高中數(shù)學必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題 (30)(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題(30)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.已知向量$=(百sin:1),元=(cos：cos2；),id/(x)=m-n.

⑴若f(a)=|,求cos得-a)的值;

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移與個單位得到y(tǒng)=g(x)的圖象，若函數(shù)y=5(x)-k在［o,r］上有

零點，求實數(shù)%的取值范圍.

2.(1)已知|五|=4,向=3，(2a-3b)-(2a+b)=61，求五與B的夾角。；

(2)設立？=(2,5)，0B=(3,1)，0C=(6,3)，在元上是否存在點M,使若存在，

求出點M的坐標，若不存在，請說明理由.

3.如圖所示,A、B分別是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點，點P在單位圓上240P=0(0<0<兀),

點C坐標為(一2,0),四邊形OAQP為平行四邊形.

(1)若1=耐?麗，求r的取值范圍;

(2)若CB_LOP,求l+sin26-cos20的值.

l+sin26+cos20

4.如圖，在AOAB中，已知P為線段AB上的一點，OP=xOA+yOB.

(1)若麗=PK求x，y的值；

(2)若加=2證，|0A|=4，|而|=2，且就與麗的夾角為60。時，求麗?麗的值.

5.已知向量鬲石的夾角為120。，且國=4,|石|=2,求:

(l)(a-26)-(a+K);

⑵|弓+方|;

(3)|3a-4d|.

6.如圖，在△ABC中，^BAC=60°,AB=AC=3,點。在線段8c上，且前=［反.

求：(1)4。的長；

(2)cosNZMC的值.

7.已知向量2=(1,2),7=(-3,/c).(1)若1〃亦求了的值;

(2)若日10+23)，求實數(shù)石的值；

(3)若方與五的夾角是銳角，求實數(shù)3的取值范圍.

8.已知向量沆=(cos%sinx),n=(cosx,V3cosx),xER,設函數(shù)f(%)=布?五+：.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設a,b,c別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊，若/(A)=2,h+c=2>/2.AABC的面積為：，

求a的值.

9.已知雙曲線C：圣一，=1經(jīng)過點(2,3),兩條漸近線的夾角為60。，直線/交雙曲線于A、8兩點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若/過原點，P為雙曲線上異于A,B的一點，且直線PA、PB的斜率翱/加8均存在，求證:必?kPB

為定值；

(3)若/過雙曲線的右焦點招，是否存在x軸上的點M(TH,0),使得直線/繞點后無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有

祈2?麗=0成立？若存在，求出”的坐標；若不存在，請說明理由.

10.已知平面向量為=(3,4),b=(9,x)>c=(4,y).且蒼〃方，7i±~c.

(1)求方和人

(2)若沅=22-3,n=a+c,求向量沅與向量記的夾角的大小.

11.己知向量a=(2后sin(；+x),cos(^+x)),向量工=(cos(；-x),2cos(；-x)),且函數(shù)/⑶=H

(1)求函數(shù)f。)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對稱中心；

(2)在ZL48c中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且角A滿足/'⑷=遮+1,若a=3,BC

邊上的中線長為3,求zL4BC的面積S；

(3)將函數(shù)的圖像向左平移J個長度單位，向下平移百個長度單位，再橫坐標不變，縱坐標

6

縮短為原來的拒得到函數(shù)g(x)的圖像，令函數(shù)/i(x)=g(x)-4/lcosx在xe[O,g的最小值為一|,

求正實數(shù);I的值.

12.已知向量聯(lián)=(2,0),，=(1,4)

⑴若向量式+辦與標2辦平行，求女的值；

(2)若向量左京.,與*+2/；的夾角為銳角，求％的取值范圍.

13.已知日=(國,—1),b=G號)，且存在實數(shù)％和r,使得j?=1+?2—3)另，方=—kZi+tB，且

三j.%試求斗^的最小值.

14.已知向量丘=(sin%,cos%),b=(V3,-l),/(%)=a-b-

(1)若1€[j,7],求函數(shù)f(x)的最小值；

?5O

(2)已知a為銳角，.3W(0,/),/(c+:)=：,sin(c.力12

,求sin(2a+0)的值.

1*5

15.如圖，在AABC中，AQ=QCZAR=|AB,BQ與CR相交于點/,A/的延長線與邊BC交于點P.

A

R,

B'C

(1)用前和就分別表示風和京；

(2)如果由=而+4及=前+〃原，求實數(shù)2和四的值；

(3)確定點尸在邊8c上的位置.

