高中數(shù)學解題思想方法10

第一章高中數(shù)學解題基本方法...................3

一、配方法...............................3

二、換元法...............................7

三、待定系數(shù)法...........................14

四、定義法...............................19

五、數(shù)學歸納法..........................23

六、參數(shù)法..............................28

七、反證法..............................32

八、消去法.............................

九、分析與綜合法.......................

十、特殊與一般法.......................

十一、類比與歸納法...................

十二、觀察與實驗法...................

第二章高中數(shù)學常用的數(shù)學思想................35

一、數(shù)形結(jié)合思想........................35

二、分類討論思想........................41

三、函數(shù)與方程思想......................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想....................54

第三章高考熱點問題和解題策略................59

一、應用問題............................59

二、探索性問題..........................65

三、選擇題解答策略......................71

四、填空題解答策略......................77

-1-Z-—?-

刖5

美國著名數(shù)學教育家波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉

的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解

法。高考試題十分重視對于數(shù)學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學思想

方法。我們要有意識地應用數(shù)學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質(zhì)，使自己具有數(shù)學頭腦和眼

光。

高考試題主要從以F幾個方面對數(shù)學思想方法進行考查：

①常用數(shù)學方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；

④常用數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。

數(shù)學思想方法與數(shù)學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學知識是數(shù)學內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄

和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學思想方法則是一種數(shù)學意識，只能夠領會和運用，

屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決，掌握數(shù)學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即

使數(shù)學知識忘記了，數(shù)學思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學思想方法中，數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作

為解題的具體手段。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質(zhì)的核心就是提高學生對數(shù)學思想方

法的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學基本方法：配方法、換

元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與

2

實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化(化歸)思想。最后

談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的

選擇填空題進行方法的再現(xiàn)，示范性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學習

的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學知識。

第一章高中數(shù)學解題基本方法

一、配方法

配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化

繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。

有時也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次

不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a?+2ab+b2,將這個公式靈活運用，可得到各種

基本配方形式，如：

a2+b2—(a+b)2—2ab—(a—b)2+2ab：

b

a2+ab+b2=(a+b)2—ab=(a—b)2+3ab=(aH—)2+(----b)2；

22

a2+b2+c2+ab+bc+ca=-[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)2—2(ab—be—ca)=???

結(jié)合其它數(shù)學知識和性質(zhì)，相應有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=1+2sinacosa=(sina+cosa)2；

x2H7=(xd—)2—2=(x-----)2+2；........等等。

XXX

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)列｛a“｝中，a[+223+a.3=25,則23+a$=。

2.方程x?+y2一妹x—2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.｛<k<lB.k"或k>lC.kWRD.k=9或k=l

4

3.已知sina+cos4a=1,則sina+cosa的值為__o

A.1B.-1C.1或一11).0

4.函數(shù)y=log1(—2x2+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

A.(—°°,總]B.[4>+o°)C.41D.[I-3)

5.已知方程x2+(a-2)x+a-l=0的兩根x]、x2,則點P(x?,x2)在圓x?+y?=4上，則實數(shù)a=

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a,“_/,a“”=a,"2,將已知等式左邊后配方(23+25)?易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標準方程形式(x-a)2+(y—b)2=”，解”〉0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin?a+cos2a)2-2sin?acos2a=1,求出sinacosa,然后求出所求式的平方

值，再開方求解。選以

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3—"I。

II、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為?

A.273B.V14C.5D.6

2(xy+yz+xz)=11

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學表達式：設長方體長寬高分別為x,y,z,貝，而欲求對角線長

4(x+y+z)=24

也2+)，2+/，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。

2

3

【解】設長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24”而得：

2(xy+yz+xz)=11

〈°

4(x+y+z)=24

長方體所求對角線長為：yjx2+y2+z2=y](x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=V62-11=5

所以選B。

【注】本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學表示式，觀察和分析三個數(shù)學式，容易發(fā)現(xiàn)使

