2024年高考數(shù)學第一輪復習講義第六章6.6　數(shù)列中的綜合問題(學生版+解析)

§6.6數(shù)列中的綜合問題考試要求數(shù)列的綜合運算問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的交匯問題，是歷年高考的熱點內(nèi)容．一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等．題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運算例1(2023·廈門模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(1,2)n，遞增的等比數(shù)列{bn}滿足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華數(shù)列的綜合問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方法：尋找通項公式，利用性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．跟蹤訓練1(2022·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知eq\f(2Sn,n)＋n＝2an＋1.(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二數(shù)列與其他知識的交匯問題命題點1數(shù)列與不等式的交匯例2(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,3)a3＋…＋eq\f(1,n)an＝n2＋n(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn＝eq\f(2n＋1,anan＋1)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn<eq\f(n,n＋1)λ(n∈N*)恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，＋∞))聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(3,7)，3an，2an＋1，anan＋1成等差數(shù)列．①證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；②記{an}的前n項和為Sn，求證：eq\f(12,7)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n))≤Sn<eq\f(75,28).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2數(shù)列與函數(shù)的交匯例3(1)(2023·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋4x，記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若f(a1＋2)＝100，f(a2022＋2)＝－100，則S2022等于()A．－4044 B．－2022C．2022 D．4044(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4＋λa10＋a16＝15，則實數(shù)λ的最大值為________．聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)數(shù)列與不等式的綜合問題及求解策略①判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應的函數(shù)的單調(diào)性比較大?。谝詳?shù)列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值．③考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進行證明，有時也可通過構(gòu)造函數(shù)進行證明．(2)數(shù)列與函數(shù)交匯問題的主要類型及求解策略①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形．跟蹤訓練2(1)設(shè){an}是等比數(shù)列，函數(shù)y＝x2－x－2023的兩個零點是a2，a3，則a1a4等于()A．2023B．1C．－1D．－2023(2)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn為其前n項和．數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且滿足b1＝a1，b4＝S3.①求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；②設(shè)cn＝eq\f(1,bn·log2a2n＋2)，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：eq\f(1,3)≤Tn<eq\f(1,2).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§6.6數(shù)列中的綜合問題考試要求數(shù)列的綜合運算問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的交匯問題，是歷年高考的熱點內(nèi)容．一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等．題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運算例1(2023·廈門模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(1,2)n，遞增的等比數(shù)列{bn}滿足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.解(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(1,2)n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)n－12＋\f(1,2)n－1))＝3n－1，又∵當n＝1時，a1＝S1＝2符合上式，∴an＝3n－1.∵b2b3＝b1b4，∴b1，b4是方程x2－18x＋32＝0的兩根，又∵b4>b1，∴解得b1＝2，b4＝16，∴q3＝eq\f(b4,b1)＝8，∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n.(2)∵an＝3n－1，bn＝2n，則cn＝(3n－1)·2n，∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n，2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1，將兩式相減得－Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1＝4＋3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(221－2n－1,1－2)))－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8，∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.