16.如圖，點C是點8關于點A的對稱點，點D是線段0B的一個靠近點B的三等分點，設方=3,

OB^b.

(1)用向量五花表示靈，而；

(2)若赤=(函,求證：C,D,E三點共線.

17.若向量冒=(3,4),K=(9,x)>c>=(4,y),且育〃石，±c*.

(1)求后和它的坐標；

(2)若ffi2a*-b-na+r,求向量iH,記的夾角.

18.己知匕b，3是一個平面內(nèi)的三個向量，其中為=(1,2).

(1)若用|=2遮,c//a,求不及小常

(2)若|方|=誓，且五+2加與3N-B垂直，求4與3的夾角的余弦值.

19.已知A、8、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，若向量萬=(2-2sin4cos4+$也4)與向量,=

(sinA-cosA,1+sinA)是共線向量.

(1)求角A；

(2)求函數(shù)y=2sin2B+cos與"的最大值.

20.如圖,M為△ABC的重心，過點M的直線分別交AB,AC于尸,。兩點，設方=xAB,AQ=yAC,

記y=f(x).

(1)求一+'的值；

xy

(2)設函數(shù)g(x)=sinx+cosx—sinxcosx+m,若對任意x[e[|<總存在eR，使得/'(/)=

g(>2)成立，求，"的取值范圍.

21.已知兩個不共線的向量值,3的夾角為。，且|初=3,住|=1，x為正實數(shù).

(1)若往+2日與方一43垂直，求tan。；

(2)若。=今求|x3-石|的最小值及對應的x的值.

22.對于一個向量組石?，石，碼…樂(n>3,neN*),令圖=可+碼+…+布，如果存在

耳(pe/v*),使得同》瓦-可那么稱可是該向量組的“長向量”

(1)若同是向量組近，而，試的“長向量”，且就=(n,x+n),求實數(shù)x的取值范圍;

(2)已知或近尾均是向量組而，記，碼的“長向量”，試探究萬，右后的等量關系并加以證明.

23.如下圖所示，在矩形ABCQ中，點E在邊AB上，且荏=2前，M是線段CE上一動點.

(1)若而=m區(qū)?+n麗，求m+2n的值；

(2)若|荏|=6,EC-CA=-17.求(拓？+2麗)?雨的最小值.

24.在△ABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,h,c,已知向量鉉=(2a+c,b),五=(cosB,cosC),

且沅-n=0.

(/)求B的大??；

(〃)若b=2,求^ABC面積的最大值.

25.在A25c中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知向量TH=(cos含sin當，n=(cos3,sing),

且滿足|記+n|=V3?

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若b+c=V5a，試判斷△4BC的形狀。

26.已知向量的夾角為60°,且同=1,由=2,設示=3/育=面+29.

(1)試用，來表示nvir的值；

(2)若E與方的夾角為鈍角，試求實數(shù)r的取值范圍.

27.已知向量1=(一，,亨)，b=(2cos0,2sin0)>0<0<TT.

(1)若為〃B，求cos。的值；

(2)若|方+川=|同，求sin(。+§的值.

28.在平面直角坐標系xOy中，設橢圓條+，=l(a>b>0)的離心率是e,定義直線y=±三為橢

圓的“類準線”，已知橢圓C的“類準線”方程為y=±4g,長軸長為8.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)。為坐標原點，A為橢圓C的右頂點，直線/交橢圓C于E,尸兩不同點(點E,尸與點A不重

合)，且滿足4E_LAF,若點尸滿足2赤=笳+次，求直線AP的斜率的取值范圍.

29.已知：①函數(shù)/(%)=cos3xsin(3x+2)->0)；

②向量沅=(V3sina)x,cos2cox)，n=(|COSOJX,i),且3>0,/(x)=m-n；

③函數(shù)f(x)=1sin(2((jx+w)(3>0,\(p\<])的圖象經(jīng)過點(第)

請在上述三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

己知,且函數(shù)/(乃的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為;.

(1)若0<。<全且sin。=點求的值;

（n）求函數(shù)/（X）在［0,2種上的單調(diào)遞減區(qū)間.

30.如圖，在AOAB中，點尸為線段A8上的一個動點（不包含端點），且滿足9=4兩.

