高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何教案新課標(biāo)人教A選修

3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（一）

教學(xué)要求：理解共線或平行向量的概念，駕馭表示方法；理解共線向量定理及其

推論；駕馭空間直線的向量參數(shù)方程；會(huì)運(yùn)用上述學(xué)問解決立體幾何中有關(guān)的簡(jiǎn)

潔問題.

教學(xué)重點(diǎn)：空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點(diǎn)的向量公式.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1.回憶平面對(duì)量向量學(xué)問：平行向量或共線向量？怎樣斷定向量B及非零向量2

是否共線？

方向一樣或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一組平行向量都可以平

移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量.

向量B及非零向量之共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人使B.稱平

面對(duì)量共線定理，

二、新課講授

L定義：及平面對(duì)量一樣，假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或

重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.，平行于1記作5〃丸

2.關(guān)于空間共線向量的結(jié)論有共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間隨意兩個(gè)向量之、b（BWO）,的充要條件是存在實(shí)

數(shù)A,使力=45.

理解：⑴上述定理包含兩個(gè)方面：①性質(zhì)定理：若方（五NO）,則有B=

Aa,其中4是唯一確定的實(shí)數(shù)。②推斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)4,使B=4M（五

W0）,則有不〃B（若用此結(jié)論推斷2、各所在直線平行，還需5（或B）上有一

點(diǎn)不在B（或方）上）.

⑵對(duì)于確定的4和5，B=表示空間及M平行或共線，長度為\Aa\,當(dāng)丸＞0

時(shí)及2同向，當(dāng)時(shí)及,反向的全部向量.

3.推論：假如］為經(jīng)過已知點(diǎn)4且平行于已知非零向量2的直線，那么對(duì)于隨

意一點(diǎn)0,點(diǎn)尸在直線.1上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿意等式%

OP=OA+ta.b

其中向量M叫做直線，的方向向量.

推論證明如下：

l//a,對(duì)于/上隨意一點(diǎn)R存在唯一的實(shí)數(shù)1,使得m=/方.（*）

又對(duì)于空間隨意一點(diǎn)。，有存=麗-前，

OP-OA=ta，OP=OA+ta.①

若在/上取而'=2,則有麗=兩+/而.（**）

又?:AB^OB-OA：.OP^OA+t（OB-OA）--t）OA+tOB.②

當(dāng)時(shí)，.③

2

理解：⑴表達(dá)式①和②都叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③式是線段的中

點(diǎn)公式.事實(shí)上，表達(dá)式（*）和（**）既是表達(dá)式①和②的根底，也是直線參數(shù)方

程的表達(dá)形式.A

⑵表達(dá)式①和②三角形法則得出的，可以據(jù)此記憶這兩個(gè)公]\c

式./X

⑶推論一般用于解決空間中的三點(diǎn)共線問題的表示或斷定.

空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理及平面對(duì)量完全0

一樣，

是平面對(duì)量相關(guān)學(xué)問的推廣.

4.出示例1：用向量方法證明順次連接空間四邊形四邊中點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形.（分析：如何用向量方法來證明？）

5.出示例2：如圖。是空間隨意一點(diǎn)，C、〃是線段力￡的三等分點(diǎn)，分別用方、

0分表示0D.

三、穩(wěn)固練習(xí)：作業(yè):

3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（二）

教學(xué)要求：理解向量及平面平行、共面對(duì)量的意義，駕馭向量及平面平行的表示

方法；理解共面對(duì)量定理及其推論；駕馭點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件；會(huì)用上述

學(xué)問解決立幾中有關(guān)的簡(jiǎn)潔問題.

教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件的理解及運(yùn)用.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1.空間向量的有關(guān)學(xué)問一一共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以

及空間直線的向量表示式、中點(diǎn)公式.

2.必修④《平面對(duì)量》，平面對(duì)量的一個(gè)重要定理一一平面對(duì)量根本定理：假如

8、色是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的隨意一個(gè)向量a,

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)乙、（，使3=九良+人比其中不共線向量魚叫做表示

這一平面內(nèi)全部向量的一組基底.

