2024八年級數(shù)學(xué)下冊第4章四邊形壓軸30題專練含解析新版浙教版

Page1第4章四邊形（壓軸30題專練）一．選擇題（共12小題）1．（大名縣期末）下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．兩組對邊分別平行 B．一組對邊平行，另一組對邊相等 C．兩組對邊分別相等 D．一組對邊平行且相等【分析】由平行四邊形的判定方法得出A、C、D正確，B不正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∴A正確；∵一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形，不愿定是平行四邊形，∴B不正確；∵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，∴C正確；∵一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴D正確；故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的判定方法；嫻熟駕馭平行四邊形的判定方法，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．2．（香洲區(qū)期中）已知一個多邊形的外角都等于40°，那么這個多邊形的邊數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】依據(jù)多邊形的外角和等于360°可計算求解．【解答】解：由題意得360°÷40°＝9，∴四邊形的邊數(shù)為9．故選：D．【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角與外角，駕馭多邊形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（青山區(qū)期末）若多邊形的邊數(shù)由n增加到n+1（n為大于3的正整數(shù)），則其內(nèi)角和的度數(shù)（）A．增加180° B．削減180° C．不變 D．不能確定【分析】依據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求出答案．【解答】解：n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，n+1邊形的內(nèi)角和是（n+1﹣2）?180°＝（n﹣1）?180°，則（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180°＝180°，故選：A．【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，正確理解多邊形的內(nèi)角和定理是解決的關(guān)鍵．4．（滿洲里市期末）四邊形ABCD中，AD∥BC．要判別四邊形ABCD是平行四邊形，還需滿足條件（）A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠A＝180° C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D【分析】利用平行四邊形的五種判定定理可得出答案；【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∴A．∠A+∠C＝180°，可得∠B＝∠C，這樣的四邊形是等腰梯形，不是平行四邊形，故此選項錯誤；B．∠A+∠B從題目已知條件即可得出，無法證明四邊形為平行四邊形，此選項錯誤；C．同理A，這樣的四邊形是等腰梯形，故此選項錯誤；D．∠B＝∠D，可得∠A+∠D＝180°，則BA∥CD，故四邊形ABCD是平行四邊形，此選項正確；故選：D．【點評】本題考查平行四邊形的判定定理，得出另一對邊平行是解題關(guān)鍵．5．（慶云縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD三個頂點坐標(biāo)分別為A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），則頂點B的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，3） B．（4，﹣1） C．（3，﹣1） D．（3，﹣2）【分析】設(shè)點B（x，y），由平行四邊形的性質(zhì)可得，，即可求解．【解答】解：設(shè)點B（x，y），∵四邊形ABCD是平行四邊形，點A（﹣1，﹣2），點D（1，1），點C（5，2），∴，，∴x＝3，y＝﹣1，∴點B（3，﹣1），故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，駕馭平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．（杭州期末）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC邊的中點，G、H是對角線BD上的兩點，且BG＝DH．有下列結(jié)論：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四邊形EGFH是平行四邊形；④EG＝FH．則正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】證△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，則∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再證出四邊形EGFH是平行四邊形，得EG＝FH，故②③④正確，∠FGH不愿定等于90°，故①不正確，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∴EG＝FH，故②③④正確，∵∠FGH不愿定等于90°，∴GF⊥BD不正確，故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等學(xué)問；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△GBF≌△HDE是解題的關(guān)鍵．7．（諸城市期末）如圖，DE是△ABC的中位線，∠ABC的角平分線交DE于點F，AB＝8，BC＝12，則EF的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】延長AF交BC于H，由三角形中位線定理得到DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，再證△BFA≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位線定理得DF＝4，求解即可．