反相疊加，完全抵消，總場(chǎng)為零。

圖3.1.2等幅同相二元陣(d=λ/2)

(2)若二元陣間距d=λ，等幅同相激勵(lì)，則歸一化陣因子為

極坐標(biāo)方向圖如圖3.1.3所示，當(dāng)θ=π/2時(shí)，兩點(diǎn)源無(wú)波程差，電流等幅同相，輻射場(chǎng)同相疊加；當(dāng)θ=0時(shí)，由于間距為λ，故輻射場(chǎng)仍然等幅同相疊加；任意方向時(shí)，兩點(diǎn)源的波程差為λcosθ，當(dāng)θ=π/3或2π/3時(shí)，兩點(diǎn)源波程差為λ/2，輻射場(chǎng)等幅反相疊加。

由圖3.1.3可以看出，僅間距的變化就可以改變陣列方向圖。同時(shí)還可以看出，當(dāng)間距增加時(shí)，方向圖波瓣增多。

圖3.1.3等幅同相二元陣方向圖(d=λ)

(3)若間距d=λ/2，等幅反相激勵(lì)(右源相位滯后左源π)，則陣因子為

歸一化陣因子為

極坐標(biāo)方向圖如圖3.1.4所示，當(dāng)θ=π/2時(shí)，兩點(diǎn)源無(wú)波程差，但電流等幅反相，總輻射場(chǎng)為零；當(dāng)θ=0時(shí)，左源相對(duì)于右源，波程滯后λ/2(波程差引起的相位差為-π)，電流相位超前π，兩點(diǎn)源的輻射場(chǎng)變成了等幅同相疊加；當(dāng)θ=π時(shí)，左源相對(duì)于右源，波程超前λ/2，但電流相位超前π，兩點(diǎn)源的輻射場(chǎng)同樣變成了等幅同相疊加。與等幅同相二元陣相比，最大輻射方向與零輻射方向互換，同時(shí)說(shuō)明了僅改變相位分布就可改變陣列方向圖。

圖3.1.4等幅反相二元陣方向圖(d=λ/2)

(4)若等幅二元陣的間距d=λ/4，相位差為π/2(右源相位滯后左源π/2)，則陣因子為

歸一化陣因子為

極坐標(biāo)方向圖如圖3.1.5所示，當(dāng)θ=0時(shí)，左源相對(duì)于右源，波程滯后λ/4(相位差為-π/2)，電流相位超前π/2，遠(yuǎn)場(chǎng)相位相同，兩點(diǎn)源的遠(yuǎn)場(chǎng)等幅同相疊加；當(dāng)θ=π/2時(shí)，兩點(diǎn)源無(wú)波程差，但電流相位相差π/2，總輻射場(chǎng)的幅度是單個(gè)源輻射場(chǎng)的2倍；當(dāng)θ=π時(shí)，左源相對(duì)于右源，波程超前λ/2，且電流相位超前π/2，因而兩點(diǎn)源的遠(yuǎn)場(chǎng)相互抵消。圖3.1.5說(shuō)明了間距和相位變化后陣列方向圖的變化。

圖3.1.5等幅二元陣極坐標(biāo)方向圖(d=λ/4，相位差為π/2)

(5)若間距d=λ/2，電流幅度比為2∶1，則同相二元陣的陣因子為

極坐標(biāo)方向圖如圖3.1.6所示，當(dāng)θ=π/2時(shí)，兩點(diǎn)源無(wú)波程差，輻射場(chǎng)同相疊加，為二元陣最大輻射方向；當(dāng)θ=0時(shí)，兩點(diǎn)源波程相差λ/2，輻射場(chǎng)反相疊加，但右源的電流幅度僅是左源的一半，總輻射場(chǎng)幅度為單個(gè)源輻射場(chǎng)的一半，形成最小輻射方向。其他輻射方向場(chǎng)的疊加介于同相與反相之間。

圖3.1.6二元陣極坐標(biāo)方向圖(d=λ/2，電流幅度比為2∶1)

(6)若單元間距為d，電流比為1：mjα，則

以上二元陣的單元形式均為點(diǎn)源，由不同的組陣情況，說(shuō)明了天線陣的方向性(陣因子)與單元間距d、饋電幅度和相位有關(guān)。下面分析單元因子為半波對(duì)稱(chēng)振子的情況。

