2024屆重慶市一中高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2023年重慶一中高2024屆12月月考數(shù)學(xué)試題卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上．2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）2x1Ax02x2Byyx2x1，集合AB1.已知集合，則（）12120,1,1,A.B.C.D.x2y221，q：雙曲線C的漸近線方程為yx，則（2.已知p：雙曲線C的方程為）943A.p是q的充要條件B.p是q的充分不必要條件C.p是q的必要不充分條件D.p是q的既不充分也不必要條件，，若，則實數(shù)a的值為（）l:asin30xy10l:xy20ll13.12272521656A.B.C.D.2tan22.5sin8611cos951cos95a，bc，4.設(shè)，則有（）1tan22.52A.bacC.cbaB.acbD.bcaPABC5.已知在四面體中，底面是邊長為5的等邊三角形，側(cè)棱長都為2，D為的中點，則直線BP與直線CD所成角的余弦值為（）6677A.B.C.D.242414146.教務(wù)處準(zhǔn)備給高三某班的學(xué)生排周六的課表，上午五節(jié)課，下午三節(jié)課．若準(zhǔn)備英語、物理、化學(xué)、地理各排一節(jié)課，數(shù)學(xué)、語文各排兩節(jié)課連堂，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，則不同的排課方式有（）A216種B.384種C.408種D.432種第1頁/共5頁x12為正項等比數(shù)列，且，若函數(shù)a101212lnx1，則7.已知fxnx（）fafafa1220232A.2023B.2024C.D.10122cd4bd30，則的最大值為a3b1caca48.已知，，ab0，，d（）221433A.1B.4C.2D.3二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）x22y2F1F2的橢圓C:1的長軸長為4，過F的直線交橢圓于P，Q兩19.已知左、右焦點分別為，a3點，則（）3A.離心率e2PQ3B.若線段垂直于x軸，則C.D.的周長為82的內(nèi)切圓半徑為12n10.與二項式定理abnknnkkCab類似，有萊布尼茲公式：k0nnn11n22nk0nn01n2nnn0nknk，其中uk（k0,1，uvCuvCuvCuvCuvCuvn02，…，n）為u的k階導(dǎo)數(shù)，u0u，v0v，則（）nCkn2nC1nC3nC5n2n1A.B.D.k1nnfxexx66f06!，則C.uvvu11.全球有0.5%的人是高智商，他們當(dāng)中有95%的人是游戲高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戲高手．下列說法正確的有（）第2頁/共5頁A.全球游戲高手占比不超過10%B.某人既是游戲高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戲高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戲高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%x12.已知定義在上的函數(shù)fx滿足fx2xxf1，，且實數(shù)1afxfx2對任意x0都成立（ln20.693，ln31.098）f1有極小值，無極大值fx8A.C.B.23既有極小值，也有極大值fxaD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）1a1an13滿足，且，則aann1913已知數(shù)列______．2n14.已知，______．x22xm0mR的兩共軛虛根為xxxx23，且，則12m1224，過直線l:4x3y10215.已知圓C:x3y4上一動點P作圓C的兩條切線，切點分PAPB別為A，B，則的最小值為______．ABCD棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱CD的中點，M是正方體的表面上一動116.正方體，1111點，當(dāng)四面體BEFM的體積最大時，四面體BEFM的外接球的表面積為______．四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.疫情結(jié)束之后，演唱會異?；鸨疄榱苏{(diào)查“喜歡看演唱會和學(xué)科是否有關(guān)”，對本年級的100名老師進(jìn)行了調(diào)查．2nadbc2nabcd，其中．