高一數(shù)學(xué)教材同步知識(shí)點(diǎn)專題詳解(蘇教版必修第一冊(cè))6.3對(duì)數(shù)函數(shù)(原卷版+解析)

6.3對(duì)數(shù)函數(shù)TOC\o"1-4"\h\z\u6.3對(duì)數(shù)函數(shù) 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 3知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 5知識(shí)點(diǎn)3反函數(shù) 7二、典型題型 8題型1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域 10題型2比較對(duì)數(shù)式的大小 12題型3解對(duì)數(shù)不等式 12三、難點(diǎn)題型 12題型1與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象 15題型2值域問(wèn)題 17四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 29一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是(0，＋∞)．例1（多選題）存在函數(shù)滿足：對(duì)于任意都有（

）A． B． C．D．例2已知在上是減函數(shù)，且對(duì)任意的都成立，寫(xiě)出一個(gè)滿足以上特征的函數(shù)___________.例3已知函數(shù)y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)的圖象如圖所示．(1)求實(shí)數(shù)a與b的值；(2)函數(shù)y＝loga(x＋b)與y＝logax的圖象有何關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)在(0，＋∞)上是增函數(shù)當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0；當(dāng)x>1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是減函數(shù)當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0；當(dāng)x>1時(shí)，y<0例1（多選題）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．例2如圖所示，①②③④中不屬于函數(shù)的一個(gè)是____例3已知函數(shù)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.即的取值范圍是.知識(shí)點(diǎn)3反函數(shù)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)和指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱．(2)一般地，如果函數(shù)y＝f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y＝f－1(x)．(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．(4)原函數(shù)y＝f(x)的定義域是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的值域；原函數(shù)y＝f(x)的值域是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域．例1（多選題）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為C．函數(shù)與互為反函數(shù)D．函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)例2已知關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________例3已知函數(shù)的解析式為，其中常數(shù)滿足.(1)若，判斷函數(shù)是否一定存在反函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若，解不等式.二．典型題型題型1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域解題技巧：求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時(shí)，除遵循前面已學(xué)習(xí)過(guò)的求函數(shù)定義域的方法外，還要對(duì)這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)；三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性，有針對(duì)性地解不等式．例1（多選題）下列四組函數(shù)中，f

（x）與g（x）相等的是（）A．f

（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxB．f

（x）＝x，g（x）＝（）2C．f

（x）＝x，g（x）＝D．f

（x）＝x，g（x）＝logaax（a>0且a≠1）例2函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______.例3設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋?1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型2比較對(duì)數(shù)式的大小解題技巧：比較對(duì)數(shù)值大小的常用方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．例1（多選題）下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．例2設(shè)x，y，z為正數(shù)，且，則x，y，z的大小關(guān)系為_(kāi)__________．例3分別比較下列各組數(shù)的大?。?1)，，；(2)，，；(3)與．題型3解對(duì)數(shù)不等式解題技巧：對(duì)數(shù)不等式的三種考查類型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論．(2)形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解．例1（多選題）已知，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A．8 B．C． D．例2若不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________例3已知函數(shù).(1)寫(xiě)出函數(shù)的定義域并判斷其奇偶性；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.三．難點(diǎn)題型題型1與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象解題技巧：1．已知y＝f(x)的圖象，求y＝|f(x＋a)|＋b的圖象步驟如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的圖象，求y＝|f(x＋a)＋b|的圖象，步驟如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有絕對(duì)值號(hào)的函數(shù)圖象時(shí)，先將絕對(duì)值號(hào)內(nèi)部的圖象作出來(lái)，再進(jìn)行翻折，內(nèi)部變換的順序是先變換x，再變換y.例1（多選題）已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的解且，則有

