新教材2021秋高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)學(xué)案：2 .3 .2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

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2.3.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否

課程1.能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定

標(biāo)準(zhǔn)2.能正確使用全稱易詞對(duì)存在量同命題進(jìn)行否定

》基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)《

概念認(rèn)知

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

原命題否定

VxGM,p(x)mx￡M,中(x)

3xGM,p(x)Vx￡M,沖⑺

注：，(x)”是對(duì)語(yǔ)句“p(x)”的否定

2.命題與其否定的真假關(guān)系

對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定，就得到了一個(gè)新的命題.這兩個(gè)命題的關(guān)系是

“一真一假”或“此假彼真”.

自我小測(cè)

1.命題p："VxGR,x2+2x+1>0”的否定是()

AVxGR,x2+2x+l<0

B.3xGR，使得x2+2x+l<0

C.mx￡R，使得x2+2x+l>0

D.3xGR，使x?+2x+l<0

選B.由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，可得命題p:"VxGR,

x2+2x+1>0”的否定是Tx￡R,使得x2+2x+1<0,?.

2.3m,nGZ，使得m?=產(chǎn)+2020的否定是（）

A.Vm,n￡Z,使得m2=n2+2020

B.mm,n￡Z,使得m7n2+2020

C.Vm,nGZ,者B有m2^n2+2020

D.以上都不對(duì)

選C.這是一個(gè)存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，形式是：Vm,

nGZ,都有mW+2020.

3.命題“VxGN,x2>l”的否定為（）

A.VxGN,x2<lB.3xGN,x2<l

C.VxEN,x2<lD.3xGN,x2<l

選B.因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以，命題“VxEN,

x2>l”的否定為叼xEN,x2<l,5.

4.命題TxGR,x2+2x+3=0”的否定是_______.

因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以命題TxGR,x2+

2x+3=0”的否定是“VxGR,x2+2x+3網(wǎng)”.

答案：VxER,x2+2x+3#0

5.命題“Vx￡R,|x-2|+|x-4|>3"的否定是________.

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,全稱量詞“任意”改為存在量詞

“存在"并把結(jié)論否定.

答案：3xER，使得|x-2|+|x-4|<3

6.命題“三x￡Q*=5"的否定是________，該命題的否定是_________

命題.(康真"或“假”)

FxGQ*=5"的否定是“xGQ*卻”因?yàn)橛蓌2=5解得x=±^

尬,所以該命題的否定是真命題.

答案：VX￡Q,X2R5真

7.設(shè)集合A={1,2,4,6,8,10,12},試寫出下列命題的否定,

并判斷其真假：

(l)p:VnGA,n<12.

(2)q：3x￡{x|x是奇數(shù)},xGA.

(l)-p:2nGA,n>12.

因?yàn)楫?dāng)n=12時(shí)，-p成立，所以-p是真命題.

(2)-q:Vx￡{x|x是奇數(shù)},x《A.

-q是假命題.

除學(xué)情診斷?課時(shí)測(cè)評(píng)《

基礎(chǔ)全面練

一、單選題

1.(2021?淮安高一檢測(cè))命題“Vx￡[0,+8)4+xNO”的否定是()

A.VXG(-OO,0),X3+X<0

B.VXG(-OO,0),X3+X>0

C.2xG[0,+oo),x3+x<0

D.2xG[O,+oo),x3+x>0

選C.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.否定形式為mxG[O,+

oo),x3+x<0.

2.命題石xE(O,+8),x+JN3”的否定是()

A.

A.2xG(O,+oo),x+-<3

X

B.2xG(O,+oo),x+-<3

X

C.VxG(O,+oo),x+-<3

X

D.VxG(O,+oo),x+~<3

X

選C.命題Tx￡(0,+8),x+JN3”的否定是：否定存在量詞和結(jié)論,

故為：vxE(O,+8),x+J<3.

X.

3.命題“VxEZ,x￡R”的否定是（）

A.VxGZ,xCRB.3xEZ,xER

C.VxqZ,xqRD.3xEZ,xCR

選D.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,所以“VxEZ,x￡R”的

否定是三x￡Z,x《R.

4.命題“有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”的否定是（）

A.VxGR,|x|>0B.3xGR,|x|>0

C.VxER,|x|<oD.axGR,|x|<0

選c.“有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”的否定是“VxER,|x|或”.

