高中數(shù)學(xué)1理 第十三章

弟十二早；先老立R分

DISHISANZHANG心"目P刀

第十三章選考部分第一節(jié)坐標系

基固為根必備知識

［基礎(chǔ)自梳］

1.坐標系

(1)伸縮變換

#=癡，(2>0),

,八其中點P(x,y)對應(yīng)到點尸‘(/，y').

U=H-y,8>0),

/M

()X

(2)極坐標系

在平面內(nèi)取一個定點0,叫做極點；自極點。引一條射線Ox,叫做極軸；再選一個長

度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐

標系.設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，極點。與點例的距離10M叫做點M的極徑，記為力以極

軸。x為始邊，射線為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為仇有序數(shù)對(p,6)叫做點

”的極坐標，記為M(p,6).

2.直角坐標與極坐標的互化

設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x,y)和(p，。)，則

p1=G+E,

X-pcos0

y=osin0tan0=1(xW0)

,0i

3.常用的極坐標方程

(1)直線的極坐標方程

①過極點，傾斜角為a的直線：6=aS@R)；

②過A(a,0)(4>0)且垂直于極軸的直線：pcos0=a；

③過A(a,?(a>0)且平行于極軸的直線：psin0=a.

(2)圓的極坐標方程

①圓心在極點，半徑為R的圓的極坐標方程為p=R;

②圓心在極軸上的點(4,0)處，且過極點0的圓的極坐標方程為0=2acos0；

③圓心在點(a，,處且過極點的圓的極坐標方程為p=2asin仇0W9W兀

［基礎(chǔ)自測J

1.(教材改編)在極坐標系中，求圓p=-2sin。加圓心的極坐標.

A.(l,.B.(l,甘)C.(1,0)D.(1,兀)

［答案］B

2.(教材改編)在極坐標系中，求4(2,一§,B(4,幻兩點間的距離為

［答案I6

3.在極坐標系中，已知點P(2,3，求過點P且平行于極軸的直線方程為

［答案］sin0=1

研考點?練方法-----點明為綱關(guān)鍵能力

考點一平面直角坐標系中的伸縮變換

1

⑴在平面直角坐標系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換:=臥,

I例1]

I

后的圖形.

①5x+2y=0；②/+9=1.

「，1

xX,

［解］伸縮變換〈=2,則『\x=2x，'，

u,=京1y=3y■.

①若5x+2y=0,

則5(2x')+2(3y')=0,

所以5x+2y=0經(jīng)過伸縮變換后的方程為5x'+3y'=0,為一條直線.

②若f+)2=l,則(2/)2+(3yz)2=1,

則『+)2=1經(jīng)過伸縮變換后的方程為4x2+9y2=1,為橢圓.

x'2.x,

(2)曲線C經(jīng)過伸縮變換，后所得曲線的方程為X,2+y，2=1,求曲線C的方

ly=3y

程.

［解］將F,-2A代入-2+y，2=1中得

ly=3y

(Zr)2+(3y)2=1,即曲線C的方程為4『+9)?=1.

方法指導(dǎo)

伸縮變換后方程的求法

似=/uc(2＞0),

平面上的曲線y=＞(x)在變換”，，八的作用下的變換方程的求法是將

ly=〃必＞0)

代入尸兀V),得?=代-),整理之后得到＜=/7(X‘),即為所求變換之后

的方程.

［注意］應(yīng)用伸縮變換時，要分清變換前的點坐標(x,y)與變換后的點坐標(7，＜).

［思維變式］

y2［［＞

將圓/+)2=1變換為橢圓卷+5=1的一個伸縮變換公式為依X=axa0),求處人

v-〔丫=刀(匕＞0),

的值.

v2y2

代入/+)2=1中得言+京=］,

所以“2=9,一=4,

因為a>0,b>0,

所以a=3,h=2.

考點二極坐標與直角坐標的互化

［例2］(2021?烏魯木齊模擬)已知曲線。的方程為(x-l)2+y2=i,C2的方程為x+y=3,

C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線.

(1)以直角坐標系原點。為極點，X軸正方向為極軸建立極坐標系，求Cl與C2的極坐標

方程.