（1）若；1=：,用向量為，而表示前:

（2）若|瓦？|=4,|而|=3，且乙40B=60°,求赤.四的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：解：/(%)=m-n=V3sin-cos-+cos2-=-sin-+-cos-4-i=sin(-4--)+-

J-44422222v2672

(1)由/(a)=I得sinG+g)+：=5，于是a=4k7T+?,kEZ,

ZZOZZo

???COS(Y-Q)=cos(y—4fc7T一拳)=1.

(2)將函數(shù)y=f(%)的圖象向右平移等個單位得到y(tǒng)=g(x)=sin(1x的圖象，

則y=g(x)-k=sin(|x-a+3-匕

因為一￡三打一BW"，所以一?4sin(，一￡)W1,

626226

所以0<sin(ix-^)+1<I，

若函數(shù)y=5(x)-k在［0,爭上有零點，則函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=k在［0,爭上有交點，

所以實數(shù)上的取值范圍是［0,|］.

解析：(1)先化簡求得/(x)的解析式，由已知可求得a的值，從而可求cos(g-a)的值；

(2)先求得y=g(x)-k的解析式，從而可求g(x)的值域，由函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=k在［0,g］

上有交點，可得實數(shù)上的取值范圍.

本題主要考查了向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)中的恒等變換應用，屬于基本知

識的考查.

2.答案：解：(1)???(2丘—3萬)?(2方+石)=61

4a2-4a-K-362=61

又|五|=4,|至|=3

Aa-b=-6-

??zj，i，

?cosO=\a\l\b\=—2

???向量夾角。e[0,180°]

:.0=120°.

(2)設存在點M,且而=AOC=(6A,3A)(0<A<1)

???加=(2-6尢5-3/1),麗=(3-6尢1-3A).

V~MA1MB

，雨?旃=0

???(2-62)(3-6A)+(5-32)(1-3A)=0,

111

???45M-482+11=0,解得：入=§或入=元

—>一一,2211

???OM=(2,1)或OM=(可，可)

???存在M(2,l)或M《白滿足題意.

解析：(1)根據(jù)(2五—3K)-(2a+b)=61求出方?b=—6然后再利用向量的夾角公式cos<a,b>=

編再結(jié)合〈區(qū)石>€[0,捫即可求出乙與石的夾角。.

(2)假設存在點M符合題意則可設而=AOC=(64,34)(0<A<1)即M(64,34)從而求出拓5,而再

根據(jù)利1而利用向量數(shù)量積的坐標計算再結(jié)合0</IS1即可求出4進而求出點M.

本題主要考查了利用數(shù)量積求向量的夾角，屬?？碱}，較易.解題的關鍵是熟記向量的夾角公式cos<

a.b>=噩同時要注意<a,b>€[0,兀]這一隱含條件以及初1麗的等價條件為？-MB=0.

3.答案:解：(1)由已知，得4(1,0)、8(0,1)、P(cos0,sin0),

因為四邊形OAQP是平行四邊形，故的=瓦5+麗=(1+cos&sin0)，

-OQ=1+cos9

因為0<9<TT,則一1<COS8<1,故f的取值范圍是(0,2).

(2)由題意，知下=(2,1)，OP=(cos0,sin0).因為CB_LOP,所以「工.。下=()

???2cos0+sin?=0,

又0<9<7i,結(jié)合siM。+cos20=1得sin。=—,cos。=——,

5s

4

???sin20=2sin0cos0=--

cos20=2cos2?！?=-I，

t4,3

所以l+sin2"326=阜=_2.

l+sin204-cos201----

5s

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積和坐標運算以及二倍角公式

(1)由已知得出A,B,P的坐標，進而根據(jù)四邊形OAQP是平行四邊形，得到的=瓦？+訶=(1+

cos。,sin9),然后由平面向量的數(shù)量積運算得出面.麗=l+cos。，進而可求；

(2)由已知可得「X.喬=(),進而得到2cg0+siu00,再有同角三角函數(shù)的平方關系求

出sinO=2,cos。=-更，然后再結(jié)合二倍角公式進行計算即可.

55

4.答案：解：(1)由喬=同，得而-麗=雨-而,

所以而=：(引+而)=：a+：礪，

所以x=［，y=］；

(2)由前=2可，得麗_麗=2畫-研，

所以訶=|成+1而；

又|函|=4，|而|=2，且函與布的夾角為60。，

則前-AB=(|o7H-iOB)-(OB-OA)

2—>21——>21—?——?

=--0A+§。84--0/1-0B

2o191

=--X424--X22+-X4X2XCOS600

解析：本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運算問題，是中檔題.

