人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列28.2.1 解直角三角形（導(dǎo)學(xué)案）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解直角三角形中除直角以外的五個(gè)元素之間的關(guān)系.2能綜合運(yùn)用勾股定理、直角三角形兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.重點(diǎn)難點(diǎn)突破★知識(shí)點(diǎn)1：在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對(duì)的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對(duì)的邊鄰邊★知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形常見(jiàn)類(lèi)型及方法：核心知識(shí)一、在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：______________，角：______________2）三邊之間的關(guān)系：____________________________3）兩銳角之間的關(guān)系：____________________________4）邊角之間的關(guān)系：sinA=______________，sinB=______________cosA=______________tanA=______________二、解直角三角形常見(jiàn)類(lèi)型及方法：復(fù)習(xí)鞏固【提問(wèn)】根據(jù)之前所學(xué)知識(shí)，回答下面問(wèn)題：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，則1）三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____；2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=_____3）邊角之間的關(guān)系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.新知探究【情景引入】如圖，設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A，過(guò)B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.根據(jù)以上條件可以求出塔身中心線與垂直中心線的夾角．你愿意試著計(jì)算一下嗎？【提問(wèn)】在直角三角形中知道幾個(gè)條件可以求解其它未知量呢？【問(wèn)題一】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，求∠B,AC,BC?【問(wèn)題二】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6，求∠B,AB,BC?【問(wèn)題三】由此你發(fā)現(xiàn)了什么？【問(wèn)題四】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求∠A,∠B,AB?【問(wèn)題五】由此你發(fā)現(xiàn)了什么？【問(wèn)題六】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，可以通過(guò)已知條件求出AC,BC,AB嗎?【問(wèn)題七】由此你發(fā)現(xiàn)了什么？【小結(jié)】1)一般地，直角三角形中，除直角外共有五個(gè)元素，即_____條邊和_____個(gè)銳角，只要知道其中的_____個(gè)元素（____________________），就可以求出其余的_______________個(gè)未知元素.2)由直角三角形中的已知元素，求出其余_______________的過(guò)程，叫解直角三角形.3)在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：①直角三角形的五個(gè)元素：②三邊之間的關(guān)系：③兩銳角之間的關(guān)系：④邊角之間的關(guān)系：4）解直角三角形常見(jiàn)類(lèi)型及方法：典例分析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2

，BC=6例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解這個(gè)直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).【針對(duì)訓(xùn)練】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，2.（1）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠B=45°（2）在△ABC中，∠C=90°3.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，cosA=44.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，點(diǎn)D在邊BC上，BD=2CD，且tan∠CAD=23例3如圖，在△ABC中，AB=10，∠C=45°，sinB=35【針對(duì)訓(xùn)練】1．如圖，已知圓錐底面半徑為10cm，母線長(zhǎng)為30cm，求一只螞蟻從A處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來(lái)的位置A處）所爬行的最短距離．2.如圖在ΔABC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm，求BC能力提升1.如圖，在△ABC中，BC=2，tanB=12，點(diǎn)D是BC1)求點(diǎn)A到BD的距離；2)求sinA的值．感受中考1．（2023·重慶·中考真題）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，則OCA．3 B．23 C．13 D．2．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23A．1 B．2 C．23 D．課堂小結(jié)1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？2.簡(jiǎn)述直角三角形中除直角以外的五個(gè)元素之間的關(guān)系？3.簡(jiǎn)述解直角三角形的解題思路？【參考答案】新知探究【情景引入】如圖，設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A，過(guò)B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.根據(jù)以上條件可以求出塔身中心線與垂直中心線的夾角．你愿意試著計(jì)算一下嗎？利用計(jì)算器可得∠A≈5°28'【提問(wèn)】在直角三角形中知道幾個(gè)條件可以求解其它未知量呢？只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊）【問(wèn)題一】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，求∠B,AC,BC?∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6∴∠B=60°，BC=3由勾股定理得AC=AB2?BC【問(wèn)題二】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6，求∠B,AB,BC?∵∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6∴∠B=67.5°∴在Rt△ABC中，cosA=ACAB