附：abcdacbdP2k00.0503.8410.0100.001k06.63510.828（1）完成下列22列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本年級老師“喜歡看演唱會”與“學(xué)科”有關(guān)；喜歡看演唱會不喜歡看演唱合計第3頁/共5頁會文科老師理科老師合計305040（2）三樓大辦公室中有11名老師，有4名老師喜歡看演唱會，現(xiàn)從這11名老師中隨機(jī)抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜歡看演唱會的概率．-ABCAA18，6，E，F(xiàn)為CCC18.如圖，在直三棱柱中，上分別靠近C和的四等分11111AABBEF點，若多面體的體積為40．11（1）求EF到平面AABB的距離；的大?。?1EABB（2）求二面角1滿足，3，且*．a(chǎn)12a2n22nn1nN19.已知數(shù)列na為等比數(shù)列；n（1）求證：數(shù)列an111（2）若b1nbS的前n項的和．nn，求數(shù)列naan1nac20.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，成等比數(shù)列．πA（1）若（2）若，求角C；5S的面積為S，求的取值范圍．a(chǎn)2xP114x的準(zhǔn)線l交軸于M，過l121.已知拋物線:y2作斜率為的直線交于C,D，過作斜率為k2的直線2交于Q1E,G．Fl（1）若拋物線的焦點，判斷直線l與以EG為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明；2第4頁/共5頁（2）若C,E,M三點共線，kk①證明：為定值；12ll夾角②求直線與的余弦值的最小值．214kxkRfxx1e2xkx322已知3k0fxf1，不等式x0]（1）當(dāng)時，求過點的切線方程；k1,2xkfxa恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．（2）若對，122ex1xx[參考不等式：第5頁/共5頁2023年重慶一中高2024屆12月月考數(shù)學(xué)試題卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上．2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）2x1Ax02x2Byyx2x1，集合AB1.已知集合，則（）12120,1,1,A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解分式不等式求集合A，求對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域求集合B，應(yīng)用集合交運算求結(jié)果.(2xx012x1x110x1，即A[，【詳解】由x1022由x2x2xAB211，故B[0,)，2所以.故選：Bx2y221，q：雙曲線C的漸近線方程為yx，則（2.已知p：雙曲線C的方程為）943A.p是q的充要條件C.p是q的必要不充分條件【答案】BB.p是q的充分不必要條件D.p是q的既不充分也不必要條件【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，判斷充分必要條件，即可判斷選項.x2y223【詳解】若雙曲線C的方程為1，則漸近線方程為yx，94第1頁/共25頁2x2y2yx0若雙曲線C的漸近線方程為，則雙曲線的方程為，394pqqp，所以，但qp所以是的充分不必要條件.故選：B，，若，則實數(shù)a的值為（）l:asin30xy10l:xy20ll13.1227252156A.B.C.D.6【答案】C【解析】【分析】由直線垂直的充要條件列出方程結(jié)合特殊三角函數(shù)值運算即可.152llasin30113tan1200a30a【詳解】由題意，則當(dāng)且僅當(dāng)2，即），解得.12故選：C.2tan22.5sin861cos951cos95a，bc，4.設(shè)，則有（1tan222.51A.bacC.cba【答案】C【解析】B.acbD.bca【分析】由倍角公式化簡為正切函數(shù)，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.2tan22.5a=tan45，【詳解】1tan222.5sin86112sin43cos432sin43cos43bc=tan43，24314321cos951cos952cos247.5cos47.5sin42.547.5sin47.5cos42.5====tan42.5°2sin2π2ytanx因為所以在上單調(diào)遞增，tan42.5tan43tan45，即cba，故選：C.PABC5.已知在四面體中，底面是邊長為5的等邊三角形，側(cè)棱長都為2，D為的中第2頁/共25頁點，則直線BP與直線CD所成角的余弦值為（）6677A.B.C.D.24241414【答案】B【解析】【分析】利用中位線將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線與所成角，再利用余弦定理解三角形即可.