(7)間距d=λ/4、相位差為π/2(上面單元相位滯后)的等幅二元半波對(duì)稱(chēng)振子陣如圖3.1.7所示，其中兩半波對(duì)稱(chēng)振子沿x軸取向，沿z軸排陣。

兩半波對(duì)稱(chēng)振子沿x軸取向，其單元因子為

圖3.1.7間距d=λ/4、相位差為π/2的等幅二元半波對(duì)稱(chēng)振子陣

二元對(duì)稱(chēng)振子陣中，單元在yOz平面內(nèi)為全向最大輻射，陣因子最大方向沿z軸方向，因此陣列最大值沿z軸方向。E面為包含z軸和x軸的平面，即xOz平面；H面為垂直于E面的平面，即yOz平面。E面方向函數(shù)為

H面方向函數(shù)為

E面與H面的方向圖分別如圖3.1.8和圖3.1.9所示，其中H面方向圖與陣因子方向圖相同。

圖3.1.8E面方向圖(xOz平面)

圖3.1.9H面方向圖(yOz平面)

3.2均勻直線陣的陣因子和輻射特性

均勻直線陣是指單元間距相等、激勵(lì)幅度相等以及相位線性分布的直線陣。圖3.2.1中所示的N元點(diǎn)源直線陣沿z軸排列，單元間距為d，單元激勵(lì)幅度為A0，相鄰單元間饋電相位差為β(稱(chēng)為步進(jìn)相位)，則第n個(gè)單元的激勵(lì)電流可表示為In=A0ej(n-1)β。下面對(duì)均勻直線陣的陣因子和輻射特性進(jìn)行分析。

圖3.2.1等間距點(diǎn)源直線陣

3.2.1陣列陣因子

圖3.2.2八元均勻直線陣的陣因子

3.2.2陣因子方向圖的特性

均勻直線陣方向函數(shù)為sinu/u形式，圖3.2.3繪出了

N=4，6，8，10時(shí)均勻激勵(lì)等間距線陣陣因子的方向圖，考察不同單元數(shù)目時(shí)陣列陣因子的變化，可以看出一些趨勢(shì)：

(1)當(dāng)N增加時(shí)，主瓣變窄。

(2)當(dāng)N增加時(shí)，在Fa(ψ)的一個(gè)周期中有更多的旁瓣。事實(shí)上，在一個(gè)周期中整個(gè)瓣數(shù)等于N-1，包括N-2個(gè)旁瓣和1個(gè)主瓣。

(3)以ψ為變量的副瓣寬度為2π/N，而大瓣(主瓣和柵瓣)寬度要加倍。

(4)隨著N增加，旁瓣峰值減小。當(dāng)N=5時(shí)，旁瓣電平為-12dB；當(dāng)N=20時(shí)，旁瓣電平為-13dB；當(dāng)N繼續(xù)增加時(shí)，旁瓣電平趨于-13.5dB。

(5)Fa(ψ)是關(guān)于π對(duì)稱(chēng)的。

圖3.2.3N=4，6，8，10時(shí)均勻激勵(lì)等間距線陣陣因子的方向圖

3.2.3陣因子分析

1.最大輻射方向

在式(3.2.5)中，陣因子最大值發(fā)生在各單元同相疊加時(shí)，此時(shí)

式(3.2.5)的分子分母均為零。因此，天線陣的最大輻射方向θm為

當(dāng)m=0時(shí)，ψ=0對(duì)應(yīng)方向圖主瓣；m為其他值時(shí)對(duì)應(yīng)方向圖柵瓣。主瓣最大值方向θ0為

2.半功率波瓣寬度

半功率波瓣寬度處的ψ值可由下式求出：

當(dāng)線陣的單元數(shù)很多時(shí)，N很大，天線陣的方向性很強(qiáng)，則在半功率波瓣寬度處的ψ值很小，因此sin(ψ/2)≈ψ/2，將其代入式(3.2.9)中，可得

