蘇教版初升高一初數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)專題02乘法公式-初升高數(shù)學(xué)無憂銜接(學(xué)生版+解析)

專題02乘法公式專題專題綜述課程要求初中對于乘法公式的講解，主要集中在基礎(chǔ)的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及兩個(gè)特殊公式（完全平方、平方差）。相較于初中的乘法公式學(xué)習(xí)，高中的要求相對上升不少，在原來的基礎(chǔ)上增加了一部分公式，主要有三項(xiàng)式和的平方、立方和公式、立方差公式、兩數(shù)和的立方、兩數(shù)差的立方等。課程要求課程要求《初中課程要求》1、能夠熟練掌握并運(yùn)用多項(xiàng)式乘法；2、能夠根據(jù)多項(xiàng)式乘法，推導(dǎo)出完全平方公式和平方差公式；3、能從廣義上理解兩個(gè)特殊公式中字母的含義。《高中課程要求》1、在掌握多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固提升；2、能夠掌握三項(xiàng)和的平方、立方和、立方差、兩數(shù)和（差）的平方公式等；3、合理運(yùn)用公式理解公式意義。知識(shí)精講知識(shí)精講初中知識(shí)儲(chǔ)備：乘法公式初中知識(shí)儲(chǔ)備：乘法公式備：絕對值我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式（a+b（2）完全平方公式（a±b高中增加知識(shí)：乘法公式高中增加知識(shí)：乘法公式備：絕對值我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（a+b（2）立方差公式（a?b（3）三數(shù)和平方公式（a+b+c（4）兩數(shù)和立方公式（a+b（5）兩數(shù)差立方公式（a?b典例剖析典例剖析例題1．對于實(shí)數(shù)a，b，c定義一種新運(yùn)算，規(guī)定例如：（1）求；（2）如圖，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．連接AF和AD，求圖中陰影部分的面積；（3）若，求的值．

變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1.甲、乙兩人各持一張分別寫有整式、的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的對話：甲：我的卡片上寫著整式，加上整式后得到最簡整式；乙：我用最簡整式加上整式后得到整式．根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）求整式和；（2）請判斷整式和整式的大小，并說明理由．能力提升能力提升1.數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．猜想證明：∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，∴；②當(dāng)，即時(shí)，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)日僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．猜想運(yùn)用：（1）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？變式探究：（2）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最??？最小值是多少？拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？

對點(diǎn)精練對點(diǎn)精練1．利用乘法公式判斷，下列等式何者成立？（）A． B．C． D．2．如圖，有10個(gè)形狀大小一樣的小長方形①，將其中的3個(gè)小長方形①放入正方形②中，剩余的7個(gè)小長方形①放入長方形③中，其中正方形②中的陰影部分面積為22，長方形③中的陰影部分面積為96，那么一個(gè)小長方形①的面積為（）A．5 B．6 C．9 D．103．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．4．如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測得陰影部分面積為2，圖2將正方形AB并列放置后構(gòu)造新正方形，測得陰影部分面積為20，若將3個(gè)正方形A和2個(gè)正方形B并列放置后構(gòu)造新正方形如圖3，（圖2，圖3中正方形AB紙片均無重疊部分）則圖3陰影部分面積（）A．22 B．24 C．42 D．445．如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長為3米的正方形，現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．56．把面積為，的小正方形和面積為的兩個(gè)長方形拼成如圖所示的大正方形．那么，大正方形的邊長為_____．（，）7．如圖，長方形的面積為5，且長比寬多3，以該長方形中相鄰的兩邊為邊長向外作兩個(gè)正方形（如圖所示），則這兩個(gè)正方形（陰影部分）的面積之和為________．8．計(jì)算：（1）若x滿足則的值為____；（2）如上圖，，長方形的面積是50，四邊形和以及都是正方形四邊形是長方形，則圖中正方形的面積為_______．9．如圖，長方形的邊，E是邊上的一點(diǎn)，且，F(xiàn)，G分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)以，為邊作長方形，以為邊作正方形，點(diǎn)H，I均在長方形內(nèi)部．記圖中的陰影部分面積分別為，長方形和正方形的重疊部分是四邊形，當(dāng)四邊形的鄰邊比為3∶4，的值為________．10．