【詳解】取AB中點E，連接，由D為中點，12//PB則，且；22則EDC（或其補(bǔ)角）即為直線BP與直線CD所成角.5的等邊三角形，又底面三角形是邊長為3215則中線長CE5；2在中，設(shè)中線長m，則0，由余弦定理得,22AC222PC20，2DA2DP22222m2520，化簡得m3，所以222解得m3，則有3，在DEC中，由余弦定理得,1154322EC262,2242232第3頁/共25頁6直線BP與直線CD故選：B.所成角為銳角，則余弦值為.246.教務(wù)處準(zhǔn)備給高三某班的學(xué)生排周六的課表，上午五節(jié)課，下午三節(jié)課．若準(zhǔn)備英語、物理、化學(xué)、地理各排一節(jié)課，數(shù)學(xué)、語文各排兩節(jié)課連堂，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，則不同的排課方式有（）A.216種【答案】D【解析】B.384種C.408種D.432種【分析】由數(shù)學(xué)、語文不能同時安排在下午，分為數(shù)學(xué)（連堂）或語文（連堂）安排在下午、數(shù)學(xué)、語文都安排在上午，再應(yīng)用分步計數(shù)及排列組合求不同的排課方式.【詳解】由題意，數(shù)學(xué)、語文不能同時安排在下午，C14A228種，若數(shù)學(xué)（連堂）安排在下午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在下午有A4424再把余下的三科與語文（連堂）安排在上午，把上午看作四節(jié)課，則有此時共有8′24=192種；種，C14A228種，若語文（連堂）安排在下午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在下午有再把余下的三科與數(shù)學(xué)（連堂）安排在上午，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，C133A336種，把上午看作四節(jié)課，數(shù)學(xué)只能安排在后三節(jié)有種，其余三科全排有此時共有836144種；C144若數(shù)學(xué)、語文都安排在上午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在上午有種，C12A224將上午看作三節(jié)課，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，有種，A336再把余下的三科安排在下午作全排有種，此時共有446種；綜上，共有19214496432種.故選：Dx21為正項等比數(shù)列，且，若函數(shù)a101212lnx1，則7.已知fxnx（）fafafa12第4頁/共25頁20232A.2023B.2024C.D.1012【答案】A【解析】120232202232021La210121，再由題意可得出【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得1xfx2，由倒序相加法可求出答案.f【詳解】因為為正項等比數(shù)列，且a1，1012anaa2202232021La210121，所以1202312x12x21111x由fx2lnx1可得f1x1，xx1xxx1所以fxf2，xSfafafa，2023所以設(shè)12Sfafafa，20221則2023所以兩式相加可得：2S22023，故S2023，故選：A.2cd4bd30，則的最大值為a3b1caca48.已知，，ab0，，d（）221433A.1B.4C.2D.3【答案】A【解析】cd【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.【詳解】如圖所示：第5頁/共25頁a3,0,b0,1,,n,p,q,A3,0不妨設(shè)，1a3b1，ab0，滿足，22caca4m3n2m3n242a2c231A，又，即由橢圓的定義可知點C在以A,A1為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，ac3,ba2c2431，x2y21，所以該橢圓方程為44bd30，即q4q30，即p22q2E21，2而d2pxy221上面運動，其中點r1為半徑，2這表明了點D在圓為圓心，cdCDCEEDCE1，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)C,D,E又三點共線，CE故只需求的最大值即可，x2，因為點Cy21在橢圓上面運動，所以不妨設(shè)C2,sin4CE4cos2sin2241sin2sin24sin43sin4sin8，2所以432所以當(dāng)sin且C,D,E三點共線時，23第6頁/共25頁22232213cd有最大值CE13481.3故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是將向量問題轉(zhuǎn)換為圓錐曲線中的最值問題來做，通過數(shù)學(xué)結(jié)合的方法巧妙的將幾何問題融入代數(shù)方法，從而順利得解.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）x22y2F1F2的橢圓C:1的長軸長為4，過F的直線交橢圓于P，Q兩19.