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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為()A. B. C. D.2.已知實(shí)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C. D.3.若實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.24.中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂(lè)”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動(dòng);“書(shū)”,指各種歷史文化知識(shí);“數(shù)”,指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng),每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種5.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn),則雙曲線的方程為()A. B. C. D.6.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④7.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱,旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來(lái),“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年,我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖,下列描述錯(cuò)誤的是()A.這五年,出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B.這五年,2015年出口額最少C.這五年,2019年進(jìn)口增速最快D.這五年,出口增速前四年逐年下降8.已知函數(shù)的最小正周期為,且滿足,則要得到函數(shù)的圖像,可將函數(shù)的圖像()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度9.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.210.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.11.國(guó)務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見(jiàn)》中提出,要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年至年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯(cuò)誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國(guó)在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長(zhǎng)B.年以來(lái),國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國(guó)的總值最少增加萬(wàn)億D.從年到年,國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長(zhǎng)最多的年份是年12.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.60二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓Г:,F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn),A為橢圓Г的上頂點(diǎn),延長(zhǎng)AF2交橢圓Г于點(diǎn)B,若為等腰三角形,則橢圓Г的離心率為_(kāi)__________.14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最大值為_(kāi)___________.15.已知函數(shù),若在定義域內(nèi)恒有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16.設(shè),滿足條件,則的最大值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求的值.18.(12分)已知橢圓:(),點(diǎn)是的左頂點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為(異于點(diǎn)),是否存在直線,使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.20.(12分)如圖,已知在三棱臺(tái)中,,,.(1)求證:;(2)過(guò)的平面分別交,于點(diǎn),,且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為,幾何體為棱柱,求的長(zhǎng).提示:臺(tái)體的體積公式(,分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,為棱臺(tái)的高).21.(12分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列滿足,且.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得,即可得到,代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解得,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用,涉及三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對(duì)于實(shí)數(shù),,不成立對(duì)于不成立.對(duì)于.利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對(duì)于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件.解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.3、C【解析】
作出可行域,直線目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線,平移該直線可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖由射線,線段,射線圍成的陰影部分(含邊界),作直線,平移直線,當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,解題關(guān)鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形.4、C【解析】
根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門(mén)全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí),可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門(mén)全排列,安排在剩下的3個(gè)位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用,其中解答中認(rèn)真審題,根據(jù)題設(shè)條件,先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點(diǎn)代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.6、A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤;函數(shù)定義域?yàn)?,最值點(diǎn)即為極值點(diǎn),由知③錯(cuò)誤;令,在和兩種情況下知均無(wú)零點(diǎn),知④正確.【詳解】由題意得:定義域?yàn)?,,為奇函?shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯(cuò)誤;,,不是最值,③錯(cuò)誤;令,當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無(wú)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無(wú)交點(diǎn);綜上所述:與無(wú)交點(diǎn),④正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解;本題綜合性較強(qiáng),對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.7、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)A項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年出口額和進(jìn)口額基本相等,而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額,則A正確;對(duì)B項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年出口額最少,則B正確;對(duì)C項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2019年進(jìn)口增速都超過(guò)其余年份,則C正確;對(duì)D項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年到2016年出口增速是上升的,則D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
依題意可得,且是的一條對(duì)稱軸,即可求出的值,再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計(jì)算可得;【詳解】解:由已知得,是的一條對(duì)稱軸,且使取得最值,則,,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項(xiàng)等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫(huà)出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.11、C【解析】
觀察圖表,判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】由表易知、、項(xiàng)均正確,年中國(guó)為萬(wàn)億元,年中國(guó)為萬(wàn)億元,則從年至年,中國(guó)的總值大約增加萬(wàn)億,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表,正確認(rèn)識(shí)圖表是解題基礎(chǔ).12、D【解析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊,設(shè),由題可得的長(zhǎng),在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的關(guān)系,從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖,若為等腰三角形,則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t,則|BF1|=2a?t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,設(shè)∠BAO=θ,則∠BAF1=2θ,所以Г的離心率e=,結(jié)合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于中檔題.14、1【解析】
直接用表示出,然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論.【詳解】由題意,又,∴,即,∴的最大值為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì),掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.15、【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,湊而可知的圖象在過(guò)原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間;利用過(guò)一點(diǎn)的曲線切線的求法可求得兩切線斜率,結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知:,恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立,即恒成立,,即是夾在函數(shù)與的圖象之間,的圖象在過(guò)原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn),則切線斜率,解得:;設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn),則切線斜率,解得:;當(dāng)時(shí),,又,滿足題意;綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問(wèn)題的求解,重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過(guò)一點(diǎn)的曲線切線的求解方法;關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問(wèn)題;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分母不為零的限制,忽略對(duì)于臨界值能否取得的討論.16、【解析】
作出可行域,由得,平移直線,數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得,則是直線在軸上的截距.平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最小,此時(shí)最大.解方程組,得,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由公比表示出,由成等差數(shù)列可求得,從而數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求(1)得,然后對(duì)和式兩兩并項(xiàng)后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求解.【詳解】(1)∵是等比數(shù)列,且成等差數(shù)列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查并項(xiàng)求和法及等差數(shù)列的項(xiàng)和公式.本題求數(shù)列通項(xiàng)公式所用方法為基本量法,求和是用并項(xiàng)求和法.?dāng)?shù)列的求和除公式法外,還有錯(cuò)位相關(guān)法、裂項(xiàng)相消法、分組(并項(xiàng))求和法等等.18、(1);(2)存在,【解析】
(1)把點(diǎn)代入橢圓C的方程,再結(jié)合離心率,可得a,b,c的關(guān)系,可得橢圓的方程;(2)設(shè)出直線的方程,代入橢圓,運(yùn)用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由,可求得直線的方程,要注意檢驗(yàn)直線是否和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】(1)由題可得∴,所以橢圓的方程(2)由題知,設(shè),直線的斜率存在設(shè)為,則與橢圓聯(lián)立得,,∴,,∴若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,∴,化簡(jiǎn)得,∴,解得或因?yàn)榕c不重合,所以舍.所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)用,屬于中檔題.19、(Ⅰ)直線的直角坐標(biāo)方程為;曲線的普通方程為;(Ⅱ).【解析】
(I)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(II)將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程,可得,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】由可得直線的直角坐標(biāo)方程為由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù)可得曲線的普通方程為.易知點(diǎn)在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,并整理得.設(shè)是方程的兩根,則有.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2)2【解析】
(1)在中,利用勾股定理,證得,又由題設(shè)條件
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