2024年高考數(shù)學(xué)文科試卷(附答案)

2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）一、單選題1．集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意得，對(duì)于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選A2．設(shè)，則（

）A． B．1 C．-1 D．2【答案】D【解析】根據(jù)題意得，，故.故選D3．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】實(shí)數(shù)滿足，作出可行域如圖：由可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時(shí)，有最小值，此時(shí)直線過點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即，則.故選D.4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【解析】方法1：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選D方法2：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選D方法3：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論甲乙的位置，得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.【解析】當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選B6．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.【解析】根據(jù)題意，、、，則，，，則，則.故選C.7．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出切線方程，再求出切線的截距，從而可求面積.【解析】，所以，故切線方程為，故切線的橫截距為，縱截距為，故切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為故選A.8．函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【解析】，又函數(shù)定義域?yàn)?，故該函?shù)為偶函數(shù)，AC錯(cuò)誤，又，D錯(cuò)誤.故選B.9．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【解析】因?yàn)?，所以，，所以，故選B.10．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，且.下列四個(gè)命題：①若，則或

②若，則③若，且，則

④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【解析】①，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，則且，①正確；②，若，則與不一定垂直，②錯(cuò)誤；③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因?yàn)?，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則平面，因?yàn)槠矫?，，則，又因?yàn)?，則，③正確；④，若與和所成的角相等，如果，則，④錯(cuò)誤；①③正確，故選A.11．在中內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【解析】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得.根據(jù)余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選C.二、填空題12．函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【分析】結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.答案為：213．已知，，則．【答案】64【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.【解析】由題，整理得，或，又，所以，故答案為：64.14．曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【解析】令，即，令則，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，因?yàn)榍€與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.答案為：三、解答題15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求.【解析】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式得.16．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.【答案】(1)見詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作，連接，易證三垂直，結(jié)合等體積法即可求解.【解析】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，為中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，等體積法可得，，，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，解得，即點(diǎn)到的距離為.17．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時(shí)，即可.【解析】（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），且時(shí)，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證18．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得，故可證軸.【解析】（1）設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，所以橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.19．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點(diǎn)，若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可得的直角方程.（2）將直線的新的參數(shù)方程代入的直角方程，法1：結(jié)合參數(shù)的幾何意義可得關(guān)于的方程，從而可求參數(shù)的值；法2：將直線的直角方程與曲線的直角方程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求的值.【解析】（1）由，將代入，故可得，兩邊平方后可得曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）對(duì)于直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得直線的普通方程為.法1：直線的斜率為，故傾斜角為，故直線的