【解答】解：連接AF并延長交BC于H，如圖所示：∵點D、E分別為邊AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，在△BFA和△BFH中，，∴△BFA≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝8，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF是△ABH的中位線，∴DF＝BH＝4，∴EF＝DE﹣DF＝2，故選：C．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等學(xué)問，嫻熟駕馭三角形中位線定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（鄞州區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD上隨意一點P作EF∥BC，GH∥AB，且AH＝2HD，若S△HDP＝1，則S?ABCD＝（）A．9 B． C．12 D．18【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形的面積，可以求得行四邊形ABCD的面積，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，四邊形HPFD是平行四邊形，四邊形AEPH、四邊形PGCF均為平行四邊形，且它們的面積相等，四邊形EBGP是平行四邊形，∵S△HDP＝1，∴S?HPDF＝2，∵AH＝2HD，∴S?AEPH＝S?PGCF＝4，∴S?EBGP＝8，∴S?ABCD＝2+4+4+8＝18，故選：D．【點評】本題考查平行四邊形的面積、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．（西湖區(qū)校級期中）如圖所示，點E為?ABCD內(nèi)一點，連接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面積為2，△CED的面積為10，則陰影部分△ACE的面積為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】過點B作BF⊥CD于點F，設(shè)△ABE和△CDE的AB和CD邊上的高分別為a和b，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S△ABE+S△CDE＝S平行四邊形ABCD，S△ABE+S△CBE+S陰影＝S平行四邊形ABCD，進而可得S陰影＝S△CDE﹣S△CBE．【解答】解：如圖，過點B作BF⊥CD于點F，設(shè)△ABE和△CDE的AB和CD邊上的高分別為a和b，∴S△ABE＝×AB×a，S△CDE＝CD×b，∵a+b＝BF，AB＝CD，∴S△ABE+S△CDE＝（AB×a+CD×b）＝AB?BF，∵S平行四邊形ABCD＝CD?BF，∴S△ABE+S△CDE＝S平行四邊形ABCD，∵S△ABE+S△CBE+S陰影＝S平行四邊形ABCD，∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S陰影，∴S陰影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是駕馭平行四邊形的性質(zhì)．10．（新蔡縣期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BC，垂足為E，AB＝，AC＝2，BD＝4，則AE的長為（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解OA，OB的長，利用勾股定理的逆定理可得∠BAO＝90°，再依據(jù)勾股定理可求解BC的長，由△ABC得面積公式可計算求解AE的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝2，BD＝4，∴OA＝AC＝1，OB＝BD＝2，∵AB＝，∴AB2+OA2＝OB2，∴△AOB為直角三角形，且∠BAO＝90°，∴BC＝，∵S△ABC＝AC?AB＝BC?AE，∴2×＝AE，解得AE＝．故選：D．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及逆定理，三角形的面積，利用勾股定理求解BC的長是解題的關(guān)鍵．11．（寧波模擬）如圖，已知E，F(xiàn)為?ABCD對角線AC上兩點，且AE＝CF，過E，F(xiàn)將?ABCD分制成9個小的平行四邊形，則已知下列哪個選項中的圖形面積，就可以求出△GIN的面積（）A．△AHF B．△GHN C．四邊形AHPI D．四邊形IPFJ【分析】依據(jù)題意作出合適的幫助線，然后依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到陰影部分的面積，從而可以解答本題．【解答】解：連接IM、EN、GP，由圖可得，S△IEN＝S△IEM，S△GEN＝S△GEP，則陰影部分的面積＝S△IGP+S△IEM＝S?AHPI+S?IEMD，∵AE＝CF，過E，F(xiàn)將?ABCD分制成9個完全相同的小的平行四邊形，∴S?AGEI＝S?JQMD＝S?HBKP＝S?FLCN，∴S?IEMD＝S?GEKB＝S?AHPI，∴陰影部分的面積＝S?AHPI，故選：C．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（椒江區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，AB＝10，CD＝6，以AC，AD為鄰邊作?ACED，連接BE，則線段BE長為（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】連接AE交CD于O，連接DM、CM，取AB的中點M，連接OM，由直角三角形的性質(zhì)得出DM＝CM＝AB＝5，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA＝OE，OC＝OD＝CD＝3，得出OM是△ABE的中位線，由三角形中位線定理得出BE＝2OM，由等腰三角形的性質(zhì)得出OM⊥CD，再由勾股定理求出OM的長，即可得出結(jié)果．【解答】解：連接AE交CD于O，取AB的中點M，連接DM、CM，連接OM，如圖所示：∵AB＝10，∠ADB＝∠BCA＝90°，∴DM＝CM＝AB＝5，∵四邊形DACE是平行四邊形，∴OA＝OE，OC＝OD＝CD＝3，∴OM是△ABE的中位線，∴BE＝2OM，∵DM＝CM，OC＝OD，∴OM⊥CD，∴∠MOC＝90°，由勾股定理得：OM＝＝＝4，∴BE＝2OM＝8；故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等學(xué)問；嫻熟駕馭平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，證出OM是△ABE的中位線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）13．（溫州開學(xué)）如圖，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個外角，若∠A+∠B＝240°，則∠1+∠2+∠3＝240°．