2024屆安徽省皖江名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第二次聯(lián)考10月數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得：，，所以，故選：D.2.的值等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，.故選：C.3.已知向量，若向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：且與不共線，即，解得：且，所以實數(shù)的范圍是，故選：C.4.已知函數(shù)在區(qū)間上遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，因為在定義域上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，得到，故選：B.5.“為銳角三角形”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗充分性：若為銳角三角形，因為，所以，同理可得，，故．必要性：當，時，不等式成立，而此時并不是銳角三角形．故選：A6.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗由題意知為定義在上的奇函數(shù)，所以，于是，解得：.經(jīng)檢驗，此時，，符合題意.故選：7.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，又，則，且，所以，則，，又，則，且，所以，則，綜上：，故選：A.8.已知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，且滿足以下條件：①，其中；②，則（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意令，得，又不是常數(shù)函數(shù)，所以，再令，得，即，則，即，故，所以函數(shù)的周期為，所以，故選：D.二?多選題9.設(shè)函數(shù)，若表示不超過的最大整數(shù)，則的函數(shù)值可能是（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗AB〖解析〗因為，則，所以函數(shù)的值域是，則的范圍是，于是的函數(shù)值可能是或，故選：.10.已知，若點滿足，則下列說法正確的是（）A.點一定在內(nèi)部 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，所以，設(shè)、分別是、的中點，所以，于是點是中位線上靠近點的三等分點，則點一定在內(nèi)部，故A正確；又，所以，則，故B正確；由A可知，，且，所以，，即，故C正確；所以，故D錯誤；故選：ABC11.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.B.點是曲線的一個對稱中心C.直線也是一條對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)〖答案〗CD〖解析〗由題意函數(shù)，其對稱軸為，即，所以令，解得，對于選項A,因此錯誤；對于選項B，該函數(shù)沒有對稱中心，因此錯誤；對于選項C，令，解得，取，符合題意，因此C正確；對于選項D，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，當時，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此選項D正確.故選：CD12.若實數(shù)是方程的解，實數(shù)是方程的解，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故A正確；對于：如圖，是函數(shù)與的交點的橫坐標，實數(shù)是函數(shù)與的交點的橫坐標，因為與關(guān)于直線對稱，圖象關(guān)于直線對稱，所以兩點關(guān)于直線對稱，所以且，于是，故B正確；對于C：由上，故C錯誤；對于D：由B可知，，又在上為減函數(shù)，且，所以，而，所以成立，故D正確.故選：ABD.三?填空題13.設(shè)單位向量滿足，則值是__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：，將兩邊平方得，即，化簡得，所以.故〖答案〗：.14.鈍角中，，則的面積是__________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，解得或，因為是鈍角三角形，，所以，所以的面積是.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，設(shè)是四個互不相同的實數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗當時，，作出函數(shù)圖象，如圖所示：當時，，設(shè)，且，則由圖象得：，則由題意知，，且，，所以，即，則，所以的取值范圍是，故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則__________；的最大值是__________.〖答案〗2〖解析〗由題意得：，設(shè)函數(shù)與函數(shù)關(guān)于點對稱，則，又，則，所以，，，即，又，所以當時，的最大值是，故〖答案〗為：；.四?解答題17.已知函數(shù)最小值為，周期為.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的值域.解：（1）由題意，所以（2）由題意，因為，所以，于是，所以所以函數(shù)的值域為18.已知對應(yīng)關(guān)系.（1）若，求的值；（2）若對于區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)，在區(qū)間內(nèi)都存在唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）若，則，所以.（2）依題意，為從區(qū)間到區(qū)間的一個函數(shù)，其定義域為，值域為的子集，因此問題轉(zhuǎn)化為時，有恒成立，令，即當時，恒成立，于是對一切恒成立，而當時，，當且僅當，即時取等號，從而，所以實數(shù)的取值范圍是.19.已知是不共線的三點，且滿足，直線與交于點，若.（1）求的值；（2）過點任意作一條動直線交射線于兩點，，求最小值.解：（1）由題意畫出圖像，因為，所以且，注意到共線且共線，所以解得.（2）由（1）和圖象可知，結(jié)合.于是，所以.所以，當且僅當，即，時等號成立.于是的最小值為.20.已知函數(shù)，.（1）當時，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）給定實數(shù)且，問是否存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請說明理由.解：（1）當時，，函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：∴，又函數(shù)的定義域為，∴函數(shù)為偶函數(shù)；（2）假設(shè)存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則，∴，即，即，∴，即，∴，∴，即，∵且，∴，故存在，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．21.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè).（1）若，求線段的長；（2）已知當時，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時矩形面積的最大值是多少？解：（1），，.（2）由題意知，，，，所以當，即時，面積最大，最大值為.22.已知函數(shù)，函數(shù).令函數(shù).（1）若曲線與直線相切，①求實數(shù)的值；②證明：；（2）若函數(shù)有且僅有一個零點，證明：.（1）①解：設(shè)曲線在點處切線是，則，由于所以，由題意知：，于是；②證明：，當時，，所以，即，當時，，所以，即，于，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，其最小值是，所以，于是原不等式成立（2）證明：有且只有一個零點，注意到為上的增函數(shù)且值域為，所以在上有唯一零點，且.