2024屆江西省宜春市上高縣高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省宜春市上高縣2024屆高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則.故選：B2.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．3.已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，可得.故選：C.4.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，故BC錯誤；而，故D錯誤；由于排除了BCD，而A又滿足上述性質(zhì)，故A正確.故選：A.5.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡稱“珠峰計(jì)劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學(xué)術(shù)大師.浙江大學(xué)?復(fù)旦大學(xué)?武漢大學(xué)?中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已知某班級有共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（）A.24種 B.60種 C.96種 D.240種〖答案〗B〖解析〗5位同學(xué)選擇4所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，已知同學(xué)選擇浙江大學(xué)，當(dāng)有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時，則這4位同學(xué)在4所大學(xué)中分別選了一所，共種選法；當(dāng)只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時，則這4位同學(xué)在其余3所大學(xué)中選擇，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，共種選法；所以同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有種.故選：B6.已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得：，因?yàn)樵谔幍那芯€與直線垂直，所以在處的切線斜率為，解得.故選：D.7.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動，是圓上的動點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A.13 B.11 C.9 D.8〖答案〗D〖解析〗如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)椋傻?，?dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意的均有成立.若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，設(shè)，則.在上單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，..故選：B.二?多選題9.若正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的有（）A.的最大值為1 B.的最大值為2C.的最小值為2 D.的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗對于A項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最大值為1，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為2，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2，故D項(xiàng)正確.故選：AD.10.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.“”是“，”的充分不必要條件C.用表示次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，若，，則D.一組數(shù)據(jù)，，，的平均值為，則，，，的平均值為.〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，.所以，故A正確；B選項(xiàng)，，，，，是，的必要不充分條件，故B錯誤；C選項(xiàng)，因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，，所以，，解得，故C正確；D選項(xiàng)，若數(shù)據(jù)，，，的平均值為，則，故D正確.故選：ACD11.已知正四棱柱的底面邊長為，，則（）A.平面 B.異面直線與所成角的余弦值為C.平面 D.點(diǎn)到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)題意作圖如下，A選項(xiàng)：在正四棱柱中，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：在正四棱柱中，因?yàn)?，所以異面直線與所成角即為異面直線與所成角，在中，因?yàn)椋?，，所以，故B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)：在正四棱柱中，因?yàn)椋?，，所以平面，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：在正四棱柱中，因?yàn)槠矫妫谄矫鎯?nèi)點(diǎn)到線段的距離就是點(diǎn)到平面的距離，在中，到線段的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.平分B.C.延長交直線于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)題意，由得，又由軸，得，代入得（負(fù)值舍去），則，所以，故直線為，即，依題意知經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，故聯(lián)立，解得，即，對于A，，，故，所以，又因?yàn)檩S，軸，所以，故，所以，則平分，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，故B錯誤；對于C，易得的方程為，聯(lián)立，故，又軸，所以三點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相同，則三點(diǎn)共線，故C正確；對于D，由選項(xiàng)A知，故D正確.故選：ACD..三?填空題13.若的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為，則n等于_________.〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為；令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為．由題意得，整理得，∴，解得．故〖答案〗為：．14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋援?dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以，所以，所以.故〖答案〗為:.15.已知圓，過點(diǎn)的直線被該圓所截的弦長的最小值為______.〖答案〗〖解析〗將圓的一般方程化為設(shè)圓心為，直線過點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長，當(dāng)直線與所在的直線垂直時最大，此時最小，這時，所以最小的弦長，故〖答案〗為：.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對稱.若的面積為，則雙曲線的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連，因?yàn)樗运倪呅螢榫匦?不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)，則由①得：所以，即，所以，所以離心率.故〖答案〗為：四?解答題17.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.（1）求常數(shù)的值；（2）求使成立的的取值集合.解：（1）由，得，所以，故當(dāng)時，的最大值為，故，解得.（2）由（1）得，因?yàn)?，所以，所以，，得所以的取值集合?8.已知等差數(shù)列的公差不為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）記，證明：.（1）解：由題意可知，，故，即，解得（舍去）或，.（2）證明：由（1）知，故，又，，，從而得證.19.如圖，在幾何體中，菱形所在的平面與矩形所在的平面互相垂直.（1）若為線段上的一個動點(diǎn)，證明：平面；（2）若，，直線與平面所成角的正弦值為，求的長.（1）證明：由題知，四邊形為矩形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可證平面，又因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平?又因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且，，所以△為等邊三角形，且，設(shè)，取的中點(diǎn)為，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,,的方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，，即，設(shè)直線與平面所成角為，則化簡可得，解得或，故BF的長可為或.20.為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個隊(duì)員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員對乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）（1）求甲隊(duì)明星隊(duì)員在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；（2）求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場的概率.解：（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，其中相互獨(dú)立又甲隊(duì)明星隊(duì)員前四局不出場，故，，所以.（2）設(shè)為甲3局獲得最終勝利，為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員上場比賽，由全概率公式知，，因?yàn)槊棵?duì)員上場順序隨機(jī)，故，，所以.（3）由（2），.21.已知雙曲線，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在雙曲線上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為證明：過定點(diǎn).（1）解：易知雙曲線關(guān)于軸對稱，，關(guān)于軸對稱，故，都在雙曲線上，若，，在雙曲線上，則，解得，不滿足；若，，在雙曲線上，則，解得，滿足；綜上所述：雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)直線與直線的斜率分別為，如果直線斜率不存在，則，不符合題設(shè)，設(shè)直線：，，，，聯(lián)立，整理得，，化簡得：.