3

(2)若G與C3的一個公共點為A(異于點。)，Ci與Ci的一個公共點為B,當|。4|+兩=

M而時，求C3的直角坐標方程.

［解］(1)曲線Ci的方程為。-1)2+產(chǎn)=1,整理得r+V—2x=0,轉(zhuǎn)換為極坐標方程為0

=2cos0.

曲線。2的方程為x+y=3,轉(zhuǎn)換為極坐標方程為pcos夕+psinJ—3=0,

(2)設(shè)曲線C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線，則極坐標方程為6=a(0<a④，

［p=2cos0

由于G與C3的一個公共點4(異于點O),故je—c,所以|OA|=2cosa,

C2與C3的一個公共點為B,

fpcos0+psin0=3,

所以

［。=0，

3

所以|08|二----「一.

cosot+sina

3

由于IQ4I+兩=?,

所以2cosa+cos6t+sina=y[\0,

即3cosa+sina=^/TOsin(a+y?)=^/T(j,

VioyioJ

故曲線C3的直角坐標方程為y=%.

方法指導(dǎo)

極坐標方程與直角坐標方程的互化

(1)直角坐標方程化為極坐標方程：將公式x=pcose及y=psinQ直接代入直角坐標方程

并化簡即可.

(2)極坐標方程化為直角坐標方程：通過變形，構(gòu)造出形如pcosapsin6,/的形式，再

應(yīng)用公式進行代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以加及方程兩邊平方是常用的變形技巧.

I思維變式］

I.已知直線/的極坐標方程為勿sin,一5=啦，點4的極坐標為A(2/，午)，求點A

到直線/的距離.

|解|由2/>sin(0-；)=啦，

得2。(孚sin6一坐cos。)=讓，所以y—x=1.

由點A的極坐標為(2m，多得點A的直角坐標為(2,-2),

圻以,12+2+115/

所以d-也一2?

即點A到直線/的距離為平.

2.把曲線G：F+y2-8x—10y+16=0化為極坐標方程.

fx=pcos6,

[解1將

[y=psin9

代入x1+y2Sx~10>-+16=0,

得p2—8pcos3~1Opsin9+16=0,

所以Ci的極坐標方程為p2-8jocos9-lOpsin<9+16=0.

考點三曲線的極坐標方程的應(yīng)用

［例3］(湖南師大附中考前沖刺)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線G的參數(shù)方程為

［x=1+cosa,

(a為參數(shù)).以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐

Ly=sina

標方程為p=2小sin61

(1)求曲線G的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；

(2)設(shè)動直線/：y=^(xW0,ZW0)與曲線Ci，C2分別相交于點A,B,求當人為何值時;

|AB|取得最大值，并求|48|的最大值.

［解］(1)將曲線G的參數(shù)方程化為普通方程得。-1)2+丁=1,即/+V—2x=0.

將1+y2=p2,x=pcos。代入，得/?—2pcos0=0,pWO時，有p=2cosJ,當p=0時，

0,B即極點仍滿足p=2cos8.

所以曲線Ci的極坐標方程是p=2cos0.

由"=2"75sin0,得p2=2，5/sin9.

將p2=x2+y2,psin9=y代入，得x1+y2=2-\［?)y,

所以曲線C2的直角坐標方程是一2小y=0.

x=tcosa,

(2)設(shè)直線/的傾斜角為a,則/的參數(shù)方程為，。為參數(shù)，且fWO).

y=fsina

將/的參數(shù)方程代入曲線G的普通方程，得產(chǎn)一2允osa=0,則〃=2cosa.

將/的參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標方程，得產(chǎn)一2小fsina=O,則。=2小sina.

所以|AB|=|以一切|=|2cos

由直線/的斜率存在且不為0,知aG(0,2)(2,兀)，

所以當a=專，

即憶=121161=一小時，|AB|取得最大值，且|A身mx=4.

方法指導(dǎo)

極坐標方程及其應(yīng)用的解題策略

(1)求點到直線的距離.先將極坐標系下點的坐標、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下點

的坐標、直線方程，然后利用直角坐標系中點到直線的距離公式求解.

(2)求線段的長度.先將極坐標系下的點的坐標、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下的點

的坐標、曲線方程，然后再求線段的長度.