已知左、右焦點分別為，a3點，則（）3A.離心率e2PQ3B.若線段垂直于x軸，則C.D.的周長為82的內(nèi)切圓半徑為12【答案】BC【解析】ax=1代入【分析】首先由題意把參數(shù)求出來，根據(jù)平方關(guān)系、離心率公式運算即可判斷A；由題意將橢圓方程求出弦長即可判斷B；由橢圓定義即可判斷C；由的周長是定值，但面積會隨著直線的傾2斜程度而變化，由此即可判斷D.【詳解】對于A，由題意橢圓C:x22y21的長軸長為4，所以214，解得11243b2，a3c12431，離心率為e所以aaca2b2，故A錯誤；1a對于B，第7頁/共25頁x2y2321，由題意若直線的方程為x=1，將其代入橢圓方程可得y由A可知橢圓方程為，4333223，故B正確；即對于C，的周長為PQFPPFPF2a2a4a8，故C2212122正確；0，不妨設(shè)直線PQ:xPx,y,Qx,y，對于D，由題意直線斜率不為0且經(jīng)過點1122x2y2xm1聯(lián)立消去得4y22690，將其與橢圓方程436m9m2436m236m24144m21yy,yy12，12m24436m2136m212m21SFFyy2yy241y2一方面，2121122m242m242m24PQFP8，不妨設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，所以2另一方面，由C選項分析可知221S2PQQFFPr4r，2223m21m24m，即r與有關(guān)，故D錯誤.對比兩式可知r故選：BC.第8頁/共25頁n10.與二項式定理abnknnkkCab類似，有萊布尼茲公式：k0nnn11n22nk0nn01n2nnn0nknk，其中（k0,1，uvCuvCuvCuvCuvCuvukn02，…，n）為u的k階導(dǎo)數(shù)，u0u，v0v，則（）nCkn2nC1nC3nC5n2n1A.B.D.k1nnfxexx66f06!，則C.uvvu【答案】BCD【解析】a,b【分析】由二項式定理，分別賦值，即可判斷AB可判斷CD.nn【詳解】A.由二項式定理可知，當(dāng)ab1時，nkn1nkk1knn，11CC2k0k0nCkn2nCn021，故A錯誤；nk1B.由二項式定理可知，當(dāng)ab1時，11n0n1n2n3n4n5n...CCCCCC0nCn2Cn4...C1Cnn3Cn5...0，C0nCn2C4n...C1nC3nC5n...所以C0nC1nC2nC3nC4nC5n...2n又由A可知，，n1所以C1nC3nC5n2，故B正確；nn11n220nn01n2nnn0nC.uvCuvCuvCuv...Cuvnn11n220nn01n2nnn0nCvuCvuCvu...Cvu，2nC2，……，C0nCnnC1nCn1nC由組合數(shù)的性質(zhì)可知，，，nn，故C正確；可知，uvvu第9頁/共25頁660542066D.exx6C06exx6C16exx6C26exx6...C66exx，n因為exex，023665x4，x654x3，x6x6，x66x5，x6456665432x，x6543216!，x66543x2，x66f06!，故D正確.所以故選：BCD11.全球有0.5%的人是高智商，他們當(dāng)中有95%的人是游戲高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戲高手．下列說法正確的有（）A.全球游戲高手占比不超過10%B.某人既是游戲高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戲高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戲高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%【答案】AC【解析】【分析】利用全概率公式和條件概率定義進(jìn)行計算.【詳解】A項，高智商中有的人是游戲高手概率為0.0050.950.00475，非高智商人群中是游戲高手的概率為0.9950.050.04975，所以全球游戲高手占比為0.004750.049750.05450.1，所以A項正確；B項，既是游戲高手，也是高智商的概率為0.0050.950.004750.001，所以B項錯誤；PA0.0545C項，設(shè)事件A為某人是游戲高手，事件B為某人是高智商，則，0.0050.9519PABPA0.0870.08，所以C項正確；PB|A則0.0545218190.0870.085，所以D項錯誤PB|AD項，由C項知，故選：AC.218x12.已知定義在上的函數(shù)fx滿足fx2，，且實數(shù)xxf11afxfx2對任意x0都成立（ln20.693，ln31.098）f1有極小值，無極大值fx8A.B.第10頁/共25頁23既有極小值，也有極大值fxaD.C.