5.設(shè)命題p:所有高一學(xué)子學(xué)習(xí)態(tài)度都是認(rèn)真的，則p的否定為（）

A.所有高一學(xué)子學(xué)習(xí)態(tài)度都是不認(rèn)真的

B.有的高一學(xué)子學(xué)習(xí)態(tài)度是認(rèn)真的

C.有的高一學(xué)子學(xué)習(xí)態(tài)度是不認(rèn)真的

D.學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真的不都是高一學(xué)子

選C.命題p為全稱量詞命題，則p的否定是存在量詞命題,即有的

高一學(xué)子學(xué)習(xí)態(tài)度是不認(rèn)真的.

6.下列全稱量詞命題的否定是假命題的個(gè)數(shù)是（）

①所有能被3整除的數(shù)都能被6整除；

②所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；

③三角形的外角至少有兩個(gè)鈍角.

A.0B.1C.2D.3

選B.①該命題的否定：存在能被3整除的數(shù)不能被6整除”如3是能

被3整除，不能被6整除的數(shù)，這是一個(gè)真命題；②該命題的否定：

3x=OGR,|0|=0,不是正數(shù)，這是一個(gè)真命題；③該命題的否定：

存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角，這是一個(gè)假命題.

二、多選題

7.對(duì)下列命題的否定說(shuō)法正確的是（）

A.p：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；p的否定：存在一個(gè)能被2整除的數(shù)

不是偶數(shù)

B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形

C.p：有的三角形為正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三

角形

D.p：3nGN,n2<100；p的否定：VnGN,n2>100

選ABD.A,B,D的說(shuō)法正確；C的說(shuō)法錯(cuò)誤,選項(xiàng)C中命題的否定：

所有的三角形都不是正三角形.

8.下列命題的否定正確的是（）

A.存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使-2x2+x-4=0

B.Vn￡N*,2n2+5n+2能被2整除

c.存在偶數(shù)2n是7的倍數(shù)

D.任意兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)

選ABD.因?yàn)锳=1-4x(-2)x(-4)=-31<0,故方程-2x?+x-4=

0無(wú)解,故A存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使-2x2+x-4=0,錯(cuò)誤，其否定正確；

當(dāng)n=1時(shí)2n2+5n+2不能被2整除B錯(cuò)誤其否定正確28=2x14,

故存在偶數(shù)2n是7的倍數(shù)，故C正確，其否定錯(cuò)誤；無(wú)理數(shù)也與1

-理的和是1,是有理數(shù)，故D錯(cuò)誤，其否定正確.

三、填空題

9.命題TxGR,x>2"的否定是_______.

因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以，命題xGR,x

>2”的否定是：VxGR,x<2.

答案：VxER,x<2

II

命題Tx>-1,x2+x-2019>0”的否定是_______.

該命題的否定是“Vx>-1,x2+x-201900”.

答案：Vx>-1,x2+x-2019<0

10.若命題Tx<2021,x>a”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

由于命題Tx<2021,x>a”是假命題,因此其否定“Vx<2021,

xSa”是真命題，所以a>2021.

答案：a>2021

四、解答題

11.寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

(l)p:VxGR,x2-x+1>0；

(2)q:所有的正方形都是矩形；

(3)r：3xGR,x2+3x+7<0；

(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x3+1=0.

1i(1}2

(l)-p:2xGR,x2-x+<0.因?yàn)閂xGR,x2-x+=lx-2I>0

恒成立，所以-p是假命題.

(2)-q:至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題.

(3)寸：VxGR,x2+3x+7〉0.因?yàn)閂xGR,x?+3x+7=[x+*+

19

y>0恒成立，所以寸是真命題.

(4)-s：VxER,x3+1聲0.因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，x3+1=0,所以-s是假命

題.

12.寫出下列命題的否定，并判斷其真假.

(1)不論m取何實(shí)數(shù),方程X?+x-m=0必有實(shí)數(shù)根；

(2)所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；

⑶某些梯形的對(duì)角線互相平分.

⑴其否定是：存在實(shí)數(shù)m，使得方程x2+x-m=0沒(méi)有實(shí)根,是真

命題；

⑵其否定是：存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除，是假命

題；

（3）其否定是：所有梯形的對(duì)角線都不互相平分，是真命題.

