廣東省佛山市順德區(qū)京師勵(lì)耘實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

廣東省佛山市順德區(qū)京師勵(lì)耘實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級(jí)（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（12個(gè)題，每題3分，共36分）1.在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的定義逐個(gè)判斷即可．解：不等式有：，，，，共4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，能熟記不等式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：用不等號(hào)，，，，表示不等關(guān)系的式子，叫不等式．2.與的和大于，用不等式表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查列不等式．根據(jù)與的和大于，列出不等式即可．解：與的和大于，用不等式表示為，故選：B．3.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了不等式性質(zhì)，不等式的性質(zhì)——性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．據(jù)此即可判斷答案．解：A、，原不等式成立，符合題意；B、，原不等式不成立，不符合題意；C、，原不等式不成立，不符合題意；D、，原不等式不成立，不符合題意；故選：A．4.一個(gè)不等式組的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式組的解是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示不等式組的解集，根據(jù)“小于向左，大于向右”且“邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)”寫出解集即可．解：由題意得，該不等式組的解集為，故選：B．5.已知等腰三角形的一個(gè)底角為，則其頂角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.解：頂角為：，故選C.6.如圖，要用“HL”證明Rt≌Rt，則需要添加的一個(gè)條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了直角三角形全等的判定的應(yīng)用，能熟記定理是解此題的關(guān)鍵，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．利用HL定理進(jìn)行分析判斷．解：在Rt≌Rt中，，A．添加，無法證明Rt≌Rt，故此選項(xiàng)不符合題意；B．添加，無法證明Rt≌Rt，故此選項(xiàng)不符合題意；C．添加，可以用“HL”證明Rt≌Rt，故此選項(xiàng)符合題意；D．添加，無法證明Rt≌Rt，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．7.如圖，在中，，是中線，E是上一點(diǎn)，若，則（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，由為中線，利用三線合一得到垂直于，再根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)即可得解．解：∵是中線，∴，∴垂直平分，∴，故選：C．8.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）．A.6米; B.9米; C.12米; D.15米.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長(zhǎng)度，再加上離地面的距離就是折斷前樹的高度．解：如圖，根據(jù)題意BC=3米，

