弧度制課件 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

新課程標準1.了解角的另外一種度量方法——弧度制.2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.3.掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式。5.1.2弧

度

制知識點一角度制與弧度制(一)教材梳理填空(1)度量角的兩種制度①角度制：定義：用

度

作為單位來度量角的單位制；1度的角等于周角的

②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制；1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.1

自學新教材·注重基礎性新課程學案讓核心素養(yǎng)落地生根(2)弧度數(shù)正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.如果半徑為r

的圓的圓心角α所對弧的長為l,那么角α的弧度數(shù)的絕對

角度化弧度弧度化角度360°=

2π

rad2π

rad=360°180°=

π

radπ

rad=180°(3)角度與弧度的換算(二)基本知能小試1.

判斷正誤(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位.(

)(2)用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān).

(

)(3)1的角是周角

,I

rad

的角是周角

(

)(4)1rad的角比1的角要大.

(

)答案：(1)

√

(2)×(3)

√(4)

√對于

對于D,

故

C項錯誤.答案：

C2.下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是A.60

化成弧度是C.—150

化成弧度是(

)化成度是—600°成度是15°B.D.3

.

與角

邊相同的角是

(

)A

B

D

角

邊相同的角的集合當k=1

時，解析：與答案：C故選C.知識點二扇形的弧長和面積公式(一)教材梳理填空設扇形的半徑為R,

弧長為l,a(0<a<2π)

為其圓心角，則(1)弧長公式：l=a·R.(2)扇形面積公式：

(二)基本知能小試1.

判斷正誤(1)扇形的半徑為1

cm,圓心角為30°,則扇形的弧長l=rlal=1×30=30(cm).

(

)(2)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長也增加到原來的2倍，扇形的面積不變.(

)答案：(1)×

(2)×2.

半徑為2,圓心角為的扇形的面積是

解析：由扇形的面積公式可得，此扇形的面積是答案：

題型一

角度制與弧度制的互化[學透用活](1)用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫.(2)用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數(shù).(3)度化弧度時，應先將分、秒化成度，再化成弧度.提升新知能·注重綜合性新課程學案讓核心素養(yǎng)落地生根0[典例1]

(1)①將11230′化為弧度為

;②將

化為度為

(2)將下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式.答案：

②一75°(2①

;②—315°.[解析](1)①因為②因為[方法技巧]進行角度制與弧度制互化的原則和方法(1)原則：牢記180°=π

rad,充分利用

和進行換算.(2)方法：設一個角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)為n,則

arad●[對點練清]設a?=510°,a?=—750°

,》

心(1)將α?,a?

用弧度表示出來，并指出它們各自終邊所在的象限；(2)將β1,β2用角度表示出來，并在一360～360范圍內(nèi)找出與

它們終邊相同的所有的角.∴a?

的終邊在第二象限，a?

的終邊在第四象限.乙

設θ?=

k·360°+144(k∈Z).∵—360≤θ?<360°,∴—360≤k·360°+144°<360°

.∴k=—1

或k=0.∴在一360～360范圍內(nèi)與β?終邊相同的角是—216°:設θ?=k·360°—330(k∈Z).∵—360≤θ?<360°,∴—360≤k·360°—330°<360.∴k=0

或

k=1.∴在一360～360范圍內(nèi)與β?

終邊相同的角是30°題型二用弧度表示有關(guān)的角[學透用活]1.用弧度表示與α終邊相同的角2kπ+a(k∈Z)的注意點(1)2kπ是2π(一周角的大小)的整數(shù)倍，而不是π的整數(shù)倍；(2)角度制與弧度制不能混用，如60°+2kπ(k∈Z)是錯誤的.2.

象限角的表示例如：第一象限角的集合

3.軸線角的表示例如：終邊在坐標軸上的角的集合[典例2]

用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x

軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如下圖).[解]

(1)以OA為終邊的角;

以OB為終邊的角∴陰影部分內(nèi)的角的集合(1)

(2)(2)以

OA

為終邊的角

;以OB為終邊的角.不妨設右邊陰影部分所表示的集合為

M1,

左邊陰影部分所表示的集合為M?

,則

∴

陰影部

分

所

表

示

的

集

合

為

M?UM?=[方法技巧]根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟(1)仔細觀察圖形；(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示；(3)用不等式表示區(qū)域角.用不等式表示區(qū)域角的范圍時，要注意角的集合形式是否能夠合并，能合并的要合并.[對點練清]1.的終邊相同的角的表達式中，正確的是()A.2kπ+45°,k∈Z

B.

,k∈ZC.k·360°—315°,k∈Z

D.

,k∈Z解析：弧度和角度不能出現(xiàn)在同一個表達式中，故選項A、B

錯誤

.

,k∈Z第一象限角，故選C.答案：

C表示的角是第一、三象限角，

是解析：陰影部分的兩條邊界分別角的終邊，所以a

的取值范圍答案：D2.若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角a

的取值范圍是(

)題型三

扇形的弧長與面積公式[學透用活](1)靈活運用扇形弧長公式、面積公式列方程(組)求解是解決此類問題的關(guān)鍵，有時運用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想解決扇形中的有

關(guān)最值問題，將扇形面積表示為半徑的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為r

的二次函

數(shù)的最值問題.(2)公式的變形①

●

●心[典例3]已知一扇形的圓心角是α,所在圓的半徑是R.(1)若a=60°,R=10,求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積；(2)若扇形的周長是定值C(C>0),

當lal為多少弧度時，該扇形的面積最大?[解]

(1)設弧長為1,弓形面積為S弓，,R=10,

∴

∴當

時

，S

扇有最大值且

故lal=2

時，該扇形的面積最大.(2)扇形周長C=2R+l,∴l(xiāng)=C—2R,··[方法技巧]1.

扇形問題的計算技巧涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面

積公式直接求解或列方程(組)求解.2.

弧長、面積的最值問題利用圓心角的弧度數(shù)、半徑表示出弧長或面積，利用函數(shù)知識求最值，

一般多利用二次函數(shù)的最值求解.[對點練清]1.[利用公式求圓心角的弧度數(shù)]已知扇形的周長為10cm,面積為4cm2,則扇形的圓心角a

的弧度數(shù)為

解析：設扇形的半徑為r

cm,圓心角α所對的弧長為lcm.由題意解

a=8

,●答案：2.[利用公式求扇形的半徑]若扇形圓心角為216°,弧長為30π,則扇形半徑為

r=25.答案：25解析：,93.[利用公式求扇形面積的最值及弧長]已知扇形AOB

的周長為10cm,求該扇形的面積的最大值及取得最大值時的弧長.解：設扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π),弧長為l,半

徑為r,

面積為S,由l+2r=10

得

l=10—2r, 當且僅當10—2r

=2r,

即

時

，S

取得最大

故該扇形的面積的最大值

及取得最大值時的弧長

為5cm.讓核

3

訓練新素養(yǎng)·注重創(chuàng)新性、應用性[課堂一刻鐘鞏固訓練]一、基礎經(jīng)典題1.已知

則角α的終邊在

(

)A.第一象限

B.

第二象限C.第三象限D(zhuǎn).

第四象限解析：因

所以角α的終邊在第二象限.答案：B心素養(yǎng)落地生根新課程學案解析：在弧度制下，終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍.答

案：C2.下列各對角中，終邊相同的是(

)

B.-5C.3.某扇形的半徑為1cm,它的周長為4cm,那么該扇形的圓心角為

解析：由題意可得扇形的弧長為

4—2×1=2(cm),則扇形的圓心角答案：24.

—

135化為

弧度

為

9

化為角度

為

解析：答案：

660°