綜合突破練

一、選擇題

1.（2021.南京高一檢測(cè)）命題TmER，使方程x2+mx+l=0有實(shí)數(shù)

根”的否定是（）

A.3mGR，使方程x2+mx+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根

B.不存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根

C.VmER，使方程x2+mx+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根

D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實(shí)數(shù)根

選C存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.一方面要改量詞即"三”

改為“V”；另一方面要否定結(jié)論即“有實(shí)數(shù)根”改為“無(wú)實(shí)數(shù)根”.

2.已知命題p:3xG{x|l<x<3},x-a>0；若-p是真命題,貝U實(shí)數(shù)

a的取值范圍是（）

A.a<1B.a>3

C.a<3D.a>3

選D.-p是真命題，所以p是假命題；

所以mxE{x|l<x<3},x-a>0無(wú)解；

所以當(dāng)1<x<3時(shí)，a<x不成立，所以a>3.

3.下列命題：⑴沒(méi)有男生爰踢足球；⑵所有男生都不爰踢足球；(3)

至少有一個(gè)男生不愛(ài)踢足球；(4)所有女生都爰踢足球；

其中是命題“所有男生都爰踢足球”的否定的是()

A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

選C.只要有一個(gè)男生不爰踢足球，就不能說(shuō)所有的男生都爰踢足球；

所以命題“所有男生都爰踢足球”的否定是“至少有一個(gè)男生不愛(ài)踢足

球，.

二、填空題

4.命題“存在實(shí)數(shù)x,y,使得x+y>1”，用符號(hào)表示為

此命題的否定是_______是_______命題(填“真”或"假").

此命題用符號(hào)表小為三x,yGR,X+y>1,此命題的否定是Vx,yGR,

x+y<l,

原命題為真命題，所以它的否定為假命題.

答案：mx,y￡R,x+y>1Vx,yER,x+y<l假

5.命題”對(duì)于任意三個(gè)正數(shù)a,b,c,三個(gè)數(shù)a+(,b+1,c+；中

UCd

至少有一個(gè)不小于2”的否定是

該命題的否定：存在三個(gè)正數(shù)a,b,c,三個(gè)數(shù)a+1,b+7,c+1

UCd

全小于2.

答案：存在三個(gè)正數(shù)a,b,c,三個(gè)數(shù)a+r,b+1,c+1全小于2

DCd.

三、解答題

6.寫出下列命題的否定，并判斷真假：

⑴被8整除的數(shù)能被4整除；

11_

(2)Vx￡Q,§x?+]x+1是有理數(shù)；

(3)3xER,x2+2x+3<0.

⑴該命題的否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除，這是

一個(gè)假命題.

(2)該命題的否定：3xEQ,1x2+1x+1

不是有理數(shù)，這是一個(gè)假命題.

(3)該命題的否定：VxER,x2+2x+3>0.

因?yàn)閂xGR,x2+2x+3=(x+l)2+2>2>0恒成立，所以這是一個(gè)真

命題.

—”肺素養(yǎng)培優(yōu)練o

(60分鐘90分)

一、選擇題(每小題5分，共45分，多選題全部選對(duì)的得5分，選對(duì)

但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

1.（2021?蘇州高一檢測(cè)）命題“VxER,3n￡N*,使得應(yīng)x?”的否定

形式是（）

A.VxGR,3n￡N*，使得n<x2

B.VxGR,Vn￡N*,使得n<x2

c.axGR,an￡N*,使得n<x2

D.3xGR,Vn￡N*,使得n<x2

選D.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.命題否定時(shí)V改為三,

3改為V,nN?改為nvx?.

2.命題“Vx>l,F>1”的否定是（）

A.2x>l,<1B.Vx>l,正<1

C.2x<l,y[x<1D.Vx<l,-\[x<1

選A.命題Vx>l,-\/x>1,為全稱量詞命題,其否定為存在量詞命題,

故其否定為mx>l,<1.

3.命題“已知y=|x|-1,VxGR都有mgy”是真命題，則實(shí)數(shù)m的

取值范圍是（）

A.m>-1B.m>-1

C.m<-1D.m<-1

選C.由已知y=|x|-1,得yN-1,要使Vx￡R,都有m<y成立，只

需mg-1.

4.命題TXECRQ,x3￡Q”的否定是（）

A.aXGCRQ,x3^QB.aX田RQ,X3EQ

C.VX由RQ,x3^QD.VXECRQ,x3^Q

選D.因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以命題TXGCRQ,

XECRQ,x34Q”.

