靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法

關(guān)于靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法本章內(nèi)容安排4.1邊值問(wèn)題的分類4.2唯一性定理4.3鏡像法4.4分離變量法4.5復(fù)變函數(shù)法4.6格林函數(shù)法4.7有限差分法第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第2頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.1邊值問(wèn)題的分類1定義通過(guò)微分方程及相關(guān)邊界條件描述的問(wèn)題2分類第一類邊值問(wèn)題：給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)值；第二類邊值問(wèn)題：給定邊界上每一電位函數(shù)的法向?qū)?shù)；第三類邊值問(wèn)題：給定一部分邊界上每一點(diǎn)的電位，同時(shí)給定另一部分邊界上每一點(diǎn)電位法向?qū)?shù)。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第3頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.2唯一性定理4.2.1格林公式1格林第一公式由散度定理令則第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第4頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月則即第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第5頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月2格林第二公式4.2.2唯一性定理對(duì)任意的靜電場(chǎng),當(dāng)空間各點(diǎn)的電荷分布與整個(gè)邊界上的邊界條件已知時(shí),空間個(gè)部分的場(chǎng)唯一確定。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第6頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.3鏡像法1用途是解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的一種特殊方法，主要用來(lái)求解分布在導(dǎo)體附近的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)。2分類平面鏡像法球面鏡像法圓柱鏡像法平面介質(zhì)鏡像法第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第7頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.4分離變量法1內(nèi)容是數(shù)學(xué)物理方法中應(yīng)用最廣的一種方法，它要求所給的邊界與一個(gè)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的坐標(biāo)表面相重合，或分段重合，待求偏微分方程的解可表示成三個(gè)函數(shù)的乘積，每一個(gè)函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。從而把偏微分方程化為常微分方程進(jìn)行求解。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第8頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月2實(shí)現(xiàn)分離變量法的步驟分離變量。將偏微分方程的定解問(wèn)題化為常微分方程的定解問(wèn)題（線性齊次偏微分方程）；確定固有值和固有函數(shù)。當(dāng)邊界條件是齊次的時(shí)，利用其求固有值，并求出滿足零邊界條件的非零解；求解其他常微分方程。得到滿足齊次邊界條件的偏微分方程的特解Un（x，y）；將所有Un（x，y）疊加，利用其中的常數(shù)使其滿足偏微分方程其余的定解條件。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第9頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月3分離變量法的分類直角坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法4.5復(fù)變函數(shù)法主要用途用于求解復(fù)雜邊界的二維邊值問(wèn)題，且在一般條件下，其解具有較簡(jiǎn)單的形式，可方便地計(jì)算電容。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第10頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.5.1復(fù)電位若復(fù)變函數(shù)為解析函數(shù)，則實(shí)部和虛部間滿足柯西-黎曼條件：解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足二維拉普拉斯方程：第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第11頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月在無(wú)源區(qū)，二維靜電場(chǎng)的電位滿足拉普拉斯方程，即二維靜電場(chǎng)的電位可用解析函數(shù)的實(shí)部或虛部表示。對(duì)于解析函數(shù)曲線簇和曲線簇處處相互正交。即任意解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均滿足二維拉普拉斯方程，且實(shí)部和虛部的等值線相互垂直。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第12頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月由于二維靜電問(wèn)題的等位線和電力線相互垂直，故如果用虛部表示電位，則實(shí)部的等直線就表示電通量線，此時(shí)稱該實(shí)部為通量函數(shù)，稱解析函數(shù)為復(fù)電位。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第13頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.5.2用復(fù)電位解二維邊值問(wèn)題通量函數(shù)若利用某一解析函數(shù)的虛部表示二維電場(chǎng)的電位，則如圖所示，通過(guò)曲面的電通量為第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第14頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法BE導(dǎo)體EdSdlAxy電通量函數(shù)第15頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.6格林函數(shù)1格林函數(shù)的內(nèi)容是數(shù)學(xué)物理方法中的基本方法之一，可用于求解靜態(tài)場(chǎng)中的拉普拉斯方程，泊松方程及時(shí)變場(chǎng)中的亥姆霍茲方程。2格林函數(shù)的要點(diǎn)求出與待解問(wèn)題具有相同邊界形狀的格林函數(shù)；通過(guò)積分得到具有任意分布源的解。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第16頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.6.1靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的格林函數(shù)表示方法1給定邊界形狀下一般邊值問(wèn)題的格林函數(shù)2格林函數(shù)邊界條件的分類第一類邊值問(wèn)題的格林函數(shù)第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第17頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月第二類邊值問(wèn)題的格林函數(shù)第三類邊值問(wèn)題的格林函數(shù)第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第18頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.6.2簡(jiǎn)單邊界的格林函數(shù)無(wú)界空間的格林函數(shù)上半空間的格林函數(shù)球內(nèi)、外空間的格林函數(shù)第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第19頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.7有限差分法1．差分原理有限差分法將連續(xù)場(chǎng)域內(nèi)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的問(wèn)題，通過(guò)離散化模型上各離散點(diǎn)的數(shù)值解來(lái)逼近連續(xù)場(chǎng)域內(nèi)的真實(shí)解。2.差分表示法對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)獨(dú)立變量x有一微小增量

x＝h時(shí)，相應(yīng)f(x)的增量為：第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第20頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月稱為函數(shù)f(x)的差分被稱為有限差分。中心差分一階差商二階差商

第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第21頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月3

將二維場(chǎng)的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一組差分方程組設(shè)邊值問(wèn)題是決定離散點(diǎn)的分布方式按正方網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格邊長(zhǎng)（步長(zhǎng)）h，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱結(jié)點(diǎn)；設(shè)結(jié)點(diǎn)O上的電位為

(xo,yo)=

o,結(jié)點(diǎn)1，2，3，4上的電位為

1，

2，

3，

4；第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第22頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月任一點(diǎn)x的電位考慮1，3兩點(diǎn)x1=xo+h,x3=xo-h

第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第23頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月若h足夠小，則第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第24頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月二維場(chǎng)泊松方程的差分形式二維場(chǎng)拉普拉斯方程的差分形式第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第25頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法格林函數(shù)表示方法第26頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月4.

差分方程的解法設(shè)將場(chǎng)域劃分如圖；邊界上的值分別為f1,......f16；在各內(nèi)點(diǎn)上作出差分，泊松方程變成差分方程組；解出關(guān)于

1，

2.....

9的代數(shù)聯(lián)立方程組，即可求出各點(diǎn)的函數(shù)值。第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第27頁(yè),共30頁(yè)，星期六，2024年，5月第四章靜態(tài)