新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)訓(xùn)練：圓 分層練習(xí)題含答案解析

6圓

基礎(chǔ)過關(guān)練................................................................1

能力提升練...............................................................4

培優(yōu)拔尖練...............................................................8

基礎(chǔ)過關(guān)練

1..已知圓C過點(diǎn)A(-2,0),8(0,4),圓心在x軸上，則圓C的方程為C)

A.(x+l)2+(y-2)2=5B.(x-l)2+y2=9

C.(x-3)2+y2=25D.x2+y2=16

【答案】C

【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.

【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+,=/，

將4-2,0),3(0,4)坐標(biāo)代入得：](：+“)=，，

/+16=/

(〃二3

解得22故圓的方程為(x-3)2+y2=25,

[r~=25

2.已知A(-后0),8(6,0),C(0,3),則ABC外接圓的方程為()

A.(x-l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

【答案】D

【分析】求得0ABe外接圓的方程即可進(jìn)行選擇.

【詳解】設(shè)ABC外接圓的方程為(無-4+仃-獷”

-a)2+(0-Z?)2=r2a=0

則有，(6-4)2+(0-6)丁/，解之得,6=1

(0-a)2+(3-6『=/[r=2

則.ABC外接圓的方程為無2+⑶一1)2=4

3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A(T2),6(3,2),ck-|L則,ABC的內(nèi)切圓的方程

為()

A.(x-l)2+(y-6)2=4B.(x-l)2+(y-l)2=4

C.(1)2+(y-6)2=1D.(尤_iy+(y_l)2=]

【答案】D

【分析】結(jié)合題意設(shè)出圓心，再利用圓心到直線AC與到直線A8的距離相等列出一個(gè)等式,

即可求出圓心，即可進(jìn)而求出半徑，得到答案.

【詳解】易知一ABC是等腰三角形，且體。=忸。，.?.圓心￡＞在直線》=1上，設(shè)圓心

易得直線AC的方程為4x+3y—2=。，直線A8的方程為y=2,貝I]

2-6=筆”?，解得6=1,則內(nèi)切圓的半徑為廠=2-1=1，，所求圓的方程為

"+3?

(x-l)2+(y-l)2-l.

4.已知點(diǎn)A(1,2)在圓C：f+產(chǎn)+皿-2y+2=0外，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(-3,-2)1(2,+w)B.(-3,-2)u(3,+w)

C.(-2,+功D.(-3,-H?)

【答案】A

【分析】由爐+y2+"吠-2,+2=0表示圓可得+(_2)2_4x2＞0,點(diǎn)A(1,2)在圓C外

nTWl2+22+m-2x2+2＞0,求解即可

【詳解】由題意，尤2+J+/Mx-2y+2=。表示圓

故+(-2)2-4x2＞0,即帆＞2或機(jī)＜-2

點(diǎn)A(1,2)在圓C：—+V+"久丫-2'+2=0夕卜

故F+22+MI-2X2+2＞0，BPm＞-3

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為機(jī)＞2或-3＜機(jī)＜-2

即修4―3,-2)(2,^o)

5.已知直線丫=履(左＞0)與圓C:(尤-2y+(y-l)2=4相交于48兩點(diǎn)|AB|=26，則k=()

A.-B.-C.1D.—

53212

【答案】B

【分析】圓心C(2,l)到直線、=丘(左＞0)的距離為d,則4=號(hào)",而

d=卜摟：=5^=1，所以解方程即可求出答案.

【詳解】圓C:(x—2y+(y—l)2=4的圓心C(2,l),r=2

所以圓心C(2,l)到直線y=kx(k>0)的距離為d,則d=亍寸,

而d=Jr2=，4-3=1,所以1=A[=)解得：4=t

6.已知圓C：(x+l)2+y2=r2(r>0),直線/：3x+4y-2=0.若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的

距離為1,貝卜的值為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【解析】圓C的圓心為(-1,0)到直線/的距離為1,由圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為1,

得到圓心為(-1,0)到直線/的距離為d=：,由此求出廠的值.

【詳解】圓c的圓心為(-i,o)，則圓心c到直線/的距離d==L

又圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為1.