思維升華數(shù)列的綜合問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方法：尋找通項公式，利用性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．跟蹤訓練1(2022·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知eq\f(2Sn,n)＋n＝2an＋1.(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．(1)證明由eq\f(2Sn,n)＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化簡得an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列．(2)解由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.由a4，a7，a9成等比數(shù)列，得aeq\o\al(2,7)＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以Sn＝－12n＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(n2－25n,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))2－eq\f(625,8)，所以當n＝12或13時，Sn取得最小值，最小值為－78.題型二數(shù)列與其他知識的交匯問題命題點1數(shù)列與不等式的交匯例2(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,3)a3＋…＋eq\f(1,n)an＝n2＋n(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn＝eq\f(2n＋1,anan＋1)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn<eq\f(n,n＋1)λ(n∈N*)恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，＋∞))答案D解析數(shù)列{an}滿足a1＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,3)a3＋…＋eq\f(1,n)an＝n2＋n，①當n≥2時，a1＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,3)a3＋…＋eq\f(1,n－1)an－1＝(n－1)2＋(n－1)，②①－②得eq\f(1,n)an＝2n，故an＝2n2，當n＝1時，a1＝2也滿足上式．數(shù)列{bn}滿足：bn＝eq\f(2n＋1,anan＋1)＝eq\f(2n＋1,4n2n＋12)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n2)－\f(1,n＋12)))，則Tn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋…＋\f(1,n2)－\f(1,n＋12)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋12)))，由于Tn<eq\f(n,n＋1)λ(n∈N*)恒成立，故eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋12)))<eq\f(n,n＋1)λ，整理得λ>eq\f(n＋2,4n＋4)，因為y＝eq\f(n＋2,4n＋4)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n＋1)))在n∈N*上單調(diào)遞減，故當n＝1時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋2,4n＋4)))max＝eq\f(3,8)，所以λ>eq\f(3,8).(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(3,7)，3an,2an＋1，anan＋1成等差數(shù)列．①證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；②記{an}的前n項和為Sn，求證：eq\f(12,7)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n))≤Sn<eq\f(75,28).①解由已知得4an＋1＝3an＋anan＋1，因為a1＝eq\f(3,7)≠0，所以由遞推關(guān)系可得an≠0恒成立，所以eq\f(4,an)＝eq\f(3,an＋1)＋1，所以eq\f(4,an)－4＝eq\f(3,an＋1)－3，即eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1)).又因為eq\f(1,a1)－1＝eq\f(7,3)－1＝eq\f(4,3)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是首項為eq\f(4,3)，公比為eq\f(4,3)的等比數(shù)列，所以eq\f(1,an)－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n，所以an＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n).②證明由①可得an＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n)≥eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n)＝eq\f(3,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，所以Sn≥eq\f(3,7)＋eq\f(3,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))1＋…＋eq\f(3,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1＝eq\f(12,7)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n))，an＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n)<eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n，S1＝eq\f(3,7)<eq\f(75,28)，當n≥2時，Sn<eq\f(3,7)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n＝eq\f(3,7)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1)),1－\f(3,4))＝eq\f(75,28)－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n<eq\f(75,28).