［思維變式］

(2021?長沙市統(tǒng)一模擬考試)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線M的參數(shù)方程為

X=l+cos(f)

,”為參數(shù))，過原點O且傾斜角為a的直線1交M于A,B兩點.以。為極點,

y—1+sin夕

x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求/和M的極坐標方程；

(2)當ae(0,1時，求|。4|+|。用的取值范圍.

［解］(1)由題意可得，直線/的極坐標方程為6=aSGR).

曲線M的普通方程為(x-l)2+(y-l)2=l,

因為x=pcos6,y=psin0,

f+y2=p2,

所以用的極坐標方程為p2-2(cos夕+sin6>)p+l=0.

(2)設(shè)A(〃l,a),B(p2,a),

且pl,P2均為正數(shù)，

將6=a代入p?—2(cos8+sin0)p+1=0,

得p2—2(cosa+sina)p+1=0,

當ae(o,彳時，J=4sin2?>0,

所以p\+p2=2(cosa+sina),

根據(jù)極坐標的幾何意義，|OA|,|O3|分別是點A,3的極徑.

從而|OA|+|OB|=pl+p2=2(cosa+sin。)=2陋$山(。+；).

當aG(。/時，a+扣(:，I,

故|。川+|08］的取值范圍是(2,2吸］.

?黃高考?提素養(yǎng)一—素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用

I.(2019?全國川卷)如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0),8(6，今)，。(也，引，D(2,7t),

弧A8,BC,CO所在圓的圓心分別是(1,0),(1,引，(1,兀)，曲線M是弧A8,曲線

此是弧云，曲線始是弧言.

D

(1)分別寫出Mi，M2,M3的極坐標方程；

(2)曲線M由M”Mi,M3構(gòu)成，若點P在M上，且|。4=小，求P的極坐標.

|解|(1)由題設(shè)可得，弧而，~BC,7萬所在圓的極坐標方程分別為p=2cos0,p=

2sin0,〃=-2cos9,

"2的極坐標方程為p=2sin冊W9W竽),

苧〈夕〈兀)

歷3的極坐標方程為〃=-2cos

(2)設(shè)尸(夕，。)，由題設(shè)及(1)知

若owe嗡則2cos6?=小，解得6=*

若jWdW中，則2sin9=小，解得6=胃或6=,；

若苧WJWn,則一2cos0=q§,解得。=知.

綜上，P的極坐標為(小，襲)或(小，W)

或怎,竽)或(由,.

2.(2019?全國II卷)在極坐標系中，O為極點，點M(p0,d)S0>0)在曲線C：p=4sin6

上，直線/過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

⑴當仇=郛j,求p0及/的極坐標方程；

(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求尸點軌跡的極坐標方程.

|解|(1)因為"S。，%)在曲線C上，

當&=卻寸，p0=4sin1=2小.

TT

由已知得|OP|=|。41cos,=2.

設(shè)QS，。)為/上除戶外的任意一點.

在RlZiOPQ中，pcos(。一知=|OP|=2.

經(jīng)檢驗■，點從2,在曲線pcos(。一1)=2上，

所以，/的極坐標方程為pcos(。一5)=2.

(2)設(shè)P(p，6)，在Rt2\O4尸中，1。周=|。41cos6=4cos仇即0=4cos”

因為「在線段0M上，且A尸J_OM,

717T

所以。的取值范圍是［不2.

「兀兀一

所以，P點軌跡的極坐標方程為〃=4cos&。￡自，??

(—2_(___尸

3.(2020?全國III卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為［)=2—3/+；。為參

數(shù)且fWl),C與坐標軸交于A,8兩點.

⑴求|AB|；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.

［解］(1)因為IW1,由2-f一尸=0得，=一2,所以C與)，軸的交點為(0,12):

由2—31+尸=0得f=2,所以C與x軸的交點為(-4,0).故|A8|=44而.

(2)由(1)可知，直線AB的直角坐標方程為金+若=1,<x=pcos0,)，=psinJ代入，得

直線A3的極坐標方程為30cos6?-psin0+12=0.

fx=4cos20,

4.(2020?全國II卷)已知曲線G，C2的參數(shù)方程分別為G：…2八(。為參數(shù))，

［y=4sin20

C2：5］。為參數(shù)).