二、新課講授

1.定義：假如表示空間向量a的有向線段所在直線及已知平面。平行或在平面

a內(nèi),則稱向量a平行于平面a,記作a//a.

向量及平面平行，向量所在的直線可以在平面內(nèi)，而直線及平面平行時(shí)兩者是

沒有公共點(diǎn)的.

2.定義：平行于同一平面的向量叫做共面對(duì)量.共面對(duì)量不肯定是在同一平面

內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi).

3.探討：空間中隨意三個(gè)向量肯定是共面對(duì)量嗎？請(qǐng)舉例說明.

結(jié)論：空間中的隨意三個(gè)向量不肯定是共面對(duì)量.例如：/-........

0

對(duì)于空間四邊形［a〃AB.AC,而這三個(gè)向量就不是共面對(duì)量.

4.探討：空間三個(gè)向量具備怎樣的條件時(shí)才是共面對(duì)量呢？

5.得出共面對(duì)量定理：假如兩個(gè)向量a、8不共線，則向量p及向量a、6共面

的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使得p=xa+yb.

證明：必要性：由已知，兩個(gè)向量a、b不共線.

,/向量p及向量a、6共面

由平面對(duì)量根本定理得：存在一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使得p=xa+yb.

充分性：如圖，;xa,分別及a、b共線，/.xa,yb都在a、b確定的

平面內(nèi).

又???xa+yb是以IxaI、Iyb\為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線所表示的

向量，并且此平行四邊形在a、6確定的平面內(nèi)，

斤xa+yb在a、6確定的平面內(nèi)，即向量p及向量a、b共面.

說明：當(dāng)夕、a、。都是非零向量時(shí)，共面對(duì)量定理事實(shí)上也是夕、a、6所在的

三條直線共面的充要條件，但用于斷定時(shí)，還須要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在

另兩條直線所確定的平面內(nèi).

6.共面對(duì)量定理的推論是：空間一點(diǎn)夕在平面極仍內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)x,y,使得麗=x詼+y訪，①或?qū)τ诳臻g隨意肯定點(diǎn)0,有

OP=OM+xMA+yMB.②

分析：⑴推論中的X、y是唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)；(2)|i|oK=OM'+xMA'+yMB'

f#:Of^ObT+x(OT-OM~)+y(OB~-OAT),OTx-y)OHT+xOA+yOB~③

公式①②③都是只欣48四點(diǎn)共面的充要條件.

7.例題：課本幾例1,解略.

小結(jié)：向量方法證明四點(diǎn)共面

三、穩(wěn)固練習(xí)

向量的數(shù)量積（2）

一、教學(xué)目的：①向量的數(shù)量積運(yùn)算

②利用向量的數(shù)量積運(yùn)算斷定垂直、求模、求角

二、教學(xué)重點(diǎn)：①向量的數(shù)量積運(yùn)算

②利用向量的數(shù)量積運(yùn)算斷定垂直、求模、求角

三、教學(xué)方法：練習(xí)法，糾錯(cuò)法，歸納法

四、教學(xué)過程：

考點(diǎn)一：向量的數(shù)量積運(yùn)算

（一）、學(xué)問要點(diǎn)：

1）定義：①設(shè)<￡,B>=e,則￡石=（。的范圍為）

②設(shè)a=（玉,X）,B=（w,%）貝Ia石=o

注：①。石不能寫成aB,或axB②的結(jié)果為一個(gè)數(shù)值。

2）投影：坂在￡方向上的投影為o

3）向量數(shù)量積運(yùn)算律：

?a*b=b*a②（2a）.1=2（a石）=”《（萩）（§）（a+b）*c=a*c+h*c

注：①?zèng)]有結(jié)合律（a?b）?c=a?（萬》c）

（二）例題講練

1、下列命題：①若￡石=0,則」中至少一b個(gè)為。②若￡且￡石=￡?2,則］;=2

③（a.S）.c=?.0.c）（4）（3a+2&）.（3a-2石）=9問?一4

中正確有個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

2、已知AABC中，A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,且a=3,b=l,C=30°,則