【分析】延長EA、AB構(gòu)造外角∠4、∠5，依據(jù)一個頂點上的外角和內(nèi)角的關(guān)系與多邊形的外角和，計算得結(jié)論．【解答】解：如圖，延長EA、AB．∵∠EAB+∠4+∠ABC+∠5＝360°，又∵∠EAB+∠ABC＝240°，∴∠4+∠5＝120°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝240°．故答案為：240°．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，駕馭“多邊形的外角和是360°”是解決本題的關(guān)鍵．14．（衢州）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，BD交于點F，則∠AFB的度數(shù)為72°．【分析】依據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出∠ABC，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCA和∠CBD，依據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和進行計算即可．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠CBD＝36°，∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，故答案為：72°．【點評】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角，嫻熟駕馭正多邊形的內(nèi)角的計算公式和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（嘉興）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB⊥AC，AH⊥BD于點H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長為．【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分別利用勾股定理可求出AC和OB的長，又AH⊥OB，可利用等面積法求出AH的長．【解答】解：如圖，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，∴AC＝＝2，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC＝，在Rt△OAB中，OB＝＝，又AH⊥BD，∴OB?AH＝OA?AB，即＝，解得AH＝．故答案為：．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等面積思想等，熟知等面積法是解題關(guān)鍵．16．（湖州）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五個頂點），則圖中∠A的度數(shù)是36度．【分析】正五角星中，五邊形FGHMN是正五邊形，依據(jù)正多邊形及鄰補角的性質(zhì)，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠A的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵正五角星中，五邊形FGHMN是正五邊形，∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案為：36．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，正確理解五邊形FGHMN是正五邊形是解題關(guān)鍵．17．（寧波模擬）一個正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為144°，則這個多邊形的邊數(shù)是10．【分析】設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，依據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°得到（n﹣2）×180°＝144°×n，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，∴（n﹣2）×180°＝144°×n，∴n＝10．故答案為：10．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°；n邊形的外角和為360°．18．（大興區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點，若DE＝2，則BC邊的長為4．【分析】依據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵D、E分別為AB、AC邊的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE＝4，故答案為：4．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．19．（鼓樓區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點N是BC邊上一點，點M為AB邊上的動點，點D、E分別為CN，MN的中點，則DE的最小值是．【分析】當(dāng)CM⊥AB時，CM的值最小，此時DE的值也最小，依據(jù)勾股定理求出AB，依據(jù)三角形的面積求出CM，再求出答案即可．【解答】解：連接CM，∵點D、E分別為CN，MN的中點，∴DE＝CM，當(dāng)CM⊥AB時，CM的值最小，此時DE的值也最小，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵S△ABC＝＝，∴CM＝，∴DE＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了三角形的面積，勾股定理，三角形的中位線，垂線段最短等學(xué)問點，留意：三角形的中位線等于第三邊的一半．20．（西湖區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，有下列條件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE．其中確定能判定四邊形AECF是平行四邊形的是①③④．【分析】依據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)分別推理論證，即可得到結(jié)論．