高中數學空間向量與立體幾何教案新課標人教A選修

3.1.2空間向量的數乘運算（一）

教學要求：理解共線或平行向量的概念，駕馭表示方法；理解共線向量定理及其

推論；駕馭空間直線的向量參數方程；會運用上述學問解決立體幾何中有關的簡

潔問題.

教學重點：空間直線、平面的向量參數方程及線段中點的向量公式.

教學過程：

一、復習引入

1.回憶平面對量向量學問：平行向量或共線向量？怎樣斷定向量B及非零向量2

是否共線？

方向一樣或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一組平行向量都可以平

移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量.

向量B及非零向量之共線的充要條件是有且只有一個實數人使B.稱平

面對量共線定理，

二、新課講授

L定義：及平面對量一樣，假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或

重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.，平行于1記作5〃丸

2.關于空間共線向量的結論有共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間隨意兩個向量之、b（BWO）,的充要條件是存在實

數A,使力=45.

理解：⑴上述定理包含兩個方面：①性質定理：若方（五NO）,則有B=

Aa,其中4是唯一確定的實數。②推斷定理：若存在唯一實數4,使B=4M（五

W0）,則有不〃B（若用此結論推斷2、各所在直線平行，還需5（或B）上有一

點不在B（或方）上）.

⑵對于確定的4和5，B=表示空間及M平行或共線，長度為\Aa\,當丸＞0

時及2同向，當時及,反向的全部向量.

3.推論：假如］為經過已知點4且平行于已知非零向量2的直線，那么對于隨

意一點0,點尸在直線.1上的充要條件是存在實數t滿意等式%

OP=OA+ta.b

其中向量M叫做直線，的方向向量.

推論證明如下：

l//a,對于/上隨意一點R存在唯一的實數1,使得m=/方.（*）

又對于空間隨意一點。，有存=麗-前，

OP-OA=ta，OP=OA+ta.①

若在/上取而'=2,則有麗=兩+/而.（**）

又?:AB^OB-OA：.OP^OA+t（OB-OA）--t）OA+tOB.②

當時，.③

2

理解：⑴表達式①和②都叫做空間直線的向量參數表示式，③式是線段的中

點公式.事實上，表達式（*）和（**）既是表達式①和②的根底，也是直線參數方

程的表達形式.A

⑵表達式①和②三角形法則得出的，可以據此記憶這兩個公]\c

式./X

⑶推論一般用于解決空間中的三點共線問題的表示或斷定.

空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理及平面對量完全0

一樣，

是平面對量相關學問的推廣.

4.出示例1：用向量方法證明順次連接空間四邊形四邊中點的四邊形

是平行四邊形.（分析：如何用向量方法來證明？）

5.出示例2：如圖。是空間隨意一點，C、〃是線段力￡的三等分點，分別用方、

0分表示0D.

三、穩(wěn)固練習：作業(yè):

3.1.2空間向量的數乘運算（二）

教學要求：理解向量及平面平行、共面對量的意義，駕馭向量及平面平行的表示

方法；理解共面對量定理及其推論；駕馭點在已知平面內的充要條件；會用上述

學問解決立幾中有關的簡潔問題.

教學重點：點在已知平面內的充要條件.

教學難點：對點在已知平面內的充要條件的理解及運用.

教學過程：

一、復習引入

1.空間向量的有關學問一一共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以

及空間直線的向量表示式、中點公式.

2.必修④《平面對量》，平面對量的一個重要定理一一平面對量根本定理：假如

8、色是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的隨意一個向量a,

有且只有一對實數乙、（，使3=九良+人比其中不共線向量魚叫做表示

這一平面內全部向量的一組基底.

二、新課講授

1.定義：假如表示空間向量a的有向線段所在直線及已知平面。平行或在平面

a內,則稱向量a平行于平面a,記作a//a.

向量及平面平行，向量所在的直線可以在平面內，而直線及平面平行時兩者是

沒有公共點的.

2.定義：平行于同一平面的向量叫做共面對量.共面對量不肯定是在同一平面

內的，但可以平移到同一平面內.

3.探討：空間中隨意三個向量肯定是共面對量嗎？請舉例說明.

結論：空間中的隨意三個向量不肯定是共面對量.例如：/-........

0

對于空間四邊形［a〃AB.AC,而這三個向量就不是共面對量.

4.探討：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面對量呢？

5.得出共面對量定理：假如兩個向量a、8不共線，則向量p及向量a、6共面

的充要條件是存在實數對x,y,使得p=xa+yb.