在上為負，上為正，所以為極小值，又函數(shù)有唯一零點，結(jié)合的單調(diào)性知，所以，即，即，即，令，顯然，是的零點，，在上為正，上為負，于是在上單調(diào)遞減，注意到，所以在內(nèi)有一個零點，在內(nèi)無零點，所以的零點一定小于2，從而原命題得證.安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得：，，所以，故選：D.2.的值等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，.故選：C.3.已知向量，若向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：且與不共線，即，解得：且，所以實數(shù)的范圍是，故選：C.4.已知函數(shù)在區(qū)間上遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，因為在定義域上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，得到，故選：B.5.“為銳角三角形”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗充分性：若為銳角三角形，因為，所以，同理可得，，故．必要性：當，時，不等式成立，而此時并不是銳角三角形．故選：A6.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗由題意知為定義在上的奇函數(shù)，所以，于是，解得：.經(jīng)檢驗，此時，，符合題意.故選：7.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，又，則，且，所以，則，，又，則，且，所以，則，綜上：，故選：A.8.已知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，且滿足以下條件：①，其中；②，則（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意令，得，又不是常數(shù)函數(shù)，所以，再令，得，即，則，即，故，所以函數(shù)的周期為，所以，故選：D.二?多選題9.設(shè)函數(shù)，若表示不超過的最大整數(shù)，則的函數(shù)值可能是（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗AB〖解析〗因為，則，所以函數(shù)的值域是，則的范圍是，于是的函數(shù)值可能是或，故選：.10.已知，若點滿足，則下列說法正確的是（）A.點一定在內(nèi)部 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，所以，設(shè)、分別是、的中點，所以，于是點是中位線上靠近點的三等分點，則點一定在內(nèi)部，故A正確；又，所以，則，故B正確；由A可知，，且，所以，，即，故C正確；所以，故D錯誤；故選：ABC11.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.B.點是曲線的一個對稱中心C.直線也是一條對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)〖答案〗CD〖解析〗由題意函數(shù)，其對稱軸為，即，所以令，解得，對于選項A,因此錯誤；對于選項B，該函數(shù)沒有對稱中心，因此錯誤；對于選項C，令，解得，取，符合題意，因此C正確；對于選項D，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，當時，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此選項D正確.故選：CD12.若實數(shù)是方程的解，實數(shù)是方程的解，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故A正確；對于：如圖，是函數(shù)與的交點的橫坐標，實數(shù)是函數(shù)與的交點的橫坐標，因為與關(guān)于直線對稱，圖象關(guān)于直線對稱，所以兩點關(guān)于直線對稱，所以且，于是，故B正確；對于C：由上，故C錯誤；對于D：由B可知，，又在上為減函數(shù)，且，所以，而，所以成立，故D正確.故選：ABD.三?填空題13.設(shè)單位向量滿足，則值是__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：，將兩邊平方得，即，化簡得，所以.故〖答案〗：.14.鈍角中，，則的面積是__________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，解得或，因為是鈍角三角形，，所以，所以的面積是.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，設(shè)是四個互不相同的實數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗當時，，作出函數(shù)圖象，如圖所示：當時，，設(shè)，且，則由圖象得：，則由題意知，，且，，所以，即，則，所以的取值范圍是，故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則__________；的最大值是__________.〖答案〗2〖解析〗由題意得：，設(shè)函數(shù)與函數(shù)關(guān)于點對稱，則，又，則，所以，，，即，又，所以當時，的最大值是，故〖答案〗為：；.四?解答題17.已知函數(shù)最小值為，周期為.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的值域.解：（1）由題意，所以（2）由題意，因為，所以，于是，所以所以函數(shù)的值域為18.已知對應(yīng)關(guān)系.（1）若，求的值；（2）若對于區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)，在區(qū)間內(nèi)都存在唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）若，則，所以.（2）依題意，為從區(qū)間到區(qū)間的一個函數(shù)，其定義域為，值域為的子集，因此問題轉(zhuǎn)化為時，有恒成立，令，即當時，恒成立，于是對一切恒成立，而當時，，當且僅當，即時取等號，從而，所以實數(shù)的取值范圍是.19.已知是不共線的三點，且滿足，直線與交于點，若.（1）求的值；（2）過點任意作一條動直線交射線于兩點，，求最小值.解：（1）由題意畫出圖像，因為，所以且，注意到共線且共線，所以解得.（2）由（1）和圖象可知，結(jié)合.于是，所以.所以，當且僅當，即，時等號成立.于是的最小值為.20.已知函數(shù)，.（1）當時，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）給定實數(shù)且，問是否存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請說明理由.解：（1）當時，，函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：∴，又函數(shù)的定義域為，∴函數(shù)為偶函數(shù)；（2）假設(shè)存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則，∴，即，即，∴，即，∴，∴，即，∵且，∴，故存在，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．21.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè).（1）若，求線段的長；（2）已知當時，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時矩形面積的最大值是多少？解：（1），，.（2）由題意知，，，，所以當，即時，面積最大，最大值為.22.已知函數(shù)，函數(shù).令函