用配方法將三個數(shù)學式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的?種解題模式。

例2.設方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,若(?)2+(幺)2W7成立，求實數(shù)k的取值范圍。

qp

【解】方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達定理得：p+q=-k,pq—2,

(P、2p4+q4(p2+q2)2-2p2q2[(p+q)2-2pq]22p%2(^2-4)2-8

qp(p。)-(pqY(pq)4

w-布或o

又；P、q為方程x?+kx+2=0的兩實根，△nk?—82o即k22痣或kW—2行

綜合起來，k的取值范圍是：一JHIWkW—20或者。

【注】關于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“A”；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定

理。本題由韋達定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組

合式。假如本題不對“△”討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“△”的討論，但解答是不嚴密、

不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。

例3.設非零復數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0,求(上：)師8+(一^”項。

a+ba+b

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為(￡)2+(￡)+1=(),則￡=3(3為1的立方虛根)；或配方為(a+b)?

bbb

=ab?則代入所求式即得。

【解】由a2+ab+b2=0變形得：(y)2+(y)+l=0，

bb

Clo1/?--二

設3=7，則32+G)+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：一=一，Wa3=3=l

bcoao

又由a?+ab+b?=0變形得：(a+b)2=ab,

所以(，一)1998+(上”998=(4)999+(以)999=(q)999+(2)999=3999+辦999=2。

a+ba+bababba

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計算表達式中的高次痔。一系

列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

1I_|_/公?

【另解】由a2+ab+b?=0變形得：(￡)2+#)+1=0,解出_二一二后,化成三角形式，代入所求表

bba2

I1I/Q?

達式的變形式(f)加+(一)加后，完成后面的運算。此方法用于只是未一二聯(lián)想到3時進行解題。

ba2

_1+J3z

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a2+ab+b2=0解出：a=—b,直接代入所求表達式,

進行分式化簡后，化成復數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。

ID、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x—a)2+(x—b)2(a、b為常數(shù))的最小值為。

A.8B.c.—+?D.最小值不存在

22

2.a、B是方程x2—2ax+a+6=0的兩實根，則(a-l)?+(8-1)2的最小值是__。

A.一普B.8C.18D.不存在

3.已知x、ySR+,且滿足x+3y-l=0,則函數(shù)t=2*+8'有。

3

4

A.最大值2&B.最大值也C.最小值2板B.最小值亞

22

4.橢圓x2—2ax+3y2+a2—6=0的一個焦點在直線x+y+4=0上，則a=。

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡：2Vl-sin8+V2+2cos8的結(jié)果是。

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.設3和尸2為雙曲線y2=l的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足NF|PF2=90°,則△F^PF2的面積是

7.若x>-l,則f(x)=x2+2x+_L的最小值為.

X+1

8.已知2〈B〈a<2it,cos(a-(3)="，sin(a+p)=-2,求sin2a的值。(92年高考題)

24135

9.設二次函數(shù)f(x)=Ax?+Bx+C,給定m、n(m<n),A2[(m+n)2+m2n2]+2A[B(m+n)—Cmn]+B2+C2=

0?

①解不等式f(x)>0；

②是否存在一個實數(shù)t,使當tG(m+t,n-t)時，f(x)<0?若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。

4422

10.設s〉l,t>l,mGR,x=logJt+log,s,y=log5t+log,s+m(logvt+log,s),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關于x的方程f(x)=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用?個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)

是轉(zhuǎn)化，關鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究,

從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，

或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)

列、三角等問題中有廣泛的應用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式

幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4*+2'—2>0,

先變形為設2'=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進行換

元。如求函數(shù)y=?+的值域時，易發(fā)現(xiàn)xG[0,l],設*=$迷2a,aw[0,引，問題變成了熟悉的求三

角函數(shù)值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件X?+

y2=r2(r>0)時，則可作三角代換x=rcos。、y=rsin?；癁槿菃栴}。

Ss

均值換元，如遇到x+y=S形式時，設x=]+t,y=]—t等等。

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變

量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和aW[O,7]。

2

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設f(x2+l)=log〃(4—X，(a>l),則f(x)的值域是o

3.已知數(shù)列｛a“｝中，a1=-1,a“+]?a“=a“M—a”，則數(shù)列通項a“=。

4.設實數(shù)x、y滿足x?+2xy—1=0,則x+y的取值范圍是。

l+3-x

5.方程，2=3的解是______________。

1+3

x+l

6.不等式log2(2*—1)-log2(2-2)〈2的解集是。

4

5

p|]