如圖，把三個(gè)大小相同的正方形放在邊長為7的大正方形中，重疊部分的正方形面積分別記為a和c，延長線構(gòu)成的正方形面積記為b，若，且，則圖中陰影部分面積的值為_________．11．用冪的性質(zhì)計(jì)算：．12．已知，化簡并求值：．13．某公園對一個(gè)邊長為a（a＞1）的正方形花壇進(jìn)行改造，由于占地需要，正方形花壇南北方向需要縮短1米，使其形狀成為長方形．為了使花壇中的綠植面積不變，公園決定將花壇向東側(cè)擴(kuò)展，使得到的長方形面積和原來正方形的面積相等．（1）小明說：這太簡單了，把正方形南北方向減少1米，在花壇東側(cè)增加1米就行了．這樣得到的長方形的周長和面積與原來正方形的周長和面積都相等．你認(rèn)為小明說的對嗎？請你說明理由．（2）如果原來正方形的花壇邊長是5米，在只保證面積不變的情況下，請你計(jì)算出改造后，向東擴(kuò)展了多少米？（3）如果正方形的花壇邊長是a米，在只保證面積不變的情況下，請你用代數(shù)式表示出改造后長方形的長．14．在數(shù)學(xué)課上，老師說統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一種，好學(xué)的小聰通過網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：對于兩個(gè)數(shù)a，b，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)．小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問題，下面是他的探究過程，請你補(bǔ)充完整：（1）若a=-1，b=-2，則M=，N=，P=；（2）小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)a，b兩數(shù)異號(hào)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)N沒有意義，所以決定只研究當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)這三種平均數(shù)的大小關(guān)系．結(jié)合乘法公式和勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問題：如圖，畫出邊長為a+b的正方形和它的兩條對角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示N2．①請分別在圖2，圖3中用陰影標(biāo)出一個(gè)面積為M2，P2的圖形；②借助圖形可知當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)，M，N，P的大小關(guān)系是：（把M，N，P從小到大排列，并用“＜”或“≤”號(hào)連接）．15．現(xiàn)定義運(yùn)算，對于任意有理數(shù)a，b，都有如：，．（1）若，求x的取值范圍；（2）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，計(jì)算：．專題02乘法公式專題專題綜述課程要求初中對于乘法公式的講解，主要集中在基礎(chǔ)的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及兩個(gè)特殊公式（完全平方、平方差）。相較于初中的乘法公式學(xué)習(xí)，高中的要求相對上升不少，在原來的基礎(chǔ)上增加了一部分公式，主要有三項(xiàng)式和的平方、立方和公式、立方差公式、兩數(shù)和的立方、兩數(shù)差的立方等。課程要求課程要求《初中課程要求》1、能夠熟練掌握并運(yùn)用多項(xiàng)式乘法；2、能夠根據(jù)多項(xiàng)式乘法，推導(dǎo)出完全平方公式和平方差公式；3、能從廣義上理解兩個(gè)特殊公式中字母的含義?！陡咧姓n程要求》1、在掌握多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固提升；2、能夠掌握三項(xiàng)和的平方、立方和、立方差、兩數(shù)和（差）的平方公式等；3、合理運(yùn)用公式理解公式意義。知識(shí)精講知識(shí)精講初中知識(shí)儲(chǔ)備：乘法公式初中知識(shí)儲(chǔ)備：乘法公式備：絕對值我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式（a+b（2）完全平方公式（a±b高中增加知識(shí)：乘法公式高中增加知識(shí)：乘法公式備：絕對值我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（a+b（2）立方差公式（a?b（3）三數(shù)和平方公式（a+b+c（4）兩數(shù)和立方公式（a+b（5）兩數(shù)差立方公式（a?b典例剖析典例剖析例題1．對于實(shí)數(shù)a，b，c定義一種新運(yùn)算，規(guī)定例如：（1）求；（2）如圖，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．連接AF和AD，求圖中陰影部分的面積；（3）若，求的值．

