預(yù)備知識01 集合的概念（解析版）-2024-2025初升高銜接資料（新高一暑假學(xué)習(xí)提升）

專題01預(yù)備知識一：集合的概念1、通過具體的實例，能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性和無序性判斷某些元素的全體是否能組成集合，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2、知道元素與集合之間的關(guān)系，會用符號“”“”表示元素與集合的關(guān)系，能用常用數(shù)集的符號表示有關(guān)集合.3、會根據(jù)具體問題的條件，用列舉法表示給定的集合；能概括給定數(shù)學(xué)對象的一般特征，并用描述法表示集合，提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力，增強用集合表示數(shù)學(xué)對象的意識，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．3．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果是集合的元素，就說屬于集合，記作．(2)不屬于：如果不是集合的元素，就說不屬于集合，記作．4．常用的數(shù)集及其記法常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集數(shù)學(xué)符合或5．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定義：一般地，設(shè)表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．對點特訓(xùn)一：集合的基本概念典型例題例題1．（23-24高一上·新疆·階段練習(xí)）下列對象中不能構(gòu)成一個集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【答案】A【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)判斷各項描述是否能構(gòu)成集合即可.【詳解】A：比較出名的標(biāo)準(zhǔn)不清，故不能構(gòu)成集合；B：，方程根確定，可構(gòu)成集合；C：不小于3的自然數(shù)可表示為，可構(gòu)成集合；D：所有銳角三角形內(nèi)角和確定且各角范圍確定，可構(gòu)成集合.故選：A例題2．（23-24高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）給出下列表述：①聯(lián)合國常任理事國；②坪高全體游泳健將；③方程的實數(shù)根；④全國著名的歌手，以上能構(gòu)成集合的是（

）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】判斷元素是否具有確定性，判斷出答案.【詳解】①聯(lián)合國常任理事國有5個國家，滿足確定性，可以構(gòu)成集合；②坪高全體游泳健將，元素不具有確定性，不能構(gòu)成集合；③方程的實數(shù)根，具有確定性，能構(gòu)成集合；④全國著名的歌手，元素不具有確定性，不能構(gòu)成集合.故選：A精練1．（23-24高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）下列元素的全體不能組成集合的是（

）A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流C．方程的實數(shù)解 D．周長為的三角形【答案】B【分析】根據(jù)集合中的元素的三要素即可判斷各個選項的正誤.【詳解】中國古代四大發(fā)明可以構(gòu)成一個集合，故A正確；地球上的小河流不滿足集合元素的確定性，即沒有標(biāo)準(zhǔn)說多小的河流算小河流，故B錯誤；方程的實數(shù)解是，可以構(gòu)成一個集合，故C正確；周長為的所有三角形可以構(gòu)成一個集合，故D正確；故選：B.2．（23-24高一上·云南保山·階段練習(xí)）下列各組對象能構(gòu)成集合的是（