BC.CA=o

3>若a,b,c滿意a+B+c=6,且,=3,忖=1,k|=4,則

a*b+b*c+a*c=。

4、已知W=W=2,且￡及B的夾角為g,則￡+石在￡上的投影

為O

考點(diǎn)二：向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用

（一）、學(xué)問要點(diǎn)：

石=0（用于斷定垂直問題）

②同=身（用于求模運(yùn)算問題）

③（用于求角運(yùn)算問題）

（二）例題講練

1>已知忖=2,忖=3,且a及坂的夾角為c=3>a+2b,d=ma-b,求當(dāng)m

為何值時(shí)工，2

2、已知同=1,忖=1,忸—2耳=3,則忸+B卜o

3、已知a和E是非零向量，且，卜園=,-可，求a及a+B的夾角

4、已知同=4,忖=2,且2和區(qū)不共線，求使￡+4及的夾角是銳角時(shí)

彳的取值范圍

穩(wěn)固練習(xí)

1＞已知q和02是兩個(gè)單位向量，夾角為g，則（q-02）.（-Bq+應(yīng)）等于（）

95

A.-8B.-C.--D.8

22

2、已知1和公是兩個(gè)單位向量，夾角為?，則下面對(duì)量中及21-1垂直的是（）

A.耳+02B.e,-e2C.exD.e2

3、在AABC中，設(shè)獲=a,BC=b,CA=c,若a（a+A）＜0,則A4BC（）

（A）直角三角形（8）銳角三角形（C）鈍角三角形（。）無法斷定

4、已知。和石是非零向量，且a+35及7a-5石垂直，及7。-2萬垂直，求。及B

的夾角。

5、已知函、0B,阮是非零的單位向量，且函+礪+加=6,求證：

MBC為正三角形。

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

教學(xué)要求：駕馭空間向量的正交分解及空間向量根本定理和坐標(biāo)表示；駕馭空間

向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；會(huì)依據(jù)向量的坐標(biāo)，推斷兩個(gè)向量共線或垂

直.

教學(xué)重點(diǎn)：空間向量根本定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)：理解空間向量根本定理.

教學(xué)過程：

一、新課引入

1.回憶：平面對(duì)量的加減及數(shù)乘運(yùn)算以及平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算,

2.復(fù)習(xí)：平面對(duì)量根本定理.

二、講授新課

1.類比：由平面對(duì)量的根本定理，對(duì)平面內(nèi)的隨意向量入均可分解為不共線的

兩個(gè)向量41和4瓦，使￡=41+4正.假如I，％時(shí)，這種分解就是平面對(duì)量的

正交分解.假如取或，不為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向的兩個(gè)單位向量，則存

在一對(duì)實(shí)數(shù)小人使得￡=行+方，即得到平面對(duì)量的坐標(biāo)表示￡=(x,y).

推廣到空間向量，結(jié)論會(huì)如何呢？

⑴空間向量的正交分解：對(duì)空間的隨意向量入均可分解為不共面的三個(gè)向量

4%、4a2、4%，使a=44+4。2+4。3.假如4兩兩垂直，這種分解就是空

間向量的正交分解.

⑵空間向量根本定理：假如三個(gè)向量見反之不共面，那么對(duì)空間

任一向量萬，存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得萬=x￡+)而+zt?.把

丘瓦"}叫做空間的一個(gè)基底(base),￡,瓦工都叫做基向量.

2.單位正交基底：假如空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量相互垂直,

且長度都為1,則這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用表示.

單位一一三個(gè)基向量的長度都為1;正交一一三個(gè)基向量相互

垂直.

選取空間一點(diǎn)。和一個(gè)單位正交基底以點(diǎn)。為原

點(diǎn)，分別以，/女的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l坐標(biāo)軸：x軸、y

軸、z軸，得到空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

3.空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系和向量a,且設(shè)人j、女為坐

標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(4,a2M3)，使a=4?+%J+小比

空間中相等的向量其坐標(biāo)是一樣的.一探討：向量坐標(biāo)及點(diǎn)

的坐標(biāo)的關(guān)系？

向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的求法：設(shè)/(X|，M，Z|),

B{x2,y2,z2),則而'=。方一以=(x,,y2,z2)一(百,％,馬)=

（々-玉，%一%,Z2-Z|）.