所以圓心為(TO)到直線/的距離為d=(,即1=^=1。所以廠=2故選：A

7.若直線x-y+a=0與圓/=4相交于A,B兩點(diǎn)，且ZAO8=120。(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則

同=()

A.1B.72C.2D.272

【答案】B

【分析】先由余弦定理求出|4用=2百，即可得出圓心到直線的距離，即可求得答案.

【詳解】圓d+V=4的圓心為(0,0),半徑為2,

則在中，由余弦定理可得|A砰=22+22—2x2x2x—g=12,叫4a=26，

,\a\

所以圓心到直線的距離為商一(司=1,則巖即時(shí)=0.

二1,

8.已知圓C]:無2+9—4x—2y—5=0,圓C2:+2x—2y—14=0,則兩圓的位置關(guān)系是

()

A.相離B.相交C.內(nèi)含D,相切

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系.

-22

【詳解】由題設(shè)，G：(X—2)+(y—I)=10,C2-(x+1)+(y—I)=16,

AC,(2,1),半徑『癡;C2(-l,l),半徑<=4；

，5-彳<|℃|=3<4+2，即兩圓相交.

9.兩圓x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-12=0的公共弦所在直線的方程為()

A.x+2y-6=0B.x-3y+5=0C.x-2y+6=0D.x+3y-8=0

【答案】c

【分析】?jī)蓤A方程相減得出公共弦所在直線的方程.

【詳解】?jī)蓤A方程相減得2x-4y+12=0,即x-2y+6=o

則公共弦所在直線的方程為x-2y+6=0

能力提升練

1.某圓經(jīng)過A(0，10)，8(6,10)兩點(diǎn)，圓心在直線2x-y=l上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

22

A.(x+3)2+(y+5『=34B.(x-3)+(y+5)=34

C.(x+3)2+(y-5)2=34D.(x-3)2+(y-5)2=34

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的平面幾何性質(zhì)可知圓心在AB的中垂線上，聯(lián)立方程可得圓心坐標(biāo)，再求

出半徑即可得解.

【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過A(0，10b5(6,10)兩點(diǎn),

所以圓心在中垂線尤=等=3上，

fx=3/-----------.——

聯(lián)立2x-=］解得圓心35)，所以圓的半徑R=j32+(5-10)2=用,

故所求圓的方程為(x-3)2+(y-5>=34,

2.若不同的四點(diǎn)45,0),8(-1,0),C(-3,3),O(a,3)共圓，則。的值為()

A.1B.3C.-2D.7

【答案】D

【分析】設(shè)圓的方程為/+丁+瓜+份+/=0(。2+召2-4/>0),解方程組

’25+50+尸=0

<l-D+F=0即得解.

9+9-3D+3E+F=0

【詳解】解：設(shè)圓的方程為爐+y+.+或+尸=0(/)2+52—4尸>0),分別代入A,B,C

。=—4

25+5。+/=0

25

三點(diǎn)坐標(biāo)，得1—。+/=0解得=-彳，所以A,B,C三點(diǎn)確定的圓的方程

9+9—3O+3E+尸=0

F=-5

x2+y2-4x-y-5=0.

因?yàn)?）也在此圓上，所以/+9—4a-25-5=0,所以/—4〃—21=0,

解得4=7或。=一3（舍去）.故選：D.

3.直線與無軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的方程

為.

【答案】d）2+（y-l）2=l

【分析】由圓與坐標(biāo)軸相切（圓心在在第一象限），設(shè)、。的內(nèi)切圓的圓心為“（加J"）,則

半徑為I刈.由圓心到切線的距離等于半徑求得加，從而得圓方程.

【詳解】由題意設(shè)OAB的內(nèi)切圓的圓心為“（幾7找），則半徑為1ml.

直線/的方程可化為-T2=。,

13m+4m-121

由題意可得=1mI,解得m=1或機(jī)=6（不符合題意，舍去）.

A/32+42

，.Q4B內(nèi)切圓的方程為（x-l）2+（y-l）2=l.

故答案為：(x-l)2+(y-l)2=l.

4.點(diǎn)卜in30°,cos30°）與圓/+的位置關(guān)系是（）.

A.點(diǎn)在圓上B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外D.不能確定

【答案】C

【分析】先求圓心與己知點(diǎn)之間距離，再與半徑比較確定選項(xiàng).

、2

［詳解】因?yàn)镴sin230°+cos230°=6=1＞《,所以點(diǎn)在圓外.