(1)由前=萬得麗-布=瓦？-前，用瓦?、曲表示亦即可；

(2)由肝=2瓦?得而一麗=207-而)，求出而，再計算麗.荏的值.

5.答案:解：?.?同=4,0|=2,且五花的夾角為120。,

.-.a-b=\a\-\b|cosl20°=4x2x(-j)=-4,

(l)(a-2b~)?(a+b)=a2—a-b-2bz=42—(—4)—2x22=12-

(2)|a+K|2=|a|2+2a-K+|K|2=16-8+4=12，

TT—

AQ+b=2v3.

(3)|3a-4h|2=9|a|2-24a-K+16|b|2=9X42-24X(-4)+16x22=304，

|3a-4b|=V304=4V19.

解析：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題.

(1)先求出五不=-4,再根據(jù)向量的數(shù)量積性質(zhì)計算即可；

(2)先平方，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可；

(3)先平方，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可.

6.答案：解：(1)設彳^=有，AC—b>

則而=荏+麗=荏+三就=通+2(%?一四)=-AB+-AC=-a+-K,

33、73333

所以|而『=（犯+翔2=ia2+2x^a-K+j62

421

=-x9+2x-x3x3xCOs600+-x9=7,

故AD=y/7?

(2)設4n4。=仇則。為向量而與前的夾角.

ggjg_/互+］方）石_芝+資方=19+2X3X：_2V7

因為cos。=

\AD\\AC\-V7X3—3月—3V?一7

即COSH4C=M

解析：本題主要考查了向量的運算、數(shù)量積、夾角等知識，屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量運算得到初=|五+轉(zhuǎn),兩邊平方再利用向量的數(shù)量積即可求解;

(2)根據(jù)向量的夾角公式即可求解.

7.答案：解：⑴??,向量方=(1,2)5=(一3,外，且五〃3，

1xfc-2x(-3)=0,解得k=-6,

???\b\=J(-3)2+(-6)2=3展,

(2)：五+2石=(-5,2+2/0)，且日1值+2石)，

解得

???1x(-5)+2x(2+2k)=0,k=4

(3)、?石與五的夾角是銳角，

則五?b>0且不與至不共線，

即1x(-3)+2xfc>0且k*-6,

2

解析：本題考查的是平面向量的坐標運算，平面向量平行和垂直的性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積，平面

向量的模.

(1)由五〃石,可得lx/c-2x(—3)=0,即可解得鼠從而得出石的模；

(2)因為五+2加=(―5,2+2k)，且五_1?值+29)，所以1x(-5)+2x(2+2k)=0,即可得出怎

(3)因為形與力的夾角是銳角，則為小>0且弓與形不共線，由平面向量數(shù)量積運算即可得出答案.

8.答案：解：(1)由題意可得函數(shù)：/(x)=m-n+1=cos2x+^sinxcosx+1

=+叵sin2x+i=sin(2x+-)+1>

2226

令2x4--6[——+2kji,—+2/CTT],/cEZ,

622

解得；x&[-^+kn^+kn],kez；

3o

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一三+kn,^+kn],kez；

(2)△ABC中，；f(A)=sin(24+》+1=2,f(A)=2,

sin(2>4+-)=1.

6

八“兀一c“，九一137r

?Jo<av7T,，-v2A+-v—,

666

??.24+g=g即4=g

oZo

由S=|bcsinA=:得be=2,

又b+c=2V2>

二由余弦定理得a?=b2+c2—2bccosA=(b+c)2—2hc(l+cosA),

解得a=V3-1.

解析：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理的應用，

屬于中檔題.

(1)利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡/'(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求

得函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)由條件求得A以及防得知，再利用余弦定理求得〃的值.

49

---------=1

22

9.答案：(1)解：由題意得,ab

-=V3

I。

解得a=1,b=V3,

???雙曲線c的方程為=1；

3

(2)證明：設AO。,小)，由雙曲線的對稱性，可得B(—Xo，—yo).

22

設P(%,y),貝！JkpA-kPB=艮

???yl=3就-3,y2=3x2-3,

22

所以-kPB=巖|=3;

(3)解:由(1)得點&為(2,0),

當直線/的斜率存在時，設直線/方程y=k(x-2),A(xr,y^,B(x2,y2),

將方程y=fc(x-2)與雙曲線方程聯(lián)立消去)，得：(/-3)/_4k2x+4fc2+3=0,

4k24k2+3

1/k2-31/k2-3

假設X軸上存在定點使稔?麗=0恒成立，

則近？"MB=(xx—m)(x2—m)+

R(尤1-2)]依。2-2)]

222

=(fc+1)%1%2—(2fc+m)(xx+x2)+環(huán)+4fc

=k^3=。’

故得：(nr?—4m—5)/c2—3(m2—1)=0對任意的1>3恒成立，

???{1]也5=°，解得m7，

二當點M為(一1,0)時，MA1MB恒成立；

當直線/的斜率不存在時，由4(2,3),8(2,-3)知點”(一1,0)使得加.麗=0也成立.