【答案】（1）15；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程，得到，運(yùn)用完全平方公式可得，再把這兩個(gè)條件代入陰影面積的代數(shù)式可得；（3）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程，配方得，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】（1）=故答案為：15（2）又（3），【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：新定義運(yùn)算、乘法公式．熟練掌握完全平方公式是關(guān)鍵．變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1.甲、乙兩人各持一張分別寫有整式、的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的對話：甲：我的卡片上寫著整式，加上整式后得到最簡整式；乙：我用最簡整式加上整式后得到整式．根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）求整式和；（2）請判斷整式和整式的大小，并說明理由．【答案】（1）；；（2）；答案見解析．【分析】（1）依題意可得，代入各式即可求解；（2）化簡，根據(jù)配方法的應(yīng)用即可求解．【詳解】解：（1）．∵，∴．（2）．理由：．∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的加減及配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的應(yīng)用．能力提升能力提升1.數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．猜想證明：∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，∴；②當(dāng)，即時(shí)，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)日僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．猜想運(yùn)用：（1）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最??？最小值是多少？變式探究：（2）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？

【答案】（1），函數(shù)的最小值為2；（2），函數(shù)的最小值為5；（3）每間隔離房長為米，寬為米時(shí)，的最大值為【分析】猜想運(yùn)用：根據(jù)材料以及所學(xué)完全平方公式證明求解即可；變式探究：將原式轉(zhuǎn)換為，再根據(jù)材料中方法計(jì)算即可；拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意列出方程，然后根據(jù)兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系探究最大值即可．【詳解】猜想運(yùn)用：∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，只取，即時(shí)，函數(shù)的最小值為2．變式探究：∵，∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，（舍去），即時(shí)，函數(shù)的最小值為5.拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，即每間隔離房長為米，寬為米時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用完全平方公式并參照材料中步驟進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新探究題．對點(diǎn)精練對點(diǎn)精練1．利用乘法公式判斷，下列等式何者成立？（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式的特征進(jìn)行判斷，然后根據(jù)公式特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：A、不符合完全平方公式的特征且計(jì)算錯(cuò)誤，完全平方公式的中間一項(xiàng)為，所以不符合題意；B、不符合完全平方公式特征且計(jì)算錯(cuò)誤，最后一項(xiàng)應(yīng)為，所以不符合題意；C、，所以符合題意；D、不符合完全平方公式特征且計(jì)算錯(cuò)誤，最后一項(xiàng)應(yīng)為，所以不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的特征，識(shí)記且熟練運(yùn)用完全平方公式：是解答問題的關(guān)鍵．2．如圖，有10個(gè)形狀大小一樣的小長方形①，將其中的3個(gè)小長方形①放入正方形②中，剩余的7個(gè)小長方形①放入長方形③中，其中正方形②中的陰影部分面積為22，長方形③中的陰影部分面積為96，那么一個(gè)小長方形①的面積為（）A．5 B．6 C．9 D．10【答案】A【分析】設(shè)①小長方形的長為，寬為b，根據(jù)正方形陰影面積=正方形面積-3個(gè)小長方形面積=22根根據(jù)大長方形陰影面積為長為，寬為的長方形面積-7個(gè)小長方形面積=96列方程求出即可．【詳解】解：設(shè)①小長方形的長為，寬為b，根據(jù)②正方形邊長為，陰影面積為，根據(jù)③大長方形的長為，寬為，陰影面積為，∴聯(lián)立得，整理得，解得，一個(gè)小長方形①的面積為5．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查圖形陰影面積應(yīng)用問題，多項(xiàng)式乘法與圖形面積，完全平方公式，仔細(xì)分析圖形，從中找出等量關(guān)系，正方形陰影面積=正方形面積-3個(gè)小長方形面積=22，大長方形陰影面積為長為，寬為的長方形面積-7個(gè)小長方形面積=96，列方程組是解題關(guān)鍵．3．