高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前六 解析幾何 第1講 直線與圓講學(xué)案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

第1講直線與圓

_考情考向分析--------------------------------1

考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題.直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦

長問題)，此類問題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).

r

11熱點(diǎn)分類突破

熱點(diǎn)一直線的方程及應(yīng)用

1.兩條直線平行與垂直的判定

若兩條不重合的直線心的斜率左存在，則4〃心=4=左，4，心=%在=—1.若給

出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.

2.求直線方程

要注意幾種直線方程的局限性.點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距

式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.

3.兩個距離公式

(1)兩平行直線Ax~\~By~\~=0?

Ir_I

7z：Ax-\-By+Ci=Q間的距離.

IAxo-\~Byo-\-C\

⑵點(diǎn)(x。，㈤到直線，：4r+6y+C=0的距離公式d=(1+4#0).

例1(1)(2017屆湖南省長郡中學(xué)、衡陽八中等十三校重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)“a=2”是“直線ax

+y—2=0與直線2x+(a—l)y+4=0平行”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由ax+y—2=0與直線2x+Q—1)y+4=0平行，得a(a—1)=2,/.a=—1,a=

2.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=—1時，兩直線重合(舍去)....“a=2”是“直線ax+y—2=0與直線2x+

(a—l)y+4=0平行”的充要條件.

(2)(2017屆南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系x&中，直線1："x—y+2=0與直線A：x

+為一2=0相交于點(diǎn)P,則當(dāng)實(shí)數(shù)“變化時，點(diǎn)戶到直線x—y—4=0的距離的最大值為

答案372

解析由題意，得直線71：kx-y+2=0的斜率為k,且經(jīng)過點(diǎn)/（0,2）,直線72：x+ky

-2=0的斜率為V，且經(jīng)過點(diǎn)6（2.°）,且直線/所以點(diǎn)戶落在以加為直徑的圓C

上，其中圓心坐標(biāo)為C（l，1）,半徑為r=小,

則圓心到直線x—y—4=0的距離為d=

所以點(diǎn)尸到直線x—y—4=0的最大距離為

d+r=2也+由=3巾.

思維升華（1）求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況.

（2）對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究.

跟蹤演練1⑴已知直線71：ax+（a+2）y+l=0,72：x+ay+2=0,其中a^R,則"a

=—3”是“ZLA”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析直線乙上心的充要條件是a+（a+2）a=0,

a（a+3）=0,a=0或a=—3.故選A.

⑵己知兩點(diǎn)/⑶2）和以一1,4）到直線以x+y+3=0的距離相等，則加的值為（）

-11—

A.0或一1B.］或一6

答案B

|3%+51|一加+7|

解析依題意，得

yjin+1y/m+l'

所以|3勿+51=\m-7\.

所以(3"+5/=應(yīng)-7)2,

整理得2勿2+11/-6=0.

所以勿=,或勿=—6.

熱點(diǎn)二圓的方程及應(yīng)用

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)圓心為(a,6),半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a”+(y—6)2=封，特別地，當(dāng)圓心在原

點(diǎn)時，方程為系+7=/.

2.圓的一般方程

恒亨為半徑

3+4+法+0+6=0,其中萬十片一4Q0,表示以

的圓.

例2⑴(2017??？谡{(diào)研)己知圓〃與直線3x—4y=0及3x—4y+10=0都相切，圓心在

直線尸一了一4上，則圓〃的方程為()

A.(x+3)2+(y—1》=1

B.(x—3)2+(y+1)2=1

C.(x+3)2+(y+1)』

D.(X—3)2+(y—1)2=1

答案C

解析到兩直線3x—4y=0及3x—4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x—4y+5=0,

3x—4p+5=0,Ix=-3,

聯(lián)立方程組?解得兩平行線之間的距離為2,所以半徑為1,

y=-x—4,g—1.

從而圓〃的方程為(x+3)2+(y+l)2=l.故選C.

