共邊定理典型題解析

APB面積︰AQB面積＝PM︰QMAAAAABBBBPPPPQMMMM共邊定理圖:四種位置關系QQQ1如圖,△ABC中,D、E分別就是AB、AC邊上得中點,用面積方法證明:DE∥BC且DE＝BC.證明:∵D、E分別就是AB、AC邊上得中點,∴△ADE﹕△BDE＝△ADE﹕△CDE＝1﹕1∴△BDE＝△CDE ∴DE∥BC∴∠DBC＝∠ADE 由共角定理得:△ADE/△ABC＝AD·DE/AB·BC＝1/4∵AD＝AB ∴DE＝BC.這里,證明平行用到了平行得基本命題,證明線段得比值用到了共角定理.傳統(tǒng)證法中,要用到全等三角形、平行四邊形或相似三角形,同時要作輔助線構成全等、相似、或平行四邊形.ABCDEF例2:(1983年美國中學數(shù)學競賽題) 如圖得三角形ABC得面積為10,D、E、F分別在邊BC、CA、AB上,且BD＝2,DCABCDEFA.４ C.５ D.６ B. Ｅ.不確定解:由△BCE與四邊形DCEF得面積相等,在四邊形BCEF中分別減去這兩個面積,得△BFD與△BFE同底且面積相等,所以BF∥DE,可以得到AB為邊得兩個三角形△ABD與△ABE面積相等,因為三角形ABC得面積為10,且BD＝2,DC＝3,所以△ABD得面積等于4,即△ABE面積等于4,所以△BCE得面積等于10－4＝6,故選C.ABABCDO例3:對角線互相平分得四邊形就是平行四邊形.證明:∵OA＝OC,OB＝OD,由共角定理得:△AOB/△COD＝OA·OB＝OC·OD＝1 即△AOB＝△COD,∴共底得兩個三角形△ACB＝△CBD,∴AD∥BC;同理可證AB∥CD問:共邊定理怎么證線段相等？ABCABCDE例4:(等腰三角形兩腰上得高相等)已知:如圖,AB＝AC,CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,求證:BD＝CE.解:由三角形面積定理得:S△ABC＝AB·CE＝AC·BD∵AB＝AC,∴BD＝CE;本題就是直接用等底三角形面積相等推出高相等,相比于全等三角形證法要簡潔得多。例5:如圖,已知AD平分∠BAC,BD⊥AD,DE∥AC,DE交AB于F點AEBCAEBCDF證明:連接C、F,由平行線性質,得△DFC＝△DFA;由AD平分∠BAC,DF∥AC,可得∠FAD＝∠FDA,∴AF＝FD由BD⊥AD,得∠FBD＝∠FDB,∴BF＝DF;∴AF＝BF∴△DFB＝△DFA;△DFC＝△DFB;∴BE︰EC＝△DFC︰△DFB＝1︰1,即BE＝EC.CACABDEF例6:如圖,△ABC中,AB＝AC,BD＝CE,求證:DF＝EF、證明:連接CD、BE,∵AB＝AC∴∠DBC與∠BCE互補,由共角三角形定理:△DBC︰△BCE＝BD·BC︰CE·BC∵AB＝AC,BD＝CE,得△DBC＝△BCE,再由共邊定理得:△DBC︰△BCE＝DF︰FE＝1︰1∴DF＝EF、本題先用共角三角形定理證得△DBC與△BCE面積相等,再由共邊定理推出線段相等。相比于先作平行線構造全等三角形,再由全等三角形證線段相等得證法,面積法顯然更巧妙。例7:在等腰直角三角形得斜邊上取一點,使,作交于,求證:.ABD321QNMHGEC證明:連結CF,由,得圖中兩個陰影三角形得面積之比為1︰2,即:△AFC︰△AFB＝1︰2,又由,等腰直角三角形得條件,得ABD321QNMHGECAABCDEFF123∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90°,∴∠1＝∠3,由共角定理得:AF·AC︰AB·BF＝△AFC︰△AFB＝1︰2∴AF︰BF＝1︰2,由△AFB與△AEB相似,得AE︰AB＝1︰2,∵AB＝AC∴AE＝EC本題先用CD︰DB＝1︰2得到兩個陰影三角形得面積之比為1︰2,再由共角三角形定理證得AF︰BF＝1︰2,過程相當簡潔明了。