高中數(shù)學(xué)必修二 7 .1 復(fù)數(shù)的概念(精講)

7.1復(fù)數(shù)的概念(精講)

思維導(dǎo)圖

~形如a+bi(a,6CR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=-i.

定義---------------------------------------

復(fù)數(shù)通常用字母Z表示，即z=a+6i(a,6GR),

復(fù)

數(shù)

的設(shè)a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則a+bi=c+dioa=c且b=d,

概

念

①?gòu)?fù)數(shù)t=@+bi(。，b￡R)二發(fā)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(%b)

幾何意義②復(fù)數(shù)t=o+bi(a,b￡R)二^平面向量血

向量詡模叫做復(fù)數(shù)：=a+bi(a,6CR)的?；蚪^對(duì)值

復(fù)數(shù)t=o+bi的模記為團(tuán)或|a+bi|

|c|=|a+M|=Na?+b：

常見(jiàn)考法

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的實(shí)部虛部

[例1]⑴（202一廣東潮州?高一期末）復(fù)數(shù)z=i（l+i）的實(shí)部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

（2）（2021?浙江溫州?高一期末）i2M的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

（3）（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=i,（Ki）（a《R,i為虛數(shù)單位）的虛部為2,則a=（）

A.-2B.2

C.-1D.1

【一隅三反】

1（2021?廣東?深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)高一月考）若復(fù)數(shù)z滿足z=6i+2i2,則z的虛部是（）

A.-2iB.6iC.1D.6

2.（2021?福建莆田?高一期末）若復(fù)數(shù)z=l-2i5,則z的虛部是（）

A.-2B.-2iC.2D.2i

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-H=i-2,則z的虛部為（）

3B.出

A.C.iD.1

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考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的分類

【例2】（2021?福建省建甌市芝華中學(xué)高一月考）已知復(fù)數(shù)z=22F+（病一5"-6）i（,“eR）,試求實(shí)

數(shù)/"的值或取值范圍，使得z分別為：（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=（“+出1+2。為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃為（）

A.—2B.2C.—D.；

22

2.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a,8CR,i是虛數(shù)單位，則“a6O’是"復(fù)數(shù)a-歷為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2021?廣東?徐聞縣第一中學(xué)高一期中）已知復(fù)數(shù)z=（/+5加+6）+（裙-2加-15）i（meR）.

（1）若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

（2）若復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（3）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

考點(diǎn)三復(fù)平面

【例3】（1）（2021?廣東電白?高一期中）設(shè)z=-3-2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

⑵（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）向量?jī)蓪?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-4i,向量?jī)蓪?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-5+4i,則鬲+西

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A.-10+8iB.10-8i

C.0D.10+8i

（3）（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)z=x-2+（3-x）i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取值范

圍是.

【一隅三反】

1.（2021金國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)z=3+4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Z,則對(duì)應(yīng)的向量無(wú)I為（）

A.-3-4iB.4+3iC.-4-3iD.-3+4i

2.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)z=（a?-2a）+（，-a-2）/的共規(guī)復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)a的

值為（）

A.a=O或a=2B.a=0

C.aWl,月.aW2D.或aW2

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面中的下列哪個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（）

A.OA=（l,2）B.麗=（T,0）

C.玩=（°，g）D.麗=（-1,-2）

4.（2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）四邊形A8CZ）是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，已知A、B、C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)

的復(fù)數(shù)分別是l+3i,-i,2+i,則向量而所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A.l-2iB.2+2iC.2-2iD.3+6i

考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)

【例4】（1）（2021?吉林吉林?高三月考（文））若復(fù)數(shù)2=?,其中i為虛數(shù)單位，則忖=（）

A.y/2B.1C.—D.2

2

（2）（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程/z/+2z=13%i的解是（）

A.3MiB.4+3i

C.竺+3iD.3+竺i

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【一隅三反】

1.（2021?安徽滁州?高一期中）若復(fù)數(shù)z滿足z-（l+,）=2,?，則z的模是（）

A.72B.2C.y/lOD.10

2.（2021?浙江浙江?高一期末）若復(fù)數(shù)z滿足z+22=3-i,則|z|=（）

A.1B.V2C.y/3D.2

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=（/z?~9）0-3）f是純虛數(shù)，其中歸尼貝ij/z片___，z=,

4.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z+|z=2,則z=

考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用

【例5】（1）（2021?河北?張家口市第一中學(xué)高一月考）己知beR,（a-l）i-&=3-2i,z=（l+i）”"，則

下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.z的虛部是2B.|z|=2

C.z=-2iD.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

（2）2021全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知〃"€我，若"-6+（。-。），>2（?為虛數(shù)單位），則。的取值范圍是（）

A.a>2或a<TB.或a<-2C.-\<a<2D.-2<?<1

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）實(shí)數(shù)x,y滿足（l+i）x+（l-i）尸2,設(shè)z="yi