蘇教版八年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練專題15二次根式的加減法(原卷版+解析)

專題15二次根式的加減法【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一同類二次根式】 1【考點二二次根式的加減運算】 2【考點三二次根式的混合運算】 3【考點四分母有理化】 4【考點五已知字母的值，化簡求值】 8【考點六比較二次根式的大小】 9【考點七二次根式的應(yīng)用】 11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點一同類二次根式】例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習）已知最簡二次根式與是同類二次根式，則___________．【變式訓練】1．（2023春·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期中）若二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則________．2．（2023春·全國·八年級期中）若最簡二次根式與是可以合并的二次根式，則a的值為______．【考點二二次根式的加減運算】例題：（2023·山西長治·校聯(lián)考二模）計算：________．【變式訓練】1．（2023春·廣東江門·七年級?？计谥校┯嬎悖篲__________.2．（2023春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)．【考點三二次根式的混合運算】例題：（2023春·廣東汕尾·八年級華中師范大學海豐附屬學校?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)．【變式訓練】1．（2023春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期中）計算：(1)．(2)2．（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┯嬎阆铝懈魇剑?1)；(2)．【考點四分母有理化】例題：（2023春·河南安陽·八年級校聯(lián)考階段練習）[閱讀材料]把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化．通常把分子，分母同時乘以同一個不等于0的數(shù)，以達到化去分母中根號的目的．例如：化簡解：．[理解應(yīng)用](1)化簡：；(2)若a是的小數(shù)部分，化簡；(3)化簡：++…+．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：方法一：；方法二：．以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．(1)直接寫出化簡結(jié)果：＝，＝；(2)請參照以上化簡的方法，用兩種方法化簡：；(3)計算：．2．（2023春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期中）我們知道：，這一化簡變形過程叫做分母有理化，類似地：，式子也可以這樣化簡：，這樣化簡變形也是分母有理化．利用以上信息解答下列問題：(1)直接寫出化簡結(jié)果：＝___，＝___；(2)用兩種不同的方法化簡：；(3)化簡：．【考點五已知字母的值，化簡求值】例題：（2023春·廣東廣州·八年級廣州六中?？计谥校┫然?，再求值：，其中．【變式訓練】1．（2023春·安徽滁州·九年級校聯(lián)考階段練習）先化簡，再求值：，其中．2．（2023春·河南安陽·八年級校聯(lián)考階段練習）已知(1)求的值；(2)求的值．【考點六比較二次根式的大小】例題：（2023春·安徽·八年級期中）比較大?。篲_____．（填“”、“”或“”）．【變式訓練】1．（2023·廣西南寧·校考一模）比較大?。篲_____（填“”，“”，“”）．2．（2023·全國·九年級專題練習）比較大?。篲_．（選填“”、“”或“”）3．（2023春·全國·八年級專題練習）比較大?。篲______1；_________【考點七二次根式的應(yīng)用】例題：（2023春·河南許昌·八年級?？茧A段練習）已知a、b、c滿足．(1)求a、b、c的值；(2)判斷以a、b、c為邊構(gòu)成的三角形的形狀，并說明理由．【變式訓練】1．（2023春·安徽滁州·八年級?？茧A段練習）小明家裝修，電視背景墻長為，寬為，中間要鑲一個長為，寬為的大理石圖案（圖中陰影部分）．(1)長方形的周長是多少？（結(jié)果化為最簡二次根式）(2)除去大理石圖案部分，其他部分貼壁布，若壁布造價為6元，大理石的造價為200元，則整個電視墻需要花費多少元？（結(jié)果化為最簡二次根式）2．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預測）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題．，；，；，…．(1)請用含有（是正整數(shù)）的等式表示上述變規(guī)律：________，________；(2)若一個三角形的面積是，計算說明他是第幾個三角形？(3)求出的值．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·安徽馬鞍山·八年級期中）下列二次根式中，與是同類二次根式的是(

)A． B． C． D．2．（2023春·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）下列計算中，正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）已知，，則、的關(guān)系是()A．互為相反數(shù) B．相等 C．互為倒數(shù) D．互為負倒數(shù)4．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習）小明的計算過程如圖所示，則他開始出現(xiàn)錯誤的是（