問:共邊定理怎么證比例線段？答:共邊定理最適合用來求同一直線上得兩條線段得比值,或反過來,已知同一直線上得兩條線段得比值求共邊三角形得面積比。由于共邊定理有四種位置圖形卻對應同一個比值,所以怎樣選取最合適得兩個三角形就成為正確解題得關鍵。也因為圖形選擇得差異,造成了不止一種解法。只有通過一定得練習量,才能做到迅速正確地選擇適當?shù)霉策吶切?。ABCDEABCDEF例1圖求證:AF＝AC.解答:構造以BF為公共邊得兩個三角形△ABF與△DBF,則由兩個中點得條件,得三個三角形△ABF與△DBF、△DCF面積都相等,由圖易得＝＝,所以AF＝AC.ABCDEABCDEF例2題圖1142解答:①構造以BE為公共邊得兩個三角形△ABE與△CBE,則＝,由圖易得＝.ABCDEF例2題圖26141②構造以AD為公共邊得兩個三角形△BAD與△FAD,則＝.由＝,設△FAD＝1,則△FDC＝6,∴△ADCABCDEF例2題圖26141例3:(三角形角平分線性質定理)如圖,AD平分∠BAC,ABABCD證明:AD平分∠BAC,由共角三角形定理:△ADB︰△ADC＝AB·AD︰AC·AD＝AB︰AC又∵△ADB︰△ADC＝BD︰CD∴AB︰AC＝BD︰DC.問:全等與相似方法在新概念幾何中應當保留嗎？在新概念幾何中,可以由面積法先推導出正弦定理與余弦定理,再推出全等三角形判定定理與相似三角形判定定理,實際上,新教材中可以完全不用全等與相似方法.但作為歐式幾何得寶貴遺產(chǎn),在許多問題中它們有明顯得優(yōu)勢,為了讓兩種教材更好地兼容,各取所長,減少新幾何推廣得阻力,張景中也就是主張保留全等與相似方法得.ABABCDEF1在△ABC內任取一點P,連接PA、PB、PC分別交對邊于X、Y、Z點.求證:＋＋＝1ABABPZYXCYP＋＋＝＋＋＝1例(梅涅勞斯定理):在△ABC得兩邊取X、Y,直線XY與BC得延長線交于Z點.BXYZBXYZCA證明:··＝··＝1.也就是一步！CABDMKLFG2著名數(shù)學大師華羅庚在《1978年全國中學生數(shù)學競賽題解》前言中,給出了這樣得一道幾何題:如圖,凸四邊形ABCD得兩邊DA、CB延長后交于K,另外兩邊AB、DC延長后交于L,對角線DB、CABDMKLFG求證:證明:＝(以BD為公共邊得兩個三角形得面積比)＝(乘以同一個三角形KBL,化為兩組面積得比)＝(化為兩組線段得比)＝(化為有同一個三角形DAC得兩組面積得比)＝＝(消去公共三角形,化為線段得比)這道題得得難點在于沒有全等,沒有相似,也沒有給定得比值,按照傳統(tǒng)方法步.驟相當多,也不易理解,所以20多年沒有人給出簡單巧妙得解.在熟悉了共邊定理以后,這一類題真得變簡單了問:怎樣用面積法證面積題？答:已知比例求面積得題目,傳統(tǒng)證法往往不易找到思路,所以成了難題,往往在中小學數(shù)學競賽中出現(xiàn).其實,這類題使用共邊定理就是最好得方法.4:ABABCDO第7題圖236？△COB面積＝6,求△AOB面積.