重慶市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析

Page202024-2025學(xué)年度中學(xué)數(shù)學(xué)9月月考卷一、單選題1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由題得故選：D2.若向量和滿意條件，則的值是（）A.﹣1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】干脆代入數(shù)量積求解即可．【詳解】因?yàn)楹蜐M意條件，即；故選：D．3.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出直線的斜率，再求傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為.因?yàn)橹本€的斜率為=，所以.又，得：．故選：D．4.已知直線，，若，則（）A. B.2 C. D.2或【答案】A【解析】【分析】利用兩條直線（一般式方程）相互平行的充要條件即可得出．【詳解】因?yàn)椋?，解?故選：A.5.如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】解：平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，所以，則，所以．故選：A．6.直線，，，的圖象如圖所示，則斜率最小的直線是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題圖確定直線斜率的大小關(guān)系即可.【詳解】由圖知：，故斜率最小的直線是.故選：B7.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB有交點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出與線段端點(diǎn)所成直線的斜率，即可得直線l的斜率范圍，再由傾斜角與斜率關(guān)系求傾斜角范圍.【詳解】由題設(shè)，如下圖示，所以，，故，若直線l的傾斜角，則，所以.故選：A8.如圖，已知正三棱柱的全部棱長均為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到直線距離建立函數(shù)，再求出函數(shù)最小值作答.【詳解】在正三棱柱中，在平面內(nèi)過A作，明顯射線兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因正三棱柱的全部棱長均為1，則，，因動(dòng)點(diǎn)P在線段上，則令，即有點(diǎn)，，，，因此點(diǎn)P到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.故選：C二、多選題9.空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)到下列各點(diǎn)的距離不大于的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋蔄正確，，故B正確，，故D正確，，故C錯(cuò)誤．故選：ABD10.對(duì)于直線：，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線斜率必定存在C.時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為D.時(shí)直線的傾斜角為【答案】BD【解析】【分析】求出過的定點(diǎn)推斷A；依據(jù)m的取值狀況推斷B；當(dāng)時(shí)，求出直線的橫縱截距計(jì)算推斷C；當(dāng)時(shí)，求出直線的斜率推斷D作答.【詳解】對(duì)于A，直線：恒過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線：垂直于x軸，傾斜角為，斜率不存在，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，此時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線：的斜率，因此傾斜角為，D錯(cuò)誤.故選：BD11.如圖，已知長方體的底面是邊長為1的正方形，高為2，E是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.三棱錐的體積為C.三棱錐的外接球的表面積為8π D.平面平面【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得位置關(guān)系推斷選項(xiàng)A；求得平面與平面位置關(guān)系推斷選項(xiàng)D；求得三棱錐的體積推斷選項(xiàng)B；求得三棱錐的外接球的表面積推斷選項(xiàng)D.【詳解】以A為原點(diǎn)分別以AB、AD、所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系：則,,,,,,,選項(xiàng)A：由.可得，則兩向量、不相互垂直，則與不相互垂直.推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：三棱錐的體積.推斷正確；選項(xiàng)C：三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的外接球直徑為則三棱錐的外接球的表面積為.推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，則設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，則由，可得向量與向量不相互平行，則平面與平面不相互平行.推斷錯(cuò)誤.故選：ACD12.如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面相互垂直，，G為線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.若G為線段AE的中點(diǎn)，則平面CEFB.C.的最小值為48D.點(diǎn)B到平面CEF的距離為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD，由線面垂直的性質(zhì)可得，，又，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明線線、線面的位置關(guān)系和求解點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)锽DEF是矩形，所以，又矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面相互垂直，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD相交于BD，且平面BDEF，所以平面ABCD，而AD，平面ABCD，所以，，而ABCD是正方形，所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，對(duì)于A，，，當(dāng)G為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，，得，設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為，有，因?yàn)?，平面CEF，則平面CEF，故A正確；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，得有最小值44，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，所以點(diǎn)B到平面CEF的距離為，故D正確.