）解：……第一步

……第二步……第三步

……第四步A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步5．（2023春·安徽合肥·八年級中國科技大學附屬中學?？计谥校┮阎?，，，那么，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．二、填空題6．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十九中學校校考一模）計算的結(jié)果是______．7．（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考開學考試）最簡二次根式與二次根式是同類二次根式，則x=___________．8．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第十九中學校聯(lián)考期中）若菱形的對角線長分別為與，則菱形的面積為__________．9．（2023春·山東濟南·八年級校聯(lián)考階段練習）對于任意的正數(shù)、定義運算※為：※，計算※※的結(jié)果為_______．10．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學校考一模）[輸入x]→[平方]→[減去]→[輸出A]（1）把多項式A分解因式為_____；（2）當時，多項式A的值為_____．三、解答題11．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┯嬎?1)(2)12．（2023春·山東東營·八年級校聯(lián)考階段練習）計算：(1)(2)(3)13．（2023春·安徽亳州·八年級統(tǒng)考期中）先化簡，再求值：，其中14．（2023春·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）先化簡，再求值，其中，．15．（2023春·江蘇·八年級專題練習）化簡求值(1)已知，，試求代數(shù)式的值．(2)先化簡，再求值，其中，．16．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）在進行二次根式的化簡時，我們有時會遇到形如的式子，對于這類式子我們可以進一步將其化簡，使其分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這一過程叫做分母有理化．例如：(1)用上述方法化簡；(2)計算：．專題15二次根式的加減法【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一同類二次根式】 1【考點二二次根式的加減運算】 2【考點三二次根式的混合運算】 3【考點四分母有理化】 4【考點五已知字母的值，化簡求值】 8【考點六比較二次根式的大小】 9【考點七二次根式的應(yīng)用】 11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點一同類二次根式】例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習）已知最簡二次根式與是同類二次根式，則___________．【答案】/【分析】根據(jù)最簡二次根式，同類二次根式的定義列方程求解即可．【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了同類二次根式和最簡二次根式，掌握同類二次根式的定義，即“被開方數(shù)相同的幾個最簡二次根式是同類二次根式”正確解答的前提．【變式訓練】1．（2023春·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期中）若二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則________．【答案】2【分析】先將化成最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出關(guān)于a的方程，求解即可得到答案．【詳解】解：二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，又，，，故答案為：2．【點睛】本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．2．（2023春·全國·八年級期中）若最簡二次根式與是可以合并的二次根式，則a的值為______．【答案】5【分析】根據(jù)一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式列出方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：．故答案為：5．【點睛】本題考查了同類二次根式，正確理解同類二次根式的定義是解題關(guān)鍵．【考點二二次根式的加減運算】例題：（2023·山西長治·校聯(lián)考二模）計算：________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，再合并二次根式即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，熟練掌握根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東江門·七年級?？计谥校┯嬎悖篲__________.【答案】/【分析】利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確掌握二次根式的加減運算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)二次根式的除法法則和零指數(shù)冪的意義計算，然后進行減法運算；（2）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查二次根式的除法法則、零指數(shù)冪的意義、二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的除法法則、零指數(shù)冪的意義、二次根式的化簡.【考點三二次根式的混合運算】例題：（2023春·廣東汕尾·八年級華中師范大學海豐附屬學校?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）先化簡二次根式，再進行乘除運算，最后進行加減運算；（2）先化簡二次根式，再計算括號內(nèi)的減法，利用平方差公式將括號展開，再進行加減運算．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算．熟練化簡二次根式、掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期中）計算：(1)．(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)化簡各數(shù)，再加減運算即可；（2）先利用完全平方公式和平方差公式計算，再加減運算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查二次根式的混合運算、二次根式的性質(zhì)，熟記完全平方公式和平方差公式，正確求解是解答的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江寧波·八年級校考期中）計算下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡二次根式，再算乘法，最后合并同類二次根式；（2）先利用平方差公式及完全平方公式計算，再去括號，最后合并同類二次根式．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的運算法則是解決本題的關(guān)鍵【考點四分母有理化】例題：（2023春·河南安陽·八年級校聯(lián)考階段練習）[閱讀材料]把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化．通常把分子，分母同時乘以同一個不等于0的數(shù)，以達到化去分母中根號的目的．例如：化簡解：．[理解應(yīng)用](1)化簡：；(2)若a是的小數(shù)部分，化簡；(3)化簡：++…+．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）原式分子分母同時乘以有理化因式，化簡即可；（2）估算的整數(shù)部分，進而表示出小數(shù)部分確定出a，代入原式計算即可求出值；（3）原式各項分母有理化，計算即可求出值．【詳解】（1）解：（2）解：∵，∴，即的整數(shù)部分為1，∴，則；（3）解：．【點睛】此題考查了估算無理數(shù)的大小，平方差公式，二次根式的混合運算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：方法一：；方法二：．以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．(1)直接寫出化簡結(jié)果：＝，＝；(2)請參照以上化簡的方法，用兩種方法化簡：；(3)計算：．【答案】(1)；(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)分母有理化的方法進行運算即可；（2）根據(jù)所給的方法進行化簡即可；（3）把各個式子進行分母有理化，從而進行求解即可．【詳解】（1）解：①；②；故答案為：；；（2）解：方法一：；方法二：；（3）解：．