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積+一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上底為a,下第為b,高為（a+b）的梯形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷A，利用以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長為c的小正方形面積和=以a+b的和為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷B，利用以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長為（b-a）的小正方形面積和=以c為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷C，利用四個(gè)小圖形面積和=大正方形面積推導(dǎo)完全平方公式可判斷D．【詳解】解：A、∵兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積+一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上底為a,下第為b,高為（a+b）的梯形面積，∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長為c的小正方形面積和=以a+b的和為邊正方形面積，∴4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長為（b-a）的小正方形面積和=以c為邊正方形面積，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵四個(gè)小圖形面積和=大正方形面積，∴ab+b2+a2+ab=（a+b）2，∴a2+2ab+b2=（a+b）2，根據(jù)圖形證明完全平方公式，不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式，掌握利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式是解題關(guān)鍵．4．如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測得陰影部分面積為2，圖2將正方形AB并列放置后構(gòu)造新正方形，測得陰影部分面積為20，若將3個(gè)正方形A和2個(gè)正方形B并列放置后構(gòu)造新正方形如圖3，（圖2，圖3中正方形AB紙片均無重疊部分）則圖3陰影部分面積（）A．22 B．24 C．42 D．44【答案】C【分析】由圖1可知，陰影部分面積a2﹣b2＝2，圖2可知，陰影部分面積（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，進(jìn)而得到ab＝10，由圖3可知，陰影部分面積（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．【詳解】解：設(shè)正方形A、B的邊長分別為a、b，由圖1可知，陰影部分面積a2﹣b2＝2，圖2可知，陰影部分面積（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由圖3可知，陰影部分面積為（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解圖形的構(gòu)成，正確掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．5．如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長為3米的正方形，現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長為3米的正方形，可得m+n=22，再根據(jù)長方形面積公式可得mn=120，再根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】解：∵花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長為3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式．6．把面積為，的小正方形和面積為的兩個(gè)長方形拼成如圖所示的大正方形．那么，大正方形的邊長為_____．（，）【答案】【分析】先根據(jù)圖形求出大正方形的面積，從而求出大正方形的邊長即可．【詳解】解：觀察圖形可知大正方形的面積為：則大正方形的邊長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減法，完全平方公式的逆用，熟記公式并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7．如圖，長方形的面積為5，且長比寬多3，以該長方形中相鄰的兩邊為邊長向外作兩個(gè)正方形（如圖所示），則這兩個(gè)正方形（陰影部分）的面積之和為________．【答案】19【分析】由于AD-AB=3，AD?AB=5，利用完全平方公式求出AD2+AB2，結(jié)論可得．【詳解】解：∵長AD比寬AB多3，∴AD-AB=3．∵長方形ABCD的面積為5，∴AD?AB=5．∵（AD-AB）2=AD2-2AD?AB+AB2，∴AD2+AB2=（AD-AB）2+2AD?AB=9+10=19．∴S陰影＝AD2+AB2=19．故答案為：19．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，對完全平方公式適當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵．8．計(jì)算：（1）若x滿足則的值為____；（2）如上圖，，長方形的面積是50，四邊形和以及都是正方形四邊形是長方形，則圖中正方形的面積為_______．【答案】120204【分析】（1）設(shè)（30-x）=m，（x-20）=n，求出mn和m+n，利用完全平方公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)正方形ABCD的邊長為x，AE=2，CG=4，所以DE=x-2，DG=x-4，得到（x-2）（x-4）=50，設(shè)x-2=a，x-4=b，從而得到ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，根據(jù)題意求出（a+b）2，即可求出正方形NFMP的面積．