人教B版高中數(shù)學必修第一冊2-2-4均值不等式及其應用練習含答案

2.2.4均值不等式及其應用基礎(chǔ)過關(guān)練題組一對均值不等式的理解1.給出下列條件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使ba+A.1B.2C.3D.42.(2023浙江諸暨中學月考)設(shè)a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.(2024湖北武漢期末)已知正數(shù)a,b滿足a+2b=1,則()A.ab≥18B.ab>14.下列不等式正確的是()A.x2+3x2≥23B.a2+b2≥4abC.ab5.(2024上海實驗學校期中)數(shù)學里有一種證明方法叫做無字證明,一般是指僅用圖形而無須用文字解釋就能不證自明的數(shù)學命題.如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,O為斜邊AB的中點,D為線段AB上異于端點的一個動點,設(shè)AD=a(a>0),BD=b(b>0),則該圖形可以完成的無字證明為()A.aC.a+b2≤a2+題組二利用均值不等式比較大小6.(2023江蘇南京月考)已知a,b為互不相等的正實數(shù),則下列四個數(shù)中最大的是()A.27.已知a,b是互不相等的正實數(shù),x=a+b28.(2023山東師范大學附屬中學月考)某市一外貿(mào)公司第一年的產(chǎn)值增長率為a,第二年的產(chǎn)值增長率為b,這兩年的平均產(chǎn)值增長率為x,則x與a+b2題組三利用均值不等式求最值9.(2024黑龍江哈爾濱期末)已知實數(shù)x>1,則2-x-1xA.最小值為1B.最大值為1C.最小值為-1D.最大值為-110.(2024遼寧丹東期末)已知x>0,y>0,且4x+y=1,則yxA.5B.4211.(2024遼寧沈陽期末)若正實數(shù)a,b滿足2a+b=6,則1aA.2312.(2023重慶西南大學附中月考)已知a>0,b>0,a+2b=1,則b2A.1313.(多選題)(2023河南安陽月考)已知正數(shù)x,y滿足x+y=4,則下列說法不正確的是()A.1xB.xy的最大值是4C.x2+y2的最小值是8D.x(y+1)的最大值是2514.(2024河北保定期中)已知x>1,y>0,且x+4y=2,則1x-題組四利用均值不等式進行證明15.已知a,b,c為不全相等的正實數(shù),求證:a+b+c>ab+16.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:(1)1a+(2)1+1a題組五利用均值不等式解決實際問題17.(2023北京海淀月考)某社區(qū)要在辦公樓外墻建一個面積為8m2的矩形展示區(qū),并計劃在該展示區(qū)內(nèi)設(shè)置三個全等的矩形宣傳欄(如圖所示).要求上、下各空0.25m,左、右各空0.25m,相鄰宣傳欄之間也空0.25m.設(shè)三個宣傳欄的面積之和為Sm2,則S的最大值為.

18.(2024廣東梅州三校月考)通過技術(shù)創(chuàng)新,某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場.2023年,該種玻璃售價為25歐元/平方米,銷售量為80萬平方米.(1)據(jù)市場調(diào)查,售價每提高1歐元/平方米,銷售量將減少2萬平方米,要使銷售收入不低于2000萬歐元,則該種玻璃的售價最高為多少歐元/平方米?(2)為提高年銷售量,增加市場份額,公司將在2024年對該種玻璃實施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革:提高價格到m(m>25)歐元/平方米,其中投入53(m2能力提升練題組一利用均值不等式求最值1.(2023江蘇揚州期中)已知x,y為正實數(shù),則yxA.4B.5C.6D.82.(2023廣東廣州期末)已知0<x<1,則9xA.50B.49C.25D.73.(2024遼寧大連期末)已知x,y為正實數(shù),且x+y=1,則x+6A.24B.25C.6+42D.64.(多選題)(2024江蘇鹽城五校聯(lián)盟期末)設(shè)a>0,b>0,已知M=a2A.M有最小值B.M沒有最大值C.N有最大值22D.N有最小值5.(2023山東青島二中期中)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,則()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最大值是42-36.(多選題)(2022湖北荊州月考)已知正實數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,當cabA.a=2bB.a+b+c的最小值為-3C.c=4b2D.a+b-c的最大值為37.(2024遼寧縣級重點高中協(xié)作體期末)已知x>0,y>0,m>0,且(mx-y)1x-18.(2024福建漳州期中)已知實數(shù)x,y滿足x>2y>0,且x+y=1,則4x+4y9.(2023黑龍江大慶月考)已知關(guān)于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集為M.(1)當M為空集時,求實數(shù)m的取值范圍;(2)在(1)的條件下,求m2(3)當M不為空集,且M?{x|1≤x≤4}時,求實數(shù)m的取值范圍.題組二利用均值不等式進行證明10.(2022廣東深圳南山外國語學校月考)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.證明:(1)ab+bc+ac≤13(2)a2+b2+c2≥13題組三利用均值不等式解決實際問題11.(2023吉林長春月考)如圖,在半徑為4的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD,其頂點A,B在直徑上,頂點C,D在圓周上,則矩形ABCD面積的最大值為.