2J

5.已知圓C：（x+l）2+（y-2）2=16,直線/過點(diǎn)尸（2,3）與圓C交于A,8兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段

A3的中點(diǎn)，則直線/的方程為（）

A.%+3,-11=0B.3x+y-9=0

C.%—3y+7=0D.3x-y—3=0

【答案】B

【分析】由題知CPLAB,進(jìn)而得益B=-3,再求直線的方程即可.

3—71

【詳解】解：由已知得C（—l,2）,所以%，二缶二：.

因?yàn)镻（2,3）為弦A3的中點(diǎn)，所以CPJ_AB,所以勾B=-3,

所以，直線/的方程為y-3=-3（x-2）,即3x+y-9=0.

6.若圓f+y2=r2（r>0）上恰有相異兩點(diǎn)到直線4A-3y+25=0的距離等于1,則「不可能取

值（）

911

A.—B.5C.—D.6

22

【答案】D

【分析】求出圓心到直線的距離，使得圓心到直線的距離與半徑的差的絕對(duì)值小于1,即可

滿足題意，求出r的范圍.

|25|

【詳解】???圓心。（。,。）到直線4x-3y+25=0的距離［="+㈠丫，

圓/+9=/（r>0）上恰有相異兩點(diǎn)到直線4%-3y+25=0的距離等于1,

A\d-r\<l,gp|5-r|<l,Are（4,6）.則r不可能取值為6.故選：D.

7.己知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線+=。與圓C：尤2+丁+4>=。相交于兩點(diǎn)，若

ZAOB=45，則加的值為（）

A.-4或4B.T或0C.。或4D.T或2

【答案】B

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，可知C4_LCB,然后可得圓心到直線的距

離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程可解.

【詳解】由V+y2+4y=o,得d+（y+2）2=4,則圓心為C（0,-2）,半徑為2,

易知。在圓上，因?yàn)閆AOB=45。,

所以NACB=90。，得。

則圓心C到直線尤-y+，〃=。的距離4=代由45。=2*更=0,

2

即舁苧

即m=0或相=T.

V2

8.設(shè)r>0,則兩圓(x-1)~+(y+3)~=廣與尤2+y~=16的位置關(guān)系不可能是()

A.相切B.相交C.內(nèi)切和內(nèi)含D.外切和外離

【答案】D

【分析】求出兩圓的圓心和半徑，計(jì)算圓心距與半徑比較即可求解.

【詳解】圓Y+>2=16的圓心為(0,0),半徑為4；

圓(x-1)2+(y+3)2=/的圓心為(1,-3),半徑為r.

兩圓心之間的距離為VIZ?=Jid,

又因?yàn)镸<4,所以兩圓不可能外切和外離.

9.當(dāng)0<"8時(shí)，兩圓/+/=9與(x—3y+(y-4>=/的位置關(guān)系為()

A.相交B,相切C.相交或相切D.相交、相切或相離

【答案】D

【分析】圓心距為d=73?+4?=5,討論廠=8時(shí)，2<廠<8時(shí)，r=2時(shí)，0<r<2時(shí)四種情

況，分別計(jì)算得到答案.

【詳解】?jī)蓤Ax2+y2=9與(x-3)2+(y-4)2=/的圓心距為1=正壽=5,4=3.

當(dāng)r=8時(shí)，d=r-rt,兩圓內(nèi)切；

當(dāng)2<r<8時(shí)，>一H<d<r+q,兩圓相交;

當(dāng)r=2時(shí)，d=r+rx,兩圓外切；

當(dāng)0<r<2時(shí)，d>r+rx,兩圓外離；

10.己知圓C：x2+y2-4=。與圓+/-4》+4〉-12=。相交于4,8兩點(diǎn)，則兩圓的公共

弦|明=

A.20B.3亞C.y[iD.2

【答案】A

【分析】?jī)蓤A方程相減得AB所在的直線方程，再求出到直線的距離，從而由C1的半

徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出1^1.

【詳解】圓C]：x2+V-4=0與圓C2：x2+y2-4x+4y-12=0相減得AB所在的直線方程：

X—y+2=0.

