高中數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)

解直角三角形...............2

數(shù)列.......................5

不等式.....................11

解三角形復(fù)習(xí)知識點

一、知識點總結(jié)

【正弦定理】

1.正弦定理:號=々=三=2尺("為三角形外接圓的半徑).

sinAsinBsinC

2.正弦定理的一些變式：

abc

(/)?:/?:c=sinA:sinB:sinC；(z/)sinA=--,sin8=——,sinC=—；

2R2R2R

Q+〃+C

(“i"=27?sinA,h=27?sinB,b=27?sinC；(4)=2R

sinA+sinB+sinC

3.兩類正弦定理解三角形的問題:

(1)已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角.(可能有一解，兩解，無解)

【余弦定理】

a2=b2+c2-2feccosA

1.余弦定理：<Z?2=+c2-26ZCCOSB

c2=b2+。2-2〃QCOSC

b2+c2-cr

cosA=

2bc

2.推論:<cosB=

2ac

cose/』-2

lab

設(shè)a、b、c是AABC的角A、B、C的對邊，則:

①若/+從=。2,則C=90；

②若/+/>02,則。<90。；

③若"+〃</,則C>90°.

3.兩類余弦定理解三角形的問題：(1)已知三邊求三角.

(2)已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.

【面積公式】

已知三角形的三邊為a,b,c,

1.S^^aha=^absinC^^r(a+h+c)(其中r為三角形內(nèi)切圓半徑)

2.設(shè)p=+8+c),S=y]p(p-a)(p-b)(p-c)

【三角形中的常見結(jié)論】

(1)A+B+C=7r(.2)sin(A+8)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+8)=-tanC,

.A+BCA+B.C...?AA

sin--------=cos——，cos--------=sin——;sin2A=2sinA?cosA,

2222

(3)若A>3>C=a>Z>>c=sinA>sin3>sin。

若sinA>sinB>sinC=>a>b>c=>A>B>C

(大邊對大角，小邊對小角)

(4)三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

(5)三角形中最大角大于等于60。，最小角小于等于60°

(6)銳角三角形。工區(qū)魚都魁魚。三世[魚的余楚值為正值守任曲面團圍遢獨角廿任意西邊的空:力現(xiàn)

大于第三邊的平方.

鈍角三角形O最大角是鈍角廿最大角的余弦值為負值

(7)AA3C中，八5"成等差數(shù)列的充要條件是6=6()。.

(8)AABQ為正三角形的充要條件是件是C成等差數(shù)列，且a,b,c成等比數(shù)列.

二、題型匯總

題型1【判定三角形形狀】

判斷三角形的類型

(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀:判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)

邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.

a2=b2+c2^/是直角oAABC是直角三角形

(2)在A4BC中，由余弦定理可知：@2>62+<?2。/是鈍角。兇8(?是鈍角三角形

a2<b2+c2<=>4是銳角，AABC是銳角三角形

(注意：/是銳角，AABC是銳角三角形)

TC

(3)若sin2A=sin23,則A=B或A+8=—.

2

例1.在A43C中，c=2〃cosA,且(a+)+c)3+辦-c)=3。)，試判斷A4NC形狀.

題型21解三角形及求面積】

一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b.c叫做三角形的元素.已知三角形的幾

個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

例2.在AA3C中，?=1,b=4i,ZA=30°,求c的值

冗

例3.在A43C中，內(nèi)角A,5,C對邊的邊長分別是a,b,c,已知c=2,C=—.

(I)若AA5C的面積等于J1,求。,人

(11)若sinC+sin(5—A)=2sin24,求A43C的面積.

題型31證明等式成立】

證明等式成立的方法：(1)左=>右，(2)右=左，(3)左右互相推.

例4.已知A48C中，角4,5,。的對邊分別為a,),c,求證：a=bcosC+ccosB.