綜上所述，在x軸上存在點M(-1,0)滿足題意.

解析：本題考查點的軌跡方程的求法，考查斜率的計算，考查存在性問題，綜合性強.

(1)利用雙曲線C[=1經(jīng)過點(2,3),兩條漸近線的夾角為60。，建立方程，即可求雙曲線C

的方程；

(2)設4(0,y°),由雙曲線的對稱性，可得B的坐標，設P(x,y),結(jié)合題意，又由A、P在雙曲線上,

可得詔=3以一3,y2=3x2-3,將其坐標代入而4?加-中，計算可得答案?

(3)先假設存在定點M,使祈彳.麗=0恒成立，設出M點坐標，根據(jù)數(shù)量積為0,求得結(jié)論.

10.答案:解：(l)va//6，-3%—36=0.A%=12.

vale,A3x4+4y=0.

：?y——3.??.b=(9,12),c=(4,-3).

(2)m=2a-b=(6,8)—(9,12)=(-3,—4)，

n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).

設記，記的夾角為仇

Hlllrcs。=沆.=-3X7+(-4)X1=-25__V2

人J一|m||n|-7(-3)2+(-4)2xV72+i2-25g.2*

?.?0G[O,TT],■-6=^-,即沆，元的夾角為空

解析：本題考查平面向量共線的充要條件，向量的數(shù)量積，考查向量的坐標運算和求兩向量的夾角,

屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量平行和向量垂直對應的坐標關系，可得結(jié)果；

(2)首先求得沆，元的坐標，代入公式cos。=累計算即可.

11.答案：解：(1)因為/(%)=祝?方代入向量五=(2bsin《+%),cos?+%)),

向量石=(cosC—%),2cos(E—x)),

結(jié)合誘導公式及正余弦的二倍角公式化簡可得

/(%)=2V3sin2(^+%)+2sin(￡+%)cos(￡+%)

所以f(%)=V3[l-cos+2%)]+sin(|+2%)

=V3sin2x+cos2x4-V3

7Tf-

-2sin(2%+-)+V3

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足9+2kTT42x+：(：+2k7T,

解得一：j+k;r4x4：+k?r

所以函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-：+kk.：+k-](k€Z：i

令2x+/=k7T,解得x=--S+￡

o122

則對稱中心(一記4■~-,\/3)(k€Z)；

(2)/(/)=V34-1,得sin(2/+1)=(

則24+巴=望，

66

71

-,-A=3

又|宿=\AC-AB\=3①，

BC上的中線長為3,則|而+方|=6②

由①②知：AB-AC=^

即|而|?|而|cosg=弓，

所以|四|?|而|=孑，

Saw=(I池I?1^;sin彳=；

⑶由題意將函數(shù)f(x)的圖像向左平移汐長度單位可得2sin[2。+》+柴+百=2sin⑶+柒+

V3=2cos2x+V3,

向下平移8個長度單位，可得28s2%,

再橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的:后得到函數(shù)g"),則g(x)=cos2x,

則h(x)=g(%)—4Acosx=2cos2x—4Acos%—1,

所以/i(x)=2(cosx—A)2—1—2A2,cosxG[0,1],

①當0<4<l時，當COST=a時，九(%)有最小值-1-2"=-|,解得2=1.

②當4》1時，當cosx=l時，h(x)有最小值1-44=一條解得;1=|(舍去)，

綜上可得；I=1.

解析：本題主要考查平面向量的數(shù)量積，誘導公式，二倍角公式，函數(shù)、=心也(3%+0)的圖像與

性質(zhì).

(1)利用平面向量的數(shù)量積，誘導公式，二倍角公式，可得函數(shù)y=4sin(ax+9)的圖像與性質(zhì)；

(2)利用平面向量的數(shù)量積，即可得三角形的面積；

(3)利用函數(shù)、=4$也(3久+0)的平移規(guī)律，利用分類討論，二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的圖像與性

質(zhì)，即可得.