【答案】ABD【解析】2fx][x212x]xfxxxC222[xC，其中為常數(shù)，【分析】將題設(shè)條件化為，進(jìn)而有xfxx上ln2x，根據(jù)已知求得，對函數(shù)求導(dǎo)判斷A、B、C；問題化為x2111fxfxf020()2x2)且求參數(shù)范圍判斷D.0a，結(jié)合的極值2x2x20x00【詳解】由題設(shè)2fxxxx)，則22xx2fx2(xxxx)，2x]222x為常數(shù)，，所以[x2fx][x22xfxxxC，其中C，故1又f1，則，所以f1C1xfxxx1222，即fxx2，x22lnx2x)6fxxf18，A對；f所以，故，則xx3x2x42(x2x1由fx且x，令g(x)x在x上遞增，3x2x11g10g(2)20.4430，02)使g(0)00，即，故，x204(0,0)上g(x)0，即f(0,)上g(x)0xfx0，遞減；f(x)>0fx，遞增；，即所以有極小值，無極大值，B對，C錯；fx111xafxf020()2a，2由題設(shè)，上，即2x2x0x001115令t(，則f0ytt在上遞增，故，2t(fxy(,2)x2440160523a所以，D對.16故選：ABD1x]fx，進(jìn)而求得x【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)題設(shè)條件得到[x2fx][x222為關(guān)鍵.x2三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）第11頁/共25頁1a1an13滿足，且9，則aann113.已知數(shù)列______．2n1【答案】【解析】3【分析】先求得數(shù)列的周期性，再應(yīng)用周期性求值即可.1n1n1n11an1an1n22n2an2an4a，n【詳解】由，得1a1n21n1aaa則.951313故答案為：.14.已知，，且m，則______．x22xm0mR的兩共軛虛根為xxxx231212【答案】3【解析】xxm12x1aix1ai且aR，結(jié)合題設(shè)和復(fù)數(shù)模長、乘【分析】由根與系數(shù)關(guān)系有，設(shè)，xx21212法運算求參數(shù).xxm12x1aix1ai且aR，【詳解】由題設(shè)，可令，2xx2112xx21a223a22，所以所以12xx1a2m3.12故答案為：315.已知圓C:x324，過直線l:4x3y102y4上一動點P作圓C的兩條切線，切點分PAPB別為A，B，則的最小值為______．42【答案】【解析】5PC【分析】首先利用圖形，解決向量的運算，再利用的最小值，即可求解.交于點D，【詳解】如圖，連結(jié),CB，CAPA，CBPB，AB和第12頁/共25頁PAPB2PD，2PC42PA42PC因為PAPDPC，所以PD,PCPCPC4為增函數(shù)，yx設(shè)，易知其在x43341PC的最小值為圓心C4到直線l:4x3y10d5，則的距離4232421542PD5PAPB，那么的最小值為所以的最小值為.5542故答案為：5ABCD棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱CD的中點，M是正方體的表面上一動116.正方體，1111點，當(dāng)四面體BEFM的體積最大時，四面體BEFM的外接球的表面積為______．【答案】π【解析】1M點離平面1距離得到M與1重合，再將1置于如下直角坐標(biāo)系中求外接圓圓心，進(jìn)而確定空間坐標(biāo)系1中外接球球心O坐標(biāo)，即可求球的表面積.//CD1//B,E,F,ABEFM的體積最大，【詳解】如下圖，，即四點共面，要使四面體11CD上點到平面距離都相等，1只需M點離平面最遠(yuǎn)即可，顯然點D、線段11DE0),F(0,B(2,0)構(gòu)建下圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以0)，若面的一個法向量為m(x,y,z)，1EFmyz0，令，則y2m(2)，則EBm2xy0第13頁/共25頁C(0,0),C(0,2),(2,0),B(2,2)EC0)EC2)而，則0)，，，111BB(0,0,2)，1|mAB|43|mEC|23，C所以A到面距離為到面距離為1，1|m||m||m||mBB|43B距離為1C到面距離為12，到面1，111|m||m|綜上，正方體的表面上1到面距離最遠(yuǎn)，故四面體BEFM的體積最大，M與重合，C11首先確定外接圓圓心O坐標(biāo)，將置于如下直角坐標(biāo)系中，111C(2,FE，則O1:yx與FC的垂直平分線l的交點，1則由是直線111233k2l)l:y2(xl:4x2y70kFC中點為1，則，且，故，即，1227676xyyx7777O(0,,)，O(,)，即對應(yīng)到空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為1聯(lián)立4x2y701666677由四面體BEFM的外接球球心O在過O垂直于面的直線上，設(shè)1O(n,,)，16657177由|||，即(2n)()()n，222n2()()，所以2266666第14頁/共25頁717114114()2()2()2，故外接球的表面積為4π(2)π.