高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊4

4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)

囿目標(biāo)導(dǎo)航

1.了解函數(shù)的零點、方程的解與圖象交點三者之間的聯(lián)系.

2.會借助函數(shù)零點存在定理判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.

3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點個數(shù).

4.了解二分法的原理及其適用條件.

5.掌握二分法的實施步驟.

6.體會二分法中蘊含的逐步逼近與程序化思想.

7.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題.

8.能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題.

9.了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗和調(diào)整的必要性.

矢胸讀

輸點工函數(shù)的零點

1.概念：對于一般函數(shù)y=/(x),我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

2.函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：

知識點二函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間也，句上的圖象是一條的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間3,

力內(nèi)至少有一個零點，即存在cG(4，b),使得，這個c也就是方程y(x)=O的解.

知識點三二分法

對于在區(qū)間m，0上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間，使所

得區(qū)間的兩個端點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

知識點四用二分法求函數(shù)./U)零點近似值的步驟

1.確定零點X0的初始區(qū)間[a,b],驗證式")負切＜0.

2.求區(qū)間m，份的中點c.

3.計算犬c),并進一步確定零點所在的區(qū)間

(1)若大c)=0(此時xo=c),則c就是函數(shù)的零點.

(2)若兒7＞式。＜0(此時WW(a,c)),則令b=c.

⑶若如)次6)＜0(此時x°C(c,b)),則令a=c.

4.判斷是否達到精確度心若|。一切＜€,則得到零點近似值a(或份；否則重復(fù)步驟2?4.

以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；

周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷.

知識點五幾類已知函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix）=ax+b（a,力為常數(shù)，存0）

.氏）（為常數(shù)且厚）

反比例函數(shù)模型x=§+bk,60

二次函數(shù)模型fix）=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù),a#0）

指數(shù)型函數(shù)模型fix）=hav+c（a,b,c為常數(shù)，好0,。>0且存1）

對數(shù)型函數(shù)模型fix）=blogax+c（a9b,c,為常數(shù)，屏0,a>0且#1）

基函數(shù)型模型於）=""+"小b為常數(shù)，存0）

知識點六應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程

1.審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

2.建模——將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立

相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

3.求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型.

4.還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題.

跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知函數(shù)/（》）=_￥+/，g（x）=x+3*,/z（x）=x+log3X的零點分別為X],巧，X?,則儲，

巧，毛的大小順序為（）

A.x2>x3>%jB.x3>x2>Xy

C.%1>x2>%3D.x3>Xj>x2

2.若函數(shù)/（x）唯一的一個零點同時在區(qū)間（0,16）,（0,4）,（0,2）內(nèi)，那么下列命題中正確

的是（）

A.函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)有零點

B.函數(shù)〃x）在區(qū)間（0,1）或（1,2）內(nèi)有零點

C.函數(shù)“X）在區(qū)間[2,16）上無零點

D.函數(shù)〃x）在區(qū)間（1,16）內(nèi)無零點

3.已知函數(shù)/（x）=|log“|x-”（a>0,awl）,<x2<x}<x4,xtx2x3x4^OJi

/（4）=/（電）=/（七）=/（匕），則%+%+占+》4=（）

A.2B.4C.8D.隨。值變化

4.若函數(shù)/3=（3，-4）回_4-3乂同<10）有兩個零點，則整數(shù)”的值共有（）

A.7個B.8個C.9個D.17個

5.已知函數(shù)若存在實數(shù)不，々，彳3，滿足04王<々<七<3且

2,2<x<3

f（xj=f（x2）=f（x3）9則（玉+占）內(nèi)/@3）的取值范圍是（）

1,1B.[V

A.

42][82.

11"53

C.-?1D.一，一

282

f(x)，f(x)>g(x)

2I

6.已知函數(shù)/（x）=-x~+cix—(a-1)-(a<l),g(x)=lnx.若〃(x)=<

4g(x),f(x)<g(x)

在（o,+8）上有三個零點，則a的取值范圍為（）

A.里C.（O,l）D.（。,￡|

已一工_2x<1

7.已知函數(shù)〃=則函數(shù)g（x）=/[/（、）]一2"*川的零點個數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