(2)(2017?百校聯(lián)盟質(zhì)檢)若圓C過點(diǎn)(0,-1),(0,5),且圓心到直線x—y—2=0的距

離為272，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案3+金一2)2=9或(了-8)2+金一2)2=73

a—2—2

解析由題意可設(shè)圓心C(a，2),則^一『~1—2^2=>a=0或a=8,所以半徑等于N0+32

或耐+3。即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+(y—2)2=9或(x—8)2+(y-2)2=73.

思維升華解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法

(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方

程.

(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).

跟蹤演練2(1)圓心為(4,0)且與直線/x—y=0相切的圓的方程為()

A.(x—4)z+/=lB.(x—4)?+/=12

C.(^-4)2+y=6D.(x+4)?+/=9

答案B

解析由題意可知，圓的半徑為點(diǎn)到直線的距離，

|V3X4-o|r

即片行廠=第'

結(jié)合圓心坐標(biāo)可知，圓的方程為(x—4)2+y=12.

(2)(2016?浙江)已知aGR,方程(a+2)y+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是

，半徑是.

答案(一2,-4)5

解析由已知方程表示圓，則南=&+2,

解得a=2或a=-l.

當(dāng)a=2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.

當(dāng)a=-1時，原方程為矛2+/+4才+8/一5=0,

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為5+2)2+(y+4)2=25,

表示以(一2,—4)為圓心，5為半徑的圓.

熱點(diǎn)三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法.

(1)點(diǎn)線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為&圓的半徑為r,則火直線與圓相交，d=r=

直線與圓相切，沸直線與圓相離.

⑵判別式法：設(shè)圓C：(x—a)?+(y—6)2=/,直線h4r+分+C=0,方程組

Ax-\~By-\-C—Q,

消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為/,則直線

(x—af+(y—bf=r

與圓相離=/〈0,直線與圓相切。4=0,直線與圓相交=4>0.

2.圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.

設(shè)圓G：(jr-Si)2+(y—Z)i)2=n,圓C：(x—勿)2+(y—友兩圓心之間的距離為d,

則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下：

(1)力_n+_n=兩圓外離.

(2)d=ri+_no兩圓外切.

⑶|_n—△2|<""1+勿=兩圓相交.

(4)d=|n—r21CnW_n)=兩圓內(nèi)切.

(5)0WK|_n一(_nW_n)o兩圓內(nèi)含.

例3（1）（2017，保定模擬）若直線才+/=0與圓/+（了一3）2=1相切，則a的值為（）

A.1B.±1

C.@D.土鏡

答案D

解析圓x?+（y—a）2=l的圓心坐標(biāo)為（0,a）,半徑為1,

因?yàn)橹本€x+y=0與圓/+（y—a）2=1相切，

lai

所以圓心（0，a）到直線的距離d=r,即一廠=1,解得a=土第，故選D.

（2）（2017?銀川模擬）已知圓G：/+/=4,圓C：?+/+6x—8y+16=0,則圓&和圓C

的位置關(guān)系是（）

A.相離B.外切

C.相交D.內(nèi)切

答案B

解析化圓G的方程為（矛+3）'+（y—4）2=9,則圓。與0的圓心距為■\/?^不=5=7'1+勿，

所以圓G和圓G外切，故選B.

思維升華（1）討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何

性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量.

（2）圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直

線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距

離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題.

跟蹤演練3⑴（2017?深圳調(diào)研）直線/："x+y+4=0（AeR）是圓a/+/+4^-4y+6

=0的一條對稱軸，過點(diǎn)/（0,A）作斜率為1的直線m,則直線0被圓。所截得的弦長為

（）

A.當(dāng)B.^2

C.乖D.2m

答案C

解析由hAx+p+4=0(>￡R)是圓QV+/+4x—4升6=0的一條對稱軸知，直線1

必過圓心(一2,2),因此A=3.則過點(diǎn)Z(0,k),斜率為1的直線力的方程為尸x+3,圓

心到直線的距離d=-忑一彳，所以弦長等于R7二7=272〒#,故選C.