題型4【解三角形在實際中的應(yīng)用】

仰角俯角方向角方位角視角

例5.如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平轉(zhuǎn)

角)為140。的方向航行，為了確定船位，船在B點觀測燈塔A的方位角為110。，航行半小時到達C點觀測燈塔

A的方位角是65。，則貨輪到達C點時，與燈塔A的距離是多少？

數(shù)列知識點

1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：見向一a“=d(d為常數(shù))，an=(^

等差中項：x,A,y成等差數(shù)列=2A=x+y

,,(a,+a,,}nn(n-\\

前〃項和S?=口一'^―=△——2cl

22

性質(zhì)：?。堑炔顢?shù)列

（1）若m+〃=p+q,貝Ua,“+q,=4,+%；

（2）數(shù)列｛2,/,&｝，｛%“+J仍為等差數(shù)列，"，S2n-Sn,S3?-52?……仍為等差數(shù)列，公

差為〃24；

（3）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d,a,a+d

（4）若％，/是等差數(shù)列，且前〃項和分別為S“，T,則%=當以

“HH"njr-r'

^2m-\

（5）｛q｝為等差數(shù)列=5“=?！?+加（</,為常數(shù)，是關(guān)于〃的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）

5”的最值可求二次函數(shù)5“=卬？+加的最值；或者求出｛q｝中的正、負分界項，

a>0

即：當q>0,d<0,解不等式組"一可得S“達到最大值時的“值.

I"。

a<0

當《<0,d>0,由，"可得S"達到最小值時的〃值.

⑹項數(shù)為偶數(shù)2〃的等差數(shù)列｛4｝,有

S偶_§奇=加/,既=彳.

D偶an+]

（7）項數(shù)為奇數(shù)2〃-1的等差數(shù)列｛叫，有

S2“T=（2〃-D見⑷為中間項），

S個—S偶—a,=n.

奇偶S偶n-\

2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：5=q（q為常數(shù)，夕/0）,a“=%q"T

等比中項：x、G、y成等比數(shù)歹UnG?=盯，或G=±J^

叫（q=1）

前〃項和：S“=（要注意！）

——4^*1）

I"q

性質(zhì)：｛”"｝是等比數(shù)列

(1)^m+n=p+q>貝14J4,%

（2）S“,S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等比數(shù)列，公比為g".

注意：由S“求a”時應(yīng)注意什么？

〃=1時，q=S］；

"22時，a“=S“-S,i

3.求數(shù)列通項公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：數(shù)列｛4｝,+^a2+.......+《%=2〃+5，求為

解〃=1時，gq=2x1+5,二4=14①

、cHI11

〃22時，耳6+百%+...+^ZT%2〃-1+5②

①一②得：*,,=2,..?凡=2川，14(〃=1)

2,,+|(?>2)

［練習(xí)］數(shù)列｛可｝滿足S,,+Se=|a“M，4=4,求為

^i1L=4

注意到4M=S,+LS“，代入得又E=4,.?.｛用｝是等比數(shù)列,S,=4"

S.

"22時，a“=S”—S"T3?4"T

（2）疊乘法

如：數(shù)列｛6,｝中，43,N±L=/_

anH+1

解...幺_=!_2"1"，又4=3,.?.4=3

%a2a,T23na}nn

（3）等差型遞推公式

由??-=/（?）?q=/，求?！埃玫臃?/p>

4一4=門2)

“22時，…”⑶

倆邊相加得4-4=八2)+/(3)+……+f(n)

4一%=/(")

.???！?4+/(2)+八3)+……+/(〃)

［練習(xí)］數(shù)列｛4｝中，4=1,a.=3"T+a“T(〃N2),求4(%=《3-1))

(4)等比型遞推公式

an=can_｝4-d(c、d為常數(shù)，cwO,cwl,dwO)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)-bx=c(a,f_l+x)=>a〃=CY*+(c-l)x

令(c-l)x=4,.”=’，.?」%+&］是首項為4+，-,c為公比的等比數(shù)列

c-11c-1Jc-1

（5）倒數(shù)法

如：4=1，4向=烏二，求巴

q+2

為等差數(shù)列，—=1,公差為L.?.，=1+（〃-1）」=■!（〃+］）,

a〃J%222

,_2

9a

?n~~~~T

n+1

（

附：

n-pl（?=l）

公式法、利用"九一's“-S,I（〃22）、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比為+1=M“+q或

4M=〃4+/（〃）、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法

）

4.求數(shù)列前n項和的常用方法

⑴裂項法

把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項.