,tanA=則AB=ACCOS22.5°=BC=AC?tan22.5°=6×0.41=2.46【問(wèn)題三】由此你發(fā)現(xiàn)了什么？在直角三角形中，已知一個(gè)銳角和任意一條邊長(zhǎng)，可以求出另一個(gè)銳角和其它兩條邊長(zhǎng).【問(wèn)題四】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求∠A,∠B,AB?[提示]根據(jù)已知信息可知AB=5，所以SinA=BCAB=4由此可以通過(guò)計(jì)算器求出∠A，進(jìn)而求出∠B【問(wèn)題五】由此你發(fā)現(xiàn)了什么？在直角三角形中，已知任意兩條邊長(zhǎng)，可以求出另一條邊長(zhǎng)和其它兩個(gè)銳角的度數(shù).【問(wèn)題六】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，可以通過(guò)已知條件求出AC,BC,AB嗎?不能【問(wèn)題七】由此你發(fā)現(xiàn)了什么？在直角三角形中，已知兩個(gè)銳角度數(shù)，無(wú)法求出三條邊長(zhǎng).【小結(jié)】1)一般地，直角三角形中，除直角外共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素.2)由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫解直角三角形.3)在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：①直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B②三邊之間的關(guān)系：a2③兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°④邊角之間的關(guān)系：sinA=(∠A所對(duì)的邊)/斜邊=a/c，sinB=(∠B所對(duì)的邊)/斜邊=b/ccosA=(∠A所鄰的邊)/斜邊=b/c，cosB=(∠B所鄰的邊)/斜邊=a/ctanA=(∠A所對(duì)的邊)/鄰邊=a/b，tanB=(∠B所對(duì)的邊)/鄰邊=b/a4）解直角三角形常見(jiàn)類(lèi)型及方法：典例分析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2

，BC=6解：∵tanA=BCAC=∴∠A=60°∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°∴AB=2AC=22例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解這個(gè)直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).解：∵∠A=90°-∠B=90°-35°=55°∵tanB=ACBC=20BC

∴BC=20tanB∵sinB=ACAB=20AB

∴AB=20sin【針對(duì)訓(xùn)練】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∵BC=10，tanA=5∴AC=24，∴AB=A2.（1）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠B=45°（2）在△ABC中，∠C=90°（1）解：∵在Rt△ABC中，tanB=ACBC，即tan45=∴AB=A∴AB=32，AC=3（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：∵sinA=ac=233.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，cosA=4解：∵在Rt△ABC中，∴AB=AC∴BC=A∵∠DBC=∠A，∴cos∴BD=5∴BD的長(zhǎng)度為1544.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，點(diǎn)D在邊BC上，BD=2CD，且tan∠CAD=23解：在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=23，AC=3，∴∵BD=2CD，∴BC=3CD=6，

在Rt△ABC根據(jù)勾股定理可得：AB=B∴例3如圖，在△ABC中，AB=10，∠C=45°，sinB=35解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D∵在Rt△ABD中，sin∴sinB=AD∴BD=在Rt△ADC中，AD=6∴AD=DC=6，∴BC=BD+CD=14【針對(duì)訓(xùn)練】1．如圖，已知圓錐底面半徑為10cm，母線長(zhǎng)為30cm，求一只螞蟻從A處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來(lái)的位置A處）所爬行的最短距離．解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)如圖：過(guò)S作SC⊥AB，則AC=BC，設(shè)∠ASB=n°，即：2π?10=nπ×30∴∠ASC=60°，∴AC=AS×∴AB=2AC=303即爬行的最短距離為3032.如圖在ΔABC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm，求BC解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．∵∠B=45°，∠BAC=15°，∠ADC=90°，∴∠DCA=60°，∠BAD=45°．在RtΔACD中，sin∠DCA=ADAC∴CD=5，AD=53在RtΔABD中，∵∠BAD=∠B，∴BC=BD?CD=(53能力提升1.如圖，在△ABC中，BC=2，tanB=12，點(diǎn)D是BC1)求點(diǎn)A到BD的距離；2)求sinA的值．1）解：作AE⊥BD于點(diǎn)E，設(shè)AE=3x，在Rt△ABE中，∵tanB=AEBE=1在Rt△ACE中，∵tan∠ACE=AECE=3∵BC=BE?CE，∴2=6x?4x，∴x=1，∴AE=3；即點(diǎn)A到BD的距離為3；作CF⊥AB于點(diǎn)F，由（1）可得BE=2AE=6x=6，CE=4x=4，在Rt△ABE中，在R