【解答】解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，∵BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，即OF＝OE，∴四邊形AECF是平行四邊形；③∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF，∵AO＝CO，BO＝DO，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形；④∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，即OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形；②∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，∴不能判定四邊形AECF是平行四邊形；∴確定能判定四邊形AECF是平行四邊形的是①③④，故答案為：①③④．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等學(xué)問；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．21．（永嘉縣校級期中）如圖，過平行四邊形ABCD的對角找BD上一點M分別作平行四邊形兩邊的平行線EF與GH，那么圖中的平行四邊形AEMG的面積S1與平行四邊形HCFM的面積S2的大小關(guān)系是S1＝S2．【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出平行四邊形GBEP、GPFD，證△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面積相等；同理得出△BEM和△MHB的面積相等，△GMD和△FDM的面積相等，相減即可求出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四邊形HBEM、GMFD是平行四邊形，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面積相等；同理△BEM和△MHB的面積相等，△GMD和△FDM的面積相等，故四邊形AEMG和四邊形HCFM的面積相等，即S1＝S2．故答案為：S1＝S2．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是駕馭平行四邊形的性質(zhì)．22．（河北模擬）如圖，已知正五邊形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五邊形的外角∠EDF，則∠G＝54度．【分析】依據(jù)正五邊形的軸對稱性以及多邊形的外角和等于360度解答即可．【解答】解：如圖：由正五邊形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，∴∠G+∠EDG＝90°，∵∠EDF＝＝72°，DG平分正五邊形的外角∠EDF，∴∠EDG＝∠EDF＝36°，∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．故答案為：54．【點評】本題考查了多邊形外角和定理，關(guān)鍵是熟記：多邊形的外角和等于360度．三．解答題（共8小題）23．（拱墅區(qū)期中）如圖，在△ABC中，過點C作CD∥AB，E是AC的中點，連接DE并延長，交邊AB于點F，連接AD，CF．（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；（2）若AF＝2BF，四邊形AFCD的面積為S1，四邊形FBCE的面積為S2，求S1：S2．【分析】（1）由題意可證明△AEF≌△CED（ASA），可得AF＝CD，進而可得四邊形AFCD是平行四邊形；（2）設(shè)BF＝a，則AF＝2a，過點C作CG⊥AB于點G，設(shè)CG＝h，可得S1＝2S△ACF＝2ah，S2＝S△DCF+S△BCF＝ah，進而可求出S1：S2的值．【解答】（1）證明：如圖，∵CD∥AB，∴∠FAC＝∠DCA，∵點E是AC的中點∴AE＝CE，又∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF≌△CED（ASA），∴AF＝CD，又∵AF∥CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形；（2）解：設(shè)BF＝a，則AF＝2BF＝2a，如圖，過點C作CG⊥AB于點G，設(shè)CG＝h，∴S△ACF＝?AF?CG＝?2a?h＝ah，S△BCF＝?BF?CG＝?a?h＝ah，∴S1＝2S△ACF＝2ah，S△ECF＝S1＝ah，∴S2＝S△ECF+S△BCF＝ah，∴S1：S2＝2ah：ah＝2．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形的面積等問題，出現(xiàn)有關(guān)面積的問題，須要作出高是常見解題方法．24．（海曙區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD中點，連接CF并延長交BA的延長線于點E．（1）求證：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度數(shù)．【分析】（1）由題意易得AB＝CD，AB∥CD，進而易證△AFE≌△DFC，則有CD＝AE，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得AF＝AE，則∠AFE＝∠E＝31°，然后依據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∴∠E＝∠DCF，∵點F是AD中點，∴AF＝DF，∵∠EFA＝∠CFD，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD＝AE，∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，∴AE＝AF，∵∠E＝31°，∴∠AFE＝∠E＝31°，∴∠DAB＝2∠E＝62°．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定，嫻熟駕馭平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．25．（余杭區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝AC，AD⊥AC，點E是AB的中點，點F是AC延長線上一點，連接EF．（1）若ED⊥EF．求證：ED＝EF．（2）在（1）的條件下，若DC的延長線與FB交于點P，試推斷四邊形ACPE是否為平行四邊形，并證明你的結(jié)論（請補全圖形，再解答）（3）若ED＝EF，ED與EF垂直嗎？若垂直，請賜予證明．