八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題01 二次根式壓軸（四大類型）（解析版）

專題01二次根式化簡(jiǎn)?？?jí)狠S（四大類型）專題分析專題分析本章內(nèi)容與已學(xué)內(nèi)容“實(shí)數(shù)”“整式”“勾股定理”聯(lián)系緊密，同時(shí)也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中的不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識(shí)作好準(zhǔn)備。【類型一】利用數(shù)軸化簡(jiǎn)根式】【類型二】含字母的二次根式化簡(jiǎn)(注意范圍)】【類型三】雙重二次根式化簡(jiǎn)【類型四】二次根式有意義的條件【類型一：利用數(shù)軸化簡(jiǎn)根式】【典例1】已知，如圖所示，實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置．化簡(jiǎn)：．【答案】a﹣2c．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：c＜b＜0＜a，∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，∴＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c＝a﹣2c．【變式1-1】已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，則化簡(jiǎn)：，得（）A．﹣3a B．﹣a+2b C．﹣2a D．a(chǎn)﹣b【答案】A【解答】解：由題意得：b＜0，a＞0，|b|＞|a|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣a＝﹣a﹣b﹣a+b﹣a＝﹣3a．故選：A．【變式1-2】已知數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：．【答案】﹣c．【解答】解：由數(shù)軸可知，c＜b＜0＜a，且|c|＞|b|＞|a|，原式＝（﹣b）﹣（a﹣b）+a﹣c＝﹣b﹣a+b+a﹣c＝﹣c．【變式1-3】已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：+﹣|a﹣b|．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a＜﹣1，b＞1，a＜b∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2【變式1-4】已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．【類型二：含字母的二次根式化簡(jiǎn)(注意范圍)】【典例2】化簡(jiǎn)﹣x的結(jié)果是（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣【答案】A【解答】解：原式＝﹣x＝﹣x?＝﹣x?＝，故選：A．【變式2-1】已知a＞b，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【答案】D【解答】解：由題意得：≥0，∵a＞b，∴（b﹣a）2＞0，∴a＜0．∴原式＝×＝×＝＝＝﹣．故選：D．【變式2-2】化簡(jiǎn)的結(jié)果正確的是（）A．2m2 B．﹣2m2 C．﹣2m2﹣ D．2m2【答案】D【解答】解：∵﹣4m2n≥0，而m2≥0，∴n≤0，∴＝|2m2|＝2m2，故選：D．【變式2-3】化簡(jiǎn)﹣a的結(jié)果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a【答案】C【解答】解：﹣a＝﹣a﹣a2?＝﹣a+a＝0．故選：C．【變式2-4】化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根據(jù)代數(shù)式有意義得：x≠0，﹣x3≥0，∴x＜0，∴原式＝＝?|x|＝?（﹣x）＝﹣．故選：D．【類型三：雙重二次根式化簡(jiǎn)】【典例3】材料：如何將雙重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化簡(jiǎn)呢？如能找到兩個(gè)數(shù)m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m?n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．例如化簡(jiǎn)：因?yàn)?＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此對(duì)于任意一個(gè)二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m?n＝b，那么這個(gè)雙重二次根式一定可以化簡(jiǎn)為一個(gè)二次根式．請(qǐng)同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：＝±，＝±；（2）化簡(jiǎn)：；（3）計(jì)算：+．【答案】（1）±，±；（2）±；（3）或．【解答】解：（1）＝＝±，＝＝±，故答案為：±，±；（2）＝＝＝±；（3）+＝+＝+＝﹣++＝，同理可得+＝．【變式3-1】閱讀材料：小李同學(xué)在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小李同學(xué)進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小李同學(xué)就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小李同學(xué)的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；（3）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）a＝13或a＝7；（3）1+2．【解答】解：（1）＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn，古答案為：m2+3n2，2mn；（2），由（1）可知a＝m2+3n2，4＝2mn，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或a＝7；（3）＝＝1+2．【變式3-2】【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以化成另一個(gè)式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【類比歸納】（1）請(qǐng)你仿照小明的方法將7+2化成另一個(gè)式子的平方；（2）請(qǐng)運(yùn)用小明的方法化簡(jiǎn)；．【變式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【答案】（1）（）2；（2）3﹣；（3）a＝10或22．