2024年中考數(shù)學【高分·突破】壓軸題培優(yōu)專題精練壓軸熱點考點13圓的相關(guān)證明與計算(壓軸突破)(原卷版+解析)

壓軸熱點考點13圓的相關(guān)證明與計算壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編一、單選題1．如圖，點P是外的一點，PA、PC是的切線，切點分別為A，C，AB是的直徑，連接BC，PO，PO交弦AC于點D．下列結(jié)論中不正確的是（）A．B．C．若，則△PAC是等邊三角形D．若△PAC是等邊三角形，則2．如圖，在半徑為1的中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60°，90°，120°那么以這三條弦長為邊長的三角形的面積是（

）A． B．1 C． D．3．如圖，點A，B是半徑為2的上的兩點，且，則下列說法正確的是（

）A．圓心О到的距離為B．在圓上取異于A，B的一點C，則面積的最大值為C．以AB為邊向上作正方形，與的公共部分的面積為D．取的中點C，當繞點О旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線長為4．如圖，已知AB是半圓O的直徑，點C，D將分成相等的三段弧，點M在的延長線上，連接．對于下列兩個結(jié)論，判斷正確的是（

）結(jié)論I：若，則為半圓O的切線；結(jié)論II：連接，則A．I和II都對 B．I對II錯 C．I錯II對 D．I和II都錯5．如圖，已知AB為⊙O的弦，C為的中點，點D在優(yōu)弧上一點，連接AD下列式子一定正確的是（）A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90°C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°6．如圖所示，已知三角形為直角三角形，，BC為切線，為切點，為直徑，則和面積之比為（

）A． B． C． D．7．有一直徑為的圓，且圓上有、、、四點，其位置如圖所示．若，，，，，則下列弧長關(guān)系何者正確？（

）A．， B．，C．， D．，8．如圖，⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接DE，EF．若AD＝6，BE＝7，CF＝8，則tan∠DEF的值是（

）A． B．2 C． D．二、填空題9．如圖，已知的半徑為，為直徑，為上一動點，過作的切線，過作，垂足為，連結(jié)，若為等腰三角形，則．10．如圖，的兩條半徑與互相垂直，垂足為點，點為上一點，連接并延長交于點若，則的值為．11．如圖，，與的一邊相切于點P，與另一邊相交于B，C兩點，且，，則扇形的面積為12．如圖，C、D兩點在半圓O的弦上，點E在半圓O上，且為等邊三角形，已知，，，則劣弧的長為．13．如圖，是的直徑，，兩點在圓上，連接，，且，，為上一動點，在運動過程中，與相交于點，當為等腰三角形時，的度數(shù)為．14．如圖，在中，AB是的直徑，，AD，BC交于點E，點D為的中點，點G為平面內(nèi)一動點，且，則AG的最小值為．三、解答題15．一條盤水管的截面如圖所示，水面寬垂直平分半徑．(1)求的度數(shù)；(2)若的半徑為6，求弦的長．(3)若連結(jié)，請判斷四邊形的形狀，并給出證明．16．如圖，為四邊形的外接圓，若、，延長至點F，連接并延長至點E，恰好使得．

(1)證明：為的切線(2)連接，若的半徑為4，，求的長17．如圖，是的內(nèi)接三角形，E在的延長線上．給出以下三個條件：①是的直徑，②是的切線，③．

(1)請從上述三個條件中選兩個作為已知，剩下的一個條件作為結(jié)論，組合成一個新的真命題，并給予證明；(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．18．閱讀與思考學習了圓的相關(guān)知識后，某數(shù)學興趣小組的同學們進行了如下探究活動，請仔細閱讀，并完成相應任務．割線定理如圖，A是外一點，過點A作直線分別交于點B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據(jù)：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務：(1)上述閱讀材料中①處應填的內(nèi)容是________，②處應填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學們繼續(xù)思考，當直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論．請將下列已知、求證補充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，__________．求證：___________．

19．閱讀下面材料，完成相應的任務：阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子：《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學，研究古希臘數(shù)學思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折折弦定理：一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．

(1)定理認識：如圖所示，，是圓O的兩條弦（折弦），M是的中點，，垂足為D，求證：____________________．(2)定理證明：“截長補短”是證明線段和差倍分的常用辦法，下面有三位同學提出了不同的輔助線作法以達到“截長補短”效果．同學1：在上截取，同學2：過點M作的垂線交的延長線于點E，同學3：利用平行弦夾等弧的正確結(jié)論（本題可直接使用）過點M作的平行弦交于點N．請你參考上述三位同學輔助線作法并用兩種方法完成證明．20．如圖，已知，是的兩條直徑，直徑平分，的一邊與和直徑分別交于點，，連接，且．

