哈密頓正則方程

H（p1，…，ps；q1，…，qs；t）

引入新函數(shù)第1頁/共17頁2s個(gè)一階常微分方程的方程組形式優(yōu)美、簡潔對稱！

由p

，q

（

＝1，2，…，s）共2s個(gè)變量組成一個(gè)2s維直角坐標(biāo)系所占據(jù)的假想的2s維空間叫相空間（或相宇）。這就是著名的哈密頓正則方程函數(shù)H稱為哈密頓函數(shù)應(yīng)用第2頁/共17頁一、能量積分哈密頓方程在一定條件下也可以給出能量積分若H不中不顯含t

：H=h=const.H中不顯含t時(shí)，再分穩(wěn)定約束與不穩(wěn)定約束這兩種情況來討論。第3頁/共17頁1、穩(wěn)定約束T＝T2H=T＋V=h=const

對于完整的保守力學(xué)體系來說，若H不顯含t，而且體系受穩(wěn)定約束時(shí)，體系的H是能量積分，這時(shí)體系的機(jī)械能守恒。2、不穩(wěn)定約束第4頁/共17頁

H=T2

－T0

＋V=h=const

可見，對于完整的保守力學(xué)體系來說，若H中不顯含t，而且體系受不穩(wěn)定約束時(shí)，體系的H是廣義能量積分。二、循環(huán)積分

若H=H（q1，…，qs；p1，…，ps；t）中不顯含某個(gè)pi或某個(gè)qi，即pi，qi為循環(huán)坐標(biāo)，則由哈密頓方程立即得到qi=constpi=const第5頁/共17頁三、哈密頓方程應(yīng)用舉例[例9]分別用笛卡兒坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)寫出一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在勢場V（）中的哈密頓函數(shù)H。解:

體系為質(zhì)點(diǎn)，自由度數(shù)s＝3。（1）在笛卡兒坐標(biāo)系中，取x，y，z為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日函數(shù)L為第6頁/共17頁（2）在柱面坐標(biāo)系中L=T－V第7頁/共17頁（3）在球面坐標(biāo)系中第8頁/共17頁,V=V（r，

，

）V（r，

，

）V（r，

，

）第9頁/共17頁[例10]求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)。設(shè)兩原子之間相互作用的彈性力為

F=－k（r－r0）其中r為兩原子間距離，r0為兩原子處在平衡時(shí)的距離。解:

為了求出拉格朗日函數(shù)，應(yīng)先求分子的動(dòng)能。從寇尼格定理可知，分子動(dòng)能T=Tc＋T

兩原子相對質(zhì)心的動(dòng)能質(zhì)心動(dòng)能把兩原子相對質(zhì)心的動(dòng)能轉(zhuǎn)換為m2相對于m1的運(yùn)動(dòng)。第10頁/共17頁第11頁/共17頁L=T－V

第12頁/共17頁[例11]一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點(diǎn)，受力為位矢，k為大于零的常數(shù)。求在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解:

取x，y，z為廣義坐標(biāo)。動(dòng)能為第13頁/共17頁第14頁/共17頁[例12]應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)電子的電量為－e，原子核帶電為Ze，Z為原子序數(shù)。

是循環(huán)坐標(biāo):

p

=C

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