）A．著名的數(shù)學(xué)家 B．很大的數(shù)C．聰明的學(xué)生 D．年保山市參加高考的學(xué)生【答案】D【分析】根據(jù)集合的定義依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，對于“著名”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，即對象不具有確定性，不能構(gòu)成集合，A錯誤；對于B，對于“很大”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，即對象不具有確定性，不能構(gòu)成集合，B錯誤；對于C，對于“聰明”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，即對象不具有確定性，不能構(gòu)成集合，C錯誤；對于D，年保山市參加高考的學(xué)生具有確定性，能構(gòu)成集合，D正確.故選：D.對點特訓(xùn)二：判斷元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）用符號“”或“”填空：（1）若，則-1A；（2）若，則3B；（3）若，則8C，9.1C.（4）；（5）；（6）2017.（7），，，．【答案】【分析】結(jié)合自然數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集，實數(shù)集的元素特征，根據(jù)集合與元素的關(guān)系的定義判斷即可.【詳解】（1），故；（2），故；（3），故；（4），；（5）（6）因為2017不能被表示為的形式，所以；（7）例題2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習(xí)）已知由實數(shù)組成的集合，，又滿足：若，則.(1)能否是僅含一個元素的單元素集，試說明理由；(2)中含元素個數(shù)一定是個嗎？若是，給出證明，若不是，說明理由.【答案】(1)A不可能是單元素集合，理由見解析；(2)A中所含元素個數(shù)一定是，證明見解析．【分析】（1）由x與都在集合A中，結(jié)合集合A只含有一個元素，得，再判斷方程有無實數(shù)根，若有解則存在，若無解則不存在；（2）A中所含元素個數(shù)一定是個．由，則，得到，然后推導(dǎo)出互不相等即可證明A中所含元素個數(shù)一定是個．【詳解】（1）假設(shè)A中僅含一個元素，不妨設(shè)為a，則，有，又A中只有一個元素，，即，但此方程，即方程無實數(shù)根，∴不存在這樣的實數(shù)a，故A不可能是單元素集合．（2）中所含元素個數(shù)一定是個．證明：，則，，而，且，當(dāng)時，，，方程無解，；當(dāng)時，，，方程無解，；當(dāng)時，，，方程無解，，中所含元素個數(shù)一定是個．精練1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)常見數(shù)集的含義即可求解.【詳解】由于；；；，故①錯誤；②正確；③錯誤；④錯誤，故選：A．2．（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知集合中的元素滿足，則下列選項正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【分析】由元素和集合的關(guān)系判斷.【詳解】由解得，因為，，故，且，故選：A對點特訓(xùn)三：利用集合中元素的互異性求參數(shù)典型例題例題1．（多選）（23-24高一上·海南省直轄縣級單位·期中）若，則實數(shù)的可能取值為（