【分析】（1）連接CE，證△CEF≌△AED（ASA），依據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得CF＝AD，再證CP是△ABF的中位線，得CP＝AB＝AE即可得出結(jié)論；（3）過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，證Rt△DME≌Rt△FNE（HL），得∠ADE＝∠CFE，進而得出∠DAF＝∠DEF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，連接CE，如圖1所示：∵E是AB的中點，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED（ASA），∴ED＝EF；（2）解：四邊形ACPE是平行四邊形，理由如下：連接CE，如圖2所示：由（1）得：△CEF≌△AED，∴CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴CP是△ABF的中位線，∴CP＝AB＝AE，∴四邊形ACPE為平行四邊形；（3）解：若ED＝EF，ED與EF垂直，理由如下：過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，如圖3所示：則∠MAF＝90°，∵∠NAE＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAE，∴EM＝EN，在Rt△DME與Rt△FNE中，，∴Rt△DME≌Rt△FNE（HL），∴∠ADE＝∠CFE，∵∠DAF+∠ADE＝∠DEF+∠CFE，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠DAF＝90°，∴∠DEF＝90°，∴ED⊥EF．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等學(xué)問；正確的作出幫助線是解題的關(guān)鍵．26．（滕州市期末）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，點G，H分別是AB，CD的中點，點E，F(xiàn)在對角線AC上，且AE＝CF．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形．（2）連接BD交AC于點O，若BD＝12，AE＝EF﹣CF，求EG的長．【分析】（1）證△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，則∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出結(jié)論；（2）先由平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD＝6，再證出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位線，然后利用中位線定理可得EG的長度．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵點G，H分別是AB，CD的中點，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：連接BD交AC于點O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝12，∴OB＝OD＝6，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE＝EF﹣CF，∴AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵點G是AB的中點，∴EG是△ABO的中位線，∴EG＝OB＝3．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理等學(xué)問點，嫻熟駕馭平行四邊形判定與的性質(zhì)及三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．27．（上城區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點F是CB的中點，點E是AB的中點，點D是CA延長線上的一點，且AD＝AC，連接DE、AF．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）若四邊形ADEF的周長是14cm，BC的長為6cm，求四邊形ADEF的面積．【分析】（1）依據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF＝AC，依據(jù)平行四邊形的判定定理于是得到結(jié)論；（2）依據(jù)已知條件得到AD+AF＝7，求得AF＝7﹣AD，依據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵點F是CB的中點，點E是AB的中點，∴EF＝AC，∵AD＝AC，∴EF＝AD，∵EF∥AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ADEF的周長是14cm，∴AD+AF＝7（cm），∴AF＝7﹣AD，∵AC＝2AD，CF＝BC＝3（cm），∴AC2+CF2＝AF2，即（2AD）2+9＝（7﹣AD）2，∴AD＝2（cm），∴四邊形ADEF的面積＝AD?CF＝6（cm）2．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．28．（榆陽區(qū)期末）如圖，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，連接BE，過點C作CF∥BE，交DE的延長線于點F，若EF＝3，求DE的長．【分析】先證明DE為△ABC的中位線，得到四邊形BCFE為平行四邊形，求出BC＝EF＝3，依據(jù)中位線定理即可求解．【解答】解：∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∴EF∥BC，∵CF∥BE，∴四邊形BCFE為平行四邊形，∴BC＝EF＝3，∴DE＝BC＝．【點評】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形判定與性質(zhì)，熟知三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．29．（鹿城區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD，點E為AD的中點，延長BE、CD交于點F，連接AF，BD，CE．（1）求證：四邊形ABDF為平行四邊形．（2）若BE為∠ABC的角平分線，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面積．【分析】（1）通過證明△ABE≌△DFE，即可推出AB平行且相等于FD，即得證；（2）通過幫助線進行轉(zhuǎn)化得S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，再通過已知條件算出△ECD面積即為△AEF的面積．【解答】解：（1）證明：由題意得，AB∥CF，∴∠ABE＝∠DFE，又∵點E為AD的中點，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS）∴AB＝DF，又∵AB∥DF，∴四邊形ABDF為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；（2）過點F作AD的垂線交AD延長線于點K，過點D