/、|x+lLx<0/、

8.已知函數(shù)=*>0,若方程〃力=々有4個不同的根4，X”相，且

4

xt<x2<xJ<xi,則一T-x/w+々）的取值范圍是（）

X3X4

A.[4V2,6）B.[2,4V2）C.（2,4夜]口.14夜,可

二、多選題

9.已知函數(shù)〃x）={，若關(guān)于x的方程〃》）=幺（丘2有四個不同的實數(shù)解，

Inx—2,x>U

它們從小到大依次記為5，馬,不，匕，則（）

A.0<A:<1B.玉+/=-1

24

C.e<x3<eD.0<x}x2x3x4<e

10.已知函數(shù)/(x)=|log“x—a|—a(tz>0,且awl)有兩個零點，貝!］()

A.當(dāng)。>1時，+x2>2B.當(dāng)0<a<l時，xt+x2<2

C.當(dāng)a>l時，居一力>1D.當(dāng)Ovacl時,人一看|<1

YV

11.已知函數(shù)f(x)=----2J(x>l),g(x)=—；-log2Mx>1)的零點分別為a，。，給出

X—1X—1

以下結(jié)論正確的是()

a

A.a+〃=a/?B.a+2=y3+log2^C.a+夕>4D.a-/3>-2

12.定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足在(0,1］上單調(diào)遞增，〃3+X)=/(3T),且圖象關(guān)于點

(4,0)對稱，則下列選項正確的是()

A./(0)=0

B./(2020)</(2021)</(2022)

C.y=〃x)在［1,3］上單調(diào)

D.函數(shù)“X)在［0,2022］上可能有2023個零點

三、填空題

13.用二分法求函數(shù)/(x)=ln(x+l)+x-l在區(qū)間［0,1］上的零點，要求精確度為0.01時，所

需二分區(qū)間的次數(shù)最少為.

14.國表示不超過x的最大整數(shù)，例如［3.5］=3,［—。5］=-1.已知與是方程lnx+3x-15=0

的根，則■卜.

15.若/滿足3'=2-x,々滿足log3X+x-2=0,則為+々=.

16.關(guān)于x的方程f-(a-l)x+4=0在區(qū)間［1,3］內(nèi)有兩個不等實根，則實數(shù)。的取值范圍是

四、解答題

17.已知函數(shù)y=f(x)(xeR)是偶函數(shù).當(dāng)xNO時，/(X)=X2-4X.

(1)求函數(shù)/*)在xeR上的解析式；

⑵若函數(shù)fM在區(qū)間伍,a+3］上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)已知/Z(X)="(X)|TW,試討論〃(X)的零點個數(shù)，并求對應(yīng)的，*的取值范圍.

18.已知和三是一元二次方程4"2一4履+&+1=0的兩個實數(shù)根.

⑴是否存在實數(shù)般使得(2%-馬乂玉-2芻)=-］成立？若存在，求出左的值；若不存在，

請說明理由；

(2)求使五+上-2的值為整數(shù)的實數(shù)女的整數(shù)值.

X2X\

19.已知函數(shù)/(x)=log3(9'+l)+區(qū)是偶函數(shù).

(1)當(dāng)X20,函數(shù)y=/(x)-x+”存在零點，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵設(shè)函數(shù)〃。)=1%(加3-2加)，若函數(shù)/")與〃⑴的圖象只有一個公共點，求實數(shù)加的

取值范圍.

20.己知函數(shù)〃x)=l+log2X,g(x)=2”.

⑴若尸(x)=/(g(x)).g(f(x)),求函數(shù)F(x)在x4l,4］的值域；

(2)若8(x)=/(：),求〃(一1—］+"［二一］+“［2一］++H］四4的值；

v7'，g(x)+2{2022)［2000)1,2022；1,2022J

⑶令G(x)=/(8打/(?)一妙(切，已知函數(shù)G(x)在區(qū)間［1,4］有零點，求實數(shù)”的取值范

圍.

4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)

m目標(biāo)導(dǎo)航

1.了解函數(shù)的零點、方程的解與圖象交點三者之間的聯(lián)系.

2.會借助函數(shù)零點存在定理判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.

3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點個數(shù).

4.了解二分法的原理及其適用條件.

5.掌握二分法的實施步驟.

6.體會二分法中蘊含的逐步逼近與程序化思想.

7.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題.

8.能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題.

9.了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗和調(diào)整的必要性.

知識解讀

知識點一函數(shù)的零點

1.概念：對于一般函數(shù)y=/(x),我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

2.函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：

【答案】.3=0

知識點二函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［小加上的圖象是一條的曲線，且有，那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(“,

力內(nèi)至少有一個零點，即存在cG(mb),使得，這個c也就是方程人x)=0的解.