證明：必要性：由已知，兩個向量a、b不共線.

,/向量p及向量a、6共面

由平面對量根本定理得：存在一對有序實數對x,y,使得p=xa+yb.

充分性：如圖，;xa,分別及a、b共線，/.xa,yb都在a、b確定的

平面內.

又???xa+yb是以IxaI、Iyb\為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的

向量，并且此平行四邊形在a、6確定的平面內，

斤xa+yb在a、6確定的平面內，即向量p及向量a、b共面.

說明：當夕、a、。都是非零向量時，共面對量定理事實上也是夕、a、6所在的

三條直線共面的充要條件，但用于斷定時，還須要證明其中一條直線上有一點在

另兩條直線所確定的平面內.

6.共面對量定理的推論是：空間一點夕在平面極仍內的充要條件是存在有序實

數對x,y,使得麗=x詼+y訪，①或對于空間隨意肯定點0,有

OP=OM+xMA+yMB.②

分析：⑴推論中的X、y是唯一的一對有序實數；(2)|i|oK=OM'+xMA'+yMB'

f#:Of^ObT+x(OT-OM~)+y(OB~-OAT),OTx-y)OHT+xOA+yOB~③

公式①②③都是只欣48四點共面的充要條件.

7.例題：課本幾例1,解略.

小結：向量方法證明四點共面

三、穩(wěn)固練習

向量的數量積（2）

一、教學目的：①向量的數量積運算

②利用向量的數量積運算斷定垂直、求模、求角

二、教學重點：①向量的數量積運算

②利用向量的數量積運算斷定垂直、求模、求角

三、教學方法：練習法，糾錯法，歸納法

四、教學過程：

考點一：向量的數量積運算

（一）、學問要點：

1）定義：①設<￡,B>=e,則￡石=（。的范圍為）

②設a=（玉,X）,B=（w,%）貝Ia石=o

注：①。石不能寫成aB,或axB②的結果為一個數值。

2）投影：坂在￡方向上的投影為o

3）向量數量積運算律：

?a*b=b*a②（2a）.1=2（a石）=”《（萩）（§）（a+b）*c=a*c+h*c

注：①沒有結合律（a?b）?c=a?（萬》c）

（二）例題講練

1、下列命題：①若￡石=0,則」中至少一b個為。②若￡且￡石=￡?2,則］;=2

③（a.S）.c=?.0.c）（4）（3a+2&）.（3a-2石）=9問?一4

中正確有個數為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

2、已知AABC中，A,B,C所對的邊為a,b,c,且a=3,b=l,C=30°,則

BC.CA=o

3>若a,b,c滿意a+B+c=6,且,=3,忖=1,k|=4,則

a*b+b*c+a*c=。

4、已知W=W=2,且￡及B的夾角為g,則￡+石在￡上的投影

為O

考點二：向量數量積性質應用

（一）、學問要點：

石=0（用于斷定垂直問題）

②同=身（用于求模運算問題）

③（用于求角運算問題）

（二）例題講練

1>已知忖=2,忖=3,且a及坂的夾角為c=3>a+2b,d=ma-b,求當m

為何值時工，2

2、已知同=1,忖=1,忸—2耳=3,則忸+B卜o

3、已知a和E是非零向量，且，卜園=,-可，求a及a+B的夾角

4、已知同=4,忖=2,且2和區(qū)不共線，求使￡+4及的夾角是銳角時

彳的取值范圍

穩(wěn)固練習

1＞已知q和02是兩個單位向量，夾角為g，則（q-02）.（-Bq+應）等于（）

95

A.-8B.-C.--D.8

22

2、已知1和公是兩個單位向量，夾角為?，則下面對量中及21-1垂直的是（）

A.耳+02B.e,-e2C.exD.e2

3、在AABC中，設獲=a,BC=b,CA=c,若a（a+A）＜0,則A4BC（）

（A）直角三角形（8）銳角三角形（C）鈍角三角形（。）無法斷定

4、已知。和石是非零向量，且a+35及7a-5石垂直，及7。-2萬垂直，求。及B

的夾角。

5、已知函、0B,阮是非零的單位向量，且函+礪+加=6,求證：

MBC為正三角形。

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示

教學要求：駕馭空間向量的正交分解及空間向量根本定理和坐標表示；駕馭空間

向量的坐標運算的規(guī)律；會依據向量的坐標，推斷兩個向量共線或垂

直.

教學重點：空間向量根本定理、向量的坐標運算.