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，理解分母有理化是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期中）我們知道：，這一化簡變形過程叫做分母有理化，類似地：，式子也可以這樣化簡：，這樣化簡變形也是分母有理化．利用以上信息解答下列問題：(1)直接寫出化簡結(jié)果：＝___，＝___；(2)用兩種不同的方法化簡：；(3)化簡：．【答案】(1)；；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目中例題方法計算即可；（2）由題目中例題采用的兩種化簡方法依次進行計算即可；（3）由（1）和（2）的化簡方法，將其先變形為……形式，然后根據(jù)例題化簡即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）解法1：；解法2：；（3）原式…………．【點睛】題目主要考查二次根式的分母有理化過程，理解例題的解題過程是解題關(guān)鍵．【考點五已知字母的值，化簡求值】例題：（2023春·廣東廣州·八年級廣州六中?？计谥校┫然?，再求值：，其中．【答案】，【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法將原式變形，進而合并同類項，進而把已知代入求出答案．【詳解】解：原式，把代入，得，原式．【點睛】此題主要考查了平方差公式，多項式乘單項式以及二次根式的化簡求值，正確化簡原式是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·安徽滁州·九年級校聯(lián)考階段練習）先化簡，再求值：，其中．【答案】化簡結(jié)果為，值為【分析】先通分、因式分解，然后進行除法運算即可得化簡結(jié)果，最后代入求解即可．【詳解】解：將代入得，，∴化簡結(jié)果為，值為．【點睛】本題考查了分式的化簡求值．解題的關(guān)鍵在于正確的化簡．2．（2023春·河南安陽·八年級校聯(lián)考階段練習）已知(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）先利用、的值計算出，，的值，根據(jù)平方差公式化簡再代入求值即可；（2）先利用、的值計算出，，的值，根據(jù)完全平方公式變形，再整體代入求值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，，∴；（2）解：∵，∴，，，∴【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值，利用乘法公式變形并用整體代入的方法簡化計算是解決本題的關(guān)鍵．【考點六比較二次根式的大小】例題：（2023春·安徽·八年級期中）比較大?。篲_____．（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】運用平方法來比較二次根式的大小即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比較二次根式大小的方法，兩邊同時平方，轉(zhuǎn)化為比較冪的大小，此法的依據(jù)是：兩個正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大的數(shù)就大；兩個負數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而?。咀兪接柧殹?．（2023·廣西南寧·?？家荒＃┍容^大?。篲_____（填“”，“”，“”）．【答案】【分析】先利用二次根式的性質(zhì)得到，，則比較與的大小，即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，，且，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)大小比較：任意兩個實數(shù)都可以比較大小．正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小．利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。?．（2023·全國·九年級專題練習）比較大?。篲_．（選填“”、“”或“”）【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的比較，靈活運用所學知識求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級專題練習）比較大?。篲______1；_________【答案】<<【分析】二次根式比較大小，化簡成相同的形式在比較大小.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴（2）∵，∴，∴，∴，故答案為：＜，＜．【點睛】本題考查二次根式的大小比較.【考點七二次根式的應(yīng)用】例題：（2023春·河南許昌·八年級?？茧A段練習）已知a、b、c滿足．(1)求a、b、c的值；(2)判斷以a、b、c為邊構(gòu)成的三角形的形狀，并說明理由．【答案】(1)，，(2)直角三角形，理由如下【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的定義即可求出答案．（2）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷三角形的形狀．【詳解】（1）解：由題意可知：，，，∴，，，（2）∵，，∴，∴以、、為邊的三角形是直角三角形．【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求出、、的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式訓練】1．（2023春·安徽滁州·八年級?？茧A段練習）小明家裝修，電視背景墻長為，寬為，中間要鑲一個長為，寬為的大理石圖案（圖中陰影部分）．(1)長方形的周長是多少？（結(jié)果化為最簡二次根式）(2)除去大理石圖案部分，其他部分貼壁布，若壁布造價為6元，大理石的造價為200元，則整個電視墻需要花費多少元？（結(jié)果化為最簡二次根式）【答案】(1)(2)元【分析】（1）直接利用二次根式的加減運算法則計算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法運算法則以及二次根式的加減運算法則計算得出答案．【詳解】（1）解：長方形的周長為；（2）解：長方形的面積：，大理石的面積：，壁布的面積：，整個電視墻的總費用：（元）．【點睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確掌握二次根式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預測）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題．，；，；，…．(1)請用含有（是正整數(shù)）的等式表示上述變規(guī)律：________，________；(2)若一個三角形的面積是，計算說明他是第幾個三角形？(3)求出的值．【答案】(1)，(2)第20個(3)【分析】（1）利用已知可得，注意觀察數(shù)據(jù)的變化，（2）若一個三角形的面積是，利用前面公式可以得到它是第幾個三角形，（3）將前10個三角形面積相加，利用數(shù)據(jù)的特殊性即可求出．【詳解】（1）解：結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可得：；；故答案為：，；（2）若一個三角形的面積是，根據(jù)，，說明他是第20個三角形；（3），，，，．【點睛】此題主要考查了數(shù)據(jù)的規(guī)律性，綜合性較強，希望同學們能認真的分析總結(jié)數(shù)據(jù)的特點．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·安徽馬鞍山·八年級期中）下列二次根式中，與是同類二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡結(jié)合選項即可求解．【詳解】解：∵，∴與是同類二次根式，故選B．【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）下列計算中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的加減運算法則分別計算，再作判斷．【詳解】解：A、，不是同類二次根式，不能合并，故錯誤，不合題意；B、，不是同類二次根式，不能合并，故錯誤，不合題意；C、，不是同類二次根式，不能合并，故錯誤，不合題意；D、，故正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．合并同類二次根式的實質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變．3．（2023春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）已知，，則、的關(guān)系是()A．互為相反數(shù) B．相等 C．互為倒數(shù) D．互為負倒數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)分母有理化的方法求得的值，即可求解．【詳解】解：∵，即，∴互為相反數(shù)，故選：A．【點睛】本題考查了分母有理化，熟練掌握分母有理化的方法，進而求得的值是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習）小明的計算過程如圖所示，則他開始出現(xiàn)錯誤的是（