4.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a，4,外,4)，力=(偽也也)，則

⑴a+6=(a,+bva2+b2M3+4);(2)&—6=(a,-bt,a2-b2,a3-Z>3);

(3)Aa—(Aat,Aa2,Aa3)(As/?);(4)a,b—atht+a2b2+a3b3

證明方法：及平面對(duì)量一樣，將a=a"+&J+a*和8=4>+4/+感女代入

即可.

5.兩個(gè)向量共線或垂直的斷定：設(shè)3=3”％,%)，6=(々也也)，則

(Da//6=a—Xbofl)=Ab},a2-Ab2,a3=Ab3,(Ae/?)<=>;

(2)a_l_b=a*Z>=0<=>afy+a2b2=0.

6.練習(xí)：已知a=(2,-3,5),b-(-3,1,-4),求a+瓦a~b,8a,a?b.解：略.

7.出示例：

三、穩(wěn)固練習(xí)作業(yè)

3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（夾角和間隔公式）

教學(xué)要求：駕馭空間向量的長度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間間隔公式、中點(diǎn)坐標(biāo)

公式，并會(huì)用這些公式解決有關(guān)問題.

教學(xué)重點(diǎn)：夾角公式、間隔公式.

教學(xué)難點(diǎn)：夾角公式、間隔公式的應(yīng)用.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則：設(shè)a=（%，4，%），6=屹也也），則

（l）a+Z>=（6+/?,,?,+b2,a^+優(yōu)）；（2）a—b—（?,-ht,ay-b^,a3-Z?,）;

（3）/Ia=（義GR）；⑷&*b=afy+a2b2+a3b3

上述運(yùn)算法則怎樣證明呢？（將a=a"+生J+a3a和6=4J+4A代入

即可）

2.怎樣求一個(gè)空間向量的坐標(biāo)呢？（表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減

去起點(diǎn)的坐標(biāo).）

二、新課講授

L向量的模：設(shè)a=（q,4,%），6=（4也也），求這兩個(gè)向量的模.

Ial=二+域+嫉,|b\=拆+優(yōu)+6.這兩個(gè)式子我們稱為向量的長度

公式.

這個(gè)公式的幾何意義是表示長方體的對(duì)角線的長度.

2.夾角公式推導(dǎo)：a?b=a\bcos<a,b>

她+a2b2+%/=Jd+G+d?Qb；+b；+b；,cos<a,b>

由此可以得出：cosVa,6>=她+%勺”也

Ja：+a；+a；亞+b；+b；

這個(gè)公式成為兩個(gè)向量的夾角公式.利用這個(gè)共識(shí)，我們可以求出兩個(gè)向量

的夾角，并可以進(jìn)一步得出兩個(gè)向量的某些特殊位置關(guān)系：

當(dāng)cos<a、人>=1時(shí)，a及6同向；當(dāng)cos<a、6>=—1時(shí)，a及6反向；

當(dāng)cosVa、6>=0時(shí)，aJLb.

3.兩點(diǎn)間間隔共識(shí)：利用向量的長度公式，我們還可以得出空間兩點(diǎn)間的間隔

公式：

在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（X|，X，4）,B（x2,y2,z2）,則

222

dAB-yl(x2-x,)+(jv,-y2)+(Z]-z2)>其中服、B表示力及白兩點(diǎn)間的間隔.

3.練習(xí)：已知4(3,3,1)、8(1,0,5),求：⑴線段/夕的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；⑵到

/、8兩點(diǎn)間隔相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)腔八z滿意的條件.

(答案：(2,—,3)；>/29;4x+6y-8z+7=0)

說明：⑴中點(diǎn)坐標(biāo)公式：=;

⑵中點(diǎn)0的軌跡是線段4夕的垂直平分平面.在空間中，關(guān)于腔八z的

三元一次方程的圖形是平面.

4.出示例5：如圖，在正方體ABS-AAGO中，，求g及。片所成的角的余弦值.

分析：如何建系？一點(diǎn)的坐標(biāo)？一如何用向量運(yùn)算求夾角？一變式：

課本電、例6

5.用向量方法證明：假如兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行.