(1)證明：；(2)若，求的長．壓軸熱點考點13圓的相關(guān)證明與計算壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編一、單選題1．如圖，點P是外的一點，PA、PC是的切線，切點分別為A，C，AB是的直徑，連接BC，PO，PO交弦AC于點D．下列結(jié)論中不正確的是（）A．B．C．若，則△PAC是等邊三角形D．若△PAC是等邊三角形，則【答案】B【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，推出，進而推出，圓周角定理，得到，判斷A，條件不足，無法得到，判斷B，同角的余角相等，得到，進而推出，再根據(jù)，判斷C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，推出，，判斷D，即可得出結(jié)論．【詳解】解析：連接，∵是的切線，∴，∵，，∴，∴，，∴．∵是的直徑，∴，∴．選項A正確；∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，選項C正確；∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，選項D正確；條件不足，無法得到，選項B錯誤；故選B．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在半徑為1的中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60°，90°，120°那么以這三條弦長為邊長的三角形的面積是（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】連接、、、、、，則、分別為等邊三角形，等腰直角三角形，進而可得到、長；再過點作于點，根據(jù)垂徑定理可得，，根據(jù)銳角三角形函數(shù)可求出，進而可得；再根據(jù)可判斷以、、為邊的三角形為直角三角形，即可求出其面積．【詳解】解：解：如圖，連接、、、、、，則，，，在中，．∵，∴是等邊三角形，∴，過點作于點，則，，∴，∴，∵，即，∴以、、為邊的三角形為直角三角形，∴其面積為：．故選：D．【點睛】本題主要考查垂徑定理和勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是熟練應用垂徑定理求弦長．3．如圖，點A，B是半徑為2的上的兩點，且，則下列說法正確的是（

）A．圓心О到的距離為B．在圓上取異于A，B的一點C，則面積的最大值為C．以AB為邊向上作正方形，與的公共部分的面積為D．取的中點C，當繞點О旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線長為【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理結(jié)合勾股定理可求出，從而可判斷A；當?shù)母咦畲髸r三角形面積最大即高在的垂直平分線上且在的上方，計算出的面積可判斷B；根據(jù)可判斷C；點C的運動軌跡是以O為圓心，為半徑的圓周，求出周長可判斷D【詳解】解：A.如圖1，過點O作于點C，則有，由勾股定理得，，所以，圓心О到AB的距離為1，故選項A說法錯誤；B.如圖2，當?shù)母咦畲髸r三角形面積最大即高在的垂直平分線上且在的上方，此時，的最大面積為，故選項B說法錯誤；C.如圖3，根據(jù)題意可得，四邊形是矩形，∴∴是等邊三角形，∴,∴，故選項C正確；D.如圖4，點C的運動軌跡是以O為圓心，為半徑的圓周，周長為：，所以，選項D錯誤；故選：C【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周長、扇形面積的計算等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵4．如圖，已知AB是半圓O的直徑，點C，D將分成相等的三段弧，點M在的延長線上，連接．對于下列兩個結(jié)論，判斷正確的是（