故外接球半徑為666故答案為：π【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量法求出正方體的表面上到面距離最遠(yuǎn)的點為關(guān)鍵.1四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.疫情結(jié)束之后，演唱會異常火爆．為了調(diào)查“喜歡看演唱會和學(xué)科是否有關(guān)”，對本年級的100名老師進(jìn)行了調(diào)查．2nadbc2nabcd，其中．附：abcdacbdP2k00.0503.8410.0100.001k06.63510.828（1）完成下列22列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本年級老師“喜歡看演唱會”與“學(xué)科”有關(guān)；不喜歡看演唱喜歡看演唱會合計會文科老師理科老師合計304050（2）三樓大辦公室中有11名老師，有4名老師喜歡看演唱會，現(xiàn)從這11名老師中隨機(jī)抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜歡看演唱會的概率．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有95%的把握認(rèn)為本年級老師“喜歡看演唱會”與“學(xué)科”有關(guān)28（2）55【解析】1）根據(jù)表格進(jìn)行運算即可得到完整的列聯(lián)表，再根據(jù)卡方計算公式運算對比臨界值即可求解.（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式進(jìn)行運算即可求解.【小問1詳解】第15頁/共25頁由表可知喜歡看演唱會的理科老師有503020文科老師共有1006040人，理科老師共有204060人，403010人，不喜歡看演唱會的文科老師有人，不喜歡看演唱會的人有104050人，完成22列聯(lián)表如下表所示：不喜歡看演唱喜歡看演唱會合計會104050文科老師理科老師合計3040602050100210012002002nadbc503216.6673.841，故有95%的把握認(rèn)為abcdacbd40605050本年級老師“喜歡看演唱會”與“學(xué)科”有關(guān).【小問2詳解】由題意11名老師中，有4名老師喜歡看演唱會，有7名老師不喜歡看演唱會，若從這11名老師中隨機(jī)抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜歡看演唱會，則只能從4名喜歡看演唱會的老師中抽取1人，從7名不喜歡看演唱會的老師中抽取2人，C14CC2742128p即所求的概率為.316555-ABCAA18，6，E，F(xiàn)為CCC118.如圖，在直三棱柱中，上分別靠近C和的四等分1111AABBEF點，若多面體的體積為40．11（1）求EF到平面AABB的距離；11EABB（2）求二面角的大小．1π【答案】（1）2；（2）.4【解析】第16頁/共25頁1）由直三棱柱結(jié)構(gòu)特征有1//AA，應(yīng)用線面平行判定證1//AABB，問題化為求C面111中AB上的高h(yuǎn)，根據(jù)多面體體AABBABCAABB面，進(jìn)一步化為求11到面的距離，再結(jié)合面11積列方程求結(jié)果；（2）過C作CDAB于D，過作EHAABB面于H，連接,，證面CEHD，進(jìn)而E11EABB1有EDH為二面角的平面角，即可求大小.【小問1詳解】-ABC1//AA1AABBAA1AABB，直三棱柱中，面，面111111111//AABBEF//AABB，只需求CAABB所以又面則C面，即面到面的距離，111111ABCAABBAABBAB面，11面，面上的射影在直線11中ABAABBAB上，即CAABB在面到面距離為上的高h(yuǎn)，1111又E，F(xiàn)為CC上分別靠近C和C的四等分點，且多面體AABBEF的體積為40，1111111所以V86h226h40，可得h2，即EF到平面AABB的距離為2.11B23211【小問2詳解】過C作CDABE作EHAABB面于H,，連接，于D，過11由（1）分析易知：CDEH,CD//EH，即四邊形CEHD為平行四邊形，1AB，則1AB由由而面，面，CD1C，CD,1面CEHD，則ABDE面CEHD，DE,面CEHD，則，，EABBEHCDh2，CE2，故EDH為二面角的平面角，由（1）知：1EHπtanEDH1，故銳二面角EABB為所以.1DH4滿足，3，且*．a(chǎn)12a2n22nn1nN19.已知數(shù)列n第17頁/共25頁a為等比數(shù)列；n（1）求證：數(shù)列an111（2）若b1nbS的前n項的和．nn，求數(shù)列naan1n【答案】（1）證明見解析1(n（2）221n【解析】1）根據(jù)已知等式變形得，利用等比數(shù)列的定義證明即可；an2n12aan1nn（2）對項數(shù)分奇偶討論，由裂項相消法求和可得.