）解：……第一步

……第二步……第三步

……第四步A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及混合運算，即可求解．【詳解】解：……第一步

……第二步……第三步

……第四步故第三步錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握和運用二次根式混合運算的方法是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·安徽合肥·八年級中國科技大學附屬中學?？计谥校┮阎?，那么，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別計算，，的倒數(shù)，然后再進行比較，即可解答．【詳解】解：，，，，，，都是正數(shù)，，故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)大小比較，熟練掌握分母有理化是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十九中學校?？家荒＃┯嬎愕慕Y(jié)果是______．【答案】【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式．故答案為:．【點睛】本題考查二次根式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．7．（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考開學考試）最簡二次根式與二次根式是同類二次根式，則x=___________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式化成最簡根式后，被開方數(shù)相同的即為同類二次根式進行判斷即可．【詳解】解：，∵與是同類二次根式，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第十九中學校聯(lián)考期中）若菱形的對角線長分別為與，則菱形的面積為__________．【答案】/【分析】根據(jù)菱形面積等于兩條對角線長度乘積的一半，即可求得答案；【詳解】解：菱形的面積，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的面積等于兩條對角線長度乘積的一半；熟練掌握菱形面積公式是解題關(guān)鍵．9．（2023春·山東濟南·八年級校聯(lián)考階段練習）對于任意的正數(shù)、定義運算※為：※，計算※※的結(jié)果為_______．【答案】【分析】根據(jù)新定義運算法則，將※※進行變形，然后將各個二次根式化為最簡二次根式，再根據(jù)平方差公式進行運算即可．【詳解】解：，，※※，，，，.故答案為：3.【點睛】本題考查了二次根式的化簡及運算，根據(jù)題意正確計算是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學?？家荒＃輸入x]→[平方]→[減去]→[輸出A]（1）把多項式A分解因式為_____；（2）當時，多項式A的值為_____．【答案】4【分析】（1）先根據(jù)運算程序?qū)懗龆囗検紸，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；（2）把代入多項式A中，利用平方差公式即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得；故答案為：；（2）當時，，故答案為：4．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，因式分解，注意二次根式要先化簡再代入求值．三、解答題11．（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）計算(1)(2)【答案】(1)；(2)；【分析】（1）根據(jù)平方差公