如：｛怎｝是公差為d的等差數(shù)列，求

&=164+i

解：由」一=一一r=-f--—

W?aM4(W+。)。IakaMJ

aaaaaa

k=\kk+\k=ldk+\7d.1。］Cl2J37\nn+\)_

［練習(xí)］求和：i+—^―+——5——+...+-------J-------

1+21+2+31+2+3+....+TI

(2)錯位相減法

若｛4｝為等差數(shù)列，｛4｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛44｝(差比數(shù)列)前〃項和，可由

S,-qSn,求S,，其中q為也｝的公比.

2n

如：Sn=l+2x+3x+4無*+..+nx~'①

S“=x+2x2+3x3+4x4+...+(〃-1)b+nx"②

①一②(1-x)S?=1+x+x2+...+-nx"

.nx"…+

XHI時，S=-----------------,x=l時，S=1+2+3+....+〃=-------

"(1-X)21-X2

(3)倒序相加法

把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加.

S”=%+。2+??++a”

>相加2Sa=3+%)+(%+qi)+…+(4+%)…

5“=4+的+

2

［練習(xí)］已知/)=占’則

(()

由f(x)+f-------7^---------7=1

1l+x1+X

原式=川)+/⑵+嗎)+03)+嗎)+”4)+巾=1+1+1+1=31

(附：

a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和

如果一個數(shù)列｛aj,與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著

寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學(xué)知識

時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工

具，例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求數(shù)列的前n項和

對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和I可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求

解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之

后，再計算。

c.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和

裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求

出數(shù)列的前n項和。

d.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若

在數(shù)列｛an-bn｝中，｛an｝成等差數(shù)列，｛bn｝成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯

位相減整理后即可以求出前n項和。

e.用迭加法求數(shù)列的前n項和

迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列同｝滿足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，

可把這個式子變成an+i-an=f(n),代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過

整理，可求出an,從而求出Sno

f.用分組求和法求數(shù)列的前n項和

所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適

當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。

g.用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項和

所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項的特征，構(gòu)造出我

們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項和。

不等式知識點歸納

一、兩實數(shù)大小的比較：a>b；a—h=Ooa=b；a—b<Ooa<b.

二、不等式的性質(zhì)：?a>bob<a；?a>b,b>c=>a>c；③a>Z?=a+c>/?+c；

@a>b,c>0=>ac>be,a>b,c<0=>ac<bc；?a>b.ocl-=>a-\-c>b+d^

?a>b>O,c>d>0=>ac>bd；⑦a>/?>()=〃"1)；

?a>h>O^>\fa

三、基本不等式定理

1、整式形式：①Y+/22必(〃,；②ab4°R)；

—,+八，八、a2+b2(a+b\.小

③ahW12J(〃>。,力>0)；④--->1IzR)

2、根式形式：?^->4ab(a>0,Z?>0)?a+b<72(a2+Z?2)

h分

3、分式形式：-+->2(a、b同號)

ab

4、倒數(shù)形式：a>O=>a+—>2；a<O=>a+—<-2

aa

四、公式：121《癡〈等〈咨尹

--1--

ab

五、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

2

⑴若x+y=s(和為定值)，則當％=丁時?，積肛取得最大值

4

⑵若孫=〃(積為定值)，則當x=y時，和x+y取得最小值2).

六、解不等式

hh

1、一元一次不等式：ax>b(aHO)的解：當a>0時，x>—；當a<0時，x<—；

aa

2、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.

3、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：

判別式△="2—4ac

二次函數(shù)y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

一元二次方程辦？+bx+c=O有兩個相等實數(shù)根

有兩個相異實數(shù)根__b沒有實數(shù)根

(a>0)的根玉="2=一五

一元二次

不等式的

解集

4、解一元二次不等式步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為整數(shù)

二判：判斷對應(yīng)方程的根，三求：求對應(yīng)方程的根，四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖像，五解集：根據(jù)圖像寫

出不等式的解集

5、解分式不等式：

f(x)f")㈤4°

---->0of(x)g(x)>0;-----<0<=>\

g(x)g(x)[g(x)豐0

6、解高