〔尸-7

(1)將C］,C2的參數(shù)方程化為普通方程；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設(shè)Ci，C2的交點為P，求圓心

在極軸上，且經(jīng)過極點和P的圓的極坐標方程.

［解］(1)G的普通方程為x+y=4(0WxW4).

由。2的參數(shù)方程得X2=尸+'+2,)2=3+/一2,

所以X2—)2=4.

故。2的普通方程為/一V=4.

_5

x+y=4,~29

⑵由爐一）2=4彳丁

3

所以點P的直角坐標為弓，刃.

設(shè)所求圓的圓心的直角坐標為(祀,0),

由題意得看=(|—x())+*解得演)=喘.

17

因此，所求圓的極坐標方程為"二石"cos夕

課時作業(yè)(六十五)

A級基礎(chǔ)達標

1.在直角坐標系xOy中，以。為極點，工軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線。的極

坐標方程為pcos[—*=l(OWeW27t),M、N分別為曲線C與x軸、y軸的交點.

(1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；

(2)設(shè)的中點為P,求直線OP的極坐標方程.

[解]⑴由pcos(，一§=1得

p(；cos。+坐sin。)=1.

從而曲線C的直角坐標方程為5+雪y=l,

即x+小)，=2.

當6=0時，0=2,所以M(2,0).

當時，。=￥，

所以封，2)-

(2)M點的直角坐標為(2,0),N點的直角坐標為(0,￥).

所以尸點的直角坐標為(1,乎)，

則尸點的極坐標為(邛看)，

1T

所以直線OP的極坐標方程為6>=^(peR).

[x—yi3+2cosa,

2.在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為1=；+2sina(a為參數(shù))，直

線C2的方程為)，=監(jiān)，以。為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線G和直線C2的極坐標方程；

(2)若直線C2與曲線Ci交于P,。兩點，求|0外|0。|的值.

|解|(1)曲線G的普通方程為。一小)2+。-2)2=4,

即f+y?—2小x—4y+3=0,

則曲線Cl的極坐標方程為p2-2小pcos(9-4psin6+3=0.

?.?直線C2的方程為y=^x,

71

，直線C2的極坐標方程為6?=^(p6R).

⑵設(shè)PS1,仇),Q(p2,02),

將6=*pGR)代入p?—2，52cos0—4psin，+3=0得，

,2—5p+3=0,：.p\p2=3,：.\OP\\OQ\=p\p2=3.

3.(2021?昆明市診斷測試)在平面直角坐標系x0)，中，曲線Ci的參數(shù)方程為'os'。

7—sint

為參數(shù)).以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為。=前

eR).

(1)求曲線Ci的極坐標方程；

(2)若曲線C2的極坐標方程為"+8cos6=0,直線/與曲線G在第一象限的交點為A,與

曲線C2的交點為8(異于原點)，求|AB|.

|解I(1)消去參數(shù)/得曲線Cj的普通方程為/+9產(chǎn)=9,故曲線G的極坐標方程為"

+8/>2sin2<9-9=0.

(2)因為A,B兩點在直線/上，所以可設(shè)傘1,豳2,2.

把點A的極坐標代入Ci的極坐標方程得，p彳+8而i啜-9=0,解得pl=±V3.

已知A點在第一象限，所以pl=45.

因為點B異于原點，所以把點B的極坐標代入Ci的極坐標方程得，

p2+8cos^=0,解得/?2=—4小.

所以|AB|=|pl—必|=|5+4小|=5小.

4.(2021?茂名一模)在平面直角坐標系X。)，中，以原點。為極點，x軸的非負半軸為極軸，

9rncf)[x=2+tcosa,

建立極坐標系，曲線c的極坐標方程為〃個，直線/的參數(shù)方程為..a

1cosu&=1+/sina

為參數(shù)，OWQWTC).

(1)若。=竽，求/的普通方程，直接寫出C的直角坐標方程；

(2)若/與C有兩個不同的交點A,B,且尸(2,1)為AB的中點，求|4B|.