【小問1詳解】nN*a2a3n22nan112，且，，n2n12aNan*aa10，且，21n1nn2n1n1n，2nN*a是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.n故數(shù)列an1【小問2詳解】n2n1an1由（1）知，，aa1aa2,nn12n2，則有，，213212n12n11，各式相加得an112222n212a21a2n11.n又，則11nn，aan1n1111111111n則當(dāng)為奇數(shù)時，Sn122334n1nnn11111221；1n1n第18頁/共25頁1111111111nSn當(dāng)為偶數(shù)時，122334n1nnn11111221；1n1n1(n綜上所述，Sn.22n1ac20.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，成等比數(shù)列．πA（1）若（2）若，求角C；5S的面積為S，求的取值范圍．a(chǎn)2π【答案】（1）C；513).（2）(,22【解析】1）由題設(shè)可得b等變換可得sin(B)sinAcaaB2a2ac，結(jié)合余弦定理可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角恒BAA，即可求角C；，進(jìn)而有（2）由（1）有B2A，結(jié)合銳角三角形得ππA，應(yīng)用三角形面積公式、三角恒等變換可得64S2)3，令ttanA(,，利用導(dǎo)數(shù)求等式右側(cè)單調(diào)性，再求值域即得范圍.a22)23【小問1詳解】aac，且Cπ(AB)，由題設(shè)b2a(ac)，即b222acBac2aB，即caaB，由b2a2c2所以CA2sinAB，即sin(AB)sinA2sinAB，所以AsinBsinAsinAB，故sin(B)sinA2π，π所以BAA或BAπAB2A，故C.55【小問2詳解】第19頁/共25頁π0A2πππA由（1）知B2A，為銳角三角形，則02A，可得，264π0π3A21ScsinBsinCsinBsin(3)sin(2)SacsinB又，則，2a22a2sinA2sinAS1sin(3)cosAsinAAcos2A2Asin2Asin22A)所以，a222tanA1tan1tan22AAS2tanA1tan1tan22A1又sin2A，cos2A，故()，12A21tan2aAA2S2)3Stt3ft)整理得，令ttanA(,，則，a22)2a2t2)233tt246)0，ft)gt)t4t23，則gt)tt2所以，令t)23338g(t)在t(ft)00，即，故上遞減，gt)g()339Stt313).3ft)在t(ft)(,22所以上遞減，故a2t2)23xP4x的準(zhǔn)線l交軸于M，過11l121.已知拋物線:y2作斜率為的直線交于C,D，過作斜率為k2的直線2交于1QE,G．Fl（1）若拋物線的焦點，判斷直線l與以EG為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明；2（2）若C,E,M三點共線，kk①證明：為定值；12ll夾角②求直線與的余弦值的最小值．21【答案】（1）相切，證明見解析3（2）①1；②5【解析】1）將直線EG和拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出線段EG的中點和長度，即可得以EG為直徑的圓的方程，通過判斷圓心與直線l的距離與半徑的大小關(guān)系來去頂直線與圓的位置關(guān)系；第20頁/共25頁214y224yC,y,E,yC,E,Myy=4三點共線即斜率相等可得，再將其代入12（2）①設(shè)，通過12y2111kk,，212221,l的傾斜角分別為2yy計算即可；②設(shè)直線11144tantank211tantan1k21tantank,kk的關(guān)系代入消，通過直線和拋物型線相交，，通過212k利用判別式求出的范圍，進(jìn)而可得最值.1【小問1詳解】FlEG即為直線F1,0，又若拋物線的焦點，則直線21011x，整理得l:x2y10故l:yx2y10x，消去得y28y40，聯(lián)立y4x2D=64+16=80>0yy8yy4，則，12EGxx2yy218G所以，EGEEG122yy4yy5641620，2且12122y42100，其圓心為4，半徑為10，故以EG為直徑的圓的圓的方程為x9所以以EG為直徑的圓的圓心到直線l的距離為9110，故直線l與以EG為直徑的圓相切；【小問2詳解】214y224y，C,y,E,y，又2M1,0,P,Q1①設(shè)1k因為C,E,M三點共線，所以k，1y212y22y2yy=4，12即y，整理得111444第21頁/共25頁214y22y11y21y11y2111kk所以212221yyy224y2141111441y42y2141y42224yy21y21y21y21122244y141,2yyy2221y16222421414kk即為定值1；12l,l的傾斜角分別為,②設(shè)直線，12tantank2k11tantan11tantan1k211k1k2則1341112l:ykx11由已知可得，1144ykx11y40，1x，消去得y2聯(lián)立y24x112441515所以440，解得