3.零功率波瓣寬度

當(dāng)式(3.2.5)中分子為零而分母不為零時(shí)，對(duì)應(yīng)方向圖的零點(diǎn)，分子為零時(shí)有

若使分母不為零，則必須使n≠N，2N，3N，…，由式(3.2.16)可得

則零功率波瓣寬度為主瓣兩側(cè)的零點(diǎn)方向之間的夾角。主瓣的第一對(duì)零點(diǎn)發(fā)生在Nψ/2=±π時(shí)，并有ψNP=±2π/N。

4.副瓣電平

當(dāng)天線陣的單元數(shù)目很多，N很大時(shí)，sin(Nψ/2)隨ψ變化的速度遠(yuǎn)大于sin(ψ/2)隨ψ變化的速度，副瓣最大值近似發(fā)生在方向圖的分子為最大值時(shí)，即

可得

式(3.2.18)的第一副瓣最大值發(fā)生在s=1時(shí)，有

當(dāng)N很大時(shí)，sin(ψ/2)≈(ψ/2)，則第一副瓣電平為

5.方向系數(shù)

根據(jù)方向系數(shù)的計(jì)算公式，在球坐標(biāo)系中，沿z軸排列的直線陣方向函數(shù)與φ無(wú)關(guān)，則方向系數(shù)可簡(jiǎn)化為

3.3典型的均勻直線陣

3.3.1邊射陣邊射陣為最大輻射方向垂直于陣列軸線的直線陣，即最大輻射方向θ0=90°。在最大輻射方向上，ψ=0，同相疊加，即則有β=0，即各單元激勵(lì)電流的相位相同，為同相直線陣。在邊射陣的最大輻射方向，各單元到觀察點(diǎn)沒(méi)有波程差，陣列單元無(wú)相位差。

1.陣因子

由步進(jìn)相位β=0，可得ψ=kdcosθ，則邊射陣的歸一化陣因子為

2.半功率波瓣寬度

3.零功率波瓣寬度

與上面類(lèi)似，可求出零功率波瓣寬度的近似公式為

可見(jiàn)邊射陣的主瓣寬度與陣的電長(zhǎng)度呈反比。

4.副瓣電平

5.方向系數(shù)

邊射陣的方向系數(shù)可由下式求出：

6.示例

以八元邊射陣為例，陣列間距d=λ/2，陣列的歸一化方向函數(shù)Fa(θ)、半功率波瓣寬度HPBW、零功率波瓣寬度NPBW、副瓣電平SLL、方向系數(shù)D的計(jì)算分別如下：

圖3.3.1所示為八元邊射陣的陣因子方向圖，陣列最大輻射方向?yàn)棣?=90°。圖3.3.1邊射陣的陣因子方向圖(N=8，d=λ/2)

3.3.2普通端射陣

若陣列的最大輻射方向?yàn)檠鼐€陣軸線方向，則這樣的天線陣為普通端射陣。普通端射陣的最大輻射方向θ0=0°或180°，則在最大輻射方向(同相疊加時(shí))上有

普通端射陣中β=-kd(θ0=0°)或β=kd(θ0=180°)，陣列各單元激勵(lì)電流的相位沿最大輻射方向依次滯后kd。

1.陣因子

由于步進(jìn)相位β=?kd，故ψ=kdcosθ?kd，可得端射陣的歸一化方向函數(shù)為

2.半功率波瓣寬度

普通端射陣的半功率波瓣寬度為

3.零功率波瓣寬度

與上面類(lèi)似，可求出普通端射陣的零功率波瓣寬度的近似公式為

4.副瓣電平

對(duì)于長(zhǎng)陣，普通端射陣的副瓣電平趨于-13.5dB。

5.方向系數(shù)

端射陣的方向系數(shù)可由下式近似求出：

6.示例

以八元普通端射陣為例，陣列間距d=λ/4，陣列的歸一化方向函數(shù)Fa(θ)、半功率波瓣寬度HPBW、零功率波瓣寬度NPBW、副瓣電平SLL、方向系數(shù)D的計(jì)算分別如下：

圖3.3.2所示為八元普通端射陣的陣因子方向圖，陣列間距d=λ/4，最大輻射方向分別位于θ0=0°和θ0=180°處。圖3.3.2普通端射陣的陣因子方向圖(N=8，d=λ/4)