[x=2+rcosa,4

[解](1)由直線/的參數(shù)方程.(，為參數(shù))及。=甘7r可得其直角坐標方程為

ly=l+/sina4

x+y—3=0,

2cos0

由曲線C的極坐標為方程0=:黑夕

得其直角坐標方程為v=2x.

x=2+rcosa,"為參數(shù)）,

(2)把直線/的參數(shù)方程Ul+rsina

代入拋物線方程)2=2X得?sin2a+2r(sina-cosa)—3=0(*),

設(shè)A,8所對應(yīng)的參數(shù)分別為九，儲

.,2(sina-cosa)

則"+L一砧一?

：P(2,1)為4B的中點，

「，、一石，，力+亥sina-cosa

???p點所對應(yīng)的參數(shù)為三一=—一砧-=0,

兀

/.sina-cosa=0,即a='.

則(*)變?yōu)?產(chǎn)-3=0,此時戶=6,Z=±V6,：.\AB\=2y[6.

B級能力提升

5.(2021.濟南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點。為極點，x軸的

正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為pcos20=sinQ,直線/的參數(shù)方程為

卜一2，

1(/為參數(shù))，其中。>0,直線/與曲線C相交于M,N兩點.

(1)求曲線C的直角坐標方程；

(2)若點尸(0,。)滿足武薪[=4，求a的值.

[解](1)曲線C的極坐標方程可化為p2cos2。=您in0,

x=pcos6

由',得曲線C的直角坐標方程為y=3

y=/>sin0

罵

21

⑵將直線/的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入y=*,

y=a+^t

得1尸得—a=0,/=]+3a>0.

2—4a

設(shè)M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為力，⑵則力+，2=],f〃2=一^一,

圻以14-1_|PM+|PN|_lA-M

所以|PM|PN|—IPMI/WI-1目

1\/(/I+K)2-44及79'(3)

\t\ti\|-41

=4,

化簡得644—12〃-1=0,解得或。=一舍去)，

所以〃=；.

6.(2021?江西八所重點中學(xué)聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的極坐標方程為p=2cosa若極坐標系內(nèi)異于。

的三點A(pl，8)，B(p2,少+目，C\p3,少一部八，p2,p3>0)都在曲線M上.

(1)求證：小〃1=〃2+〃3；

(2)若過B,。兩點的直線的參數(shù)方程為j。為參數(shù))，求四邊形OB4C的面

積.

［解］⑴由題意得pl=2cos9，"2=2cos(e+^),p3=2cos|

貝U"2+"3=2cos(e+g+2cos(e-§=2V5cos(p=y［3p\.

(2)由曲線M的極坐標方程得曲線M的直角坐標方程為X2+/-2X=0,

將直線8c的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標方程得於一店r=0,解得力=0,及=小,

...在平面直角坐標中，80,坐)，C(2,0),

則p2=l,p3=2,0=/，:.pl=g

四邊形OBAC的面積S=SzMO8+Sz^oc=；plp2si吟+；pl〃3si吟

第二節(jié)參數(shù)方程

?梳教科?固基礎(chǔ)-------基固為根必備知識

［基礎(chǔ)自梳］

1.參數(shù)方程的概念

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線C上任意一點P的坐標（x,y）是某個變數(shù)f

的函數(shù)：并且對于f的每一個允許值，由函數(shù)式所確定的點P（x,y）都

ly=g（。，ly=g⑺

x=7⑺，

在曲線c上,那么方程叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)/叫做參變數(shù)，簡稱

y=g(t)

參數(shù).相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程.

2.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程

x=xo+fcosa,

（1）過點M（用，丸）,傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為{t為參數(shù)）

yo+rsina

⑵圓心在點M）（xo,加），半徑為r的圓的參數(shù)方程為（=xo+rcos0,

二.A（。為參數(shù)）

也十rsin”.

（3）橢圓/+方=l（a>/>0）的參數(shù)方程為x=“COS(p

（夕為參數(shù)）

bsin。.

思考拓展

直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義

x=xo+rcos?)

經(jīng)過點P（xo,州），傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為（，為參數(shù)）.若A,

J=yo+/sina

B為直線/上兩點，其對應(yīng)的參數(shù)分別為“，t2,線段AB的中點為M,點M所對應(yīng)的參數(shù)為

to,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：（1）m="蘆；

/1+/?