【答案】連續(xù)不斷貝GA3<QAc)=0

知識點三二分法

對于在區(qū)間團，口上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間，使所

得區(qū)間的兩個端點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

【答案】曲)帥)<0一分為二逐步逼近零點

知識點四用二分法求函數(shù)/U)零點近似值的步驟

1.確定零點的的初始區(qū)間［a,b］,驗證人①等刀<0.

2.求區(qū)間(4,匕)的中點C.

3.計算4c),并進一步確定零點所在的區(qū)間

(1)若4c)=0(此時xo=c),則c就是函數(shù)的零點.

(2)若危)如)<0(此時xoG(a,c)),則令b=c.

(3)若加)?膽)<0(此時x()W(c,份)，則令a=c.

4.判斷是否達到精確度￡：若［a—"<￡,則得到零點近似值。(或力；否則重復(fù)步驟2?4.

以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；

周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷.

知識點五幾類已知函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix)=ax+b(a,力為常數(shù)，存0)

反比例函數(shù)模型兀人為常數(shù)且原0)

二次函數(shù)模型J(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，〃邦)

指數(shù)型函數(shù)模型兀￥)=/?0V+c(a,b,c為常數(shù)，厚0,a>0且

對數(shù)型函數(shù)模型fix)=b\ogax+c(a,b,c為常數(shù),厚0,a>0且存1)

基函數(shù)型模型y(x)=Qi"+優(yōu)a,b為常數(shù)，a#0)

知識點六應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程

1.審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

2.建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立

相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

3.求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型.

4.還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題.

/j跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知函數(shù)f(x)=x+爐,g(x)=x+3*,6(x)=x+log3x的零點分別為4，巧，工，則4，

X”七的大小順序為()

A.x2>x3>X)B.x3>x2>x1

C.x1>x2>x3D.x3>x}>x2

【答案】D

【分析】依題意可將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x\y=3'、)，=log3X^y=-X的交點的橫

坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可判斷；

【詳解】解：依題意令/(x)=x+Y=O,即^=一%,

同理可得3*=-x,log3x=-X,

則函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為y=d、y=3\y=log3xL]y=r的交點的橫坐標(biāo)，

在平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)圖象如下：

由圖可得玉=0,工2<。，工3>°，即％3>工1>工2.

故選：D

2.若函數(shù)“X)唯一的一個零點同時在區(qū)間(0,16),(0,4),(0,2)內(nèi)，那么下列命題中正確

的是()

A.函數(shù)“X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點

B.函數(shù)“X)在區(qū)間(0,1)或(1,2)內(nèi)有零點

C.函數(shù)/(x)在區(qū)間[2,16)上無零點

D.函數(shù)函(x)在區(qū)間(1,16)內(nèi)無零點

【答案】c

【分析】題目中所給的零點所在區(qū)間的交集為（0,2）,但零點與1的大小未知，結(jié)合選項可得

答案.

【詳解】由題意，函數(shù)/（x）唯一的一個零點在（0,2）內(nèi)，則函數(shù)在［2,內(nèi)）上無零點，但零點

與1的大小未知，排除A,B,D選項，故選：C

3.已知函數(shù)/（x）=|logjx-“（a>0,awl）,若為<當(dāng)<毛<匕，王當(dāng)鼻匕*0且

/（±）=/（々）=/（玉）=/（七），則%+七+鼻+匕=（）

A.2B.4C.8D.隨。值變化

【答案】B

【分析】作出函數(shù)/■（"=|1。8“|廠”的圖象得其對稱軸是工=1,由對稱性可得結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/（x）=gg0|Ll||的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)"X）=|log?|A-l||的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

又:王<工2<￡<Z，且/（4）=/（毛）=/（毛）=/（%）,

則內(nèi)+W+&+工4=4.

故選：B

4.若函數(shù)”x）=（3'_a）（6x_a_3乂同<10）有兩個零點，則整數(shù)〃的值共有（）

A.7個B.8個C.9個D.17個

【答案】A

【分析】先判斷出函數(shù)"x）=（3'"）（6x-a-3）在R有兩個零點為誓和logs*由。的

范圍求出符合題意的整數(shù)a.

【詳解】因為方程6x-a-3=0在R上有且僅有一解》=與，

所以要使函數(shù)/（x）=（3，-o）（6x-a-3）在R有兩個零點，

只需3,-a=0在R上有且僅有一個解，同時該解不能為早.