3.3.3漢森伍德沃德端射陣(強(qiáng)端射陣)

普通端射陣具有較寬的主瓣，它的方向系數(shù)不是最優(yōu)的。強(qiáng)端射陣是一種適當(dāng)壓縮主瓣寬度，使方向系數(shù)最大的改進(jìn)型端射直線陣，它通過(guò)改變間距和步進(jìn)相位來(lái)增強(qiáng)天線陣的方向性。當(dāng)步進(jìn)相位增加到

時(shí)，可以使端射陣的方向系數(shù)最大。式(3.3.15)稱(chēng)為漢森伍德沃德增強(qiáng)方向性條件。由該條件可得

1.陣因子

強(qiáng)端射陣的陣因子為

陣因子的最大值為

由式(3.3.17)和式(3.3.18)可得歸一化陣因子為

2.半功率波瓣寬度

對(duì)于長(zhǎng)陣，漢森伍德沃德陣的半功率波瓣寬度近似為

3.零功率波瓣寬度

強(qiáng)端射陣的零功率波瓣寬度為

4.副瓣電平

第一副瓣電平為

5.方向系數(shù)

強(qiáng)端射陣的方向系數(shù)可由下式近似求出：

6.示例

以八元強(qiáng)端射陣為例，陣列間距d=λ/4，陣列的歸一化方向函數(shù)Fa(θ)、半功率波瓣寬度HPBW、零功率波瓣寬度NPBW、副瓣電平SLL、方向系數(shù)D的計(jì)算分別如下：

圖3.3.3所示為八元強(qiáng)端射陣的陣因子方向圖，陣列間距d=λ/4，其最大輻射方向?yàn)棣?=0°，相較于普通端射陣，其陣列波瓣寬度變窄，方向性增強(qiáng)。

表3.3.1列出了N元等幅線陣的方向圖參數(shù)比較，包括邊射陣、普通端射陣和強(qiáng)端射陣的陣因子、半功率波瓣寬度、零功率波瓣寬度、副瓣電平及方向系數(shù)。圖3.3.3強(qiáng)端射陣的陣因子方向圖(N=8，d=λ/4)

3.3.4主瓣最大方向掃描的陣列

由ψ=kdcosθ0+β=0，得

直線陣相鄰單元相位差β的變化，會(huì)引起方向圖最大輻射方向相應(yīng)變化，從而實(shí)現(xiàn)方向圖掃描，稱(chēng)為相位掃描。使陣列主瓣最大值指向θ0時(shí)所需的陣列相鄰單元的相位差為β=-kdcosθ0。相控陣陣因子為圖3.3.4相位掃描的陣列方向圖(N=8，d=λ/2)

3.3.5柵瓣和間距的選擇

過(guò)大的柵瓣會(huì)使天線的方向性降低，因此陣列設(shè)計(jì)中需要對(duì)柵瓣進(jìn)行抑制。ψ可見(jiàn)區(qū)的大小是由間距d決定的。當(dāng)間距過(guò)大時(shí)，方向圖有多個(gè)與主瓣最大值相同的大瓣。如前

所述，它們的最大值發(fā)生在ψ=2mπ時(shí)；當(dāng)ψ=0時(shí)，對(duì)應(yīng)方向圖主瓣，其他對(duì)應(yīng)方向圖柵瓣。正確設(shè)計(jì)陣列間距可消除陣列天線方向圖柵瓣。要使天線方向圖不出現(xiàn)柵瓣，應(yīng)使ψ可見(jiàn)區(qū)

[-kd+β，kd+β]不包括ψ=±2π(第一對(duì)柵瓣最大值位置)，即

得

這就是消除柵瓣最大值的間距條件。該條件不能消除柵瓣中的一些較大值，為了消除整個(gè)柵瓣，而不只限于消除它的最大值，應(yīng)有

則有

將前述四種均勻直線陣中相鄰陣列單元的激勵(lì)相位差β代入式(3.3.29)，可得到每種陣列類(lèi)型中消除整個(gè)柵瓣的間距條件如下。

3.4不等幅的等間距邊射直線陣

3.4.1方向函數(shù)沿z軸排列的直線陣中，各單元的排列、電流幅度分布和坐標(biāo)系如圖3.4.1所示，非均勻激勵(lì)等間距點(diǎn)源線陣的陣因子為