三.穩(wěn)固練習(xí)

作業(yè)：課本辦練習(xí)3題.

3.2立體幾何中的向量方法(一)

教學(xué)要求：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.駕馭利用向量運(yùn)算解幾何題的

方法，并能解簡(jiǎn)潔的立體幾何問題.

教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1.用向量解決立體幾何中的一些典型問題的根本思索方法是：⑴如何把已知的

幾何條件(如線段、角度等)轉(zhuǎn)化為向量表示；⑵考慮一些未知的向量能否用

基向量或其他已知向量表式；⑶如何對(duì)已經(jīng)表示出來的向量進(jìn)展運(yùn)算，才能獲

得須要的結(jié)論?

2.通法分析：利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)可以解決哪些問題呢？

⑴利用定義a,b—\a\\bcosVa,或cos<a,b>=,可求兩個(gè)向量的數(shù)量

積或夾角問題；

⑵利用性質(zhì)a_Lboa?b=0可以解決線段或直線的垂直問題；

⑶利用性質(zhì)a?a=lai2,可以解決線段的長或兩點(diǎn)間的間隔問題.

二、例題講解

1.出示例1:已知空間四邊形必完'中，OA^BC,OBVAC.求證：OC±AB.

證明：OCAB=OC(OB-OA)=OCOB-OCOA.

VOA1BC,OB±AC,：.OABC=0,OBAC=0,

OA(OC-OB)^0,OB(OC-OA)^0.

：.OAOC=OAOB,OBOC=OBOA.

：.OCOB=OCOA,OCAB=0./.OCVAB

練習(xí)：教材P105例1及P106思索題

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)展怎樣的向量運(yùn)算？

2.出示例2：如圖，已知線段［夕在平面a內(nèi)，?

ACla,線段應(yīng)比相，線段ZDBD'=30,假如43=a,AC=BAb,求。、

〃間的間隔.

解：由AC_La,可知ACJ_AB.

由/。3少=30可知，<￡￥，的>=120,

，|CD|2=(C4+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2(CAAB+CABD+ABBD)

=b2+a2+b2+2b2cosn0=a2+b2.

：.CD=yja2+b2.

練習(xí)：教材P106例2及其107思索題

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)展怎樣的向量運(yùn)算？

說明：此方法也是用向量法求二面角的一種有效方法，應(yīng)引起留意。

3.出示例3：如圖，M、N分別是棱長為1的正方體ABC。-4。的棱、BC'

的中點(diǎn).求異面直線的V及C。所成的角.

解：'：MN=,CD7=CC7+CD,

：.MNC^—?(CC+CD)=-(|CC|2+CC-CD+BCCC7+BCCD).

2

VCC'LCD,CC'IBC,BCLCD,/.CC.CD=0,BCCC=0,BCCD^O,

：.MNCD7=-|CC712=-.…求得COS<MN,€^>=~,/.<W,CD7>=60.

222

4.小結(jié)：.

(1)向量法解題“三步曲”：①化為向量問題一②進(jìn)展向量運(yùn)算一③回到圖形

問題.

(2)利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示式，并用已

知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算去計(jì)算或證明

三、穩(wěn)固練習(xí)作業(yè)：課本外？練習(xí)1、2題.

3.2立體幾何中的向量方法(二)

教學(xué)要求：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.駕馭利用向量運(yùn)算解幾何題的

方法，并能解簡(jiǎn)潔的立體幾何問題.

教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

探討：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的途徑？

(1)通過一組基向量探討的向量法，它利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題;

(2)通過空間直角坐標(biāo)系探討的坐標(biāo)法，它通過坐標(biāo)把向量轉(zhuǎn)

化為數(shù)及其運(yùn)算來解決問題.

二、例題講解

1.出示例1:如圖，在正方體A88-A8CQ中，￡、尸分別是、

切的中點(diǎn)，求證：RF上平面4座.

證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為1個(gè)單位長度，且設(shè)方?=1,

DC=J,西=比以上j、A為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系〃一xyz,則

VAD=(-1,0,0),麻■=((),.,.布?麻'=(-1,0,0)?(0,g,-i)

=0,

...2尸_L

又A￡=(0,l,-),：.AE(0,1,-)?(0,p-l)=0,/.D,F1AE.