（

）A． B．C． D．的最小值為例2若函數(shù)在上的最大值為4，則a的取值范圍為_(kāi)_______．例3如圖，已知過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C，D兩點(diǎn)．(1)證明O，C，D三點(diǎn)在同一條直線上；(2)當(dāng)軸時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)．題型2值域問(wèn)題解題技巧：求函數(shù)值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根據(jù)函數(shù)解析式的特征，從函數(shù)自變量的變化范圍出發(fā)，通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合解析式，直接得出函數(shù)值域．(2)配方法當(dāng)所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)，求函數(shù)值域問(wèn)題時(shí)，可以用配方法．(3)單調(diào)性法根據(jù)在定義域(或定義域的某個(gè)子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域．(4)換元法求形如y＝logaf(x)型函數(shù)值域的步驟：①換元，令u＝f(x)，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)求出u的范圍；②利用y＝logau的單調(diào)性、圖象，求出y的取值范圍．例1（多選題）已知函數(shù)，以下判斷正確的是（

）A．f（x）是增函數(shù) B．f（x）有最小值C．f（x）是奇函數(shù) D．f（x）是偶函數(shù)例2已知函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，則的值為_(kāi)__________.例3已知，函數(shù)(1)若函數(shù)過(guò)點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求的取值范圍.四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-33．函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是(

)A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)6．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．二、多選題7．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，的圖象可能是（

）A． B．C． D．8．下列四個(gè)函數(shù)中過(guò)相同定點(diǎn)的函數(shù)有（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若a＞b＞c，且，則（

）A．a(chǎn)＞1 B．b＞1C．0＜c＜l D．0＜ac＜1三、填空題10．有（1）；（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.下列函數(shù)中，同時(shí)滿足性質(zhì)（1）（2）的函數(shù)有_________.（填序號(hào)）①；②；③；④；⑤；⑥.11．已知函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．12．函數(shù)的值域是______．四、解答題13．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的定義域．(2)若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．14．已知函數(shù)（且）.(1)求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.6.3對(duì)數(shù)函數(shù)TOC\o"1-4"\h\z\u6.3對(duì)數(shù)函數(shù) 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 3知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 5知識(shí)點(diǎn)3反函數(shù) 7二、典型題型 8題型1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域 10題型2比較對(duì)數(shù)式的大小 12題型3解對(duì)數(shù)不等式 13三、難點(diǎn)題型 13題型1與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象 15題型2值域問(wèn)題 17四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 28一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是(0，＋∞)．例1（多選題）存在函數(shù)滿足：對(duì)于任意都有（