）A．3 B． C．1 D．【答案】ABD【分析】分，，，求出實數(shù)，利用元素的互異性檢驗，得到答案.【詳解】①若，即時，此時集合中的元素為，滿足題意；②若，即時，，不滿足集合中元素的互異性；③若，即，當(dāng)時，此時集合中的元素為，，滿足題意；當(dāng)時，此時集合中的元素為，滿足題意.故選：ABD.例題2．（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）已知集合中有三個元素：，，，集合中也有三個元素：0，1，．(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)的值為0或(2)的值為【分析】（1）若，則或，再結(jié)合集合中元素的互異性，能求出的值．（2）當(dāng)取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，由此能求出實數(shù)的值．【詳解】（1）集合中有三個元素：，，，，或，解得或，當(dāng)時，，，，成立；當(dāng)時，，，，成立．的值為0或．（2）集合中也有三個元素：0，1，，，當(dāng)取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，，，．實數(shù)的值為．精練1．（23-24高一上·山東煙臺·期中）若集合，且，則m的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【答案】B【分析】根據(jù)集合的元素不重復(fù)可解得.【詳解】因為，所以或，解得，或或，當(dāng)時，，又集合中不能有相同的元素，所以故選：B2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）由，4組成一個集合A，且A中含有3個元素，則實數(shù)a的取值可以是（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】逐個選項代入判斷是否滿足集合的互異性即可.【詳解】對A，當(dāng)時，，，不滿足題意；對B，當(dāng)時，，不滿足題意；對C，當(dāng)時，，，滿足題意；對D，當(dāng)時，，不滿足題意；故選：C對點特訓(xùn)四：用列舉法表示集合典型例題例題1．（23-24高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）方程組的解構(gòu)成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解出方程組，再由列舉法表示出解集.【詳解】由，解得，所以方程組的解構(gòu)成的集合是.故選：D例題2．（23-24高二下·遼寧阜新·期末）集合用列舉法表示為.【答案】【分析】依題意逐個驗證即可.【詳解】時，時，時，時，時，時，不合題意，故滿足題意的有，故答案為：.精練1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,則（用列舉法表示）.【答案】【分析】根據(jù)集合的元素特征直接列舉出即可.【詳解】因為，，所以.故答案為：2．（23-24高一上·陜西延安·階段練習(xí)）已知集合，且，則M等于（用列舉法）【答案】【分析】根據(jù)列舉法列舉所以情況即可求.【詳解】由于，所以是6的正因數(shù)，當(dāng)時，，符合，當(dāng)時，，符合，當(dāng)時，，符合，當(dāng)時，，符合，綜上可得，故答案為：對點特訓(xùn)五：用描述法表示集合典型例題例題1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點組成的集合．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先確定集合中的代表元素是數(shù)x；再確定集合中代表元素滿足的條件即可解答.（2）先確定集合中的代表元素是數(shù)x；再確定集合中代表元素滿足的條件即可解答.（3）先確定集合中的代表元素是數(shù)x；再確定集合中代表元素滿足的條件即可解答.（4）先確定集合中的代表元素是點；再確定集合中代表元素滿足的條件即可解答.【詳解】（1）因為不等式的解組成的集合為，則集合中的元素是數(shù).設(shè)代表元素為x，則x滿足，所以，即．（2）設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則．又因為元素為正整數(shù)，故．所以被3除余2的正整數(shù)的集合（3）設(shè)偶數(shù)為x，則．但元素是2，4，6，8，10，所以．所以．（4）因為平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點的橫坐標(biāo)為負，縱坐標(biāo)為正，即，故第二象限內(nèi)的點的集合為．例題2．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合；(2)所有奇數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上的點組成的集合；(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）結(jié)合質(zhì)數(shù)的概念以及列舉法即可求解.（2）由奇數(shù)的概念以及描述法即可求解.（3）由描述法即可求解.（4）用列舉法即可求解.【詳解】（1）大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合.（2）所有奇數(shù)組成的集合.（3）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上的點組成的集合.（4）.精練1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)奇數(shù)的集合；(2)正偶數(shù)的集合；(3)；(4)不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)；(4)【分析】（1）（2）根據(jù)描述法寫出；（3）根據(jù)描述法及列舉法求解；（4）解一元一次不等式，利用描述法表示即可.【詳解】（1）奇數(shù)的集合用描述法表示為：（2）正偶數(shù)的集合用描述法表示為：（3）．（4）由解得，所以不等式的解集為．2．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)一年中有31天的月份的全體；(2)大于小于12.8的整數(shù)的全體；(3)所有能被3整除的數(shù)的集合；(4)方程的解集；(5)不等式的解集；(6)拋物線上的點組成的集合．【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用列舉法表示集合；（2）利用列舉法表示集合；（3）利用描述法表示集合；（4）利用列舉法表示集合；（5）利用描述法表示集合；（6）利用描述法表示點集合.【詳解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月．（2）．（3）（4）.（5）.（6）.對點特訓(xùn)六：集合中的含參問題角度1：已知集合相等求參數(shù)典型例題例題1．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知實數(shù)集合，若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)得到，或，，然后解方程，再根據(jù)集合中元素的互異性得到，，最后計算即可.【詳解】當(dāng)，時，，或任意，（舍去）；當(dāng)，時，，，不成立，所以，，.故選：A.例題2．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知，，若集合，則的值為．【答案】【分析】利用集合中元素的互異性，以已知的0，1為突破口，分類討論求出，的值.【詳解】∵，顯然，所以，∴.根據(jù)集合中元素的互異性得，∴.∴故答案為：同類題型歸類練1．（23-24高一上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知集合，其中，則實數(shù).【答案】【分析】由題意可得或，求出，進而求出，結(jié)合集合的互異性和，即可得出答案.【詳解】①當(dāng)時，解得，當(dāng)時，與集合元素的互異性矛盾，所以舍去；當(dāng)時，，得到與矛盾，所以舍去；②當(dāng)時，解得，當(dāng)時，，得到與矛盾，所以舍去；當(dāng)時，，得到，符合題意，所以.故答案為：.2．（23-24高一上·河南鄭州·期中）含有三個實數(shù)的集合既可表示為，也可表示為，則的值為．【答案】0【分析】根據(jù)集合相等和元素的互異性，即可求解得值，得到答案.【詳解】由題意，可得，根據(jù)集合相等和元素的互異性，可得且，解得，此時集合所以.故答案為.角度2：已知集合元素個數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知集合只有一個元素，則實數(shù)的值為（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2【答案】A【分析】討論，當(dāng)時，方程是一次方程，當(dāng)時，二次方程只有一個解，，即可求.【詳解】若集合只有一個元素，則方程只有一個解，當(dāng)時，方程可化為，滿足題意，當(dāng)時，方程只有一個解，則，解得，所以或.故選：.例題2．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合．(1)若A是空集，求的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)時，集合，當(dāng)時，集合；(3)【分析】（1）利用是空集，則即可求出的取值范圍；（2）對分情況討論，分別求出符合題意的的值，及集合即可；（3）分中只有一個元素和有2個元素兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解．【詳解】（1）解：是空集，且，，解得，所以的取值范圍為：；（2）：①當(dāng)時，集合，②當(dāng)時，，，解得，此時集合，綜上所述，當(dāng)時，集合，當(dāng)時，集合；（3）中至少有一個元素，則當(dāng)中只有一個元素時，或；當(dāng)中有2個元素時，則且，即，解得且；綜上可得，時中至少有一個元素，即.精練1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）若集合中有兩個元素，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用一元二次方程及根的判別式列式求解即得.【詳解】依題意，方程有兩個不等的實根，則且，解得且，所以實數(shù)m的取值范圍為且.故選：C2．（21-22高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一個元素，則實數(shù)的值是.【答案】【分析】根據(jù)已知條件可得出，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為集合中只有一個元素，則，解得.故答案為：.3．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合，其中.(1)若集合中有且僅有一個元素，求實數(shù)組成的集合.(2)若集合中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）分類討論當(dāng)、時方程根的個數(shù)，即可求解；（2）由（1）可得或，再討論當(dāng)時的情況即可.【詳解】（1）若，方程化為，此時方程有且僅有一個根；若，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式，即時，方程有兩個相等的實根，此時集合A中有且僅有一個元素，∴所求集合；（2）集合A中至多有一個元素包括有兩種情況，①A中有且僅有一個元素，由（1）可知此時或，②A中一個元素也沒有，即，此時，且，解得，綜合①②知的取值范圍為或.一、單選題1．（23-24高三下·四川雅安·階段練習(xí)）若集合，，則B中元素的最小值為（