故選：ABD..三、填空題13.點(diǎn)在兩點(diǎn)所連的直線上，則______________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)列方程，解方程求得的值.【詳解】由于點(diǎn)在兩點(diǎn)所連的直線上，所以，即，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查斜率公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，，則____．【答案】【解析】【分析】cos，，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵向量，，∴cos，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的夾角的余弦值的求法，考查了空間向量的數(shù)量積及模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．15.已知空間向量的模長分別為，且兩兩夾角均為.點(diǎn)為的重心，若，，則___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)中點(diǎn)為，可得，由向量線性運(yùn)算可求得，由平面對(duì)量數(shù)量積定義和運(yùn)算法則可求得，進(jìn)而得到.【詳解】為的重心，設(shè)中點(diǎn)為，，，，，.故答案為：.16.已知圓柱中，點(diǎn)在圓上，，，點(diǎn)、在圓上，且滿意，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接、，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可得出直線與平面所成角的正弦值關(guān)于的表達(dá)式，由此可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則，設(shè)，直線的方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為，即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.故答案為：.四、解答題17.已知直線過點(diǎn)和兩點(diǎn)（1）求出該直線的直線方程(用點(diǎn)斜式表示)（2）將（1）中直線方程化成斜截式，一般式以及截距式且寫出直線在x軸和y軸上的截距.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】分析】（1）先求斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）由，得，可化，從而可得答案【詳解】解；（1）直線AB的斜率為故直線AB的點(diǎn)斜式方程為：或.（2）由，得，可化為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以斜截式：，一般式：，截距式：，在x軸上的截距為；在y軸上的截距為18.求滿意下列條件的直線方程；（1）過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程；（2）過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（3）過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)平行直線的斜率相同即可求解；（2）依據(jù)相互垂線直線的斜率乘積為，從而求解直線方程；（3）由截距相等，可得，帶入坐標(biāo)解得，從而可得方程．當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)也是截距相等；【詳解】解：（1）設(shè)與直線平行的直線方程為；由于所求直線過點(diǎn)，帶入可得，所求的直線方程為；（2）設(shè)與直線垂直的直線方程為；由于所求直線過點(diǎn)，帶入可得，所求的直線方程為；（3）由截距相等，可得直線方程為，由于所求直線過點(diǎn)，帶入可得，所求的直線方程為；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)也是截距相等，此時(shí)直線方程為：．19.已知長方體中，是對(duì)角線中點(diǎn)，化簡下列表達(dá)式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)，結(jié)合向量減法法則求解；（2）依據(jù)向量加法法則求解即可；（3）依據(jù)向量加法法求解即可.【小問1詳解】解：小問2詳解】解：【小問3詳解】解：20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，證明得到四邊形是正方形，進(jìn)而得到平面，所以，依據(jù)直角三角形相關(guān)性質(zhì)可得到；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線段長度寫出坐標(biāo)，求平面的一個(gè)法向量，再結(jié)合線面角計(jì)算公式求出答案.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，因?yàn)?，，所以四邊形是正方形，所以，即是等腰三角形，則，所以，即，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以由直角三角形性質(zhì)易得【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，如圖，以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成的角的正弦值為.21.如圖，且，，且，且，平面，．（1）求平面與平面的夾角；（2）求直線到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)空間角的向量方法求解;(1)由線面平行可得直線上全部點(diǎn)到平面距離相等，再利用等體積法可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，面，故可以為坐?biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由題可知：，，，，，，，易知面的一個(gè)法向量為，設(shè)面的法向量為，，，故得，即，不妨令y＝1，則，，所以平面與平面的夾角為．【小問2詳解】因?yàn)椋妫瑒t面，所以直線到平面的距離與點(diǎn)到面的距離相等，如圖，連接，由（1）可知平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)到平面EBC的距離為，則，，又因?yàn)椋?，所以直線AD到平面EBC的距離為．22.如圖，在三棱柱中，，頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，且.（1）求證：平面（2）求棱與BC所成角的大??；（3）在線段上確定一點(diǎn)P，使，并求出二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）P為棱的中點(diǎn)，【解析】【分析】（1）由線面垂直得線線垂直，再由線面垂直的推斷定理得到證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線夾角的向量