）A． B． C．D．【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】對(duì)于A，取可得，取可得，與函數(shù)定義矛盾，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，設(shè)，則，所以可化為，B正確，對(duì)于C，設(shè)，則，所以可化為，C正確，對(duì)于D，設(shè)，則，所以可化為，D正確，故選：BCD.例2已知在上是減函數(shù)，且對(duì)任意的都成立，寫(xiě)出一個(gè)滿足以上特征的函數(shù)___________.【答案】答案不唯一【分析】由變形到可考慮對(duì)數(shù)函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)性以及“”可考慮構(gòu)造對(duì)數(shù)型函數(shù).【詳解】由題意可知，可變化為的形式，由此可想到對(duì)數(shù)函數(shù)，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)且，所以滿足條件的一個(gè)函數(shù)可取，故答案為：(答案不唯一).例3已知函數(shù)y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)的圖象如圖所示．(1)求實(shí)數(shù)a與b的值；(2)函數(shù)y＝loga(x＋b)與y＝logax的圖象有何關(guān)系？【答案】(1)a＝2，b＝4(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，列方程即可求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由（1）可知，函數(shù)y＝loga(x＋b)恒過(guò)定點(diǎn)，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax恒過(guò)定點(diǎn)，由于兩者圖象形狀一樣但是位置不同，通過(guò)向左平移4個(gè)單位即可得到.(1)由圖象可知，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3,0)與點(diǎn)(0,2)，所以可得0＝loga(－3＋b)與2＝logab，解得a＝2，b＝4.(2)由（1）可知，函數(shù)y＝loga(x＋b)恒過(guò)定點(diǎn)，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax恒過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)y＝loga(x＋4)的圖象可以由y＝logax的圖象向左平移4個(gè)單位得到．知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)在(0，＋∞)上是增函數(shù)當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0；當(dāng)x>1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是減函數(shù)當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0；當(dāng)x>1時(shí)，y<0例1（多選題）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)a＞0，b＞0，且ab＝1，，分和，由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象判斷.【詳解】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，，∴當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象是：，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象是：故選：AB．例2如圖所示，①②③④中不屬于函數(shù)的一個(gè)是____【答案】③【解析】根據(jù)單調(diào)性確定只有在上是增函數(shù)，排除①②，再利用特殊值判斷.【詳解】在上是減函數(shù)，其圖象分別對(duì)應(yīng)①②，而只有在上是增函數(shù)，的圖象關(guān)于對(duì)稱，圖象對(duì)應(yīng)④，所以③不滿足，故答案為：③例3已知函數(shù)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，圖象見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上求出，再分段畫(huà)出函數(shù)的圖象；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出圖象，利用圖象進(jìn)行求解.(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，解得，即，其圖象如圖所示：(2)解：將化為，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出直線與函數(shù)的圖象（如圖所示），由圖象，得，即，即的取值范圍是.知識(shí)點(diǎn)3反函數(shù)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)和指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱．(2)一般地，如果函數(shù)y＝f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y＝f－1(x)．(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．(4)原函數(shù)y＝f(x)的定義域是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的值域；原函數(shù)y＝f(x)的值域是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域．例1（多選題）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為C．函數(shù)與互為反函數(shù)D．函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?；B選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，且，，所以其零點(diǎn)所在區(qū)間為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，即，可得，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：函數(shù)與函數(shù)的定義域均為，，，不為同一函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.例2已知關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需函數(shù)與直線相交即可.【詳解】若關(guān)于的方程有解，即與的圖像有交點(diǎn)，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，如圖所示：設(shè)函數(shù)與直線相切，切點(diǎn)為，，則有，解得：，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有交點(diǎn)，即與的圖像有交點(diǎn)，即方程有解.故答案為：例3已知函數(shù)的解析式為，其中常數(shù)滿足.(1)若，判斷函數(shù)是否一定存在反函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若，解不等式.【答案】(1)存在，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（2）化簡(jiǎn)不等式可得，再分和兩種情況求解即可(1)若，則或.當(dāng)時(shí)，在R上嚴(yán)格單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在R上嚴(yán)格單調(diào)遞減.故一定存在反函數(shù).(2)若，則即，，故.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得二．典型題型題型1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域解題技巧：求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時(shí)，除遵循前面已學(xué)習(xí)過(guò)的求函數(shù)定義域的方法外，還要對(duì)這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)；三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性，有針對(duì)性地解不等式．例1（多選題）下列四組函數(shù)中，f

（x）與g（x）相等的是（）A．f

（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxB．f

（x）＝x，g（x）＝（）2C．f

（x）＝x，g（x）＝D．f

（x）＝x，g（x）＝logaax（a>0且a≠1）【答案】CD【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A，f

（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，g（x）的定義域?yàn)閧x|x>0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是相等函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B，f