解法1:∵△AOD面積︰△DOC面積＝2︰3＝AO︰OC＝△AOB面積 ︰△COB面積,∵△COB面積＝6∴△AOB面積＝4解法2:∵△AOD面積︰△DOC面積＝AO︰OC＝△AOB面積 ︰△COB面積,∴△AOB面積×△DOC面積＝△COB面積×△AOD面積這里得到一個新得定理:四邊形對角線分成得四個三角形中,相對得兩個三角形面積得乘積與另一組相對得兩個三角形面積得乘積相等.用上這個定理,就可以跳過共邊定理直接用最后一步解題了.∴△AOB面積＝2×6÷3＝4.5(17屆希望杯全國賽初二第二試19題):ABCEDP如圖,等腰△ABC中,AB＝AC,P點在BC邊上得高AD上,且,BP得延長線交AC于E,若＝10,則＝______;ABCEDP解:∵︰＝AP︰PD＝1︰2 ∵＝即︰︰＝1︰2︰2,∵＝10,∴＝2;＝4;AE︰EC＝︰＝1︰4BCEDPABCEDPABP得延長線交AC于E,若＝18,則＝______,＝_______.AE︰EC＝_______.解:︰︰＝1︰2︰3∴則＝____3__,＝__6_____.AE︰EC＝__1︰5_____.7如圖:△ABC中,E為中點,AD︰DC＝2︰1,△EBF面積就是15,求△ABC得面積.ABCDEABCDEF156015∴△ECF面積＝△EBF面積＝15;∵AD︰DC＝2︰1∴△AFB面積︰△FCB面積＝2︰1∴△AFB面積＝60,E為中點∴△ACF面積＝△AFB面積＝60∴△ABC得面積＝15+15+60+60＝150.8:ABCDABCDEF(1)求△AEF與△CDF得周長比;(2)如果SABCD＝6平方厘米,求S△ADE.解答:∵AE︰EB＝1︰2∴AE︰AB＝AE︰CD＝1︰3,由△AEF∽△CDF,可得它們得周長比為1︰3;S△ADE＝S△ABD＝S△ABCD∵SABCD＝6平方厘米∴S△ADE＝1平方厘米.;例11:如圖所示,BD,CF將長方形ABCD分成4塊,△DEF得面積就是4cm2,△CED得面積就是6cm2.問:四邊形ABEF得面積就是多少平方厘米？ABCDEF46解:連結BF,則△BDF面積＝△CDF面積＝10ABCDEF464x＝6×6,x＝9;△BDC面積＝15,長方形ABCD面積＝30∴四邊形ABEF得面積就是15－4＝11平方厘米ABCABCDEF解:由AD∥EC,得△ADC＝△ADE,同理△ABD＝△AFD,∴得△ADE＋△AFD＝△ABC＝1又由FB∥EC,得△ECB＝△ECF,∴△ABC＋△ACE＝△AEF＋△ACE即△ABC＝△AEF＝1∴△FDE＝△AEF＋△ADE＋△AFD＝2ACBDEF10如圖,已知三角形ABC面積為1,延長AB至D,使BD＝AB,延長BC至E,使CE＝2BC,延長CA至F,使AFACBDEF解:連結BD,EC,由已知條件可得,△DAB＝1,△DBE＝2,△CBE＝2,△FCE＝6,△FCD＝6,∴△DEF＝1＋1＋2＋2＋6＋6＝18這題也就是面積法最基本得題型、11在得三邊BC、CA、AB上分別取點D、E、F,使BD＝3DC,CE＝3AE,AF＝3FB,連AD、BE、CF相交得三角形PQR,已知三角形ABC得面積為13cm2,求三角形PQR得面積.ABABCDEP圖2圖1ABCDEFRPQ解:由圖1得:△PQR＝△ABC－(△ABP＋△BCQ＋△CAR);觀察圖2,連結PC,由CE＝3AE,得△APE︰△CPE＝1︰3,又由BD＝3DC,得△APB︰△APC＝3︰1設△APE＝1,則△CPE＝3,△APB＝12,△ABE＝13;由CE＝3AE,得△ABE︰△ABC＝1︰4,∴△ABC＝52,得△APB︰△