12.(2022福建福州外國語學校期中)如圖,互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD,現(xiàn)欲將其擴建成一個更大的三角形花園APQ,要求P在射線AM上,Q在射線AN上,且PQ過點C,其中AB=30m,AD=20m.記三角形花園APQ的面積為Sm2.(1)當DQ的長度是多少時,S取最小值?并求出S的最小值;(2)要使S不小于1600,則DQ的長度應在什么范圍內(nèi)?13.(2024廣東廣州九區(qū)期末)某食品企業(yè)為了提高其生產(chǎn)的一款食品的收益,擬在下一年度開展促銷活動,已知該款食品年銷量x(噸)與年促銷費用t(萬元)之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=2-kt(1)求k的值;(2)將下一年的利潤y(萬元)表示為促銷費用t(萬元)的函數(shù);(3)該食品企業(yè)下一年的促銷費用投入多少萬元時,該款食品的利潤最大?(注:利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費用,生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用)

答案與分層梯度式解析2.2.4均值不等式及其應用基礎(chǔ)過關(guān)練1.C2.A3.C4.A5.C6.B9.D10.A11.B12.D13.AD1.C當ba,ab均為正數(shù)時,ba+a2.A當a+b≤4時,∵a>0,b>0,∴2ab≤a+b≤4,∴ab≤4,充分性成立.當a>0,b>0,ab≤4時,令a=4,b=1,則a+b=5>4,因此必要性不成立.綜上所述,當a>0,b>0時,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件.故選A.3.C由題意得,a>0,b>0,則ab>0,所以a+2b=1≥22ab,即0<ab≤18,當且僅當a=2b,即a=12,b=4.AA.易知x2≠0,∵x2>0,3x2>0,∴x2+3x2≥2x2B.當a=1,b=1時,a2+b2<4ab,故B不正確;C.當a>0,b>0時,ab≤D.當a<0時,a+4a≥5.C由題意得AB=AD+BD=a+b,OC=OA=OB=12(a+b),OD=|OB-BD|=12(a+b)-b=12當O與D不重合時,在Rt△OCD中,CD2=OD2+OC2=(a-b)2綜上,CD=a2因為OC≤CD,所以12(a+b)≤a2+b6.B解法一:因為a,b為互不相等的正實數(shù),所以1a+1b>2解法二:根據(jù)題意可令a=1,b=2,則2a所以四個數(shù)中最大的是1a+1b7.答案x<y解析易得x2=a+∵a,b是互不相等的正實數(shù),∴a+b>2ab,∴x2<y2,易知x>0,y>0,∴x<y.8.答案x≤a解析由題意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤1+a+1+b22=1+a9.D2-x-1x-1=1+1?x?1x-1=1?(x10.A因為x>0,y>0,且4x+y=1,所以yx+1y=當且僅當yx=4xy,11.B由2a+b=6,得a3因為a>0,b>0,所以1a+2b=所以1a+2b12.D因為a>0,b>0,且a+2b=1,所以b2+a+12ab=b2+13.AD因為x>0,y>0,x+y=4,所以1x+1y=1xy≤x+x2+y2≥(xx(y+1)≤x+y+122=故選AD.14.答案9解析因為x+4y=2,所以x-1+4則1x-1+y=當且僅當(x-1)y=4(x-1)15.證明∵a>0,b>0,c>0,∴a+b≥2ab(當且僅當a=b時等號成立),b+c≥2bc(當且僅當b=c時等號成立),c+a≥2ca(當且僅當a=c時等號成立),∴2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca又∵a,b,c為不全相等的正實數(shù),∴a+b+c>ab+16.證明(1)∵a+b=1,∴1a∵a>0,b>0,∴1a+1b∴1a+(2)證法一:∵a+b=1,∴1+1a同理,1+1b又a>0,b>0,∴1+1a1+1∴1+1a證法二:1+1由(1)知,1a+故1+1a1+117.