又AOflAE=A,ADE.

說明：⑴“不妨設(shè)”是我們?cè)诮忸}中常用的小技巧，通?？捎糜谠O(shè)定某些及題

目要求無關(guān)的一些數(shù)據(jù)，以使問題的解決簡(jiǎn)潔化.如在立體幾何中求角的大小、

斷定直線及直線或直線及平面的位置關(guān)系時(shí)，可以約定一些根本的長度.⑵空間

直角坐標(biāo)些建立，可以選取隨意一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，但詳細(xì)設(shè)置時(shí)仍應(yīng)留

意幾何體中的點(diǎn)、線、面的特征，把它們放在恰當(dāng)?shù)奈恢?，才能便利?jì)算和證明.

2.出示例2：課本幾7例3

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)展怎樣的向量運(yùn)算？

3.出示例3：課本乙9例4

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)展怎樣的向量運(yùn)算？

4.出示例4：證：假如兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行.

改寫為：已知：直線平面%直線皮〃_平面%。、8為垂足.求證：如〃物.

證明：以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以射線力為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,i,J,k

為沿X軸，y軸，Z軸的坐標(biāo)向量，且設(shè)而'=(x,y,z).

BD1.a,：.BD1i,BD±j,

BD?i=(x,y,z)?(1,0,0)=x=0,BD?J=(x,y,z),(0,1,0)=y=0,

:.M=(0,0,z).：.BD=zk.即而7/斤由已知為兩個(gè)不同的點(diǎn)，.?.而〃劭.

5.法向量定義：假如表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面。，則稱這個(gè)

向量垂直于平面a,記作a,a.假如a_La,那么向量a叫做平面。的法向量.

6.小結(jié)：

向量法解題“三步曲”：(1)化為向量問題一(2)進(jìn)展向量運(yùn)算一(3)回到

圖形問題.

三、穩(wěn)固練習(xí)作業(yè)：課本島-習(xí)題A組1、2題.

3.2立體幾何中的向量方法（三）

教學(xué)要求：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.駕馭利用向量運(yùn)算解幾何題的

方法，并能解簡(jiǎn)潔的立體幾何問題.

教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1.法向量定義：假如直線/J?平面取直線/的方向向量為￡,則向量￡叫作平

面a的法向量（normalvectors）.利用法向量，可以奇妙的解決空間角度和間

隔.

2.探討：如何利用法向量求線面角？一面面角？

直線/夕及平面a所成的角9,可看成是向量通所在直線及平面a的法向量;;

所在直線夾角的余角，從而求線面角轉(zhuǎn)化為求直線所在的向量及平面的法向量的

所成的線線角，依據(jù)兩個(gè)向量所成角的余弦公式，我們可以得到如下向量法的公

式：

sin^=|cos（M?）|=^.

3.探討：如何利用向量求空間間隔？

兩異面直線的間隔，轉(zhuǎn)化為及兩異面直線都相交的線段在公垂向量上的投影

長.

點(diǎn)到平面的間隔，轉(zhuǎn)化為過這點(diǎn)的平面的斜線在平面的法向量上的投影長.

二、例題講解：

1.出示例1:長方體A5c中，4決例=2,4分4,

E、廠分別是AR、兒?的中點(diǎn)，。是與的交點(diǎn).求

直線如及平面叱所成角的正弦.

解：以點(diǎn)〃為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，DA、DC、DO,

為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則

￡>(2,2,0),理,0,2),F(2,2,0),0(1,4,1),C(0,4,0).

設(shè)平面龐F的法向量為n=(x,y,z),

則，而說=(1。2),而=(2,2,0).

，即，解得x:y:z=-2:2:l,“=(-2,2,1).

,/n?OF=\n\\OF\cosa,而歷：=(1,一2,—1).

.n?OF-2x1+2x(-2)+1x(-1)7"

??cosot―—―-------；-=-,—,==----------

\n\*\OF\7(-2)2+22+1.712+(-2)2+(-1)218

所以，直線如及平面頌所成角的正弦為述.