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，

∴AB=2BC=2×3=6米，

∴BC+AB=3+6=9（米）．

故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.已知甲、乙兩彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體x（kg）之間的函數(shù)解析式分別是y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，圖象如圖所示，當(dāng)所掛物體質(zhì)量均為2kg時(shí)，甲、乙兩彈簧的長(zhǎng)度y1與y2的大小關(guān)系為A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能確定【答案】A【解析】試題解析：∵點(diǎn)（0，4）和點(diǎn)（1，12）在y1=k1x+b1上，∴得到方程組：，解得：，∴y1=8x+4．∵點(diǎn)（0，8）和點(diǎn)（1，12）代入y2=k2x+b2上，∴得到方程組為，解得：．∴y2=4x+8．當(dāng)x=2時(shí)，y1=8×2+4=20，y2=4×2+8=16，∴y1＞y2．故選A．10.在平面內(nèi)，有一個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)點(diǎn)一定是三角形（）A.三條角平分線的交點(diǎn) B.三條高線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn) D.三條邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得答案．解：平面內(nèi)，有一點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，則這點(diǎn)一定是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D．11.下列三角形：①有兩個(gè)角等于的三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理可進(jìn)行求解．解：①有兩個(gè)角等于的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形；③三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形，可根據(jù)三角形內(nèi)角和為求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為；④三邊都相等的三角形是等邊三角形；綜上所述：是等邊三角形的有①②③④；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定定理，熟練掌握等邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8．點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE，連接DE、DF、EF，在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②DE長(zhǎng)度的最小值是4；③四邊形CDFE的面積保持不變．其中正確的結(jié)論是（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③【答案】C【解析】【分析】連接CF，由SAS定理可得，從而可證，，便可得到①正確；由△DFE是等腰直角三角形，可得最小時(shí)，DF也最小，即當(dāng)時(shí)，DE最小，此時(shí)可得，即可判斷②錯(cuò)誤；再由割補(bǔ)法可證③是正確的．連接CFRt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，△DFE是等腰直角三角形故①正確；△DFE是等腰直角三角形最小時(shí)，DF也最小即當(dāng)時(shí)，DE最小，此時(shí)故②錯(cuò)誤；四邊形CDFE面積四邊形CDFE的面積保持不變故③正確；綜上，正確的結(jié)論是①③故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，利用“割補(bǔ)法”是求不規(guī)則圖形的面積的常用方法．二、填空題（5個(gè)題，每題4分，共20分）13.在中，，，則______．【答案】2cm【解析】【分析】根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，由此得到答案.∵AB=AC，，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=2cm，故答案為：2cm.【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的判定及性質(zhì)：有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的三條邊相等.14.如果不等式組的解集是，那么_____．【答案】1【解析】【分析】本題考查的是根據(jù)不等式組的解集求解參數(shù)的值，先解不等式組再結(jié)合不等式組的解集，從而可得答案．解：，由①得，，由②得，，∵不等式組的解集為，∴，，∴，故答案為：1．15.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=__度．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵CG=CD，∴∠CDG=∠CGD=30°，∵DF=DE，∴∠E=∠DFE=15°．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用等邊對(duì)等角是關(guān)鍵．16如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，則AC＝_____cm．【答案】5【解析】【分析】連接AD，可以得到BD=AD，再求得∠ADC=30°，所以AC=AD，求解即可解：如圖，連接AD，∵AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E∴AD=BD=10，∠DBA=∠BAD=15°．∴∠ADC=30°，∵∠C＝90°，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的性質(zhì)．17.如圖，為等邊三角形，，則________.【答案】60【解析】【分析】根據(jù)已知條件去證和全等，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)角相等，即：,然后根據(jù)三角形的外角定理得：.解：為等邊三角形，,.在和中：,..故答案為：60.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定以及全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等利用等量代換結(jié)合外角定理最終求出答案.三、解答題（8個(gè)題，共計(jì)64分）18.解不等式組,并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】x＞3【解析】【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．解：由①得，，由②得，，在數(shù)軸上表示為故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．19.（1）解不等式：；（2）若（1）中的不等式的最小整數(shù)解是方程的解，求a的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)先去括號(hào)，然后通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可求得原不等式的解集．（2）根據(jù)（1）中的x的取值范圍來確定x的最小整數(shù)解；然后將x的值代入已知方程列出關(guān)于系數(shù)a的一元一次方程，通過解該方程即可求得a的值．解：（1），∴，∴，∴，∴；（2）由（1）得，最小整數(shù)解為，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式：根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式．也考查了一元一次方程的解．掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.