12.答案：解：(1)因為五=(2,0),b=(1,4),

所以ka+b=(2k+1,4)，3+26=(4,8).

因為向量k方+石與蒼+2石平行，所以8(2k+1)=16,則/￡=：.

(2)因為布=(2,0),b=(1,4)>所以k方+!=(2々+1,4)，a+2b=(4,8).

因為向量卜日+方與蒼+2石的夾角為銳角，

'4(244-1)+32>0

所以,J，

叼

解得k>一;且ko也

解析：本題主要考查了平面向量的坐標運算，向量的夾角及向量平行的性質(zhì)，考查了推理能力與計

算能力，屬于中檔題.

(1)先求出k五+京日+2石的坐標，然后根據(jù)向量平行的性質(zhì)，可得8(2k+l)=16,解之即可；

4(2fc+l)+32>0

(2)由題意，可得《,1，解之即可.

厚5

13.答案：解：??,a=(V3,—1)，b=$堂)，

???I五I=J(遮)2+(-1)2=2,Ib|=J(i)2+(y)2=l-

a-K=V3xi+(-l)x—=0.

2v72

由Hl%得回+仕2—3)向,(一k五+tB)=0，

2

即一卜。2+(t3_3。/+(t-kt+3k)a-b=0.

將|五|=2,|b|=1?a-6=0代入上式，得—4k+t3-3t=0.

.t3-3t

???k=----,

.".^=i(t2+4t-3)=i(t+2)2-J.

故當t=-2時，竺立取得最小值一：.

t4

解析：本題考查向量的模，向量的數(shù)量積，向量的線性運算，二次函數(shù)的最值等知識，屬于中檔題.

先求得|五I，\b\>a-b<再由^1%得@+?2一3)向?(一k方+。)=0，

計算得k=生三，代入比，化為二次函數(shù)求最小值.

4t

14.答案:解：(1)/(%)=V3sinx—cos%=2(fsin%—|cosx)

nTi

=2(sinxcos——cosxsin—)

=2sin(x-t),

,?=/,爭，.?。一江仁,捫,

???sin(x-e[0,1],

o

則2sin(x-*)e[0,2],

???/(x)的最小值為0.

(2)/(a+-)=2sina=sina=

655

3

va為銳角，cosa=

又sw(0㈤，

a+0e(0,y),

sin(ct+/?)=—~<0,<z+/?G(7r,—),

"cos(a+/7)=-總

：?sin(2a+S)=sin[a+(Q+￡)]

=sinacos(a+/?)+cosasin(a+0)

4,5、3,12、56

x(-i?x(—,1=—.

5、i：r5'i：r65

解析：本題主要考查了函數(shù)y=As勿(3X+0)的圖象與性質(zhì)，向量的數(shù)量積，三角恒等變換，同角

三角函數(shù)的基本關系及三角函數(shù)的最值，屬于中檔題.

(1)利用輔助角公式化簡可得/(x)=2sin(x-J),從而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)/(x)的最小值;

(2)由題意，sina=：則利用同角三角函數(shù)的關系求出cosa,

cos(a+/?),進而根據(jù)sin(2a+/?)=sin[a+(a+/?)],利用兩角和的正弦公式求解即可.

15.答案：解：(1)由而=：前，可得的=說+福=-南+1而，

...’1一，

ARAB

-=-39

.-.CR=CA+AR=-AC+^AB；

(2)將的=-AB+^AC,CR=-前+1近代入：

AI-AB+ABQ—AC+〃CR，

則有荏+4(-荏+：而)=前+〃(一前+：南),

即(1-4)四+旅南+(1-〃)前，

??,解伶、;

［八=1一3

(3)設麗=m月乙AP=nA/.

由(2)知可=g后+|旅，

.-.AP=BP-BA^

.,■n~Ai=mBC+AB，

?'?-nAB+—nAC——m(4C—AB)+AB——(1—nr)AB+THAC,

???荏與尼不共線，

(12

-n=14—mm=-

3

■■-I,解得5,

-n=mn=-

【53

麗=-'BC,

3

即更

PC=2,

.?.點P在BC的三等分點且靠近點C處.

解析：本題考查平面向量的基本定理、向量的加法、減法、數(shù)乘運算.

(1)利用數(shù)量關系和向量加法的三角形法則容易求得；

(2)利用(1)的結(jié)果，把的，次轉(zhuǎn)化為荏，前即可得解；

(3)設前=小近，AP=nAl，結(jié)合9=而一瓦?，即(2)的結(jié)果，可解小，得P點位置.