圖3.4.1不等幅等間距邊射陣

當(dāng)陣列為圖3.4.1(a)所示的偶數(shù)元，即N=2M時(shí)，有

3.4.2方向系數(shù)

設(shè)沿z軸排列的線陣的第n號(hào)單元位于zn，電流的幅度為An，電流的相位為αn=-kzncosθ0，其中θ0為主瓣最大值方向。由式(3.2.1)可知?dú)w一化陣因子為

對(duì)應(yīng)波束立體角為

計(jì)算上式中的積分，并將其結(jié)果代入D=4π/ΩA，得

對(duì)于等間距邊射陣，式(3.4.6)簡(jiǎn)化為

對(duì)于間距等于半波長(zhǎng)整數(shù)倍的特殊情況，式(3.4.6)簡(jiǎn)化為

式(3.4.8)與掃描角θ0無(wú)關(guān)。而且，若幅度均勻，則由式(3.4.8)可得出D=N。

3.4.3幾種非均勻激勵(lì)的等間距線陣

以間距d=λ/2的五元陣為例，如表3.4.1和表3.4.2所示，列出了等幅分布、三角形分布、二項(xiàng)式分布、倒三角形分布、切比雪夫(Chebyshev)分布的電流幅度分布圖、方向圖及其性能比較。

可見(jiàn)，通過(guò)調(diào)整單元電流的幅度可以改變副瓣電平，當(dāng)陣列單元等幅分布時(shí)，口徑利用率最高，方向系數(shù)最大。若電流幅度自中心向兩端遞減，則可使副瓣電平降低，其代價(jià)是主瓣

展寬，從而使方向系數(shù)下降，并且遞減幅度越大，副瓣電平越低，主瓣寬度越大。二項(xiàng)式分布具有最低的副瓣電平，同時(shí)其主瓣最寬，方向系數(shù)最低。反之，若電流幅度自中心向兩端遞增，則副瓣電平升高，方向系數(shù)降低。陣列設(shè)計(jì)中通常采用幅度遞減分布來(lái)降低方向圖副瓣電平，下面兩節(jié)中所介紹的切比雪夫綜合和泰勒綜合是兩種典型的低副瓣綜合方法。

3.5線陣的道爾夫切比雪夫綜合

天線的綜合是首先給定期望的方向圖，采用綜合的方法得出天線的形式，然后確定給定形式的天線的激勵(lì)，使之產(chǎn)生的方向圖能夠滿(mǎn)意地逼近期望的方向圖。通過(guò)改變天線各單元的電流幅度，使其從中間到邊緣錐削，可降低陣列方向圖副瓣電平，這屬于天線綜合方面的內(nèi)容。本書(shū)對(duì)于天線綜合問(wèn)題的討論只限于線源或線陣，主要講述兩種低副瓣窄主瓣的綜合方法，即道爾夫切比雪夫(DolphChebyshev)綜合方法和泰勒(Taylor)綜合方法。

3.5.1道爾夫切比雪夫線陣法

主瓣寬度與副瓣電平之間的最佳折中發(fā)生在可見(jiàn)空間有盡可能多的副瓣且所有副瓣均相等時(shí)。若要求天線陣陣因子的曲線滿(mǎn)足上面的要求，則首先需要找到這樣一個(gè)曲線的表

達(dá)式，然后通過(guò)改變各單元電流的激勵(lì)幅度，使陣因子與這樣的曲線的表達(dá)式相等。

1.道爾夫切比雪夫多項(xiàng)式

道爾夫切比雪夫多項(xiàng)式(下文簡(jiǎn)稱(chēng)為切比雪夫多項(xiàng)式)的定義為

圖3.5.1n=0~5的切比雪夫多項(xiàng)式曲線

從圖3.5.1或式(3.5.1)中可以看出切比雪夫多項(xiàng)式具有如下特性：

(1)偶階多項(xiàng)式為偶函數(shù)，其曲線相對(duì)于縱軸對(duì)稱(chēng)，即n為偶數(shù)時(shí)，Tn(-x)=Tn(x)；奇階多項(xiàng)式為奇函數(shù)，即n為奇數(shù)時(shí)，Tn(-x)=-Tn(x)。