(2)|PM|=|/ol=2

(3)|A用=應(yīng)一對;

(4)\PA\-\PB\=\h-ti\.

［基礎(chǔ)自測］

+

1.（教材改編）在平面直角坐標系中，求曲線C：=2，（，為參數(shù)）的普通方

v=l+

程為.

［答案］x~y-l=0

［x=3cos0,

2.曲線C：八（。為參數(shù)）的普通方程為_________，表示_________

ly=2sm0

［答案］焦點為（±小，0）的橢圓

卜T［x=cos0,

3.已知直線/：<廠（/為參數(shù)），曲線Ci：9為參數(shù)）.設(shè)/與G

-3,ly=sin6

相交于A,B兩點,\AB\=.

［答案I1

?研考點?練方法-----點明為綱關(guān)鍵能力

考點一參數(shù)方程與普通方程的互化

I例1］把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？

|x=3r+2,

(1),。為參數(shù))

|解|⑴由y=Ll得？=y+l,代入x=3/+2得工=3。+1)+2,故所求普通方程為x

—3>-5=0,這是一條直線.

fx=5cos6

(2)…0(。為參數(shù))

ly=4sm6

^=cos022

I解］由條件得由cos2^+sin20=1得1.即所求普通方程表示橢

vZJ10

4=sin0,

圓.

[x=2+sin%,

(3)(。為參數(shù)).

[y=—1+cos20

[解]由x=2+sin220Wsin20Wl=2W2+sin2jW3=2〈xW3,

x=2+sin20,

、y=-1+cos23

卜一2=sin2。，

=>ly=-l+l-2sin2(9

fx-2=sin261

=,=普通方程為2x+y-4=0(2WxW3).

［j=—2sin-0

表示線段.

方法指導(dǎo)

消去方程中的參數(shù)一般有三種方法：

(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù).

(2)利用三角恒等式消去參數(shù).

(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù).

I思維變式］

x=tfx=3cos(p,

1.在平面直角坐標系xOy中，若直線/：。為參數(shù))過橢圓C：.(9

y=t-a［y=2sin(p

為參數(shù))的右頂點，求常數(shù)”的值.

［解］直線/的普通方程為工一)，一。=0,

?2

橢圓C的普通方程為§+：=1,

橢圓C的右頂點坐標為(3,0),

?直線/過(3,0),

**?3—〃=0,

**?4=3.

2.如圖，以過原點的直線的傾斜角。為參數(shù)，求圓/+產(chǎn)一工=0的參數(shù)方程.

?解?圓的半徑為:，記圓心為d},o）,連接①

則NPCx=26?,

故xp=；+gcos20=cos20,

%=；sin2<9=sin"cos0（9為參數(shù)）.

X—-QQ^0

''(。為參數(shù)).

{y=sin0cos6

考點二參數(shù)方程的應(yīng)用

I例2］在直角坐標系x°y中，曲線C的參數(shù)方程為2c°sf

(。為參數(shù))，直線/的

j=4sin0

\x=1+rcosa,

參數(shù)方程為,。為參數(shù)).

［y=2+rsina

(1)求C和/的直角坐標方程；

(2)若曲線C截直線/所得線段的中點坐標為(1,2),求/的斜率.

fx=2cos0

［解］(1)由曲線C的參數(shù)方程(0為參數(shù))，

ly=4sin6

(x

COZ)S5

得V

［sin6=~

所以?>+@)2=1,即

-余=1,

22

所以曲線C的直角坐標方程為1.

4lo

當cosaWO時，/的直角坐標方程為y=tana-x+2—tana,

當cosa=0時，/的直角坐標方程為x=l.

(2)將I的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關(guān)于t的方程(l+3cos2a)尸+4(2cosa

+sinct)/—8=0.0

因為曲線C截直線/所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為九，t2,則八

+?2=0.

.4(2cosa+sina),,

又由①傳fi+f2=——l+3cos2a—L,故2cosa+sina=0,于直線/的斜率Z;=tana=

-2.

方法指導(dǎo)

1.應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點

在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、

余弦值，否則參數(shù)不具備該幾何含義.

2.圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它們

的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解.

[思維變式J

在極坐標系中，已知圓C的圓心C(啦，力，半徑/'=小.