近年來，國家實(shí)施“村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計(jì)劃在張村、李村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P，張、李兩村座落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）．醫(yī)療站必須滿足下列條件：（1）使其到兩公路距離相等，（2）到張、李兩村的距離也相等，請(qǐng)你通過作圖確定P點(diǎn)的位置．（不寫作法，要保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了角平分線和垂線的尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．先作兩公路夾角的角平分線，再過張村和李村線段的垂直平分線，與角平分線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．解：如圖，點(diǎn)P即為所求，．21.為慶祝商都正式營(yíng)業(yè)，商都推出了兩種購物方案．方案一：非會(huì)員購物所有商品價(jià)格可獲九五折優(yōu)惠，方案二：如交納300元會(huì)費(fèi)成為該商都會(huì)員，則所有商品價(jià)格可獲九折優(yōu)惠．（1）以x（元）表示商品價(jià)格，y（元）表示支出金額，分別寫出兩種購物方案中y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若某人計(jì)劃在商都購買一臺(tái)電視機(jī)，請(qǐng)分析選擇哪種方案更省錢？【答案】（1）方案一：；方案二：；（2）當(dāng)電視機(jī)價(jià)格大于時(shí)，選方案二；電視機(jī)價(jià)格等于時(shí)，兩種方案都一樣；電視機(jī)價(jià)格小于時(shí)，選方案一【解析】【分析】此題考查了一次函數(shù)應(yīng)用，準(zhǔn)確列出函數(shù)解析式和求出函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方案分別寫出函數(shù)解析式即可；（2）分三種情況，，，求出對(duì)應(yīng)的取值范圍即可得到結(jié)論．【小問1】根據(jù)題意可得，按方案一購買：；按方案二購買：；【小問2】分三種情況：①時(shí)，，解得：，∴電視機(jī)價(jià)格大于時(shí)，選方案二；②時(shí)，，解得：，∴電視機(jī)價(jià)格等于時(shí)，兩種方案都一樣；③時(shí)，，解得：，∴電視機(jī)價(jià)格小于時(shí)，選方案一，綜上所述，當(dāng)電視機(jī)價(jià)格大于時(shí)，選方案二；電視機(jī)價(jià)格等于時(shí)，兩種方案都一樣；電視機(jī)價(jià)格小于時(shí)，選方案一．22.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.已知AD=2cm，BC=5cm.（1）求證：FC=AD；（2）求AB的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析；（2）AB=7cm.【解析】試題分析：（1）根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF即可．試題解析：（1）∵AD∥BC∴∠ADC=∠ECF，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=EC，∵在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴FC=AD；（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF，∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF，∴AB=BC+AD=5+2=7(cm).23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+4交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，過x軸正半軸上一點(diǎn)C作直線CD交y軸正半軸于點(diǎn)D，且△AOB≌△DOC．（1）求出直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)M是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），ON⊥OM交AB于點(diǎn)N，連接MN，判斷△OMN的形狀，并說明理由；（3）若E（﹣1，a）為直線AB上的點(diǎn)，P為y軸上的點(diǎn)，請(qǐng)問：直線CD上是否存在點(diǎn)Q，使得△EPQ是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）函數(shù)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為：；（2）△OMN是等腰直角三角形，證明見；（3）存在，Q（﹣2，3）或（2，1），理由見；【解析】【分析】先求出OA=2，OB=4，由全等三角形性質(zhì)可得OD=2，OC=4，利用待定系數(shù)法可求解析式；求全等三角形性質(zhì)可得∠OBA=∠OCD，OB=OC，進(jìn)而可證△OBN≌△OCM，可得OM=ON的結(jié)論；分兩種情況討論，由全等三角形性質(zhì)和一次函數(shù)性質(zhì)可求Q坐標(biāo)．【小問1】解：把x=0代入y=2x+4中得：y=4，∴點(diǎn)B（0，4），∴OB=4，把y=0代入y=2x+4的：x=﹣2，∴OA=2，∵△AOB≌△DOC，∴OC=OB=4，OD=OA=2，∴C（4，0），D（0，2），設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b，把C（0，4），D（0，2）代入y=kx+b得：，解得：，∴函數(shù)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為：；【小問2】解：△OMN是等腰直角三角形，理由如下：∵△AOB≌△DOC，∴∠OBA=∠OCD，OB=OC，又∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，即∠MOD＋∠BON=90°，∵∠COD=90°，即∠COM＋∠MOD=90°，∴∠BON=∠COM，在△OBN與△OCM中，，∴△OBN≌△OCM（ASA），∴OM=ON，由∠MON=90°，∴△OMN是等腰三角形；【小問3】解：直線CD上存在點(diǎn)Q，使得△EPQ是以E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，∵E（﹣1，a）為直線AB上的點(diǎn)，∴a=2×（﹣1）+4，∴a=2，∴E（﹣1，2），當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B下方時(shí)，如圖，連接DE，過點(diǎn)Q作QM⊥DE，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵D（0，2）∴DE⊥y軸，DE=1，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，∠M=∠EDP=90°，∵△EPQ是以E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，∴EP=EQ，∠PEQ=90°，∴∠QEM＋∠PED=90°=∠QEM+∠EQM，∴∠DEP=∠EQM，在△DEP與△MQE中，，∴△DEP≌△MQE（AAS），∴MQ=ME=1，∴Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，把y=3代入中得：x=﹣2，∴點(diǎn)Q（﹣2，3）；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B上方時(shí)，如圖過E點(diǎn)作EM∥y軸，過點(diǎn)Q作QM⊥EM于點(diǎn)M，過P作PN⊥EM交ME延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，則∠M=∠N=90°，∴N點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，則PN=1，∵△EPQ是以E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，∴EP=EQ，∠PEQ=90°，∴∠QEM+∠PEN=90°=∠PEN+∠NPE，在△E