(2)(2017?西寧復(fù)習(xí)檢測)如果圓(x—a)2+(y—a)2=8上總存在到原點(diǎn)的距離為明的點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-3,—1)U(1,3)B.(—3,3)

C.[―1,1]D.[—3,-1]U[1,3】

答案D

解析圓心Q，切到原點(diǎn)的距離為|鏡a|,半徑r=2木,圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為d.因

為圓(x—a)2+(y—a)2=8上總存在點(diǎn)S原點(diǎn)的距^為鏡，則圓(^―a)2+(y—a)2=8與圓殳

+/=2有公共點(diǎn)，r'=^/2,.\r-r'/,即1W|)W3,解得

或一—1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,—1]U[1,3】，

故選D.

真題押題精練

真題體驗(yàn)

1.(2016?山東改編)已知圓M-.f+產(chǎn)-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是

2書,則圓〃與圓及5—1尸+5—1T=1的位置關(guān)系是.

答案相交

解析圓屈/+(y—a)2=a,

...圓心坐標(biāo)為〃(0,a),半徑—為a,

a\

圓心〃到直線x+y—Q的距離

由幾何知識得+(淄)2=/，解得a=2.

2),4=2.

又圓N的圓心坐標(biāo)為Ml,1)，半徑12=1,

/.|MN\=^/(1-0)2+(1-2)2=^2.

又方+々=3,n—12=1,

.\ri-r2<|W|V_n+勿，，兩圓相交.

2.（2016,上海）已知平行直線7i：2x+y—1=0,k：2x+y+1=0,則Z,h的距禺是一

2A/5

答案管

3.（2016?全國I）設(shè)直線y=x+2乃與圓G3+/—2孫—2=0相交于8兩點(diǎn)，若|陰

=2小,則圓。的面積為—

答案4n

解析圓C：x+y—2ay-2—0,即C：x+(y-a)2—a2+2,圓心為C(0,a),。到直線y

I0—a+2zI㈤=

=x+2a的距離d=,.又由AB\2y^3,

所以圓的面積為Ji（a2+2）=4Ji.

押題預(yù)測

1.已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)（1,0）且被x軸分成的兩段弧長比為1：2,則圓C的方

程為

D.x(土乎3

押題依據(jù)直線和圓的方程是高考的必考點(diǎn)，經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，利用幾何

法求圓的方程也是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

答案C

2Ji

解析由已知得圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對的圓心角為亍.設(shè)圓心坐標(biāo)為（0,a）,

半徑為r,

,JIrcos\a\,解得片錄

則_rsin-=1

O

故圓。的方程為步+"土?xí)?=]

2.設(shè)出〃為正實(shí)數(shù)，若直線E+l)x+(〃+l)y—4=0與圓3+/—4x—4y+4=0相切，

則mn()

A.有最小值1+鏡，無最大值

B.有最小值3+2m，無最大值

C.有最大值3+2小，無最小值

D.有最小值3—2鏡，最大值3+2小

押題依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn),本題與基本不等式結(jié)合考查，靈活新穎,

加之直線與圓的位置關(guān)系本身承載著不等關(guān)系，因此此類題在高考中出現(xiàn)的可能性很大.

答案B

解析由直線(加+l)x+(〃+l)y—4=0與圓(x—2尸+(y—2尸=4相切，可得

2\m~\-n\

2,整理得/+〃+1=順由處〃為正實(shí)數(shù)可知令嬴,

則21+1W巴因?yàn)?0,所以鏡，所以腿》3+241故初有最小值3+2乖，無最

大值.故選B.

3.若圓x+/=4與圓x'+y+ax+Zay—9=0(a>0)相交，公共弦的長為2小,則a=

押題依據(jù)本題已知公共弦長，求參數(shù)的范圍，情境新穎，符合高考命題的思路.