）結(jié)論I：若，則為半圓O的切線；結(jié)論II：連接，則A．I和II都對 B．I對II錯 C．I錯II對 D．I和II都錯【答案】B【分析】連接，，先得出，，進而得出，為半圓O的切線；連接，再證明，是等邊三角形，即可得出．【詳解】連接，，∵點C，D將分成相等的三段弧，∴，∴，∵，∴，∵是半徑，∴為半圓O的切線，故I對，連接，∵，是半徑，，∴，是等邊三角形，∴，∴，故II錯，故選：B．【點睛】本題考查切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知AB為⊙O的弦，C為的中點，點D在優(yōu)弧上一點，連接AD下列式子一定正確的是（）A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90°C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°【答案】C【分析】先利用垂徑定理，由C為的中點得到OC⊥AB，則∠A+∠AOC=90°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠ADC，加上∠A=∠B，于是可判斷C選項一定正確．【詳解】∵C為的中點，∴OC⊥AB，∴∠A+∠AOC＝90°，∵∠AOC＝2∠ADC，∴2∠ADC+∠A＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∴2∠ADC+∠B＝90°．故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．6．如圖所示，已知三角形為直角三角形，，BC為切線，為切點，為直徑，則和面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：如圖取中點O，連接．∵是圓O的直徑．∴．∵與圓O相切．∴．∵．∴．∵．∴．又∵．∴．∵，，．∴．∴．∵點O是的中點．∴．∴．∴故答案是：1∶2．故選：B．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提．7．有一直徑為的圓，且圓上有、、、四點，其位置如圖所示．若，，，，，則下列弧長關(guān)系何者正確？（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】連接，，先求解，可得，，再求解可得，，從而可得答案.【詳解】解：連接，，直徑，，，，，，，，直徑，，，，，，，所以B符合題意，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓中弧、弦的關(guān)系和直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接DE，EF．若AD＝6，BE＝7，CF＝8，則tan∠DEF的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】過點B作BM⊥AC于點M，連接OD、OE、OF、AO、BO、CO，根據(jù)切線長定理先得出，，，即可得出三角形的三邊長，根據(jù)勾股定理求出AM的長度，根據(jù)面積求出三角形內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)圓周角定理和三角形全等，求出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點B作BM⊥AC于點M，連接OD、OE、OF、AO、BO、CO，如圖所示：∵⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，，，，，設，∴，，，∵BM⊥AC，∴，∴與為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理可得：，，即，，解得：，則，∴，∵∴，解得：，∵在Rt△AOD和Rt△AOF中，，∴（HL），，∵，，，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了切線長定理，勾股定理，圓周角定理，三角函數(shù)的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，求出三角形內(nèi)切圓的半徑，是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．如圖，已知的半徑為，為直徑，為上一動點，過作的切線，過作，垂足為，連結(jié)，若為等腰三角形，則．【答案】1或【分析】連接，過點作于，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得，則可判斷四邊形為矩形，所以，，利用為等腰三角形得到或，當時，設，，則，，利用勾股定理，，然后解方程組可得到對應的的長度．【詳解】解：連接，過點作于，如圖，為的切線，，，，四邊形為矩形，，，為等腰三角形，或，當時，設，，則，，在中，，①在中，，②②①得，整理得，解得，（舍去），的長為，綜上所述，的長為1或．故答案為：1或．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理、折疊的性質(zhì)和解直角三角形．10．如圖，的兩條半徑與互相垂直，垂足為點，點為上一點，連接并延長交于點若，則的值為．【答案】/【分析】根據(jù)延長交于點E，連接，構(gòu)造出直角三角形，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：延長交于點，連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，設，，，∴，即，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理和相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)和定理是解答本題的關(guān)鍵．11．如圖，，與的一邊相切于點P，與另一邊相交于B，C兩點，且，，則扇形的面積為【答案】/【分析】連接，過O點作于點E，作于點F，利用垂徑定理的內(nèi)容得出，再證明四邊形、四邊形是矩形，即有，進而有，從而得出是等邊三角形，即，利用扇形面積公式求出即可．【詳解】連接，過O點作于點E，作于點F，如圖，∵，，∴，∵與的一邊相切于點P，∴，∵，，，∴可得四邊形、四邊形是矩形，∵，，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識，利用已知得出是解決問題的關(guān)鍵．12．如圖，C、D兩點在半圓O的弦上，點E在半圓O上，且為等邊三角形，已知，，，則劣弧的長為．【答案】【分析】先利用圓周角定理求得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求得，，利用相似三角形的判定證明得到，進而求得、，過O作于F，利用垂徑定理和銳角三角函數(shù)值求得，然后利用弧長公式求解即可．【詳解】解：連接、，∵，，∴，，∵為等邊三角形，，∴，∴，，，∴，∴，∴，又，∴，則，∴，過O作于F，則，，在中，，∴，∴劣弧的長為，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用相似三角形的性質(zhì)求解線段長是解答的關(guān)鍵．13．如圖，是的直徑，，兩點在圓上，連接，，且，，為上一動點，在運動過程中，與相交于點，當為等腰三角形時，的度數(shù)為．【答案】或或【分析】根據(jù)，可得：，再由是的直徑得，然后分三種況討論即可得出答案．【詳解】解：連接，，，，，是的直徑，，，，，，當為等腰三角形時，①當時，，②當時，，③當時，，故答案為：或或．【點睛】本題考查了圓周角定理和直徑所對的圓周角等于，解題的關(guān)鍵是利用圓周角定理以及直徑所對的圓周角等于，求出的度數(shù)，以及掌握利用分類討論的思想來解決問題．14．如圖，在中，AB是的直徑，，AD，BC交于點E，點D為的中點，點G為平面內(nèi)一動點，且，則AG的最小值為．【答案】/【分析】連接AC，以BE為直徑作，先證明點G在上，連接AM，當AM于交于點G時，此時AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，則MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．【詳解】解：連接AC，以BE為直徑作，∵BG⊥EG，∴∠BGE＝90°，∴點G在上，連接AM，當AM于交于點G時，此時AG最短，如圖，∵AD＝BC，∴，∵點D為的中點，∴，∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝BE，∵AB為的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AC＝AB＝×2＝，∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，∴CM＝CE＋ME＝2，∴AM＝，∴AG＝AM－MG＝，即AG的最小值為，故答案為：【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、解直角三角形等知識，作輔助圓是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．一條盤水管的截面如圖所示，水面寬垂直平分半徑．(1)求的度數(shù)；(2)若的半徑為6，求弦的長．(3)若連結(jié)，請判斷四邊形的形狀，并給出證明．【答案】(1)(2)(3)菱形【分析】（1）結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)，證明，易知為等邊三角形，即可獲得答案；（2）結(jié)合題意可得，，利用勾股定理可解得，然后由垂徑定理可知，即可獲得答案；（3）證明，即可判斷四邊形的形狀．【詳解】（1）解：∵垂直平分，∴，由∵，∴，∴為等邊三角形，∴；（2）∵的半徑為6，即，又∵垂直平分，∴，且，∴，∵，為半徑，∴，∴；（3）四邊形為菱形，證明如下：連接，如下圖，∵垂直平分，∴，，由∵，∴，∴四邊形為菱形．【點睛】本題主要考查了圓的基本概念、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．16．如圖，為四邊形的外接圓，若、，延長至點F，連接并延長至點E，恰好使得．

