北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)期中期末考試滿分全攻略 九年級(jí)下冊(cè)第3章 圓（知識(shí)清單）

九下第3章圓知識(shí)清單一、圓及與的相關(guān)的概念圓的定義1）圓：描述性定義：在平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)A所形成的軌跡。記作：“⊙O”，讀作：“圓O”，其中端點(diǎn)O叫作圓心集合性定義：圓是平面內(nèi)所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑。2）基本概念=1\*GB3①半徑：線段OA叫作圓的半徑（OB、OC也是圓的半徑）=2\*GB3②弦：圓上任意兩點(diǎn)間的線段（半徑是特殊的弦）=3\*GB3③直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦（如AB）=4\*GB3④?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分（如AC）=5\*GB3⑤半圓：圓的任一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)將圓分成兩條弧，每條弧叫作半圓=6\*GB3⑥等圓：兩個(gè)圓能完全重合（即全等，即半徑r相等）3）確定一個(gè)圓的兩要素（圓心、半徑）4）圓的任一半徑長(zhǎng)度都相等5）圓的任一直徑長(zhǎng)度都相等，且直徑長(zhǎng)度=2倍的半徑長(zhǎng)度6）等?。耗軌蛲耆睾系膬啥位∈堑然　Ｒ部烧f(shuō)在同圓或等圓中，等長(zhǎng)弧對(duì)應(yīng)的弧相等；7）C=2πrS=π注：=1\*GB3①直徑是弦，但弦不一定是直徑，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；=2\*GB3②半圓是弧，但弧不一定是半圓。通常將大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧；=3\*GB3③等弧必須以“等圓或同圓”為前提，等弧是全等的（能完全重合），不僅指弧長(zhǎng)相等，弧度也相等。2.弦與直徑、弧與半圓①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如下圖線段AC，AB；②經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如下圖線段AB；③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，“以A、C為端點(diǎn)的弧記作”，讀作“圓弧”或“弧AC”．大于半圓的弧（如圖所示叫做優(yōu)弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示）或叫做劣弧．④圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．3.同心圓和等圓同心圓：圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓。如圖2所示：圖2圖3等圓：半徑相等的圓（能夠互相重合的圓）叫做等圓。注：同圓或等圓的半徑相等。如圖3.等圓與位置無(wú)關(guān)等弧：在同圓和等圓中，等夠完全重合的弧叫做等弧。注：長(zhǎng)度相等的弧，度數(shù)相等的弧都不一定是等弧。二、圓的對(duì)稱(chēng)性1.圓的對(duì)稱(chēng)性（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)圓心的任意一條直線．（2）圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是圓心．2.弧、弦、圓心角（1）頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分成360等分，每一份的弧對(duì)應(yīng)1o的圓心角，我們也稱(chēng)這樣的弧為1o的弧．圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．（2）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．三、垂徑定理及推論和重要公式1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦、且平分弦所對(duì)的兩條弧。證明：連AO、BO∵CD⊥AB∴∠AEC=∠CEB=90°又∵OE=OE，OA=OB∴△OAE≌△OBE（HL）∴AE=EB，∴AD=BDAC=CB2）知二推三（推論）=1\*GB3①CD過(guò)圓心（直徑/半徑）；=2\*GB3②CD垂直弦AB；=3\*GB3③CD平分AB；=4\*GB3④AC=CB；=5\*GB3⑤AD=BD垂徑定理重要推論：上述5個(gè)條件中，任意2個(gè)條件成立，則其余3個(gè)條件必定成立，即“知二推三”。3）重要公式：設(shè)半徑為r，AB=a，OE=d圓中常用的輔助線：連OB，作OE垂直弦AB，構(gòu)造出直角三角形。四：圓周角定理及推論1）推論1：同弧或等弧所對(duì)圓周角相等∵同弧或等弧所對(duì)圓心角相等∴同弧或等弧所對(duì)圓周角相等2）圓周角、圓心角、弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)關(guān)系總結(jié)：在同圓或等圓中，有如下關(guān)系：即在同圓或等圓的情況下，圓周角、圓心角、弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)中任一個(gè)相等，則另外幾個(gè)條件也相等。3）推論2：半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是90°。（因?yàn)閳A心角為180°）4）推論3：兩直角三角形共斜邊，這四點(diǎn)共圓證明：∵∠A=90°∴△ACB外接圓的圓心在CB上，且CB為直徑∵∠D=90°∴△BCD外接圓的圓心在CB上，且CB為直徑∴四點(diǎn)共圓五、確定圓的條件1.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；2.一個(gè)三角形能畫(huà)一個(gè)外接圓，一個(gè)圓中有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形。3.三角形的外接圓與外心示意圖點(diǎn)和圓的位置關(guān)系經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn),叫做這個(gè)三角形的外心．從三角形外心的定義知:三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．如圖,分別作出線段AB的垂直平分線l1和線段BC的垂直平分線l2,設(shè)它們的交點(diǎn)為O,則OA＝OB＝OC．于是以點(diǎn)O為圓心,OA(或OB、OC)為半徑,便可作出經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓．因?yàn)檫^(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心只能是點(diǎn)O,半徑等等于OA,所以這樣的圓只有一個(gè)．1）經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)A可畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓。2）經(jīng)過(guò)已知兩點(diǎn)A，B作圓，可畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)，它們的圓心在線段AB的垂直平分線上3）經(jīng)過(guò)同一直線上三個(gè)點(diǎn)A、B、C的圓是不存在的。4）經(jīng)過(guò)不再同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C可畫(huà)一個(gè)圓，而且只能作一個(gè)圓。4.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有3種：圓外、圓上、圓內(nèi)2）設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則：P在圓外?d>r；P在圓上?d=r；P在圓內(nèi)?d<r六、直線與圓的位置關(guān)系1.直線和圓有幾種位置關(guān)系如圖（a），直線L和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．如圖（b），直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)．如圖（c），直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離．[2.切線的判定和性質(zhì)1、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑2、推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.3、切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線4.弦切角定理及其逆定理弦切角定理(需證明)弦切角的定義頂點(diǎn)在圓上,并且一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾得弧所對(duì)得圓心角得一半,等于它所交得弧所對(duì)得圓周角得度數(shù)．如圖所示,線段PT所在的直線切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角．證明過(guò)程略.弦切角定理逆定理(需證明)弦切角定理逆定理如右圖,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,則PA是△ABC的外接圓的切線.證明:只要用切線的定義,要證AP垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑,先作過(guò)A點(diǎn)的直徑,連接DB,則∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°.所以PA是圓O的切線.七、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)與切線長(zhǎng)定理八、圓內(nèi)接正多邊形把圓分成n(n≥3)等份：(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；(2)經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形．九.正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心就是對(duì)稱(chēng)中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓HYPERLINK和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.十、正多邊形的相關(guān)計(jì)算設(shè)正n邊形的半徑長(zhǎng)為Rn、中心角為αn、邊長(zhǎng)為an、邊心距為rn，則利用等腰三角形OAB，通過(guò)解直角三