答案手

+y=4,

解析聯(lián)立兩圓方程2b9=。,

可得公共弦所在直線方程為ax+2ay—5=0,

故圓心(0,0)到直線石才+2”一5=0的距離為

5

解得4=5，

因?yàn)閍〉0,所以a=平.

ET專題強(qiáng)化練-----------------------

A組專題通關(guān)

1.（2017?河南省鄭州市第一中學(xué)調(diào)研）點(diǎn)（/，4）在直線1：ax—y+1=0上，則直線/

的傾斜角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.120°

答案C

解析將點(diǎn)（鎘，4）代入直線方程，求得a=而,所以直線Z/x—y+l=0,斜率孑=

小,所以傾斜角為60。，故選C.

3Jixv

2.（2017屆吉林大學(xué)附屬中學(xué)模擬）若丁〈?！?口，則直線------+一一=1必不經(jīng)過

2cosasina

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析令x=0,得了=$1.11a<0,令y=0,得x=cosa>0,直線過（0,sina）,（cosa,

0）兩點(diǎn)，因而直線不過第二象限.故選B.

3.直線/與兩條直線y=l,x—y—7=0分別交于20兩點(diǎn)，線段產(chǎn)。的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—

1）,那么直線/的斜率是（）

答案C

解析設(shè)戶(a,1),Q(b,b—7),

'a~\~b

=1,

2

所以〈

l+b-7

1,

2

f<3——2,

解得4所以尸(一2,1),0(4,-3),

[z6=4,

所以直線1的斜率4=1—故選c.

一乙-4o

4.(2017?湖北省六校聯(lián)合體聯(lián)考)過點(diǎn)?(1,2)的直線與圓/+/=1相切，且與直線ax

+了—1=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()

4

A.0B.——

o

、44

C.0或

答案C

解析當(dāng)石=0時，直線ax+p—l=0,即直線y=l,此時過點(diǎn)尸(1，2)且與直線尸1垂直

的直線為x=l,而x=l與圓相切，滿足題意，所以己=0成立；當(dāng)dWO時，過點(diǎn)尸(1,2)

且與直線ax+y—1=0垂直的直線斜率為士可設(shè)該直線方程為y—2=1(x—1),即x—ay

aa

I2a—1I4

+2a—1=0,再根據(jù)直線與圓相切，即圓心到直線距離為1,可得=1，解得4=鼻.

"+13

,4

所以a=0或勺.故選C.

5.(2017?廣西陸川縣中學(xué)知識競賽)已知圓G：f+/一2x—4y—4=0與圓C：V+/+4x

—10y+25=0相交于46兩點(diǎn)，則線段46的垂直平分線的方程為()

A.x-\-y—3=0B.x—y+3=0

C.x+3y—1=0D.3x—y+l=O

答案A

解析由題設(shè)可知，線段Z6的垂直平分線過兩圓的圓心G(l,2),C(—2,5),由此可得AGG

5—9

=FX=-1,故由點(diǎn)斜式方程可得p—2=—(x—1),即x+y—3=0,故選A.

6.(2017屆唐山模擬)在平面直角坐標(biāo)系x@中，圓。的方程為丫?+/=4,直線/的方程為

y=?(x+2),若在圓。上至少存在三點(diǎn)到直線，的距離為1,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

答案B

解析根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知，若圓0:/+/=4上至少存在三點(diǎn)到直線1:y=

“（x+2）的距離為1,則圓心（0,0）到直線"x—y+2—O的距離，應(yīng)滿足痣1,即

A/A+1

W1,解得"W，即一半WZ當(dāng),故選B.