【簡解】1小題：設sinx+cosx=t￡[―,V5],則丫=萬+1一]，對稱軸t=—1，當t=,y皿=耳+

V2；

2小題：設x?+l=t(t2l),則f(t)=log”[-(tT)?+4],所以值域為(-8,kg”]；

3小題：已知變形為」-----'=-1,設b“=」-,則b1=-1,b“=-1+(n—1)(T)=-n,所以a“=一!；

%+ia?a?n

4小題：設x+y=k,則x?—2kx+l=0,△=4k?—420,所以k21或kW—1；

1

5小題：設3"=y,則3y?9+2y—1=0,解得y=g,所以x=-1；

,5

6小題：設log2(2"-1)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y〈l,所以x￡(log2，log??)。

II>示范性題組：

例1.實數(shù)X、丫滿足4*2—5*丫+4丫2=5（①式），設S=x?+y2,求——+?一的值。（93年全國高中

“maxJmin

數(shù)學聯(lián)賽題）

x-4scosa

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想到cos?。+sin2a=1,于是進行三角換元，設.代入①式求Smax和

y=A/Ssina

S.的值。

x-Vscosa

【解】設代入①式得：4S—5S,sinacosa=5

y-4ssina

10

解得s=

8-5sin2a

101010

；TWsin2aWl/.3W8-5sin2aW13—W---------

138-5sina3

11313168

*----------|—------------,—.

,■Sm”5min1010105

or_108S-10

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a=，^一的有界性而求，即解不等式:|W1.這種

S

方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

qqqq

【另解】由S=X?+y2,設x2=,+t,y2=,-t,

則xy=±Vz-—廠代入①式得：4S±5-^——r=5,

移項平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

2,1010

39S2-160S+100^0解y得：一WSW一

133

,11313168

---

'1Smx5mjn1010105

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x?+y2與三角公式cos2a+sin2a=1

的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由

等式S=x?+y2而按照均值換元的思路，設x2=￡+t、y2=￡—t,減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還

22

用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

5

6

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量X、丫時?，可以設x=a+b,y=a-b,這稱為

“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設x=a+b,y=a—b,代入①式整理得3a2+13b?=5,求得a?

[0,-L所以S=(a—b)-+(a+b)2=2(a~+b-)=百+￡[石，可],再求-----b——的值。

11J2A-C

例2.AABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,——-+--=------求cos一的值。(96年全

cosAcosCcosB2

國理)

A+C=120°

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得。；由“A+C=120

8=60°

A=60°+aA—C

?！边M行均值換元，則設〈，再代入可求cosa即COS

C=60-a2

。

【解】由△ABC中已知A+C=2B,可得《A+C=]20，

B=60°

A=60°+a

由A+C=120°,設｛。，代入已知等式得：

C=60。-a

----1----|_----1-------------1-------_|_--------1---------------------1----------1

cosAcosCcos(60°+a)cos(60°-a)1后1V3.

—cosa-——sina'cosa+、sina

2222

cosacosa

=—2V2,

123.

—cosa--sin2aV二

444

V2A-CV2

解得：cosa=—,HP：cos

222

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°?所以!---------------

cosAcosCcosB

=-2V2,設-----=-5/2-----=——m,

cosAcosC

所以cosA=---7=----，cosC=---7=----,兩式分別相加、相減得：

-A/2+機一J2一機

A+CA-CA-C272

cosA+cosC=2cos-----cos------=cos------=-z----,

222m2-2

A+CA—C[―A—C2m

cosA—cosC=_2sin-----sin------=—V3sin------=-；-----，

222w2-2

A—C2〃？2V2A—C24—CM4

即：sin-----=T=—；-----，=----z---，代入sirr--------Feos2-----=1整理得：3m4—16m—12=0,ft?