O

因為y=3'在R上值域為（0,+8）,因此要滿足3、-々=0即3'=〃有解，只需a>0.

又因為丁=3、在R上單調(diào)遞增,因此當(dāng)G>0時，3、-。=0在R上有且僅有一個解x=log3〃.

因為同＜10且a＞0,所以整數(shù)a可以為1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中當(dāng)。=3或。=9時，曜=log3a.

6

因此滿足條件的a為1,2,4,5,678共7個.

故選：A

5.已知函數(shù)若存在實數(shù)引,々,三，滿足04%r＜匕43且

f(xl)=f(x2)=f(xi),則(±+＞)再/(f)的取值范圍是()

【答案】B

【分析】分段函數(shù)及根的個數(shù)問題采用圖象輔助解題是常用手段，通過畫出函數(shù)圖象，得到

占+々=2,得i_±=g)-T,則所求式子即關(guān)于當(dāng)?shù)暮瘮?shù)求值域問題，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求值域

的方法求出值域即可.

【詳解】分別畫出y=U-i|與y=(g]'的圖象，如圖所示

,得士=1-(；

所以±+七=2,1-X1=9

則(%+々)尤|/(*3)=2|<1段

令，＜’

,王e[2,3],得,

又y=2(l-"=_2/+2r,對稱軸為f=g,所以y=-2/+2f在止上單調(diào)遞增，由于則N

的取值范圍為故選:B

oZ

-X2+ar-^-(a-l)2(a<\),g(x)=lnx.若h(x)=f(x),f(x)>g(x)

6.已知函數(shù)/(x)=

g(x),f(x)<g(x)

在(o,+8)上有三個零點，則a的取值范圍為()

A，6」)B.[。[C.(O,l)D.[0,g)

【答案】A

【分析】分X=l,X>],0<x<l討論可得，可得1為Mx)的一個零點，函數(shù)f(x)在(0,1)

上有兩個零點，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】①當(dāng)x=l時，因為g(l)=0,所以1為g(x)一個零點，

10、

又/(1)=。一1-^(。-1)，因為”<1，所以/⑴<0，

所以M°=g⑴=0,

所以1為人(力的一個零點.

②當(dāng)x>l時，g(x)>0,/?(x)>g(x)>0,

所以〃(x)在(1,位)上無零點.

③當(dāng)Ovxvl時,g(x)<0,g(x)在(0,1)上無零點,

所以〃(x).在(0,1)上的零點個數(shù)是“X)在(0,1)上的零點個數(shù)，

1,1,

因為=<0,f(l)=a-l--(a-iy<0.

函數(shù)“X)在(0,1)上有兩個零點，即函數(shù)Mx)在(0,1)上有兩個零點，

所以△=2a-l>0,0<—<1,又a<l,

2

即;<a<1時，/(%)在(0,1)上有兩個零點；

綜上，a的取值范圍為即.

故選：A.

7.已知函數(shù)小)=|阿1八>[，則函數(shù)g(x)=L]—2/(x)+l的零點個數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】令f=/(x),g(x)=o,則F(r)=2f—1,分別作出函數(shù)y=f(f)和直線y=2f—1的

圖象，得到乙=0,1<與<2,再分別作出函數(shù)y=/(x)和直線y=r的圖象，得到方程/(x)=0

和方程f2=/(無)的根的個數(shù)，進而得到函數(shù)8(對=/[“切-2/(犬)+1的零點個數(shù).

【詳解】令f=〃x),g(x)=0,則=(。_力+1=0,即/⑺=21,

分別作出函數(shù)y=和直線y=2t-i的圖象，如圖所示,

由圖象可得有兩個交點，橫坐標(biāo)設(shè)為乙，弓，

則4=0,1<<2,

對于f=/(x),分別作出函數(shù)y=〃x)和直線y=的圖象，如圖所示,

由圖象可得，

當(dāng)〃x)=4=0時，即方程〃x)=0有兩個不相等的根，

當(dāng)％=/(x)時，函數(shù)y=/(x)和宜線y=，2有三個交點，

即方程4=/(無)有三個不相等的根，

綜上可得g(x)=o的實根個數(shù)為5,

即函數(shù)g(x)=/[〃x)]-2〃x)+l的零點個數(shù)是5.