(2)所有多項(xiàng)式均通過(guò)(1，1)點(diǎn)，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，多項(xiàng)式的值在-1和1之間振蕩，多項(xiàng)式模值的最大值總是1。

(3)多項(xiàng)式的所有零點(diǎn)均在-1≤x≤1內(nèi)，在x≤1外，多項(xiàng)式的值單調(diào)上升或下降。

2.陣因子的切比雪夫多項(xiàng)式

由于在切比雪夫多項(xiàng)式的[-1，1]區(qū)間內(nèi)只有副瓣，主瓣在[-1，1]區(qū)間之外，因此必須使陣因子的變化范圍超出[-1，1]區(qū)間，可令

下面分析切比雪夫多項(xiàng)式曲線與θ表示的陣因子的方向圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)θ由0°變到180°時(shí)，陣因子(切比雪夫多項(xiàng)式曲線)的值及切比雪夫多項(xiàng)式曲線的自變量的變化過(guò)程如下：

3.5.2線陣的切比雪夫低副瓣綜合

應(yīng)用以下展開(kāi)關(guān)系：

得陣因子為

令陣因子等于N-1階切比雪夫多項(xiàng)式，即

令cos(ψ/2)同次冪的系數(shù)相等，得

得出對(duì)A1歸一化后的電流分布為1∶0.9214∶0.7780∶0.5944∶0.6416。將電流分

布代入式(3.5.12)可得陣因子為

副瓣電平為-20dB的低副瓣陣列方向圖如圖3.5.2(a)所示。更進(jìn)一步，對(duì)副瓣電平分別為-30dB、-40dB的低副瓣天線陣也進(jìn)行切比雪夫綜合，直角坐標(biāo)方向圖分別如圖3.5.2(b)、(c)所示。三種低副瓣陣列中電流幅度分布如圖3.5.2(d)所示，由圖可見(jiàn)，電流分布從中心向兩端呈錐削分布，所要實(shí)現(xiàn)的陣列副瓣電平越低，陣列單元電流幅度分布的錐削越大。

圖3.5.2低副瓣陣列方向圖

3.6線陣的泰勒綜合

線源法的窄波瓣方向圖和線陣一樣，也發(fā)生在所有副瓣均相等時(shí)，所要求的函數(shù)形式為切比雪夫多項(xiàng)式。切比雪夫多項(xiàng)式TN(x)在-1<x<1區(qū)間的值單調(diào)上升或下降，通過(guò)變量變換可將切比雪夫多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為期望方向圖的形式，即主瓣最大值在x=0處的等副瓣方向圖。經(jīng)變量變換得出的新函數(shù)為

式中，a是常數(shù)，x為

其中，L為線源長(zhǎng)度。在方向圖最大值處有

式中，R是主副瓣比。對(duì)于N=4，式(3.6.1)的曲線如圖3.6.1所示。

圖3.6.1切比雪夫多項(xiàng)式P2N(x)=TN(x0-a2x2)的曲線

理想泰勒線源的近似實(shí)現(xiàn)可以提供電平幾乎相等的前n個(gè)副瓣和衰減遠(yuǎn)副瓣。衰減遠(yuǎn)副瓣的包絡(luò)解決了理想泰勒線源的無(wú)窮大功率的問(wèn)題。泰勒線源的方向圖仍是x的多項(xiàng)

式，但零點(diǎn)位置由下式給出：

采用表3.6.3中的采樣值和采樣位置，可由式(3.6.28)和式(3.6.29)計(jì)算出方向圖和電流分布，其結(jié)果如圖3.6.2所示。方向圖遠(yuǎn)副瓣的衰減包絡(luò)如圖3.6.2(a)中虛線所示。

圖3.6.2SLL=-20dB和n-=3的12λ泰勒線源

圖3.6.3SLL=-20dB和n-=4的泰勒線源

完成連乘后就得到表3.6.4中所列的同相電流分布。離散電流分布產(chǎn)生的方向圖如圖3.6.3(c)所示，可以看出它與圖3.6.3(a)很接近。

3.7平