(1)證明：為的切線(2)連接，若的半徑為4，，求的長【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)弧，弦之間的關(guān)系，推出為直徑，，進而得到，根據(jù)同角的余角相等，得到，再根據(jù)平角的定義，推出，即，即可得證；（2）設交于點，垂徑定理得到，勾股定理求出的長，等積法求出，再用勾股定理和等積法求出的長，即可得解．【詳解】（1）證明：連接，

∵，，∴，，∴，，∴為半圓，∴為的直徑，∴，∴，∴，∵∴，∵，∴，即：；∵為的半徑，∴為的切線；（2）設交于點，

則：，，∵的半徑為4，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理．解題的關(guān)鍵是掌握弧，弦，角之間的關(guān)系，得到是的直徑．17．如圖，是的內(nèi)接三角形，E在的延長線上．給出以下三個條件：①是的直徑，②是的切線，③．

(1)請從上述三個條件中選兩個作為已知，剩下的一個條件作為結(jié)論，組合成一個新的真命題，并給予證明；(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．【答案】(1)選擇作為條件，③作為結(jié)論；選擇作為條件，②作為結(jié)論；證明見解析(2)【分析】（1）選擇作為條件，③作為結(jié)論：如圖所示，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理得到，則可得，再由等邊對等角得到，由此可得；選擇作為條件，②作為結(jié)論：如圖所示，連接，由圓周角定理得到，由等邊對等角得到，由此即可得到，進一步得到，則是的切線；（2）證明，再由進行求解即可．【詳解】（1）解：選擇作為條件，③作為結(jié)論：如圖所示，連接，∵是的直徑，是的切線，∴，∴，∵，∴，∴；選擇作為條件，②作為結(jié)論：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵；∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；

（2）解：∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知切線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．18．閱讀與思考學習了圓的相關(guān)知識后，某數(shù)學興趣小組的同學們進行了如下探究活動，請仔細閱讀，并完成相應任務．割線定理如圖，A是外一點，過點A作直線分別交于點B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據(jù)：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務：(1)上述閱讀材料中①處應填的內(nèi)容是________，②處應填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學們繼續(xù)思考，當直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論．請將下列已知、求證補充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，__________．求證：___________．

【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；；(2)與相切于點E．；證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到結(jié)論即可；（2）如圖，連接，證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖，連接．∵（依據(jù)：①__同弧所對的圓周角相等__），，∴．∴②_______．∴．故答案為：同弧所對的圓周角相等；；（2）已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，與相切于點E．求證：．

證明：如圖，連接，連接并延長交于點D，連接．

∵為的切線，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：與相切于點E．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，割線定理，熟練掌握割線定理是解題的關(guān)鍵．19．閱讀下面材料，完成相應的任務：阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子：《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米