,圓G:+丁2—4=0的圓心G（0,0）,丫=2,

?0-0+2l

???圓心(0,0)到直線AB：x-y+2=0的距離d==夜,

Vl2+12

則|AB|=24-d?=2,4-2=2母.故選A

培優(yōu)拔尖練

1.過點(diǎn)A(-6,2),8(2,-2)且圓心在直線尤-、+1=0上的圓的方程是()

A.0-3)2+(尸2)2=25B.(x+3)2+(y+2)2=25

C.(x-3)2+(y-2>=5口.(x+3)2+(y+2)2=5

【答案】B

【分析】由題設(shè)得AB的中垂線方程為>=2(x+2),其與x-y+l=。交點(diǎn)即為所求圓心，并

應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑，寫出圓的方程即可.

-2-21

【詳解】由題設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),且“=彳^?=二，

2—(—0)2

A8的中垂線方程為y=2(尤+2),聯(lián)立x-y+l=0,

可得I；二二；’即圓心為(一3,—2),而r=優(yōu)2_(-3)]2+[_2-(-2).=5,

圓的方程是(x+3)2+(y+2)2=25.

2.德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：己知點(diǎn)A、8是NMQV的

ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是OM邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí)，ZACB最大？問題的答案是：

當(dāng)且僅當(dāng)，ABC的外接圓與邊相切于點(diǎn)C時(shí)，ZACB最大.人們稱這一命題為米勒定理.已

知點(diǎn)尸、Q的坐標(biāo)分別是(2,0),(4,0),R是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NPRQ最大時(shí)，

點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為()

A.1B.72C.2>/2D.2

【答案】C

【分析】由題意，借助米勒定理，可設(shè)出坐標(biāo)，表示出PQR的外接圓方程，然后在求解點(diǎn)

R的縱坐標(biāo).

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸、。的坐標(biāo)分別是(2,0),(4,0)是x軸正半軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)R是y

軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)米勒定理，當(dāng)aPQR的外接圓與y軸相切時(shí)，ZPRQ最大，由垂徑

定理可知，弦尸Q的垂直平分線必經(jīng)過.PQR的外接圓圓心，所以弦PQ的中點(diǎn)為(3,0),故

弦PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的外接圓半徑,即r=3,由垂徑定理可得，圓心坐標(biāo)為卜，20)，

故.PQR的外接圓的方程為(尤-3)2+(y-2g'『=9,所以點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為(0,272).

3.直線4：3x+4y-12=。分別交坐標(biāo)軸于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形0A8的內(nèi)切圓上

有動(dòng)點(diǎn)P,則根=歸。「+|上4『+|即2的最小值為()

A.16B.18C.20D.22

【答案】B

【分析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)p(x,y),則m=|PO「+E「+pg「

=3+(y-l)2+y,由卜-：；+(尸1)2表示內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)件”的距

離的平方，從而即可求解最小值.

【詳解】解：因?yàn)橹本€4：3x+4y-12=。分別交坐標(biāo)軸于42兩點(diǎn)，

所以設(shè)4(4,0),3(0,3),則閥=2,

因?yàn)镾“B=；(3+4+5)r=gx3x4,所以三角形OA8的內(nèi)切圓半徑r=1,內(nèi)切圓圓心為(1,1),

所以內(nèi)切圓的方程為(Al)2+(y-1);1,

設(shè)p(x,y),貝!|加=|尸+|PA|2+|PB|2=d+y?+(X—4)2+y2+尤2+(尸3)2

=3卜-力+(y-行+三，

因?yàn)椴?g12+(y-1J表示內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)gj的距離的平方，且弓，1)在內(nèi)切圓

內(nèi)，

所以+(yT)2一g)=1，

所以3(x-g)+(y-l)2+曰23><[+曰=18,,即加=|尸0「+陷2+|尸8「的最小值為18,

4.直線與圓尤2+/=/相離，則P(“,b)與圓尤2+/=戶的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓

.(填“外喊"上”或“內(nèi)”)

【答案】?jī)?nèi)

【分析】先求得。血廠的關(guān)系式，由此判斷出點(diǎn)P與圓1+產(chǎn)=產(chǎn)的位置關(guān)系.

【詳解】圓V+y2=產(chǎn)的圓心為（0,0）,半徑為小

由于直線ax+by=/與圓x?+y2=/相離，

戶I------

所以I---=＞「,，＞、/+/,

yla2+b2

所以。2+/＜/，

所以pg力）與圓/+/=r的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓內(nèi).