16.答案:解:(1)1?,0^4=a^OB=另.點C是點B關于點A的對稱點，即A為BC中點,；.0C+0B=2OX,

故元=20A-'0B=2a-b，

一，?.....,一，?7.....>7—>.-?，―>

CD=0D-0C=-OB-0C=-b-(2a-b}=-b-2a.

33k73

(2)VCF=OF-0C=|a-(2a-K)=-|a+K=|CD,

在與而平行，

又屈與或有公共點C,

C、D、E三點共線.

解析：本題考查向量加減法的三角形法則和向量的共線定理，后者是難點，在利用向量法證明三點

共線時，我們可利用三點構(gòu)造出兩個向量，先證明這兩個向量共線，再說明它們有公共點，進而得

到三點共線.

(1)由點C是點B關于點A的對稱點，則A為BC的中點，得沅+而=2函，結(jié)合已知條件，及向

量加減法的三角形法則，我們易得結(jié)論.

(2)通過計算得方=|而，即向量平行，有公共點C,故三點共線.

17.答案:解：(1)因為方〃弓，則3x-36=0,得x=12,

因為行_L3所以36+12y0,得y=—3,

故方=(9,12)，c=(4,-3).

(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4)，

n=5+?=(7,1),

則cos<m,n>=

'|=m工||n|,=55/502

又因為〈濟”>€[0,同

所以沅，元的夾角為135。.

解析：本題考查了平面向量的基本定理、平行垂直的判斷與證明、坐標運算以及向量的夾角.

(1)利用平面向量平行垂直的坐標運算即可得到答案.

(2)先根據(jù)平面向量的坐標運算求出沅和匯再根據(jù)向量夾角公式求出結(jié)果.

18.答案：解:(1)|a|=V5,

???a//c,

=Aa=(A,2A),

，與下方向相同或相反，

X|c|=2有，

A2+(24)2=20,則4=±2,

c=(2,4)^(-2,-4),

a-c=V5x2Vs=10>

或五?c=V5x2V5xcosl80°=—10.

(2)???五+2萬與3日一片垂直,

(a+2b)1(3元一方)，

—?一一?.9.—

A(a+26)-(3a—b)=3a+5a-h—2b=0?

即15+51不一史=0,

.?.8S<a*>=麗=9

解析：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量共線以及向量模的計算，屬于中檔題.

⑴由五〃不可知滂與不方向相同或相反，根據(jù)數(shù)量積定義計算即可；

(2)令(五+2?.(31一斤)=0，求出行不，代入夾角公式計算.

19.答案：解：(1)由題設知：(2—2sin4)(l+sinA)=(cosA+sinA)(sinA-cosA),

得2(1—sin2yl)=sin2i4—cos2A=2sin2A—1,即sE4=爭

???△ABC是銳角三角形，??.A=3

2

27r

(2)由(1)及題設知：y=2sinB+cos3:-=i_cos2B+cos(^—2B)

=1+3si?i28--cos2B=14-sin(2B--),

226

B+C=7T-A——7

3[0<B<-n[0<B<-r

又因為,整理得：2"2"即1窘，

0<--B<--<B<—

0<C<-32163

I2

解得：5<B<T；貝哈<2B-

oz666

當2B-2=1時，函數(shù)y=2siMB+cosS^取得最大值，BPymax=1+1=2.

解析：此題考查了余弦定理，以及平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵，屬

于中檔題.

(1)由平面向量共線的坐標表示可求得cos??!=[，再結(jié)合角A為銳角可求得角A的值；

(2)利用三角恒等變換思想以及三角形的內(nèi)角和定理化簡函數(shù)解析式為y=sin(2B-+1,求出角

的取值范圍，可求得的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.

8O

20.答案：解：(1)設。為BC的中點，連接則過點

又...而=x荏，^Q=yAC>AM=^AD=^AB+AC~)=-^AP+-^AQ,

又「P,M,。三點共線，.4+2=1,??，+；=3.

(2)由(1)知:+；=3,.?.y=/(x)=^?

在原1]內(nèi)是減函數(shù)，

A/(x)min=/⑴=],/(X)max=f(])=L

即函數(shù)/(%)的值域為原1].

???g(%)=sinx4-cosx-sinxcos%+m,令t=sin%4-cosx,t2=1+2sinxcosx=sinxcosx=

故g(x)=sin%+cosx—sinxcosx+m即h(t)=t—4-zn,

故h(t)=-l)2+m+1.