故選：B.

|1^U+|11,,xX<>0。,若方.程."有4個不同的根陽，々

8.已知函數(shù)=,%，且

4

x[<x2<x3<x4,則/7-七(入1+&)的取值范圍是()

A.[4倉6)B.[2,4J5)C.(2,4&]D.14①可

【答案】D

【分析】作出函數(shù)y=f(x)與y=z的圖像，得到飛應(yīng)關(guān)于x=-i對稱，化簡條件，

利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【詳解】作函數(shù)y=/(x)與y=左的圖像如下：

方程/(X)=k彳J4個小同的根X],巧，X3,“4，且X|〈工2<“3<，4，

可知司，弓關(guān)于x=—l對稱，即&+超=-2,且0<*3<1<匕<2,

WI]|log4^|=|log4x4|,g|Jlog4x3=-log4x4,則log』X,+log4x4=0

即log4X3X4=0,貝Ij4%=1；

當(dāng)|k)g4X=l得x=4或;，則1<昌44：1<X3<1;

44

故―7-a+工2）七=244+—,1<X4<4;

x3x4x4

c4LL

則函數(shù)y=2%+一,在1〈玉v加上為減函數(shù)，在夜工Z<4上為增函數(shù)；

工4

故％=0取得最小值為y=40,而當(dāng)匕=4時，函數(shù)值最大值為>=8+1=9.

即函數(shù)取值范圍是[4夜,9]

故選：D.

【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用數(shù)形結(jié)合的

思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

二、多選題

9.已知函數(shù)〃耳=%仙_2|x>0，若關(guān)于x的方程〃x）=M"eR）有四個不同的實數(shù)解,

它們從小到大依次記為王，工2，不，匕，則（）

A.OvRKIB.玉+占=-1

24

C.e<x3<eD.0<x{x2x3x4<e

【答案】CD

【分析】將方程有四個不同解可確定f（x）與y=k有四個不同交點，在平面直角坐標(biāo)系中作

出圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得A的范圍，知A錯誤;根據(jù)對稱性可知B錯誤;當(dāng)0<X</

時，由/（力=1可求得x=e,由此可得天的范圍，知c正確；利用基本不等式可求得

0<<1,由|仙下一2|=旭七一2|可求得X3X4=e4,由此可知D正確.

【詳解】關(guān)于x的方程/（x）=MAwR）有四個不同的實數(shù)解，等價于〃力與丫=我有四個不

同交點，

在平面直角坐標(biāo)系中，作出/（力與V=%如下圖所示，

由圖形可知：A錯誤；

%/關(guān)于x=-1對稱?%+/=-2,B錯誤；

2

當(dāng)0<xve?時，令〃尢）=1,解得：X=e,.\e<x3<e,C正確；

2

\inx3-2\=\lnx4-2\,x3<e<x4,..2-lnx3=lnx4-2,

4

/.Inx3+Inx4=Inx3x4=4,x3x4=e,

.Jc,<x2<0,=(-x.)-(-x2)<「I；1)=(為；馬))=］,又Mx?>0,

4

0<xlx2x3x4<e,D正確.

故選：CD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)方程根的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)?/p>

方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點個數(shù)問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式，結(jié)合函數(shù)的對稱性

來依次進行求解.

10.已知函數(shù)/(x)=|log“x-4-a(a>0,且axl)有兩個零點，則()

A.當(dāng)”>1時，x,+x,>2B.當(dāng)時，xt+x2<2

C.當(dāng)a>l時，一西|>1D.當(dāng)0<〃<1時，\x^—x,|<1

【答案】ABD

【分析】令/。)=0可得占=1、々=。2"為/㈤的兩個零點，討論0<。<1、a>\,結(jié)合指數(shù)

的性質(zhì)判斷各項的正誤.

［詳解］令/(x)=|log〃x-a|-a=0,則log?x=0或,

所以々=1、為/(X)的兩個零點；

2a

當(dāng)0<〃<1時，x2=ae(0,1),則%+七<2,-X,|<1,B、D正確；

2a

當(dāng)。>1時，x2=ae(l,-H?),則占+々>2,但"一xj>1不一定成立，A正確，C錯誤；

故選：ABD

YV

11.己知函數(shù)/(x)=—,g(x)=—：-log2X(x>l)的零點分別為a,P，給出

X—1x~\

以下結(jié)論正確的是()

a

A.a+〃=a4B.a+2=^?+log2^C.a+/?>4D.a-/3>-2

【答案】ABCD

【分析】函數(shù)y=言的圖象關(guān)于直線y=x對稱，。,夕是函數(shù)y=2*和丫=1。82》的圖象與函

zy1

數(shù)>=段的圖象的交點的橫坐標(biāo)，則有。=1■2夕，p=T./?=V=—\+1,直接變

人—1/y—I/y—I

3

形判斷AB,利用基本不等式判斷C,由零點存在定理判斷構(gòu)造函數(shù)