答案4.5解析設(shè)矩形展示區(qū)的長為xm,則寬為8x由題意得S=(x-0.25×4)8x-0.25×18.解析(1)設(shè)該種玻璃的售價為x(x≥25)歐元/平方米,則其銷售收入為[80-2(x-25)]x歐元,令[80-2(x-25)]x≥2000,即x2-65x+1000≤0,解得25≤x≤40,所以該種玻璃的售價最高為40歐元/平方米.(2)由題意得mn≥25×80+500+2m+53(m2-600),整理得mn≥1500+2m+53m兩邊同除以m得n≥1又1500m+53m+2≥2故該種玻璃的銷售量至少達到102萬平方米時,才可能使2024年的銷售收入不低于2023年銷售收入與2024年投入之和,此時的售價為30歐元/平方米.能力提升練1.C2.B3.B4.ABD5.B6.AD1.C令t=yx,則t>0,故yx+16x2x+y=2.B∵0<x<1,∴1-x>0,∴9x+161-x=9x+161-x3.B因為x,y為正實數(shù),且x+y=1,所以x+6y+3xy當且僅當9yx=4xy4.ABD因為a>0,b>0,所以M=a2+b2ab=ab+當a>0,b>0時,a+b22=a2+b2+25.B因為x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,所以x+y=3-xy≥2xy,當且僅當x=y時取等號,解得0<xy≤1,故A錯誤;xy=3-(x+y)≤x+y22,當且僅當x=y時取等號,解得x+y≥2,故B正確;由題意得x=3-y1+y>0,所以0<y<3,x+4y=3-y1+y+4y=4y+4y+1?1=4(y+1)+4y+16.AD由a2-ab+4b2-c=0可得c=a2-ab+4b2,故cab=a2-ab+4b當a=2b時,c=a2-ab+4b2=4b2-2b2+4b2=6b2,故C錯誤;當a=2b時,a+b+c=3b+6b2=6b+142?當a=2b時,a+b-c=3b-6b2=-6b-142+38,當b=14時,a+b-c有最大值7.答案9解析由(mx-y)1x-1y=4,得m-因為x>0,y>0,m>0,所以m-3=mxy+yx當且僅當mxy=y令t=m>0,則t2-2t-3≥0,解得t≥3或t≤-1(舍去),即m≥3,故m≥9,當且僅當y=3x時,等號成立,故m的最小值是9.8.答案9解析因為x>2y>0,且x+y=1,所以4=2=2+2≥52當且僅當2(x-所以4x9.解析(1)∵M為空集,∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,解得-1<m<2,∴實數(shù)m的取值范圍為{m|-1<m<2}.(2)由(1)知-1<m<2,則0<m+1<3,∴m2+2m+5當且僅當m+1=4m所以m2(3)由M不為空集,且M?{x|1≤x≤4},得Δ=4m2-4(故實數(shù)m的取值范圍為m|210.證明(1)因為a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”),b2+c2≥2bc(當且僅當b=c時取“=”),c2+a2≥2ca(當且僅當a=c時取“=”),所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca(當且僅當a=b=c時取“=”).因為(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以1≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca,即ab+bc+ac≤13(2)由(1)得2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥13當且僅當a=b=c=13時取“=”.11.答案16解析連接OC,設(shè)OB=x(0<x<4),則BC=OC所以矩形ABCD的面積S=AB·BC=2x·16-x2=2x2(16-x2)12.解析(1)設(shè)DQ=xm,則AQ=(x+20)m,因為DC∥AB,所以△QDC∽△QAP,所以DQAQ=DCAP,即則S=12AP·AQ=1=15x+400