教學難點：理解空間向量根本定理.

教學過程：

一、新課引入

1.回憶：平面對量的加減及數乘運算以及平面對量的坐標運算,

2.復習：平面對量根本定理.

二、講授新課

1.類比：由平面對量的根本定理，對平面內的隨意向量入均可分解為不共線的

兩個向量41和4瓦，使￡=41+4正.假如I，％時，這種分解就是平面對量的

正交分解.假如取或，不為平面直角坐標系的坐標軸方向的兩個單位向量，則存

在一對實數小人使得￡=行+方，即得到平面對量的坐標表示￡=(x,y).

推廣到空間向量，結論會如何呢？

⑴空間向量的正交分解：對空間的隨意向量入均可分解為不共面的三個向量

4%、4a2、4%，使a=44+4。2+4。3.假如4兩兩垂直，這種分解就是空

間向量的正交分解.

⑵空間向量根本定理：假如三個向量見反之不共面，那么對空間

任一向量萬，存在有序實數組{x,y,z},使得萬=x￡+)而+zt?.把

丘瓦"}叫做空間的一個基底(base),￡,瓦工都叫做基向量.

2.單位正交基底：假如空間一個基底的三個基向量相互垂直,

且長度都為1,則這個基底叫做單位正交基底，通常用表示.

單位一一三個基向量的長度都為1;正交一一三個基向量相互

垂直.

選取空間一點。和一個單位正交基底以點。為原

點，分別以，/女的方向為正方向建立三條坐標軸：x軸、y

軸、z軸，得到空間直角坐標系O-xyz,

3.空間向量的坐標表示：給定一個空間直角坐標系和向量a,且設人j、女為坐

標向量，則存在唯一的有序實數組(4,a2M3)，使a=4?+%J+小比

空間中相等的向量其坐標是一樣的.一探討：向量坐標及點

的坐標的關系？

向量在空間直角坐標系中的坐標的求法：設/(X|，M，Z|),

B{x2,y2,z2),則而'=。方一以=(x,,y2,z2)一(百,％,馬)=

（々-玉，%一%,Z2-Z|）.

4.向量的直角坐標運算：設a，4,外,4)，力=(偽也也)，則

⑴a+6=(a,+bva2+b2M3+4);(2)&—6=(a,-bt,a2-b2,a3-Z>3);

(3)Aa—(Aat,Aa2,Aa3)(As/?);(4)a,b—atht+a2b2+a3b3

證明方法：及平面對量一樣，將a=a"+&J+a*和8=4>+4/+感女代入

即可.

5.兩個向量共線或垂直的斷定：設3=3”％,%)，6=(々也也)，則

(Da//6=a—Xbofl)=Ab},a2-Ab2,a3=Ab3,(Ae/?)<=>;

(2)a_l_b=a*Z>=0<=>afy+a2b2=0.

6.練習：已知a=(2,-3,5),b-(-3,1,-4),求a+瓦a~b,8a,a?b.解：略.

7.出示例：

三、穩(wěn)固練習作業(yè)

3.1.5空間向量運算的坐標表示（夾角和間隔公式）

教學要求：駕馭空間向量的長度公式、夾角公式、兩點間間隔公式、中點坐標

公式，并會用這些公式解決有關問題.

教學重點：夾角公式、間隔公式.

教學難點：夾角公式、間隔公式的應用.

教學過程：

一、復習引入

1.向量的直角坐標運算法則：設a=（%，4，%），6=屹也也），則

（l）a+Z>=（6+/?,,?,+b2,a^+優(yōu)）；（2）a—b—（?,-ht,ay-b^,a3-Z?,）;

（3）/Ia=（義GR）；⑷&*b=afy+a2b2+a3b3

上述運算法則怎樣證明呢？（將a=a"+生J+a3a和6=4J+4A代入

即可）

2.怎樣求一個空間向量的坐標呢？（表示這個向量的有向線段的終點的坐標減

去起點的坐標.）

二、新課講授

L向量的模：設a=（q,4,%），6=（4也也），求這兩個向量的模.

Ial=二+域+嫉,|b\=拆+優(yōu)+6.這兩個式子我們稱為向量的長度

公式.

這個公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度.