2

（Y31

h（a）=a-/3=a——確定單調(diào)性，再計算函數(shù)值力（廠二"〉-2,利用單調(diào)性判斷D.

a-\22

【詳解】因為函數(shù)丫=告的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

是函數(shù)y=2*和y=log2x的圖象與函數(shù)＞=言的圖象的交點的橫坐標(biāo)，

因此己知a=log?［，夕=2".

又￡===」+1,（a—1）（力-1）=1,即a+￡=c尸，

a—\a—\

因而A、B均正確.

又a+#=a+±=a-l+」一+2N4,當(dāng)且僅當(dāng)a-l=」一即a=2時等號成立，

a-\a-\a-1

9

（0/（2）=--22=-2^0,

2—1

因而a/2,上式等號不成立，

所以a+/?＞4.C正確.

記O=3-2、3-場＞0,f⑵=2-22＜0,

因此鄉(xiāng)＜a＜2

2

zy1

而函數(shù)人（。）=。-尸=。-一\=。-1一一、在區(qū)間。，位）范圍內(nèi)單調(diào)遞增，

a-1a-1

所以/7（a）＞/?（|）=g-2＞-2,所以D正確.

故選：ABCD.

12.定義在R上的函數(shù)y=/（x）滿足在（0,1］上單調(diào)遞增，f（3+x）=〃3-x）,且圖象關(guān)于點

（4,0）對稱，則下列選項正確的是（）

A./⑼=0

B./（2020）＜/（2021）＜/（2022）

C.y=〃x）在［1,3］上單調(diào)

D.函數(shù)/（x）在［0,2022］上可能有2023個零點

【答案】AC

【分析】由/(3+x)=/(3-x),且圖象關(guān)于點(4,0)對稱，得到y(tǒng)=f(x)的周期為4,結(jié)合

y=〃x)滿足在(0,1］上單調(diào)遞增，結(jié)合周期性與對稱性得到y(tǒng)=〃力在［1,3］單調(diào)遞減，分

別判定選項即可.

【詳解】f(3+x)=/(3-x)所以y=〃力的對稱軸為x=3,且〃6+x)=/(-x),又y=/(x)圖

象關(guān)于點(4,0)對稱，則〃4+x)=_f(4-x),所以〃8+x)=_f(_x),/(8+x)=-/(6+x),所

以〃2+x)=—/(x),所以〃4+x)=.f(x),所以y=f(x)的周期為4,所以(0,0)為y=〃x)

的對稱中心，所以y=/(x)奇函數(shù)，且定義域為R,所以〃0)=0,所以A正確：

根據(jù)周期性〃2O2O)=〃O)J(2O21)=〃1)J(2O22)=/(2),且〃4)=〃0)=0,又

y=/(x)對稱軸為x=3,所以〃2)="4)=0,且函數(shù)y=/(x)滿足在(0』上單調(diào)遞增，

所以〃())=〃2)<〃1),所以*2020)="2022)<“2021),所以B錯誤；

函數(shù)"/(可滿足在(0』上單調(diào)遞增，且周期為4,所以函數(shù)尸/(“滿足在(4,5］上單調(diào)

遞增，又y=/(x)圖象關(guān)于點(4,0)對稱，所以曠="》)在(3,4］單調(diào)遞增，又y=f(力對稱

軸為x=3,所以y="x)在(2,3］單調(diào)遞減，且y=〃x)在(1,2］單調(diào)遞減，且"2)=0,所

以y=/(x)在［1,3］單調(diào)遞減,所以C正確;

對于D,y=/(x)在［0,4)上有且僅有2個零點，且周期為4,y=/(x)在［0,2020)上有且僅

有1010個零點，在［2020,2022］上有且僅有2個零點,函數(shù)/⑴在［0,2022］上可能有1012

個零點，所以D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

13.用二分法求函數(shù)/(x)=ln(x+l)+x-l在區(qū)間［0,1］上的零點，要求精確度為0.01時，所

需二分區(qū)間的次數(shù)最少為.