(1)求圓C的極坐標方程；

|x=2+fcosa

(2)若%7r直線/的參數(shù)方程為…,。為參數(shù))，直線/交圓C于A,B

4[y=2+ftina

兩點，求|AB|的取值范圍.

[解]⑴?.?點C(小，，的直甫坐標為(1,1),

圓C的直角坐標方程為(X-1)2+()，-1)2=3.

化為極坐標方程是p2—2p(cos9+sin0)—1=0.

|x=2+fcosa

(2)將,代入圓。的直角坐標方程(%—1)2+()，-1)2=3,

y=2+/sina

得(1+fcosa)2+(l+/sina)2=3,即尸+2f(cosa+sina)—1=0,則—?，2=—1,其中人,及

為以上方程的兩根.

|AB|=加一句="|+切2-4fll2=2-2+sin2a.

VaG[0,；),各，：.2y[2^\AB\<2y[3,即的取值范圍是[2皿，2?

考點三參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用

r1

X=—jt

［例3］（2021?福州市質(zhì)量檢測）在直角坐標系xOv中，直線/的參數(shù)方程為《r

、產(chǎn)“+當

（f為參數(shù)，“WR）.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方

程為"=4cos。，射線。=堂/）》0）與曲線C交于。，P兩點，直線/與曲線C交于A,B兩點.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

⑵當QB|=|OP|時,求a的值.

［解］⑴將直線/的參數(shù)方程化為普通方程，得小x+廠a=0.

由p=4cos得p2=4pcos0,

從而X2+>,2=4X,即曲線C的直角坐標方程為x2—4X+）2=0.

p=4cos0

⑵解法一由b喙*0），得心!）■

所以|OP|=2,

將直線/的參數(shù)方程代入圓的方程/一4x+>2=0中，得?+（2+q5a）/+a2=0,

由/>0,得2小一4V“V2小+4.

設(shè)4,8兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為力，%__________

則|A3|=比一及|=Y（力+-4八，2=、4+43a—〃?=2,解得，a=0或〃=4小.

所以，所求〃的值為0或4小.

解法二將夕=?p20）化為直角坐標方程，得木工一y=0（x20）,由（1）知，曲線C:（工一

2）2+尸=4的圓心C（2,0）,半徑為2,

由點到直線的距離公式，得點C到該射線的最短距離d=-p理==小，

［3+1

所以該射線與曲線C相交所得的弦長為|OH=2y22r小）2=2?

圓心C到直線/的距離為：哈色=兇口，

\3+1L

由（小g――^2+12=22,得（2小一a）2=12,得2小一a=±2小，解得，a=?；騛=4小.

所以，所求a的值0或4小.

方法指導(dǎo)

參數(shù)方程和極坐標的綜合應(yīng)用

涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標

方程后求解.當然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程.

［思維變式］

\x=—1~t

在平面直角坐標系xOy中，己知直線/的參數(shù)方程為,（f為參數(shù)）.以坐標原

［y=2+t

點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為〃+p2sin20=2,直線/

與曲線C交于4,3兩占.

：1）求直線/的普通務(wù)程和曲線C的直角坐標方程；

（2）已知點P的極坐標為（坐，目，求|阿?|PB|的值.

|解|⑴/的普通方程為x+y-1=0.

'：p2+pW0=2,.?.?+。+戶2,

即曲線C的直角坐標方程為亍+y2=l.

x=

(2)解法一尸g,3在直線/上，直線/的參數(shù)方程為＜

y=

入曲線C的直角坐標方程得g—坐｝+2(；+監(jiān)'＞一2=0,

設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為jt2,則

,z

\R\\-\PB\=\t'l|-|r2|=|/2|=|.

y=1-x4

解法二由,消去y,得3f—4x=0,解得xi=0,X2=\

M+2)?=2"$

不妨設(shè)A(0,l),B(*-1),又「g,1),

則照|=-^J(o-1)2+(i-1)2=^,

IP陰=1&_/+(_q一?=斗，

|M||PB|=^X^=|.

?黃高考?提素養(yǎng)一—素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用

X--COS^t9

1.(2020.全國I卷)在直角坐標系xOy中，曲線G