則，，則，整理得，即，化簡得：，解得或，當(dāng)時，直線的方程為，令時，，所以直線過定點(diǎn)，又因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，直線的方程為，當(dāng)時，，所以直線過定點(diǎn)；綜上所述：過定點(diǎn).22.已知函數(shù)，.（1）設(shè)在處的切線為，在處的切線為，若，求的值；（2）若方程有兩個實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：（1），，∵，∴，故；（2）方程，∴，則方程有兩個實(shí)根等價于與有兩個不同交點(diǎn)，令，則，當(dāng)時，，∴，故單調(diào)遞增；當(dāng)時，，∴，故單調(diào)遞減.從而，且，；，，如圖所示，故.（3）由題意，得，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)恒成立，∵，故只需在內(nèi)恒成立，令，，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，故，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，故，故在上單調(diào)遞減，，∵，∴，即，又，∴，∵，，∴單調(diào)遞增，∴∵，∴當(dāng)時，又，故，∴，∴.江西省宜春市上高縣2024屆高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則.故選：B2.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域?yàn)椋?，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．3.已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，可得.故選：C.4.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，故BC錯誤；而，故D錯誤；由于排除了BCD，而A又滿足上述性質(zhì)，故A正確.故選：A.5.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡稱“珠峰計(jì)劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學(xué)術(shù)大師.浙江大學(xué)?復(fù)旦大學(xué)?武漢大學(xué)?中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已知某班級有共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（）A.24種 B.60種 C.96種 D.240種〖答案〗B〖解析〗5位同學(xué)選擇4所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，已知同學(xué)選擇浙江大學(xué)，當(dāng)有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時，則這4位同學(xué)在4所大學(xué)中分別選了一所，共種選法；當(dāng)只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時，則這4位同學(xué)在其余3所大學(xué)中選擇，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，共種選法；所以同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有種.故選：B6.已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得：，因?yàn)樵谔幍那芯€與直線垂直，所以在處的切線斜率為，解得.故選：D.7.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動，是圓上的動點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A.13 B.11 C.9 D.8〖答案〗D〖解析〗如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)?，可得，?dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意的均有成立.若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，設(shè)，則.在上單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，..故選：B.二?多選題9.若正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的有（）A.的最大值為1 B.的最大值為2C.的最小值為2 D.的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗對于A項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最大值為1，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為2，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2，故D項(xiàng)正確.故選：AD.10.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.“”是“，”的充分不必要條件C.用表示次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，若，，則D.一組數(shù)據(jù)，，，的平均值為，則，，，的平均值為.〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，.所以，故A正確；B選項(xiàng)，，，，，是，的必要不充分條件，故B錯誤；C選項(xiàng)，因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，，所以，，解得，故C正確；D選項(xiàng)，若數(shù)據(jù)，，，的平均值為，則，故D正確.故選：ACD11.已知正四棱柱的底面邊長為，，則（）A.平面 B.異面直線與所成角的余弦值為C.平面 D.點(diǎn)到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)題意作圖如下，A選項(xiàng)：在正四棱柱中，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：在正四棱柱中，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角即為異面直線與所成角，在中，因?yàn)?，，，所以，故B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)：在正四棱柱中，因?yàn)椋?，，所以平面，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：在正四棱柱中，因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)點(diǎn)到線段的距離就是點(diǎn)到平面的距離，在中，到線段的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.平分B.C.延長交直線于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)題意，由得，又由軸，得，代入得（負(fù)值舍去），則，所以，故直線為，即，依題意知經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，故聯(lián)立，解得，即，對于A，，，故，所以，又因?yàn)檩S，軸，所以，故，所以，則平分，故A正確；對于B，因?yàn)?，故，故B錯誤；對于C，易得的方程為，聯(lián)立，故，又軸，所以三點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相同，則三點(diǎn)共線，故C正確；對于D，由選項(xiàng)A知，故D正確.故選：ACD..三?填空題13.若的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為，則n等于_________.〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為；令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為．由題意得，整理得，∴，解得．故〖答案〗為：．14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以，所以，所以.故〖答案〗為:.15.已知圓，過點(diǎn)的直線被該圓所截的弦長的最小值為______.〖答案〗〖解析〗將圓的一般方程化為設(shè)圓心為，直線過點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長，當(dāng)直線與所在的直線垂直時最大，此時最小，這時，所以最小的弦長，故〖答案〗為：.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對稱.若的面積為，則雙曲線的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連，因?yàn)樗运倪呅螢榫匦?不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)，則由①得：所以，即，所以，所以離心率.故〖答案〗為：四?解答題17.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.（1）求常數(shù)的值；（2）求使成立的的取值集合.解：（1）由，得，所以，故當(dāng)時，的最大值為，故，解得.（2）由（1）得，因?yàn)椋?，所以，，得所以的取值集合?8.已知等差數(shù)列的公差不為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）記，證明：.（1）解：由題意可知，，故，即，解得（舍去）或，.（2）證明：由（1）知，故，又，，，從而得證.19.如圖，在幾何體中，菱形所在的平面與矩形所在的平面互相垂直.（1）若為線段上的一個動點(diǎn)，證明：平面；（2）若，，直線與平面所成角的正弦值為，求的長.（1）證明：由題知，四邊形為矩形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證平面，又因?yàn)?，、平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平?又因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，，所以△為等邊三角形，且，設(shè)，取的中點(diǎn)為，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,,的方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，，即，設(shè)直線與平面所成角為，則化簡可得，解得或，故BF的長可為或.20.為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個隊(duì)員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員對乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