2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之第四章 微專題 手拉手模型解決全等、相似問題 練習(xí)課件

第四章微專題手拉手模型解決全等、相似問題1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，以AB，AC為一邊向Rt△ABC的外側(cè)作等邊△ABE，等邊△ACD.(1)如圖①，連接BD，CE.(ⅰ)求證：△ABD≌△AEC；第1題圖圖①(1)(i)證明：∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝AE，∠EAB＝60°.∵△ACD為等邊三角形，∴AD＝AC，∠DAC

＝60°，∴∠EAC＝∠DAB.在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC(SAS)；第1題圖圖①(ⅱ)若BC＝1，求CE的長；第1題圖圖①(ii)解：∵在Rt△ABC中，∠BAC

＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，AC＝

.∵△ABE為等邊三角形，∴AE＝AB＝2，∠EAB＝60°.∵∠BAC

＝30°，∴∠CAE＝30°＋60°＝90°，∴△ACE為直角三角形，∴EC＝

；(2)如圖②，連接DE交AB于點F.求

的值．第1題圖圖②(2)證明：如圖，過點E作EG⊥AB于點G.∵AE＝BE，∴AG＝

AB.∵BC＝

AB，∴AG＝BC.在Rt△AEG與Rt△BAC中，∴Rt△AEG≌Rt△BAC(HL)，∴EG＝AC＝AD.又∵∠EGF＝∠DAF＝90°，G∴在△GFE與△AFD中，∴△GFE≌△AFD(AAS)，∴GF＝AF，∴BG＝AG＝2AF，∴BF＝3AF，∴

＝3.第1題圖圖②G2.(2023黃岡)[問題呈現(xiàn)]△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，連接AD，BE，探究AD，BE的位置關(guān)系．【問題探究】(1)如圖①，當(dāng)m＝1時，直接寫出AD，BE的位置關(guān)系：________．第2題圖圖①【解法提示】如圖，延長BE交AD于點G，∵m＝1，∴AC＝BC，DC＝EC.∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECB＝90°，∴∠DCA＝∠ECB，∴△DCA≌△ECB，G∴∠DAC＝∠CBE.∵∠CAB＋∠ABG＋∠CBE＝90°，∴∠CAB＋∠ABG＋∠DAC＝90°，即∠AGB＝90°，∴AD⊥BE.解：(1)AD⊥BE；第2題圖圖①G(2)如圖②，當(dāng)m≠1時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．第2題圖圖②(2)(1)中結(jié)論成立．證明：如圖，延長BE交AD于點G，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE.∵CB＝mCA，CE＝mCD，∴

，G∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC＝∠CBE.∵∠CAB＋∠ABG＋∠CBE＝90°，∴∠CAB＋∠ABG＋∠DAC＝90°，即∠AGB＝90°，∴AD⊥BE.第2題圖圖②G【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)m＝

，AB＝4，DE＝4時，將△CDE繞點C轉(zhuǎn)，使A，D，E三點恰好在同一直線上，求BE的長．(3)當(dāng)A，D，E，三點恰好在同一直線上時，分兩種情況討論：①當(dāng)點D在線段AE上時，如解圖③，∵△DCA∽△ECB，∴

.∵DE＝4，∴BE＝

AD＝

(AE－4).第2題解圖③∵AD⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋3(AE－4)2＝112，解得AE＝8或AE＝－2(舍去)，∴BE＝4；第2題解圖③第2題解圖④②當(dāng)點D在AE的延長線上時，如解圖④，∵△DCA∽△ECB，∴

.∵DE＝4，∴BE＝

AD＝

(4＋AE).∵AD⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋3(4＋AE)2＝112，解得AE＝