【答案】7

【分析】二分法每一次操作都會讓區(qū)間縮小一半長度.

【詳解】根據(jù)題意，原來區(qū)間KM］的長度等于1,

每經(jīng)過二分法的一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

則經(jīng)過"次操作后，區(qū)間的長度為《，若去<0.01,

即〃27；故最少為7次.

故答案為：7.

14.團表示不超過x的最大整數(shù)，例如艮5]=3,[―Q5]=T.已知與是方程lnx+3x-15=0

的根，貝打毛]=.

【答案】4

【分析】根據(jù)零點的存在性定理求得毛的范圍，再根據(jù)卜]的定義即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)/(x)=lnx+3L15,xe(0,-Ko),

因為函數(shù))，=1<1兌〉=3》在(0,+8)都是增函數(shù)，

所以函數(shù)單調(diào)遞增，

又修是方程lnx+3x-15=0的根，所以〃x)=0只有一個根，

/(4)=ln4-3<0,/(5)=ln5>0,

所以％e(4,5),

所以k]=4.

故答案為：4.

15.若陽滿足3'=2—x,巧滿足log3x+x-2=0,則%+七=.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為陽時函數(shù)〃x)=3ff(x)=2-x的交點橫坐標(biāo)，巧時函數(shù)

8(0=睢3彳與《耳=2-》的交點橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)〃x)=3，與g(x)=k)g3X的對稱性，即

可求解.

[詳解】設(shè)“X)=3',g(x)=log,xj(x)=2-x,

因為A滿足3*=2-x,々滿足log3X+x-2=0,

所以不時函數(shù)/(x)=3*與f(x)=2-x的交點橫坐標(biāo)，/時函數(shù)g(x)=log3x與/(x)=2-x

的交點橫坐標(biāo),

由于函數(shù)/(X)=3、與g(x)=log3x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線尸X對稱，

所以兩圖象與直線f(x)=2-x的交點(3,/),(々,％)也關(guān)于N=x對稱，如圖所示，

又由p=2『解得x=1,所以空1=1,可得占+當(dāng)=2.

［y=x2

故答案為：2.

16.關(guān)于x的方程/-(4-1卜+4=0在區(qū)間［1,3］內(nèi)有兩個不等實根，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】(5,4］

【分析】利用一元二次方程實根分布列出不等式組，再求解作答.

【詳解】關(guān)于x的方程/一(。_1b+4=0在區(qū)間［1,3］內(nèi)有兩個不等實根，令

/(x)=x2-(a-l)x+4,

A=(a-l)2-16>0

?。-1C

1<-----<3

則有■2解得5<a<—f

41)=630

/(3)=16-3?>0

所以實數(shù)。的取值范圍是(5,學(xué).

故答案為：(5,修］

四、解答題

17.已知函數(shù)y=/(x)(xeR)是偶函數(shù).當(dāng)x20時，f(x)=x2-4x.

⑴求函數(shù)/*)在xeR上的解析式；

⑵若函數(shù)/(x)在區(qū)間3,〃+引上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知〃(x)="(x)|-m,試討論〃(x)的零點個數(shù)，并求對應(yīng)的膽的取值范圍.

x2+4x,x<0

【答案】(l)/(x)=<

x2-4x,x>0

(2)a<-5^a>2

⑶答案見解析

【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可.

（2）根據(jù)（1）做出/Xx）圖像，數(shù)形結(jié)合.

（3）根據(jù)（1）做出"（x）|圖像，數(shù)形結(jié)合.

【詳解】（D設(shè)x<0,則—x>0

f（-x）=x2+4x

???/（x）為偶函數(shù)

：.f（x）=f（-x）=x2+4x

x2+4x,x<0

綜上,有f(x)=-

x2-4x,x>0

⑵由（1）作出/"）的圖像如圖：

因為函數(shù)/（X）在區(qū)間［a,4+3］上具有單調(diào)性,

由圖可得。+3V-2或解得。4-5或。22；

故實數(shù)。的取值范圍是a4-5或a22.

⑶由（1）作出1/（幻1的圖像如圖：

山圖像可知：

當(dāng)m>4時，/z（x）有兩個零點；

當(dāng)加=4時，〃（無）有四個零點；

當(dāng)0<加<4時，〃（x）有六個零點；

當(dāng)機=0時，〃（x）有三個零點；

當(dāng)初<0時，〃（x）沒有零點.