（x）的定義域?yàn)镽，g（x）的定義域?yàn)閧x|x≥0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是相等函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C，g（x）＝＝x，兩函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，是相等函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D，g（x）＝logaax＝x，x∈R，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，是相等函數(shù)．故選：CD.例2函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______.【答案】,【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次根式的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可．【詳解】解：要使函數(shù)有意義，需且，故且，解得：，故函數(shù)的定義域是,．故答案為：,.例3設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋?1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題知，即得；（2）根據(jù)，得，即求.(1)由題知，解得：，∴.(2)由題知，若，則，，實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型2比較對(duì)數(shù)式的大小解題技巧：比較對(duì)數(shù)值大小的常用方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．例1（多選題）下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】A.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解；B.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解；C.先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得解；D.利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解.【詳解】A.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，所以，所以該選項(xiàng)正確；C.，因?yàn)橛?，所以該選項(xiàng)正確；D.由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增得，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減得，所以.所以該選項(xiàng)正確.故選：BCD例2設(shè)x，y，z為正數(shù)，且，則x，y，z的大小關(guān)系為_(kāi)__________．【答案】【分析】由題可設(shè)，進(jìn)而可得，然后根據(jù)換底公式及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因?yàn)閤，y，z為正數(shù)，可設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，即．故答案為：．?分別比較下列各組數(shù)的大?。?1)，，；(2)，，；(3)與．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）對(duì)于同底數(shù)的對(duì)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，對(duì)于不同底數(shù)的對(duì)數(shù)，利用中間值法；（2）對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的比較，利用中間值法；（3）對(duì)于真數(shù)相同的對(duì)數(shù)，利用函數(shù)圖象.（1）因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以．又在上是增函數(shù)，所以，所以．（2）因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以．因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以．因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以．所以．（3）方法一：函數(shù)和的圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，的圖象在的圖象的上方，所以．方法二：因?yàn)?，，又，所以．題型3解對(duì)數(shù)不等式解題技巧：對(duì)數(shù)不等式的三種考查類型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論．(2)形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解．例1（多選題）已知，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A．8 B．C． D．【答案】CD【分析】求出，令，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)集合的包含關(guān)系和充分條件的定義可得答案.【詳解】，令，若，則或，解得或，結(jié)合選項(xiàng)，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的值可能是.故選：CD.例2若不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________【答案】【分析】由的取值范圍求出的范圍，依題意利用換底公式及參變分離可得對(duì)于任意恒成立，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得到，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁綄?duì)于任意恒成立，即不等式對(duì)于任意恒成立，因?yàn)椋?，所以不等式?duì)于任意恒成立，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以或，解得或，即；故答案為：例3已知函數(shù).(1)寫(xiě)出函數(shù)的定義域并判斷其奇偶性；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的定義域?yàn)椋粸榕己瘮?shù)(2)【分析】（1）先列不等式組求得函數(shù)的定義域再利用定義判斷其奇偶性即可；（2）先將轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)不等式，再列不等式組即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）由，可得，則函數(shù)的定義域?yàn)橛煽傻煤瘮?shù)為偶函數(shù)（2）由，可得由，可得解之得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三．難點(diǎn)題型題型1與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象解題技巧：1．已知y＝f(x)的圖象，求y＝|f(x＋a)|＋b的圖象步驟如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的圖象，求y＝|f(x＋a)＋b|的圖象，步驟如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有絕對(duì)值號(hào)的函數(shù)圖象時(shí)，先將絕對(duì)值號(hào)內(nèi)部的圖象作出來(lái)，再進(jìn)行翻折，內(nèi)部變換的順序是先變換x，再變換y.例1（多選題）已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的解且，則有

（

）A． B．C． D．的最小值為【答案】ABD【分析】先畫(huà)出圖像，結(jié)合圖像即可判斷AC選項(xiàng)，再通過(guò)判斷B選項(xiàng)，最后結(jié)合單調(diào)性判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，：當(dāng)0<時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，易知f(x)與直線有四個(gè)交點(diǎn)，分別為（-2，1），（0，1），（，1），（4，1），因?yàn)橛兴膫€(gè)不同的解且，所以故C錯(cuò)誤；且A正確；，又，所以，即，B正確；所以，且，構(gòu)造函數(shù)，且，可知g(x)在（1，4]上單調(diào)遞減，且，所以的最小值為—．D正確．故選：ABD．例2若函數(shù)在上的最大值為4，則a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)圖象，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出時(shí)的值，即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．作出的大致圖象，如圖所示．由圖可知，，，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以的取值范圍為．故答案為：?如圖，已知過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C，D兩點(diǎn)．(1)證明O，C，D三點(diǎn)在同一條直線上；(2)當(dāng)軸時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析．(2)．【分析】（1）設(shè)，，則，，由共線得一關(guān)系式，利用對(duì)數(shù)的換底公式變形后可得兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，從而得結(jié)論；（2）由兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等可求得，代入（1）中關(guān)系式可求得得點(diǎn)坐標(biāo)．（1）設(shè)，，則，，共線，則，所以，即，所以三點(diǎn)共線；（2）由（1）得，即，所以．所以，當(dāng)時(shí)，，重合不合題意，因此，，從而，（負(fù)值舍去），所以點(diǎn)坐標(biāo)為．題型2值域問(wèn)題解題技巧：求函數(shù)值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根據(jù)函數(shù)解析式的特征，從函數(shù)自變量的變化范圍出發(fā)，通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合解析式，直接得出函數(shù)值域．(2)配方法當(dāng)所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)，求函數(shù)值域問(wèn)題時(shí)，可以用配方法．(3)單調(diào)性法根據(jù)在定義域(或定義域的某個(gè)子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域．(4)換元法求形如y＝logaf(x)型函數(shù)值域的步驟：①換元，令u＝f(x)，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)求出u的范圍；②利用y＝logau的單調(diào)性、圖象，求出y的取值范圍．例1（多選題）已知函數(shù)，以下判斷正確的是（