5.（2021.沙市高一檢測(cè)）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.VxGR,1-x2<0

B."x>2且y>3”是“x+y>5”的充要條件

C.3XGQ,X2=2

D.“x=2”的一個(gè)必要不充分條件是以2-2x=0”

選D.A錯(cuò)誤，VxGR,1-x2<1；

B錯(cuò)誤，當(dāng)x=1,y=5時(shí),x+y>5，但是x<2，所以“x+y>5"=/"x>2

且y>3”;

c錯(cuò)誤，由x2=2得X=±^2,所以不存在平方等于2的有理數(shù)；

D正確,ux2-2x=0"Qx=2或x=0,所以'52-2x=0"是"x=2”的必

要不充分條件.

6命題Tx>0,x+a-1=0”是假命題廁實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.|a|a<1}B.{a|a<l}

C.{a|a>1}D.{a|a>l}

選D.命題Tx>O,x+a-l=0”是假命題,所以此命題的否定為“Vx

>0,x+a-1R0”,即Vx>0,x^l-a.所以1-a<0,即aNl.所以實(shí)數(shù)

a的取值范圍是{a|aNl}.

7.（多選）下列語(yǔ)句是存在量詞命題的是（）

A.所有無(wú)理數(shù)的平方都是有理數(shù)

B.有的無(wú)理數(shù)的平方不是有理數(shù)

C.對(duì)于任意nGN,2n-1是奇數(shù)

D.存在n￡N,2n+l是偶數(shù)

選BD.因?yàn)椤八小薄叭我狻睘槿Q量詞，所以選項(xiàng)A,C為全稱量詞命

題「'有的”“存在”為存在量詞，所以選項(xiàng)B,D為存在量詞命題.

8.（多選）在下列命題中，為真命題的是（）

A.3xGR,x2+x+3=O

B.VxEQ,|x2+|x+1是有理數(shù)

C.2x,yGZ，使3x-2y=10

D.VxGR,x2>|x|

（八2ii

選BC.A中，x2+x+3=[x+]J+y>0,故A是假命題；

B中，X￡Q,；X2+；X+1一定是有理數(shù)，故B是真命題；

C中，x=4,y=l時(shí)，3x-2y=10成立，故C是真命題；

D中，當(dāng)x=0時(shí)，左邊二右邊二0,故D為假命題.

9.（多選）（2021.無(wú)錫高一檢測(cè)）命題“已知y二|x|-1,當(dāng)mEA時(shí),

VxGR都有m<y恒成立"，則集合A可以是（）

A.[-1,+oo）B.（-oo,-1]

C.（-1,+oo）D.（-oo,-1）

選BD.由已知y=岡-1,得yN-1,要使VxER,都有m<y成立，

只需mg-1,由于選項(xiàng)D為選項(xiàng)B的子集.故選BD.

二、填空題（每小題5分，共15分）

10.若命題TxGR,2x2+3x+agO”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是________?

因?yàn)槊}TxGR,2x2+3x+aSO”是假命題，所以其否定“xGR,

2x2+3x+a>0”是真命題，等價(jià)于方程2x2+3x+a=0無(wú)實(shí)根，所以A

9

2

=3-4x2xa<0,解得a>so.

答案:{a|a>|j

11.命題p?3x￡R,x?+2x+5<0是_______（填"全稱量詞命題”或

“存在量詞命題”），它是__________（填“真”或"假"）命題,-p:_________

它是________（填嗔"或假'）命題.

命題p:3xGR,x2+2x+5<0是存在量詞命題.

因?yàn)閤2+2x+5=(x+I)2+4>0怛成立，所以命題p是假命題.

-p:VxER,x2+2x+5>0是真命題.

答案：存在量詞命題假VxGR,x2+2x+5>0真

12.根據(jù)下述事實(shí)，得到含有量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題為

13+23=(1+2)2,

13+23+33=(1+2+3)2,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2,

I3+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2,

根據(jù)已知等式可得，

對(duì)于任意n￡?4*且n>2，總有l(wèi)3+23+33+...+n3=(1+2+3+...+

n)2,

所以得到如下全稱量詞命題：Vn￡N*且nN2,

l3+23+33+...+n3=(l+2+3+...+n)2.

答案：Vn￡N*且nN2,I3+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2

三、解答題(每小題10分