18.已知公三是一元二次方程以--4履+%+1=0的兩個實數(shù)根.

⑴是否存在實數(shù)3使得（2玉-々乂氏-2々）=-1成立？若存在，求出女的值；若不存在，

請說明理由；

⑵求使五+2-2的值為整數(shù)的實數(shù)&的整數(shù)值.

X2X\

9

【答案】（1）存在，k=-

（2）k——2,—3,—5

【分析】（1）利用反證法先假設(shè)存在實數(shù)%,使得（2玉-吃）（玉-2/）=-］成立，根據(jù)一元

9

二次方程有兩個實數(shù)根可得攵=g,因此原假設(shè)不成立，故不存在；

（2）根據(jù)題意五+返-2=%3-2=區(qū)@_一4=也一4=-，-,可得々+1能被4整

x2Xjxxx2%/k+\&+1

除，即可求出d的值.

【詳解】⑴假設(shè)存在實數(shù)％，使得（2%-%）（%—2々）=-］成立，

?一元二次方程4fct2-4日+后+1=0的兩個實數(shù)根，

4kH0

用化+1）=-16"。,皿（不要忽略判別式的要求），

石+%=1

由韋達定理得女+1,

x,x^=----

4k

-2

.,.（2%1-x2）（x1-2X2）=2（x；+%2）5X1X2=2（%+x2）-9x,x2=-,

4Z2

但女<0,

?,?不存在實數(shù)％，使得（2%-々）（％一2七）=-］成立.

小、xX、八X：+xz-（X］+X,）-4左/4

（2）,+上一2=-^——L-2=^~!--4=-----4=------,

x2Xx{x2x{x2k+\Z+1

，要使其值是整數(shù)，只需要％+1能被4整除，

故%+1=±1,±2,±4,即/=0,-2,1,—3,3,—5,

/<0,

k=—2,—3,—5.

19.己知函數(shù)/Q）=log3（9'+1）+"是偶函數(shù).

（1）當(dāng)XW0,函數(shù)y=x+a存在零點，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵設(shè)函數(shù)〃。）=1%仙3-2時，若函數(shù)/㈤與〃⑴的圖象只有一個公共點，求實數(shù)，〃的

取值范圍.

【答案】⑴（y,o）

（2）『；百}（1，+8）

【分析】（1）利用偶數(shù)數(shù)的定義/（-x）=/（x）,即可求出實數(shù)/的值，從而得到了（X）的解析

式；令f（x）-x+a=O,得-a=/（x）-x,構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x,將問題轉(zhuǎn)化為直線，=-?與

函數(shù)y=g（x）的圖象有交點，從而求出實數(shù)。的取值范圍;

（2）依題意等價于關(guān)于x的方程咋3（"3-2加）=咋3（3、+3-，）只有一個解，令/=3",討論

（加一1）“-2，加一1=0的正根即可.

【詳解】⑴解：/⑴是偶函數(shù)，.1/（一幻二人幻，

即log式9"+1）-履=喝（9"+1）+"對任意xGR恒成立，

9T+1

2t

.?.2H=log,（9-'+l）-log,（9'+l）=log3^7-j-=log33-=-2x,

k——\.

即f（x）=log3（9'+l）-x,

因為函數(shù)y=/（x）7+a有零點，即方程Iog3（9'+1）-2尤=-。有實數(shù)根.

r

令gM=log3（9+1）-2x,則函數(shù)y=g（x）與直線y=-a有交點,

9V+11

=喝=1%（1+講），

又1+右>1，?.?g（x）=log3（l+示）>0，

.?--a>0,所以。<0,即。的取值范圍是（-8,0）.

vv

（2）解：因為f（x）=log,（9+l）-x=log3（9+l）-log33、=log3|^-1=log,（3,+3~）,

又函數(shù)f（x）與"x）的圖象只有一個公共點，

則關(guān)于x的方程地式“3'-2㈤=log3（3、+3-'）只有一個解，

所以機3-2加=3、+3-*,

令f=3*（f>0）,得（加-1）--2皿-1=0,

①當(dāng)帆-1=0,即加=1時，此方程的解為》=-；,不滿足題意，

②當(dāng)加一1>0,即機>1時，此時A=4機2+4（相-1）=4（機2,又4+芍=---->0,

所以此方程有一正?負根，故滿足題意，

③當(dāng)-IvO,即三<1時,由方程（加-1。-2加-1=0只有一正根,則需

4/T?2-4(zn-l)