）A． B． C． D．32【答案】A【分析】根據(jù)題意，由集合的概念，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，所以B中元素的最小值為.故選：A2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則下列表示正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】令分別為選項中不同值，求出的值進行判定.【詳解】當(dāng)時，，所以，故A正確；當(dāng)時，，所以，故B錯誤；當(dāng)或時，，所以，故C錯誤；當(dāng)時，，所以，故D錯誤.故選：A3．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）設(shè)集合，，，則中元素的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)給定條件計算出所有的值，再借助集合中元素的性質(zhì)即可作答.【詳解】，時，的值依次為，有4個不同值，即，因此中有4個元素．故選：B．4．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）下列命題中正確的（

）①與表示同一個集合；②由組成的集合可表示為或；③方程的所有解的集合可表示為；④集合可以用列舉法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上語句都不對【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義和表示方法分別進行判斷．【詳解】①{0}表示元素為0的集合，而0只表示一個元素，故①錯誤；②符合集合中元素的無序性，正確；③不符合集合中元素的互異性，錯誤；④中元素有無窮多個，不能一一列舉，故不能用列舉法表示，錯．故選：C5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又則（

）A． B．C． D．任一個【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求得正確答案.【詳解】集合的元素是所有的偶數(shù)、集合的元素是所有的奇數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，所以，，如，但.所以B選項正確.故選：B6．（22-23高一上·全國·期中）已知集合，則的元素個數(shù)是（

）A．16 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】分別在集合中取，由此可求得所有可能的取值，進而得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，，，，，，，，，，，，，，，，所以.故選：C.7．（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，運算求解即可.【詳解】由題意可知：，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.8．（23-24高一上·河南鄭州·期中）設(shè)集合，若且，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】由題意.故選：D二、多選題9．（23-24高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）下列各組中表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABD【分析】根據(jù)集合相等的概念依次分析各選項即可得答案.【詳解】選項A中，是數(shù)集，是點集，二者不是同一集合,故；選項B中，與表示不同的點，故；選項C中，，，故；選項D中，是二次函數(shù)的所有組成的集合，而集合是二次函數(shù)圖象上所有點組成的集合，故.故選：ABD.10．（23-24高一上·重慶