2V3(m2-2)m--222

,,小、A-C2V272

出m~=6,代入cos-----=-i----=----o

2m--22

【注】本題兩種解法由“A+C=120°”、"一'■二十一二=-20”分別進行均值換元，隨后結(jié)合三角形角

cosAcosC

的關系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進行均值換

元，也可由三角運算直接解出：由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以——~+--=------=-272,

cosAcosCcosB

即cosA+cosC=-2J5cosAcosC,和積互化得：

6

7

A+CA-CA-Cyj2r—V2

2cos---cos---=—V2[cos(A+C)+cos(A-C),即cos---=———V2cos(A-C)=———

22222

i—-CI-9A-CA-CI-

A/2(2COS-------------1),整理得：4J2cos---------F2cos--------3<2=0,

222

…A-CV2

解得：COS---=--

例3.設a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大值和最小值。

【解】設sinx+cosx=t,則t[-V2,V2],由(sinx+cosx)2=1+

,r2-l

2sinx?cosx得：sinx,cosx=-----

2

f(x)=g(t)———(t—2a)2+—(a>0),tV2,V2]

時,，取最小值：-2a2—2V2a——

當2a2及時，t=及，取最大值：-2a2+2及a-g

當0<2aW&時，t=2a,取最大值：g。

1,'))

???f(x)的最小值為一2a2-2后a-三，最大值為《廣。

21V2

-2a~2+2y[r2a--(a>—)

、乙乙

【注】此題屬于局部換元法，設sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的

值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(tG

[-血，亞])與sinx+cosx對應，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法，即由

對稱軸與閉區(qū)間的位置關系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時.，即

函數(shù)為f(sinx±cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

例4.設對所于有實數(shù)x,不等式x21og2++2xlog,二十log,竺?》0恒成立，求a的取值范圍。

(87年全國理)

【分析】不等式中10g/(-+1\1。82烏、-三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)式的有關變形后不難發(fā)

aa+\24a2

現(xiàn)，再實施換元法。

2a4(tz+1)8(a+1)ci+\2a

【解】設log---7=t，貝iJlog---------log-------=3+log——=3-log2-----=3—t,

2a+12a22a22aa+1

代入后原不等式簡化為(3-t)x2+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以:

3T>0f<32a

,,解得〈Y,：.t<0HPlog,----<0

A=4/+8/(3-f)<0|/<0或/>6a+\

2a

0<----<1,解得0〈a〈l。

a+1

【注】應用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設元，關鍵是發(fā)現(xiàn)已知不

4(fl+1

等式中10g2\log2%、log2”?三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式

aa+14a

7

8

法”。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元

時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。

22;

一心sin0cos0cos9sine10(②式)，求土的值。

例5.已知-----,IL22-3/+再

xy%yy

sin9cos9_

【解】設------=------=k,則sinO=kx,cos0=ky,且sin~o0+cos?0=k~o(x~+y?o)=1,代入②式得:

1y

2222

kykx1010公>2x210

X2V3(/+)，2)3rX2y23

設==t,則t+-=12,解得：t=3或:二±=±6或土丁

y，33y3

xsin0cos2。

【另解】由一=一^=tgo,將等式②兩邊同時除以^一—再表示成含tg?的式子：l+tg'6=

ycos9x

(l+rg-6)x------7-=—tg20,設tg2()=t,貝|J3t2—10t+3=0,

3(1+-17)3

tg。

；.t=3或=，解得±=土6或土￡。

3y3

sin9cos0

【注】第一種解法由------=------而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù)。第二種解法將已知變形

%y

Ysin。

為一=:~不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為tg0,再進行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時,

ycoso

都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

例6.實數(shù)x、y滿足若x+y-k>0恒成立，求k的范圍。

916

【分析】由已知條件(=D_+()：D=i,可以發(fā)現(xiàn)它與a?+b2=l有相似之處，于是實施三角換元。

916

r翩1(x-l)-Jy+l)?y+].

【解】由cb--------1-----"=1,設一—=cos0,4=sin9,

x-1+3cos0

即：〈代入不等式x+y-k>0得：

y=-1+4sin0

3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos0+4sin0=5sin(9+w)

所以k<-5時不等式恒成立。

【注】本題進行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分

離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)

式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。

本題另一種解題思路是