7.（2017?武漢調(diào)研）已知圓C；（x—1）2+5—4）2=10和點(diǎn)〃（5,下），若圓。上存在兩點(diǎn)4

B,使得MALMB,則實(shí)數(shù)力的取值范圍為（

A.[-2,6]B.3,5]

C.[2,6]D.[3,5]

答案C

解析過點(diǎn)〃作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,連接4GBC,孫若圓。上存在兩點(diǎn)A,

V10

B,使得揚(yáng)_LA?,只需/?心45°,sin//加'=^29解得2W2W6,故

^(5—l)2+(t-4)2

選C.

3x+yT=0,

8.（2017屆上海市黃浦區(qū)模擬）若關(guān)于x,y的方程組，有無數(shù)多組解，則

4x+到一2=0

不合題忌;

ai一1

當(dāng)aWO時,由彳=一=-解得a=2.

4a一2

綜上可知，a=2.

9.（2017屆安徽省馬鞍山市質(zhì)檢）已知/（0,0）,B（2,-4）,C（4,2）,線段是△/8C

外接圓的直徑，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

答案（6,-2）

解析設(shè)，(X,y),因?yàn)橘?,-4),C(4,2)在圓周上且四是△/及:外接圓的直徑，所

——4——4——V22——V

以后=—1=〒義至二；‘公?局=—1=^義二？解得x=6,y=-2,所以點(diǎn)。的

坐標(biāo)是(6,-2).

10.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，且與直線x+y+2=0相切的圓的方程是,圓

。與圓x+y—2y—3=0的位置關(guān)系是

答案/+/=2相交

9

解析由題意所求圓的半徑等于原點(diǎn)。到直線x+y+2=0的距離，即r^~r==y[2,則

y1+1

所求圓的方程是x+y=2.因?yàn)閳A。與圓/+/—2y—3=0的圓心和半徑分別為。(0,0),n

=/,G(0,1),r2=2,ri+r2=2+y[2f乃一斗=2—隹，所以連一n〈|陽|=1<-+々，故

兩圓的位置關(guān)系是相交.

11.(2017屆四川省綿陽市診斷性考試)過定點(diǎn)〃的直線：取一y+1—2A=0與圓(才+1尸+

(p—5產(chǎn)=9相切于點(diǎn)兒貝(]|削=.

答案4

解析由直線取一夕+1—24=0,即p—l=4(x—2),

直線經(jīng)過定點(diǎn)欣2,1).又圓(x+lV+Cr—5尸=9,

則圓心坐標(biāo)為C(—1,5),半徑r=3,

所以I如I=4(2+1『+(1—5)2:5,

所以|MN\IMC\2—r2=^/52—32=4.

12.設(shè)圓。滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；③

圓心到直線1:x—2y=0的距離為d.當(dāng)"最小時，圓。的面積為

答案2JI

解析如圖，設(shè)圓心坐標(biāo)為。(劣b),

r=a-\-\,

則II=27?2=才+1,

r=y[r2|b\

所以圓心C（a,b）到直線x—2p=0的距離

|a—2b|

d=-j=—,

故J）=.（才+44—4助）.

55

由于a—2才一29，

故d=~(a2+4Z?2—4a6)

*（2N一一）=5當(dāng)且僅當(dāng)aj時取等號）,

此時產(chǎn)=才+1=2,故圓的面積S=兀/=2兀.

B組能力提高

13.（2017?廣州市綜合測試）已知三條直線2x—3y+l=0,4x+3y+5=0,酸-y—1=0

不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（）

4242

3,3『-3

424422

于73J-3,3

答案D

解析因?yàn)槿龡l直線2x—3y+l=0,4x+3p+5=0,%—y—1=0不能構(gòu)成三角形，所以直

線%x—y—l=0與2x—3p+l=0,4x+3y+5=0平行，或者直線以x—p—l=0過2x—3p+

1=0與4x+3y+5=0的交點(diǎn).當(dāng)直線3一p—1=0與2x—3p+l=0,4x+3y+5=0分另U

24

平行時，"=勺或一］當(dāng)直線%x一夕-1=0過2x—3p+l=0與4