2.夾角公式推導：a?b=a\bcos<a,b>

她+a2b2+%/=Jd+G+d?Qb；+b；+b；,cos<a,b>

由此可以得出：cosVa,6>=她+%勺”也

Ja：+a；+a；亞+b；+b；

這個公式成為兩個向量的夾角公式.利用這個共識，我們可以求出兩個向量

的夾角，并可以進一步得出兩個向量的某些特殊位置關系：

當cos<a、人>=1時，a及6同向；當cos<a、6>=—1時，a及6反向；

當cosVa、6>=0時，aJLb.

3.兩點間間隔共識：利用向量的長度公式，我們還可以得出空間兩點間的間隔

公式：

在空間直角坐標系中，已知點A（X|，X，4）,B（x2,y2,z2）,則

222

dAB-yl(x2-x,)+(jv,-y2)+(Z]-z2)>其中服、B表示力及白兩點間的間隔.

3.練習：已知4(3,3,1)、8(1,0,5),求：⑴線段/夕的中點坐標和長度；⑵到

/、8兩點間隔相等的點P(x,y,z)的坐標腔八z滿意的條件.

(答案：(2,—,3)；>/29;4x+6y-8z+7=0)

說明：⑴中點坐標公式：=;

⑵中點0的軌跡是線段4夕的垂直平分平面.在空間中，關于腔八z的

三元一次方程的圖形是平面.

4.出示例5：如圖，在正方體ABS-AAGO中，，求g及。片所成的角的余弦值.

分析：如何建系？一點的坐標？一如何用向量運算求夾角？一變式：

課本電、例6

5.用向量方法證明：假如兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行.

三.穩(wěn)固練習

作業(yè)：課本辦練習3題.

3.2立體幾何中的向量方法(一)

教學要求：向量運算在幾何證明及計算中的應用.駕馭利用向量運算解幾何題的

方法，并能解簡潔的立體幾何問題.

教學重點：向量運算在幾何證明及計算中的應用.

教學難點：向量運算在幾何證明及計算中的應用.

教學過程：

一、復習引入

1.用向量解決立體幾何中的一些典型問題的根本思索方法是：⑴如何把已知的

幾何條件(如線段、角度等)轉化為向量表示；⑵考慮一些未知的向量能否用

基向量或其他已知向量表式；⑶如何對已經表示出來的向量進展運算，才能獲

得須要的結論?

2.通法分析：利用兩個向量的數量積的定義及其性質可以解決哪些問題呢？

⑴利用定義a,b—\a\\bcosVa,或cos<a,b>=,可求兩個向量的數量

積或夾角問題；

⑵利用性質a_Lboa?b=0可以解決線段或直線的垂直問題；

⑶利用性質a?a=lai2,可以解決線段的長或兩點間的間隔問題.

二、例題講解

1.出示例1:已知空間四邊形必完'中，OA^BC,OBVAC.求證：OC±AB.

證明：OCAB=OC(OB-OA)=OCOB-OCOA.

VOA1BC,OB±AC,：.OABC=0,OBAC=0,

OA(OC-OB)^0,OB(OC-OA)^0.

：.OAOC=OAOB,OBOC=OBOA.

：.OCOB=OCOA,OCAB=0./.OCVAB

練習：教材P105例1及P106思索題

分析：如何轉化為向量問題？進展怎樣的向量運算？

2.出示例2：如圖，已知線段［夕在平面a內，?

ACla,線段應比相，線段ZDBD'=30,假如43=a,AC=BAb,求。、

〃間的間隔.

解：由AC_La,可知ACJ_AB.

由/。3少=30可知，<￡￥，的>=120,

，|CD|2=(C4+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2(CAAB+CABD+ABBD)

=b2+a2+b2+2b2cosn0=a2+b2.

：.CD=yja2+b2.

練習：教材P106例2及其107思索題

分析：如何轉化為向量問題？進展怎樣的向量運算？

說明：此方法也是用向量法求二面角的一種有效方法，應引起留意。

3.出示例3：如圖，M、N分別是棱長為1的正方體ABC。-4。的棱、BC'

的中點.求異面直線的V及C。所成的角.

解：'：MN=,CD7=CC7+CD,

：.MNC^—?(CC+CD)=-(|CC|2+CC-CD+BCCC7+BCCD).

2

VCC'LCD,CC'IBC,BCLCD,/.CC.CD=0,BCCC=0,BCCD^O,

：.MNCD7=-|CC712=-.…求得COS<MN,€^>=~,/.<W,CD7>=60.

222

4.小結：.

(1)向量法解題“三步曲”：①化為向量問題一②進展向量運算一③回到圖形

問題.

(2)利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉化為向量表示式，并用已

知向量表示未知向量，然后通過向量的運算去計算或證明

三、穩(wěn)固練習作業(yè)：課本外？練習1、2題.