）A．f（x）是增函數(shù) B．f（x）有最小值C．f（x）是奇函數(shù) D．f（x）是偶函數(shù)【答案】BD【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)情況并確定是否存在最小值，應(yīng)用奇偶性定義判斷奇偶性.【詳解】由，令為增函數(shù)；而在上遞減，在上遞增；所以在上遞減，在上遞增；又在定義域上遞增，則在上遞減，在上遞增；所以在上遞減，在上遞增，故最小值為，，故為偶函數(shù).故選：BD例2已知函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，則的值為_(kāi)__________.【答案】2【分析】由題意知：且在上單調(diào)遞增，由此即可列出等式，解出答案.【詳解】因?yàn)闉楹瘮?shù)的反函數(shù)，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，由題意，，所以，，解得或（舍去）.故答案為：2.例3已知，函數(shù)(1)若函數(shù)過(guò)點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入可求出，進(jìn)而得到解析式；（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到最大值與最小值，再由已知得到問(wèn)題的等價(jià)不等式對(duì)任意恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求最值可得出答案.（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，即，解得，故；（2）因?yàn)槭菑?fù)合函數(shù)，設(shè)，，，在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，由題意對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，，只需即可，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，圖像是開(kāi)口向下的拋物線，故在單調(diào)遞減，故，故.四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)(且)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù).故選：D.2．若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【分析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)一點(diǎn)，代入該點(diǎn)的坐標(biāo)解方程即得解.【詳解】解：由已知得，所以，解得：，故選：A．3．函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根號(hào)下的數(shù)大于等于0，對(duì)數(shù)真數(shù)大于0，解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得：，解得，故選：B.4．已知函數(shù)，，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件求出兩個(gè)函數(shù)在上的值域，結(jié)合若存在，使得，等價(jià)為兩個(gè)集合有公共元素，然后根據(jù)集合關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，則的值域?yàn)閇0，1]，當(dāng)時(shí)，，則的值域?yàn)?，因?yàn)榇嬖冢沟?，則若，則或，得或，則當(dāng)時(shí)，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，A，B，C錯(cuò)，D對(duì).故選：D．5．已知的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是(

)A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)【答案】C【分析】先求出的值域，然后確定的值域所包含的集合，利用一次函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=lnx，其值域?yàn)閇0，+∞)，那么當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，解得：，且a≥﹣1.故選：C.6．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷出是偶函數(shù)，結(jié)合可選出答案.【詳解】由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以是偶函?shù)，函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，可排除A，B；由，可排除D．故選：C二、多選題7．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的取值范圍，對(duì)比兩函數(shù)圖像得出的的取值范圍即可判斷.【詳解】A：根據(jù)的圖像知對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，圖像過(guò)點(diǎn)，所以；根據(jù)的圖像為的一條直線可判斷，且無(wú)論a為何值圖像均為，此類情況符合題意，A正確；B：由的圖像可知，若，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像應(yīng)向右平移，選項(xiàng)中的圖像向左平移，故B錯(cuò)誤；C：由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像知且，函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1且函數(shù)單調(diào)遞減，所以且，C正確；D：由的圖像知函數(shù)單調(diào)遞減則，但未向右平移，錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像問(wèn)題，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8．下列四個(gè)函數(shù)中過(guò)相同定點(diǎn)的函數(shù)有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合冪指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)確定各函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷過(guò)相同定點(diǎn)的函數(shù).【詳解】A：必過(guò)；B：，由知函數(shù)