【詳解】解：（1）設(shè)（30-x）=m，（x-20）=n，∴（30-x）（x-20）=mn=-10，∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，∴（30-x）2+（x-20）2，=m2+n2，=（m+n）2-2mn，=102-2×（-10）=120；（2）∵正方形ABCD的邊長為x，AE=2，CG=4，∴DE=x-2，DG=x-4，∴（x-2）（x-4）=50，設(shè)x-2=a，x-4=b，∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，則（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，∴正方形NFMP的面積為：204，故答案為：（1）120；（2）204．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化應(yīng)用．9．如圖，長方形的邊，E是邊上的一點(diǎn)，且，F(xiàn)，G分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)以，為邊作長方形，以為邊作正方形，點(diǎn)H，I均在長方形內(nèi)部．記圖中的陰影部分面積分別為，長方形和正方形的重疊部分是四邊形，當(dāng)四邊形的鄰邊比為3∶4，的值為________．【答案】7或【分析】利用長方形及正方形的性質(zhì)可求解KI=2DG-10，KH=DG-3，根據(jù)當(dāng)長方形KILH的鄰邊的比為3：4可求解DG的長，再利用DG的長分別求解AF，CG，AJ的長，進(jìn)而可求解，注意分類討論．【詳解】解：在長方形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=13．∵四邊形DGIJ為正方形，四邊形BFHE為長方形，BF=DG，∴四邊形KILH為長方形，KI=HL=2DG-AB=2DG-10．∵BE=BA=10，∴LG=EC=3，∴KH=IL=DG-LG=DG-3．當(dāng)長方形KILH的鄰邊的比為3：4時(shí)，（DG-3）：（2DG-10）=3：4，或（2DG-10）：（DG-3）=3：4，解得DG=9或，當(dāng)DG=9時(shí)，AF=CG=1，AJ=4，∴S1+S2=AF?AJ+CE?CG=1×4+1×3=7；當(dāng)DG=時(shí)，AF=CG=，AJ=，∴S1+S2=AF?AJ+CE?CG==故答案為7或．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．10．如圖，把三個(gè)大小相同的正方形放在邊長為7的大正方形中，重疊部分的正方形面積分別記為a和c，延長線構(gòu)成的正方形面積記為b，若，且，則圖中陰影部分面積的值為_________．【答案】【分析】設(shè)小正方形的邊長為x，求出x值，設(shè)的邊長為，的邊長為，根據(jù)圖形列出關(guān)于m和n的方程，求出，再根據(jù)S陰影求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為，則，則，設(shè)的邊長為，的邊長為，則，，又，，∴，又，∴，又①，∴②，由①知，∴③，由②知，∴④，∴③-④，得：，∴，∴S陰影，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形中各部分的關(guān)系，列出關(guān)系式．11．用冪的性質(zhì)計(jì)算：．【答案】2【分析】根據(jù)平方差公式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】解：原式＝＝.【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、平方差公式熟記公式，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵.12．已知，化簡并求值：．【答案】16或80【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展開，去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，再利用冪的乘方運(yùn)算得到a，b的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：===∵，∴a=±2，2b-2=6，∴b=4，當(dāng)a=2時(shí)，原式==；當(dāng)a=-2時(shí)，原式==．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，冪的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．13．某公園對一個(gè)邊長為a（a＞1）的正方形花壇進(jìn)行改造，由于占地需要，正方形花壇南北方向需要縮短1米，使其形狀成為長方形．為了使花壇中的綠植面積不變，公園決定將花壇向東側(cè)擴(kuò)展，使得到的長方形面積和原來正方形的面積相等．（1）小明說：這太簡單了，把正方形南北方向減少1米，在花壇東側(cè)增加1米就行了．這樣得到的長方形的周長和面積與原來正方形的周長和面積都相等．你認(rèn)為小明說的對嗎？請你說明理由．（2）如果原來正方形的花壇邊長是5米，在只保證面積不變的情況下，請你計(jì)算出改造后，向東擴(kuò)展了多少米？（3）如果正方形的花壇邊長是a米，在只保證面積不變的情況下，請你用代數(shù)式表示出改造后長方形的長．【答案】（1）小明的說法不對，理由見解析；（2）向東擴(kuò)展米；（3）【分析】（1）理由平方差公式求出小明所得的圖形面積，與原圖形面積相比較即可得到答案；（2）設(shè)向東擴(kuò)展x米，根據(jù)題意得方程，解方程即可；（3）利用長方形的面積公式計(jì)算即可【詳解】解：（1）小明的說法不對，理由如下：由題意得：，∴小明的說法