5.已知直線＞=左0-石）與圓。:/+;/=4交于兩點(diǎn)，且Q4LO3,貝必=（）

A.y/2B.士也C.1D.±1

【答案】B

【分析】由題知直線丫=4。-6）過定點(diǎn)（6,0）,且在圓。工+產(chǎn)=4內(nèi)，進(jìn)而結(jié)合題意將

問題轉(zhuǎn)化為圓心0（0,0）到直線y=k（x-y/3）的距離為〃=V2，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求

解即可.

【詳解】解：因?yàn)橹本€丁=%（工-6）,

所以，直線y—后過定點(diǎn)（"0）,且在圓O:Y+y2=4內(nèi)，

因?yàn)橹本€y=-x-6）與圓O:d+y2=4交于A,B兩點(diǎn)，且Q4_LOB,

所以，圓心。（0,0）到直線y=Q-石）的距離為d=?,

所以，1=后=^^,即/=2,即人=±拒.

V1+F

6.已知圓C：/+9=4上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線/：》-'+m=。的距離都等于1,則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是（）

A.[-3夜,-應(yīng)）（夜,3行]B.3A/2,—^2J|^A/2,3A/2）

C.[-3A/2,-A/2][V2,3A/2]D.卜3夜,一夜）（夜,3夜）

【答案】D

【分析】先判斷圓心到直線的距離de。,3）,再利用距離公式列不等式即解得參數(shù)的取值范

圍.

【詳解】圓C：/+＞2=4的圓心是（?（0,0）,半徑廠=2,而圓C：Y+y2=4上恰有兩個(gè)點(diǎn)

到直線/：x-y+根=。的距離都等于1,所以圓心C（0,0）到直線/：尤-y+根=。的距離

|0-0+m||m|

d?l,3）,即6?=6（1,3）,解得-30〈根＜-血或&'〈根＜3A/L

010

7.（2023?全國?高二專題練習(xí)）若圓M:（尤-cos6）~+（y-sin〃）~=1（0V。＜2萬）與圓

":一+丁_2了_4〉=0交于4、8兩點(diǎn)，貝ljtan/AA?的最大值為()

【答案】D

【分析】分析出AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1,|AB|<2,

當(dāng)”的坐標(biāo)為(1,0)時(shí)，AB=2,cosZANB=---------------=-------->-

v7112NA-NB105

34

由余弦函數(shù)的單調(diào)性確定cosNANB=g時(shí)，ZANB最大,此時(shí)tan/AA①最大，最大值為

【詳解】爐+丁-2》-4、=0可化為(%-1)2+(>-2)2=5,

故圓N的圓心為(1,2),半徑為君,

由題意可知：為圓M'與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1,

所以|AB|W2且|AB|V2石，故陷42,當(dāng)以的坐標(biāo)為(1,0)時(shí),\AB\=2,

在^3中，C…=3町又,小,小y=8SX在

-7T

xe0,-上單調(diào)遞減，

3(7171A

故NAA名為銳角，且當(dāng)COSN4VB=M時(shí)，N/WB最大，又y=tan尤在尤十5句上單調(diào)遞增，

4

所以當(dāng)Z/WB最大時(shí)，tanZAA田取得最大值，且最大值為］,故選：D

8.若拋物線》=尤2+依+。與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)人、B、C,貝!J,ABC的外接圓恒

過的定點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】(0,1)

【分析】設(shè)拋物線〉=y+辦+6交，軸于點(diǎn)3(0,3，交x軸于點(diǎn)4(%,0)、C(x2,0),根據(jù)題

意設(shè)圓心為尸，■!，］,求出，=等，寫出圓尸的方程，可得出關(guān)于x、y的方程組，即可得

出圓尸所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)拋物線y=/+辦+6交y軸于點(diǎn)3(0力)，交x軸于點(diǎn)4(%,0)、C(x2,0),

由題意可知由韋達(dá)定理可得%+%=-。，

所以，線段AC的中點(diǎn)為卜會(huì)oj,設(shè)圓心為“g’,

由四2=\PBf可得、+微j+產(chǎn)=：+(一『，解得”、+&一.

+axx+b=O,則/=_.一.="1,則/一6=^^,

-2b2