綜上所述，eq\f(12,7)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n))≤Sn<eq\f(75,28)成立．命題點2數(shù)列與函數(shù)的交匯例3(1)(2023·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋4x，記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若f(a1＋2)＝100，f(a2022＋2)＝－100，則S2022等于()A．－4044 B．－2022C．2022 D．4044答案A解析因為f(－x)＝－eq\f(1,3)x3－4x＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，因為f(a1＋2)＝100，f(a2022＋2)＝－100，所以f(a1＋2)＝－f(a2022＋2)，所以a1＋2＋a2022＋2＝0，所以a1＋a2022＝－4，所以S2022＝eq\f(2022a1＋a2022,2)＝－4044.(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，則實數(shù)λ的最大值為________．答案－eq\f(1,2)解析因為a4＋λa10＋a16＝15,所以a1＋3d＋λ(a1＋9d)＋a1＋15d＝15，令λ＝f(d)＝eq\f(15,1＋9d)－2，因為d∈[1,2]，所以令t＝1＋9d，t∈[10,19]，因此λ＝f(t)＝eq\f(15,t)－2，當t∈[10,19]時，函數(shù)λ＝f(t)是減函數(shù)，故當t＝10時，實數(shù)λ有最大值，最大值為f(10)＝－eq\f(1,2).思維升華(1)數(shù)列與不等式的綜合問題及求解策略①判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應的函數(shù)的單調(diào)性比較大?。谝詳?shù)列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值．③考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進行證明，有時也可通過構(gòu)造函數(shù)進行證明．(2)數(shù)列與函數(shù)交匯問題的主要類型及求解策略①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形．跟蹤訓練2(1)設(shè){an}是等比數(shù)列，函數(shù)y＝x2－x－2023的兩個零點是a2，a3，則a1a4等于()A．2023B．1C．－1D．－2023答案D解析由題意a2，a3是x2－x－2023＝0的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系得a2a3＝－2023.又a1a4＝a2a3，所以a1a4＝－2023.(2)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn為其前n項和．數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且滿足b1＝a1，b4＝S3.①求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；②設(shè)cn＝eq\f(1,bn·log2a2n＋2)，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：eq\f(1,3)≤Tn<eq\f(1,2).①解由題意知，{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝a1·2n－1＝2n－1.所以Sn＝2n－1.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，所以d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.②證明因為log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，所以cn＝eq\f(1,bn·log2a2n＋2)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).因為n∈N*，所以Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))<eq\f(1,2)，eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).當n≥2時，Tn－Tn－1＝eq\f(n,2n＋1)－eq\f(n－1,2n－1)＝eq\f(1,2n＋12n－1)>0，所以數(shù)列{Tn}是一個遞增數(shù)列，所以Tn≥T1＝eq\f(1,3).綜上所述，eq\f(1,3)≤Tn<eq\f(1,2).課時精練1．(2022·西安模擬)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,4a1,2a3，a5成等差數(shù)列，則a1等于()A．5eq\r(2)－5B．5eq\r(2)＋5C．5eq\r(2)D．5答案A解析設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，q>0，由前4項和為15,4a1,2a3，a5成等差數(shù)列，可得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，4a3＝4a1＋a5，即4a1＋a1q4＝4a1q2，即q2－2＝0，解得q＝eq\r(2)，a1＝5eq\r(2)－5.2．(2023·蘭州模擬)直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前受到了廣大消費者的追捧，針對這種現(xiàn)狀，某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為2000萬元，并在此基礎(chǔ)上，以后每年的資金投入均比上一年增長12%，則該公司需經(jīng)過____年其投入資金開始超過7000萬元()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.049，lg2≈0.301，lg7≈0.845)A．14B．13C．12D．11答案C解析設(shè)該公司經(jīng)過n年投入的資金為an萬元，則a1＝2000×1.12，由題意可知，數(shù)列{an}是以2000×1.12為首項，以1.12為公比的等比數(shù)列，所以an＝2000×1.12n，由an＝2000×1.12n>7000可得n>log1.12eq\f(7,2)＝eq\f(lg7－lg2,lg1.12)≈11.1，因此，該公司需經(jīng)過12年其投入資金開始超過7000萬元．3．