18

2.變式：用向量法求：二面角4-QE-O余弦；〃及〃夕的間隔；。點(diǎn)到平面

頌的間隔.

三、穩(wěn)固練習(xí)

作業(yè)：課本凡2、習(xí)題A組5、6題.

法向量在立體幾何中的應(yīng)用

向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在解析幾何及立體幾何里的應(yīng)用更為干

脆，用向量的方法特殊便于探討空間里涉及直線和平面的各種問題。將向量引入

中學(xué)數(shù)學(xué)后，既豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓寬了中學(xué)生的視野；也為我們解決數(shù)學(xué)

問題帶來了一套全新的思想方法一一向量法。下面就向量中的一種特殊向量一一

法向量，結(jié)合近幾年的高考題，談?wù)勂湓诹Ⅲw幾何有關(guān)問題中的應(yīng)用。

一、平面的法向量的定義

假如表示向量々的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個(gè)向量Z垂直于平面

a,

記作aJ_a,假如a_La,那么向量a叫做平面a的法向量

二、平面的法向量的求法

1、在幾何體中找平面的垂線對(duì)應(yīng)的有向線段作為平面的法向量；

2、在空間直角坐標(biāo)系中利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來求法向量。

問題：已知不共線的三點(diǎn)坐標(biāo)，如何求經(jīng)過這三點(diǎn)的

平面的一個(gè)法向量？_

在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(3,(),0),5((),4,0),

C(0,0,2),試求平面ABC的一個(gè)法向量.

解:設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為〃=（x,y9z）

貝|/_1彳瓦2_1就.<麗=（一3,4,0）,AC=（-3,0,2）

.](x,j,z)-(-3,4,0)=0—+=0

l(x,y,z).(-3,0,2)=0-3x+2z=0

取x=4,則〃=(4,3,6)

...n=(4,3,6)是平面ABC的一個(gè)法向量.

問題:如何求平面的法向量？

（1股平面的法向量為〃={x,y,z}

⑵找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的

坐標(biāo)a=（%,〃,《）,b=（a2,b2,c2）

⑶根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y9z的方程

?-a=0

一一

{〃?力=0

（4懈方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量.

練習(xí)：在三棱錐P—ABC中，PA_L平面ABC,

ZBAC=90°,AB=2,AC=PA=1,

求平面PBC的一個(gè)法向量。

寫出平面ABC的一個(gè)法向量

三、利用平面的法向量求空間角

1、求直線和平面所成的角。

如圖（圖2）所示，設(shè)PA及平面a的

法向量）所在直線所成的角為0,則PA及a所成的角為，

（其中cos。=|cos<PA,n>|）

一設(shè)直線/,機(jī)的方向向量分別為平面。,用的法向量分別為

所以：--mil

jr?u

直線/與平面a所成的角為。（0WeW?）,sin6=

2麗’

例2.如圖（圖3）所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形,

PA_L底面ABCD,AE±PD,EF//CD,PA=3AB,

求直線AC及平面AEFB所成角的正弦值。

2.直線及直線所成的角：-工

jra-b

兩直線/,〃，所成的角為不）,cose=：n=；

2a\\b

3.求二面角的大小。

設(shè)乙,〃2分別為平面%小的法向量，二面角〃的大小為。，向量

例3.如圖（圖6）所示，在棱長為1的正方體

ABCD-ABCD中，AC及BD交于點(diǎn)E,GB及

CBi交于點(diǎn)F0（1）求證：ACJ_平面DBG

（2）求二面角B—EF—C的大小。

佟I

X

四、利用法向量求間隔

1.求點(diǎn)到平面的間隔

利用法向量求點(diǎn)面間隔的根本思路是：如圖7,點(diǎn)P為平面a外一點(diǎn)，點(diǎn)A

為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為］過點(diǎn)P作平面a的垂避血，記PA和7所

成的角為0,則P到平面a的間隔公式為:

—*—*IpA,M

|PH1=1PH1=1PA\cose二I;

例4.如圖8所示，在三棱錐S-ABC中，AABC是s

邊長為4的正三角形，平面SAC,平面ABC,/

SA=SC=2V3,M、N分別為