【解答】解：（1）7+2＝（2+5）+2＝（）2+（）2+2＝（）2；（2）＝＝＝3﹣；（3）∵a+2＝，a，m，n均為正整數(shù)，∴a+2＝（）2，a+2××1＝（）2，∴m＝3，n＝7或m＝21，n＝1，∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．【變式3-3】先閱讀下列解答過程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．例如：化簡(jiǎn)：解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．問題：（1）填空：＝，＝；（2）化簡(jiǎn)：（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）；（3）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）；；（2）；（3）．【解答】解：（1）原式＝＝＝；原式＝＝＝；故答案為：；；（2）原式＝＝＝；（3）原式＝++++＝1++2﹣+﹣2+＝﹣1．【類型四：二次根式有意義的條件】【典例4】已知x，y為實(shí)數(shù)，y＝，求xy的平方根．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意，得，≥0，且x﹣2≠0解得x＝﹣2，y＝﹣xy＝，xy的平方根是【變式4-1】已知y＝﹣+9x，求的平方根．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得，3x﹣1≥0，1﹣3x≥0，解得，x＝，則y＝3，＝2，則的平方根是±．【變式4-2】已知+2＝b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意知a﹣17≥0，17﹣a≥0，則a﹣17＝0，解得：a＝17；（2）由（1）可知a＝17，則b+8＝0，解得：b＝﹣8，故a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，則a2﹣b2的平方根為：±＝±15．【變式4-3】已知x滿足|2015﹣x|+＝x，求x﹣20152的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得，x﹣2016≥0，解得，x≥2016，則x﹣2015+＝x，∴＝2015，解得x＝20152+2016，則x﹣20152＝2016．1．若2＜a＜3，則等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1【答案】C【解答】解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故選：C2．把a(bǔ)中根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是﹣．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝﹣＝﹣，故答案為：﹣3．若|2017﹣m|+＝m，則m﹣20172＝2018．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由題意，得m﹣2017+＝m．化簡(jiǎn)，得＝2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案為：2018．4．若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，試化簡(jiǎn)：﹣+|b+c|+|a﹣c|．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，∴a+b＜0，b+c＜0，a﹣c＜0，則原式＝|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|＝﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c＝﹣a．5．閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：，善于思考的康康進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有（有理數(shù)和無(wú)理數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣康康就找到了一種把式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照康康的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含c、d的式子分別表示a、b，得：a＝c2+3d2，b＝2cd；（2）若，且e、f均為正整數(shù)，試化簡(jiǎn)：；（3）化簡(jiǎn)：．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵，∴a＝c2+3d2，b＝2cd．故答案為：c2+3d2，2cd．（2）∵，∴．（3）＝＝＝＝＝＝＝．6．有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使m2+n2＝a且mn＝，則a±2將變成m2+n2±2mn，即變成（m±n）2，從而使得以化簡(jiǎn)．例如，因?yàn)?+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以＝＝+．請(qǐng)仿照上面的例子化簡(jiǎn)下列根式：（1）；（2）．【答案】（1）+1；（2）﹣2．【解答】解：（1）∵4+2＝（）2+12+2××1＝（+1）2，∴＝＝|+1|＝+1，（2）∵9﹣4＝（）2+22﹣2××2＝（﹣2）2，∴＝＝|﹣2|＝﹣2．7．x、y均為實(shí)數(shù)y＜++，化簡(jiǎn)：．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，解得x≥1且x≤1，所以，x＝1，y＜，所以，＝＝﹣1．8．若＝?，求（x+1）的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵＝?，∴99﹣x≥0，x﹣99≥0，解得：x＝99，則原式＝（x+1）＝＝＝10．9．先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a，b使a+b＝m，ab＝n，這樣（）2+（）2＝m，?＝，那么便有＝＝±（a＞b），例如：化簡(jiǎn)．解：首先把化為，這里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，?＝，∴＝＝＝2+．由上述例題的方法化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）﹣；（2）﹣；（3）．【解答】解：（1）＝＝﹣；（2）＝＝＝﹣；（3）＝＝．10．已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)+|a+b|+|﹣a|﹣．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由數(shù)軸可知a＜b＜0，且|a|＞|b|，∴a+b＜0