在正項等比數(shù)列{an}中，eq\r(3)為a6與a14的等比中項，則a3＋3a17的最小值為()A．2eq\r(3)B．89C．6D．3答案C解析因為{an}是正項等比數(shù)列，且eq\r(3)為a6與a14的等比中項，所以a6a14＝3＝a3a17，則a3＋3a17＝a3＋3·eq\f(3,a3)≥2eq\r(a3·3·\f(3,a3))＝6，當且僅當a3＝3時，等號成立，所以a3＋3a17的最小值為6.4．(2023·西寧模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2＝－2a5,1<a3<2，則數(shù)列{a3n}的前5項和S5的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,16)，\f(11,8))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,16)，\f(33,8)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,8)，－\f(11,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,8)，－\f(33,16)))答案A解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝eq\f(a5,a2)＝－eq\f(1,2)，數(shù)列{a3n}是首項為a3，公比為q3＝－eq\f(1,2)的等比數(shù)列，則S5＝eq\f(a3\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))5)),1＋\f(1,2))＝eq\f(11,16)a3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,16)，\f(11,8))).5．(2023·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝lgx，則下列四個命題中，是假命題的為()A．f(2)，f(eq\r(10))，f(5)成等差數(shù)列B．f(2)，f(4)，f(8)成等差數(shù)列C．f(2)，f(12)，f(72)成等比數(shù)列D．f(2)，f(4)，f(16)成等比數(shù)列答案C解析對于A，f(2)＋f(5)＝lg2＋lg5＝lg10＝1，2f(eq\r(10))＝2lgeq\r(10)＝1，故f(2)，f(eq\r(10))，f(5)成等差數(shù)列，故A是真命題；對于B，f(2)＋f(8)＝lg2＋lg8＝lg16,2f(4)＝2lg4＝lg16，故f(2)，f(4)，f(8)成等差數(shù)列，故B是真命題；對于C，f(2)·f(72)＝lg2×lg72<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2＋lg72,2)))2＝lg212＝f2(12)，故f(2)，f(12)，f(72)不成等比數(shù)列，故C是假命題；對于D，f(2)f(16)＝lg2×lg16＝4lg22＝(2lg2)2＝lg24＝f2(4)，故f(2)，f(4)，f(16)成等比數(shù)列，故D是真命題．6．數(shù)學家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學家費馬于1640年提出了Fn＝＋1(n＝0,1,2，…)是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學家歐拉算出F5＝641×6700417，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)an＝log4(Fn－1)(n＝1,2，…)，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和．若32Sn＝63an，則n等于()A．5B．6C．7D．8答案B解析因為Fn＝＋1(n＝0,1,2，…)，所以an＝log4(Fn－1)＝log4(＋1－1)＝＝2n－1，所以{an}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2，所以Sn＝eq\f(11－2n,1－2)＝2n－1.所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6.7.宋元時期我國數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中“落—形”就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐垛，三角錐垛從上到下最上面是1個球，第二層是3個球，第三層是6個球，第四層是10個球，…，則這個三角錐垛的第十五層球的個數(shù)為________．答案120解析∵“三角形數(shù)”可寫為1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，…，∴“三角形數(shù)”的通項公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，∴這個三角錐垛的第十五層球的個數(shù)為a15＝eq\f(15×16,2)＝120.8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝lnn，若存在p∈R，使得an≤pn對任意的n∈N*都成立，則p的取值范圍為________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln3,3)，＋∞))解析數(shù)列{an}的通項公式為an＝lnn，若存在p∈R，使得an≤pn對任意的n∈N*都成立，故p≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnn,n)))max，設(shè)f(x)＝eq\f(lnx,x)，則f′(x)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)，令f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)＝0，解得x＝e，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)，所以函數(shù)在x＝e處取最大值，由于n∈N*，所以當n＝3時函數(shù)最大值為eq\f(ln3,3).所以p的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln3,3)，＋∞)).9．記關(guān)于x的不等式x2－4nx＋3n2≤0(n∈N*)的整數(shù)解的個數(shù)為an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，滿足4Tn＝3n＋1－an－2.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn＝2bn－λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))n，若對任意n∈N*，都有cn<cn＋1成立，試求實數(shù)λ的取值范圍．