3.2立體幾何中的向量方法(二)

教學要求：向量運算在幾何證明及計算中的應用.駕馭利用向量運算解幾何題的

方法，并能解簡潔的立體幾何問題.

教學重點：向量運算在幾何證明及計算中的應用.

教學難點：向量運算在幾何證明及計算中的應用.

教學過程：

一、復習引入

探討：將立體幾何問題轉化為向量問題的途徑？

(1)通過一組基向量探討的向量法，它利用向量的概念及其運算解決問題;

(2)通過空間直角坐標系探討的坐標法，它通過坐標把向量轉

化為數及其運算來解決問題.

二、例題講解

1.出示例1:如圖，在正方體A88-A8CQ中，￡、尸分別是、

切的中點，求證：RF上平面4座.

證明：不妨設已知正方體的棱長為1個單位長度，且設方?=1,

DC=J,西=比以上j、A為坐標向量建立空間直角坐標系〃一xyz,則

VAD=(-1,0,0),麻■=((),.,.布?麻'=(-1,0,0)?(0,g,-i)

=0,

...2尸_L

又A￡=(0,l,-),：.AE(0,1,-)?(0,p-l)=0,/.D,F1AE.

又AOflAE=A,ADE.

說明：⑴“不妨設”是我們在解題中常用的小技巧，通?？捎糜谠O定某些及題

目要求無關的一些數據，以使問題的解決簡潔化.如在立體幾何中求角的大小、

斷定直線及直線或直線及平面的位置關系時，可以約定一些根本的長度.⑵空間

直角坐標些建立，可以選取隨意一點和一個單位正交基底，但詳細設置時仍應留

意幾何體中的點、線、面的特征，把它們放在恰當的位置，才能便利計算和證明.

2.出示例2：課本幾7例3

分析：如何轉化為向量問題？進展怎樣的向量運算？

3.出示例3：課本乙9例4

分析：如何轉化為向量問題？進展怎樣的向量運算？

4.出示例4：證：假如兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行.

改寫為：已知：直線平面%直線皮〃_平面%。、8為垂足.求證：如〃物.

證明：以點。為原點，以射線力為非負z軸，建立空間直角坐標系O-xyz,i,J,k

為沿X軸，y軸，Z軸的坐標向量，且設而'=(x,y,z).

BD1.a,：.BD1i,BD±j,

BD?i=(x,y,z)?(1,0,0)=x=0,BD?J=(x,y,z),(0,1,0)=y=0,

:.M=(0,0,z).：.BD=zk.即而7/斤由已知為兩個不同的點，.?.而〃劭.

5.法向量定義：假如表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面。，則稱這個

向量垂直于平面a,記作a,a.假如a_La,那么向量a叫做平面。的法向量.

6.小結：

向量法解題“三步曲”：(1)化為向量問題一(2)進展向量運算一(3)回到

圖形問題.

三、穩(wěn)固練習作業(yè)：課本島-習題A組1、2題.

3.2立體幾何中的向量方法（三）

教學要求：向量運算在幾何證明及計算中的應用.駕馭利用向量運算解幾何題的

方法，并能解簡潔的立體幾何問題.

教學重點：向量運算在幾何證明及計算中的應用.

教學難點：向量運算在幾何證明及計算中的應用.

教學過程：

一、復習引入

1.法向量定義：假如直線/J?平面取直線/的方向向量為￡,則向量￡叫作平

面a的法向量（normalvectors）.利用法向量，可以奇妙的解決空間角度和間

隔.

2.探討：如何利用法向量求線面角？一面面角？

直線/夕及平面a所成的角9,可看成是向量通所在直線及平面a的法向量;;

所在直線夾角的余角，從而求線面角轉化為求直線所在的向量及平面的法向量的

所成的線線角，依據兩個向量所成角的余弦公式，我們可以得到如下向量法的公

式：

sin^=|cos（M?）|=^.

3.探討：如何利用向量求空間間隔？

兩異面直線的間隔，轉化為及兩異面直線都相交的線段在公垂向量上的投影

長.

點到平面的間隔，轉化為過這點的平面的斜線在平面的法向量上的投影長.

二、例題講解：

1.出示例1:長方體A5c中，4決例=2,4分4,

E、廠分別是AR、兒?的中點，。是與的交點.求

直線如及平面叱所成角的正弦.