又t=sinx+cosx=V2sin(x+：)w[-V2,V2],

故九(t)的值域為[四二：2&,m+1],

.”(%)的值域為產(chǎn)產(chǎn),m+l].

(2m-l-2y/21

由題設得魚+則---

221m+1>1,

解得04m4l+VL故機的取值范圍是［0,1+魚］.

解析：本題考查平面向量的基本定理，考查函數(shù)值域的求法，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于

較難題.

⑴設。為BC的中點，連接AO,則由已知可得加=:初=：（荏+而）而+義而，而P,

M,。三點共線，從而可得表+點=1，進而可得結(jié)果；

（2）由（1）可得y=〃久）=含，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域為E，l]，再利用換元法和

二次函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的值域為產(chǎn)土產(chǎn),巾+1],而由已知可知=[四z產(chǎn)M+I],從

而可求出〃?的取值范圍.

21.答案：解：⑴?.?0+2510一4石），

??.（H+2b）?（3—4b）=0.

...j2_2a.K-8K2=0，得32-2x3x1xcos0-8xl2=0,

得cos。=

6

又。€（0,兀），故ee（o3），

因此，sin。=V1—cos20=—?

6

，tand=空^=V35.

cosd

（2）|xa-bI=yjx2a2—2xa-b4-ft2

=y/9x2-3V3x4-1=j9（x-^）2+^

故當時，|x五—另|取得最小值也

解析：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能

力與計算能力，屬于中檔題.

（1）由0+2石）1（五一4石），可得0+25?（五一4方）=0.展開可得COS。=[,又。6（0,兀），利用

sind=Vl-cos20,tariff=左^即可得出.

COS0

（2）利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得K七一方?=m一q）2+亍故當時，|%行一石?取得最小值也

22.答案:解：⑴由“長向量”定義得|向|?|設+詬卜

因為廄=(n,x+n),所以百?=(l,x+1),芯=(2,x+2),a；=(3.x+3),

?,?碼+石=（3,2%+3）,

???J9+（x+3尸》19+（2x+3）2,解得一24％40,

，實數(shù)x的取值范圍為［-2,0］.

（2混,辦］的等量關系為3+扇+扇=。?

證明：由題意可知，A是向量組貳石后的“長向量”，即滿足同|二同+碣.

所以同.握+甘，即&2“E+Q）2,

展開化簡可得扇22衛(wèi)2+^2+26辦

同理辦房也是向量組A而2的“長向量”，

|71||T2T2T2tT

川g2的+g

—>2—>2―?2—>—>

f

a3N%+。2+2ax-a2

三式相加并化簡得：0》42+訊2+試2+2萬.記+24.而+2記.雨，

即（用*+和+記）240,|布+&+樂|《0,

?,?西+詬+詬=0?

解析：本題考查了平面向量中新定義的理解與應用，向量坐標運算及模的求法，創(chuàng)新性好，正確理

解題意是解決問題的關鍵，屬于難題.（1）根據(jù)長向量的定義可知|五|>+扇|，結(jié)合條件用坐標表

示出E和溫+扇，即可由向量的模長公式得關于X的不等式，解不等式即可求得X的取值范圍.

⑵由“長向量”定義可得3?蒼2花2的不等式組，對三組式子合并化簡即可證明.

23.答案：解：（1）根據(jù)題意，在矩形ABC。中，點E在邊4B上，且m=2而，

則荏=|福

111

M.....E...，=MA>+AE,=M，A?+2^M‘B~,-M,A一,)=^1MA,+^?MB,?

又由麗=mM4+nMM且拓5，而不共線，

則7n=pn=I，

則rn+2n=*

(2)根據(jù)題意，EC-CA=(EB+BC)-(CB+BA~)

=~(^AB+BC)(AB+BC)

=-(|XAB2+BC2)=-17,

又由|布|=6，則有|Z|=V5，

又由|四|=6，即|而|=2，則|方|=彳=3，

由(1)的結(jié)論，ME=1MA+lMB,則a+2而=3碇，

則兩+2麗).祈？

=3~ME-MC=-3\ME\\MC\，

又由|而|+|祝|=3-則3|而||祝|<3X《ME出MC])2=乙

24

當且僅當I碇I=I祝I時取得等號，

變形可得(稔+2麗).覺=3碗?碗=-3|旗||祝|>

則(西？+2麗)?配的最小值為一條

解析：本題考查向量數(shù)量積