解(1)由不等式x2－4nx＋3n2≤0可得，n≤x≤3n，∴an＝2n＋1，Tn＝eq\f(1,4)×3n＋1－eq\f(1,2)n－eq\f(3,4)，當n＝1時，b1＝T1＝1，當n≥2時，bn＝Tn－Tn－1＝eq\f(1,2)×3n－eq\f(1,2)，∵b1＝1適合上式，∴bn＝eq\f(1,2)×3n－eq\f(1,2).(2)由(1)可得，cn＝3n－1＋(－1)n－1λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n，∴cn＋1＝3n＋1－1＋(－1)nλeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n＋1，∵cn<cn＋1，∴cn＋1－cn＝2×3n＋eq\f(5,2)(－1)nλeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n>0，∴(－1)nλ>－eq\f(4,5)×2n，當n為奇數(shù)時，λ<eq\f(4,5)×2n，由于eq\f(4,5)×2n隨著n的增大而增大，當n＝1時，eq\f(4,5)×2n的最小值為eq\f(8,5)，∴λ<eq\f(8,5)，當n為偶數(shù)時，λ>－eq\f(4,5)×2n，由于－eq\f(4,5)×2n隨著n的增大而減小，當n＝2時，－eq\f(4,5)×2n的最大值為－eq\f(16,5)，∴λ>－eq\f(16,5)，綜上可知，－eq\f(16,5)<λ<eq\f(8,5).10．設(shè)n∈N*，有三個條件：①an是2與Sn的等差中項；②a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)；③Sn＝2n＋1－2.在這三個條件中任選一個，補充在下列問題的橫線上，再作答．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且________．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若{an·bn}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分．解(1)選擇條件①：因為an是2與Sn的等差中項，所以2an＝2＋Sn，所以當n≥2時，2an－1＝2＋Sn－1，兩式相減得，2an－2an－1＝an，即an＝2an－1(n≥2)，在2an＝2＋Sn中，令n＝1，可得a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2·2n－1＝2n.選擇條件②：由a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)，知Sn＋1＝2(Sn＋1)，當n＝1時，可求得a2＝4，所以當n≥2時，Sn＝2(Sn－1＋1)，兩式相減得，an＋1＝2an(n≥2)，又a1＝2，a2＝4也滿足上式，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2·2n－1＝2n.選擇條件③：在Sn＝2n＋1－2中，令n＝1，則a1＝21＋1－2＝2，當n≥2時，有Sn－1＝2n－2，兩式相減得，an＝2n(n≥2)，當n＝1時，a1＝2滿足上式，所以an＝2n.(2)因為{an·bn}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以an·bn＝2＋(n－1)·4＝4n－2，由(1)知，an＝2n，所以bn＝eq\f(2n－1,2n－1)，所以Tn＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋…＋eq\f(2n－1,2n－1)，eq\f(1,2)Tn＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋…＋eq\f(2n－3,2n－1)＋eq\f(2n－1,2n)，兩式相減得，eq\f(1,2)Tn＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋…＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1－eq\f(2n－1,2n)＝1＋2×eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))－eq\f(2n－1,2n)＝3－eq\f(2n＋3,2n)，所以Tn＝6－eq\f(2n＋3,2n－1).11．(2022·北京)設(shè){an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當n>N0時，an>0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，則an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d.若{an}為遞增數(shù)列，則d>0，則存在正整數(shù)N0，使得當n>N0時，an＝dn＋a1－d>0，所以充分性成立；若存在正整數(shù)N0，使得當n>N0時，an＝dn＋a1－d>0，即d>eq\f(d－a1,n)對任意的n>N0，n∈N*均成立，由于n→＋∞時，eq\f(d－a1,n)→0，且d≠0，所以d>0，{an}為遞增數(shù)列，必要性成立．故選C.12．已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，則()A．a(chǎn)1<a3，a2<a4 B．a(chǎn)1>a3，a2<a4C．a(chǎn)1<a3，a2>a4 D．a(chǎn)1>a3，a2>a4答案B解析因為lnx≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4＝a1·q3≤－1.由a1>1，得q<0.若q≤－1，則ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0.又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾．因此－1<q<0.所以a1－a3＝a1(1－q2)>0，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2<a4.13．函數(shù)y＝f(x)，x∈[1，＋∞)，數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，①函數(shù)f(x)是增函數(shù)；②數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．寫出一個滿足①的函數(shù)f(x)的解析式________．寫出一個滿足②但不滿足①的函數(shù)f(x)的解析式________．答案f(x)＝x2f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2(答案不唯一)解析由題意，可知在x∈[1，＋∞)這個區(qū)間上是增函數(shù)的函數(shù)有許多，可寫為f(x)＝x2.第二個填空是找一個數(shù)列是遞增數(shù)列，而對應的函數(shù)不是增函數(shù)，可寫為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2.則這個函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))上