解：以點〃為空間直角坐標系的原點，DA、DC、DO,

為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則

￡>(2,2,0),理,0,2),F(2,2,0),0(1,4,1),C(0,4,0).

設平面龐F的法向量為n=(x,y,z),

則，而說=(1。2),而=(2,2,0).

，即，解得x:y:z=-2:2:l,“=(-2,2,1).

,/n?OF=\n\\OF\cosa,而歷：=(1,一2,—1).

.n?OF-2x1+2x(-2)+1x(-1)7"

??cosot―—―-------；-=-,—,==----------

\n\*\OF\7(-2)2+22+1.712+(-2)2+(-1)218

所以，直線如及平面頌所成角的正弦為述.

18

2.變式：用向量法求：二面角4-QE-O余弦；〃及〃夕的間隔；。點到平面

頌的間隔.

三、穩(wěn)固練習

作業(yè)：課本凡2、習題A組5、6題.

法向量在立體幾何中的應用

向量在數學和物理學中的應用很廣泛，在解析幾何及立體幾何里的應用更為干

脆，用向量的方法特殊便于探討空間里涉及直線和平面的各種問題。將向量引入

中學數學后，既豐富了中學數學內容，拓寬了中學生的視野；也為我們解決數學

問題帶來了一套全新的思想方法一一向量法。下面就向量中的一種特殊向量一一

法向量，結合近幾年的高考題，談談其在立體幾何有關問題中的應用。

一、平面的法向量的定義

假如表示向量々的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量Z垂直于平面

a,

記作aJ_a,假如a_La,那么向量a叫做平面a的法向量

二、平面的法向量的求法

1、在幾何體中找平面的垂線對應的有向線段作為平面的法向量；

2、在空間直角坐標系中利用向量的坐標運算來求法向量。

問題：已知不共線的三點坐標，如何求經過這三點的

平面的一個法向量？_

在空間直角坐標系中，已知A(3,(),0),5((),4,0),

C(0,0,2),試求平面ABC的一個法向量.

解:設平面ABC的一個法向量為〃=（x,y9z）

貝|/_1彳瓦2_1就.<麗=（一3,4,0）,AC=（-3,0,2）

.](x,j,z)-(-3,4,0)=0—+=0

l(x,y,z).(-3,0,2)=0-3x+2z=0

取x=4,則〃=(4,3,6)

...n=(4,3,6)是平面ABC的一個法向量.

問題:如何求平面的法向量？

（1股平面的法向量為〃={x,y,z}

⑵找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的

坐標a=（%,〃,《）,b=（a2,b2,c2）

⑶根據法向量的定義建立關于x,y9z的方程

?-a=0

一一

{〃?力=0

（4懈方程組,取其中的一個解,即得法向量.

練習：在三棱錐P—ABC中，PA_L平面ABC,

ZBAC=90°,AB=2,AC=PA=1,

求平面PBC的一個法向量。

寫出平面ABC的一個法向量

三、利用平面的法向量求空間角

1、求直線和平面所成的角。

如圖（圖2）所示，設PA及平面a的

法向量）所在直線所成的角為0,則PA及a所成的角為，

（其中cos。=|cos<PA,n>|）

一設直線/,機的方向向量分別為平面。,用的法向量分別為

所以：--mil

jr?u

直線/與平面a所成的角為。（0WeW?）,sin6=

2麗’

例2.如圖（圖3）所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形,

PA_L底面ABCD,AE±PD,EF//CD,PA=3AB,

求直線AC及平面AEFB所成角的正弦值。

2.直線及直線所成的角：-工

jra-b

兩直線/,〃，所成的角為不）,cose=：n=；

2a\\b

3.求二面角的大小。

設乙,〃2分別為平面%小的法向量，二面角〃的大小為。，向量

例3.如圖（圖6）所示，在棱長為1的正方體

ABCD-ABCD中，AC及BD交于點E,GB及

CBi交于點F0（1）求證：ACJ_平面DBG

（2）求二面角B—EF—C的大小。

佟I

X

四、利用法向量求間隔

1.求點到平面的間隔

利用法向量求點面間隔的根本思路是：如圖7,點P為平面a外一點，點A

為平面a內任一點，平面的法向量為］過點P作平面a的垂避血，記PA和7所

成的角為0,則P到平面a的間隔公式為:

—*—*IpA,M

|PH1=1PH1=1PA\cose二I;

例4.如圖8所示，在三棱錐S-ABC中，AABC是s

邊長為4的正三角形，平面SAC,平面ABC,/

SA=SC=2V3,M、N分別為